精品解析：云南省昆明市第十中学2026-2027学年上学期九年级数学期中练习卷

云南省昆明市第十中学九年级数学 九年级上学期期中训练卷 满分：100分 基础达标 一、选择题 1. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 5. 如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到′′，边′′与交于点（′不在上），则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 杠杆原理在机械设计中应用广泛，如图1是用杠杆提升重物的示意图，当施加动力时杠杆绕支点转动．如图2所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与y轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 11. 某地每年六月都有举办龙舟比赛的习俗，比赛需要经过一个抛物线形的拱桥．如图，是水平面，拱桥对应的函数表达式为．某商家在点处悬挂了广告条幅，已知，点到的距离为，则点到点的距离是（ ）． A. B. C. D. 12. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 13. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 14. 某小区为实现“人车分离”，在小区入门处搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的围墙（长为），其他边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏）．若车棚的占地面积为，则车棚的长为（ ） A. B. C. D. 15. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，现给出下列结论：①且；②；③；④；⑤方程的两根之和为-4，其中正确的结论有（ ） A. ①③④ B. ②④⑤ C. ②③⑤ D. ①②⑤ 二、填空题 16. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则点的坐标是_____________． 17. 已知是方程的一个根，则________． 18. 把抛物线向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为___________． 19. 如图，在中，，，点P从点A出发沿边向点B以2的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q同时出发，经过________秒后和相似？ 三、解答题 20. 解方程： （1）． （2）． 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）画出关于原点的中心对称图形，并直接写出点的坐标； （2）画出绕原点逆时针旋转后得到的，并直接写出的坐标． 22. 某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）写出这一函数的表达式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 23. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 25. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线过定点． （1）求抛物线的对称轴； （2）求的值． 27. 如图，在等腰三角形中，，点在边上，点在边上，连接、，交于点．已知． （1）若，求的值． （2）若，求证：． （3）在（2）的条件下，若，判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省昆明市第十中学九年级数学 九年级上学期期中训练卷 满分：100分 基础达标 一、选择题 1. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别；根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A选项图形不是中心对称图形是轴对称图形，不符合题意， B选项图形是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， C选项图形是中心对称图形不是轴对称图形，符合题意， D选项图形是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意， 故选：C． 2. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，符合要求； 选项B：含两个未知数，不符合； 选项C：未明确，当时不是二次方程，不符合； 选项D：分母含未知数，是分式方程，不符合． 3. 反比例函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把每个选项中的坐标分别代入函数解析式，分别验证即可． 【详解】解：由得， A选项：，故A不符合题意； B选项：，故B符合题意； C选项：，故C不符合题意； D选项：，故D不符合题意． 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的情况，掌握根的判别式，利用判断根的情况是解题的关键； 当，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当，方程无实数根，计算得出即可． 【详解】解：，，， ， ∴原方程无实数根． 故选：C． 5. 如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用比例关系代入数据即可． 【详解】， 即 故选：B． 6. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到′′，边′′与交于点（′不在上），则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得′，′，结合三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到′′， ′，′， ′′′． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形外角的性质，熟练掌握旋转和三角形外角的性质进行角度的转化是解题的关键． 7. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、由，不能证明，符合题意； 故选：． 8. 点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两个点的横坐标分别代入反比例函数解析式，计算出和的值，再比较大小即可得到结论. 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， 将代入，得， 将代入，得， ， ． 9. 杠杆原理在机械设计中应用广泛，如图1是用杠杆提升重物的示意图，当施加动力时杠杆绕支点转动．如图2所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是由相似得到边的关系． 先判定与相似，再根据边成比例求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得， 则的长度是． 故选：C ． 10. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与y轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的相关性质，逐一分析选项即即可求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴，， ∵ ∴抛物线开口向下，故A选项错误 ∵对称轴为直线 ∴对称轴是直线，故B选项错误 ∵当时， ∴抛物线与轴的交点坐标是，故C选项正确 ∵当时， ∴顶点坐标是，故D选项错误 故选：C． 11. 某地每年六月都有举办龙舟比赛的习俗，比赛需要经过一个抛物线形的拱桥．如图，是水平面，拱桥对应的函数表达式为．某商家在点处悬挂了广告条幅，已知，点到的距离为，则点到点的距离是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，代入解析式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得：，， 又， ，， ， 即点到点的距离是． 12. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由图像可得，二次函数的对称轴为，与轴的一个交点为，根据对称性求得另一点的坐标，即可求解． 【详解】解：由图像可得，二次函数的开口向下，对称轴为，与轴的一个交点为 由对称性可得，与轴的另一个交点为， 则不等式的解集为， 故选：C 【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像求解不等式，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题． 13. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义．根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵轴于点A，交于点B， ∴，， ∴． 故选：A． 14. 某小区为实现“人车分离”，在小区入门处搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的围墙（长为），其他边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏）．若车棚的占地面积为，则车棚的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【详解】解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ， 故选：B． 15. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，现给出下列结论：①且；②；③；④；⑤方程的两根之和为-4，其中正确的结论有（ ） A. ①③④ B. ②④⑤ C. ②③⑤ D. ①②⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，经过原点， ∴a＜0，c＝0， ∵−＝−2， ∴b＝4a，ab＞0， ∴b−4a＝0， ∴①错误，④错误， ∵抛物线与x轴交于−4，0处两点， ∴b2−4ac＞0，方程ax2＋bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝−4， ∴x1＋x2＝−4， ∴②⑤正确， ∵当x＝2时y＜0，即4a＋2b＋c＜0， ∴③正确， 故正确的有②③⑤． 故选C 【点睛】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用． 二、填空题 16. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则点的坐标是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，掌握关于原点对称点的横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点中心对称， ∴点的坐标为． 故答案为：． 17. 已知是方程的一个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 解得. 18. 把抛物线向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线平移的规律直接求解即可． 【详解】解：∵抛物线向右平移1个单位，然后向上平移3个单位， ∴， ∴． 19. 如图，在中，，，点P从点A出发沿边向点B以2的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q同时出发，经过________秒后和相似？ 【答案】或2 【解析】 【分析】设经过秒两三角形相似，分别表示出、的长度，再分①与边是对应边，②与边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边、的长是解题的关键，需要注意分情况讨论，避免漏解而导致出错． 【详解】解：设经过秒后和相似． 则，， ，， ， ①与边是对应边，则， 即， 解得， ②与边是对应边，则， 即， 解得． 综上所述，经过秒或2秒后和相似． 故答案为：或2． 三、解答题 20. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：． 移项得， 因式分解得， ∴或， ，． 【小问2详解】 解：． ，，， ， ， ∴，． 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）画出关于原点的中心对称图形，并直接写出点的坐标； （2）画出绕原点逆时针旋转后得到的，并直接写出的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）如上图，即为所求； 【解析】 【分析】（1）作出点关于原点对称的点，再顺次连接即可，即可得到； （2）作出点绕原点O逆时针旋转后得到的，再顺次连接即可，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）写出这一函数的表达式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 【答案】（1） （2）为了安全起见，气体的体积应不小于 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于理解体积和气压的关系，气压越大体积越小． （1）设表达式为，取点A，代入解得k值即可； （2）令，代入表达式解得，则由图可知，为了安全起见，气体的体积应不小于． 【小问1详解】 解：设该函数的表达式为， ∵该函数的图象过点A， ， 解得，， ∴这一函数的表达式为； 【小问2详解】 解：令得，． 解得，， 由图象可知：当时，， 答：为了安全起见，气体的体积应不小于． 23. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1）证明：对于关于x的一元二次方程， ∵， ∴ ， ∵， ，即恒成立， 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别公式可得，结合，即可证明结论． （2）由根与系数的关系，可得，，将整理为，然后代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，可得，， ∵， ∴， ∴， 解得． 25. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意得：，即可求解； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，则，即可求解； 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为， 则， ∵， ∴当时，月销售利润最大； 故：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为元/个； 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线过定点． （1）求抛物线的对称轴； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，完全平按公式的边形求值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． （1）直接根据二次函数对称轴公式求解即可； （2）将定点代入抛物线解析式得，进而可得，，然后把所给代数式变形代入即可． 【小问1详解】 抛物线的对称轴为直线 ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 将定点代入抛物线解析式中， 得， ∴，即． ，， ， ． 27. 如图，在等腰三角形中，，点在边上，点在边上，连接、，交于点．已知． （1）若，求的值． （2）若，求证：． （3）在（2）的条件下，若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）2 （2）证明：， ， 又， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： ， ， ， 由（2）得， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）作，与的延长线交于点G，先根据平行证明，推出，再证，根据对应边长成比例即可求解； （2）由，，证明，推出，结合证明，推出，通过等量代换即可证明； （3）由可得，结合，可得，由勾股定理的逆定理可证明是等腰直角三角形． 【小问1详解】 解：如图，作，与的延长线交于点G， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $