26.1 锐角三角函数+26.2 特殊角的三角函数值 6大题型（分层作业练题型）数学新教材冀教版九年级上册

分层作业 26.1锐角三角函数+26.2特殊角的三角函数值 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 锐角三角函数的概念 题型02 求角的三角函数值 题型03 已知三角函数值求边长 题型04 特殊角的三角函数 题型05 根据特殊角的三角函数值求角的度数 题型06 特殊角的三角函数值的混合运算 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 锐角三角函数的概念 1．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，形槽的深为，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级下·全国·课后作业）在中，，则表示（     ） A． B． C． D．以上都不对 3．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 4. （26-27九年级下·全国·单元测试）在中，，若，则________． 题型02 求角的三角函数值 5．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，的三个顶点均在边长为的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级下·全国·单元复习）在中，，，的对边分别是，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 7. （26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，下列锐角三角函数表示正确的是（     ） A． B． C． D． 8. 如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． 题型03 已知三角函数值求边长 9．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 10. （26-27九年级下·全国·单元复习）在中，，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 11．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，已知，，且，则___________，___________． 12. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，点为正方形的边上一点，连接，，是的中线，若，则的长为______________． 题型04 特殊角的三角函数 13．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）的值等于（     ） A． B． C． D． 14．若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 15．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是______． 16. （25-26九年级上·江苏苏州·期中）比较大小：___________．（填“”，“”或“”） 题型05 根据特殊角的三角函数值求角的度数 17. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 18. 三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 19. （26-27九年级下·全国·单元复习）在中，，，，则的值为__________． 20．若锐角满足，则的取值范围是 _____． 题型06 特殊角的三角函数值的混合运算 21.（25-26九年级下·辽宁大连·期末）计算： 22.（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）计算： (1)； (2)． (3)已知是锐角，且，求的值． 23.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）先化简，再求代数式的值，其中． B组 能力进阶 1. （26-27九年级下·全国·期末）如图，数轴上的点表示的数是1，在中，，以为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，连接，则等于（     ） A． B． C．2 D． 2. （26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针旋转，当点恰好落在直线上时，得到，则旋转的最小度数为（     ）    A． B． C． D． 3. 已知，则（　　） A． B． C．或 D． 4. （26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上，平分，与轴交于点．若点的坐标为，，则的值是__________． 5. （26-27九年级上·广东深圳·自主招生）在中，已知，，，则_________________． 6. （25-26九年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为______． 7. （2026·河南安阳·二模）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（结果取整数）（参考数据：，） 8．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，D是的中点，过点B作直线的垂线，垂足为点E． (1)计算线段的长； (2)求的值． 9. （26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）观察下列等式： ①，；②，；③，． (1)根据上述规律，计算 [注：]． (2)求的值 C组 思维拔高 1．如图，的边长分别为1，，2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画，使得，其相似比．嘉嘉说：“k的值有3个．”佳佳对嘉嘉说：“k不能取．” 对他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，佳佳不正确 B．嘉嘉不正确，佳佳正确 C．他俩都正确 D．他俩都不正确 2．（25-26九年级下·山东济南·自主招生）已知在中，，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川内江·期中）下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④若为锐角，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4. （26-27九年级上·江苏苏州·开学考试）如图，在中，，点为的中点，点为上一点，点D为上一点，，，若，，则的值______． 5.（2026·山东济南·中考真题）如图，平行四边形纸片中，，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕交于点，与交于点．若，则________． 拓展 链接中考 1．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·广东·中考真题）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 3. （2026·湖南长沙·中考真题）计算：． 4.（2022·江苏常州·中考真题）如图，在四边形中，，平分．若，，则______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 26.1锐角三角函数+26.2特殊角的三角函数值 目录 分层作业 A组巩固过关 题型01锐角三角函数的概念 题型02求角的三角函数值 题型03已知三角函数值求边长 题型04特殊角的三角函数 题型05根据特殊角的三角函数值求角的度数 题型06特殊角的三角函数值的混合运算 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01锐角三角函数的概念 1.C 2.B 3.A 4 3 题型02求角的三角函数值 5.B 6.C 7.A 8 3 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03已知三角函数值求边长 9.B 10.B 11.12 0 12.2 题型04特殊角的三角函数 13.D 14.A 15.等腰直角三角形 16.> 题型05根据特殊角的三角函数值求角的度数 17.B 18.C 19. 2 20.25°<∠A<70°. 题型06特殊角的三角函数值的混合运算 21.-2 22.【详解】(1)解：sin60°-tan30°·cos30°+tanm45° 323×3+1 232 =3.1+1 42 5 4 (2)解：-2+ sin36。.1j 2 -/4+tan 45 =2+1-2+1 =2 2 (3)解：，已知c是锐角，sina= 2 .a=45°， .3cos2a+sin(c-15°)tan(a+15)-3cos(a-15° =3× 2 +sin30°×tan60°-V3×cos30° 2 -3×号+号×33×3 22 2 2/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3+33 222 3 1+1 x2-1 23.解： X-2 3x-6 =-2+1 3x-2 x-2x-2x+1x-1 =-1 3x-2 x-2x+1x-1 =_3 x+1 当x=tan60°-2sin30=3-2×号-3-1时， 3 原式3-1+1 3 B组 能力进阶 2 1.D 2.A 3.A 4.4 5.V10. 6. cos65 7.【详解】(1)解：.CD=4m,CD=2DE, DE-CD-2m, (2)解：如下图所示，过点D作DF⊥AB于点F,过点C作CG⊥DF于点G, 则DE=CG,CE=DG, 在Rt△CDE中，DE=2m,CD=4m, ∴.CE=CD2-DE2=√42-22=23m, .∠ACB=45°，∠CAB=90°， .AB=AC, 设AC=Xm,则DF=AE=23+xm,BF=AB-AF=x-2m, 在Rt△BDF中，∠BDF=27°，DF=23+xm,BF=x-2m, :tan27°=BF DF 3/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·_水-2 x+2V3 ≈0.5， 解得：x=4+2V3≈7， ∴.塔的高度大约为7m. B D J27°G 145 E C A 8. 【详解】(1)解：，在△ABC中，∠ACB=90°， .'.cos A=AC3 AB 5 设AC=3x,则AB=5x, .'BC=A B2-AC2=4x, .BC=12 .4x=12,解得x=3, .∴.AB=15,AC=9, ,D是AB的中点， .CD-1AB-5 : (2)解：D是AB的中点， .BD-7AB-15 21 sac5an-,,吃c0-Bs*Acc, 1 BE=36 在Rt△BDE中，cOs∠ABE=BE=24 BD 25 9【详解】D解：0sin300=之sn60=nl900-309= 3 4/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 .sin230°+sin290°-30 3 2 =1 ②.sin45°= 2 2’ sin45o=sin900-45=32 .sin245°+sin290°-450 R22/22 22 =1 ∴.sin2+sin290°-c=1; (2)解：，sin2a+sin290°-a=1, ∴.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289° =sin21°+sin289o+sin22°+sin288o+·+sin244°+sin46o+sin245° =1+1+…+1+ 2 2 -1+1++1+2 =44+2 89 2 C组 思维拔高 一一一八-河 2 1.A 2.B 3.C 4.3 拓展 链接中考 1.B 2.6 3.解：2-tan45°+ 3 +(π-167)° =2-1+3+1 =5 6 4.6 5/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 616 分层作业 26.1锐角三角函数+26.2特殊角的三角函数值 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 锐角三角函数的概念 题型02 求角的三角函数值 题型03 已知三角函数值求边长 题型04 特殊角的三角函数 题型05 根据特殊角的三角函数值求角的度数 题型06 特殊角的三角函数值的混合运算 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 锐角三角函数的概念 1．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，形槽的深为，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】三线合一、正切的概念辨析 【分析】由等腰三角形的性质可得，，再结合正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 2．（26-27九年级下·全国·课后作业）在中，，则表示（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正弦的概念辨析、求角的正弦值 【分析】结合直角三角形中锐角三角函数的定义，判断给定边的比值对应的三角函数名称即可． 【详解】解：在中，， 为斜边， 的对边为， ． 3．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求角的余弦值、余弦的概念辨析、求角的正切值、正切的概念辨析 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，， ∴，，故A选项正确，符合题意． 4. （26-27九年级下·全国·单元测试）在中，，若，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正弦的概念辨析、求角的余弦值 【分析】根据得出，根据余弦函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∴． 题型02 求角的三角函数值 5．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，的三个顶点均在边长为的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】求角的正切值 【分析】构造直角三角形，利用正切定义求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点 ， 由网格可知 ，， 在 中，． 6．（26-27九年级下·全国·单元复习）在中，，，的对边分别是，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.86 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】先由勾股定理求得斜边长度，再根据锐角正弦的定义计算的值； 【详解】解：∵， ∴为斜边，由勾股定理得， ∴． 7. （26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，下列锐角三角函数表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴，，，． 8. 如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，，勾股定理求出，求出，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵三角形是等腰三角形，，点D为的中点， ∴，， ∴， ∵于点E， ∴ 即， ∴． 题型03 已知三角函数值求边长 9．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知正切值求边长 【分析】过A作轴于B，则，，在中，利用正切定义求解即可． 【详解】解：过A作轴于B， ∵点在第一象限， ∴，， 在中，， ∴，即． 10. （26-27九年级下·全国·单元复习）在中，，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正切值求边长 【分析】先由正切的定义求出直角边的长，再利用勾股定理计算斜边的长度； 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ． 11．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，已知，，且，则___________，___________． 【答案】 12 9 【难度】0.7 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正弦值求边长 【分析】先利用正弦的定义求出，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：∵在中，已知，，且， ∴，即，解得：， ∴． 12. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，点为正方形的边上一点，连接，，是的中线，若，则的长为______________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长、已知正弦值求边长 【分析】根据正方形性质得出，，利用直角三角形斜边中线性质得出，利用三角函数定义求出，利用勾股定理求出，进而可求出的长． 【详解】解：∵点为正方形的边上一点， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．． 题型04 特殊角的三角函数 13．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】求角的余弦值、特殊三角形的三角函数 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：由特殊角的三角函数值，得． 14．若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、由特殊角的三角函数值判断三角形形状、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】由已知可得，，从而可得，进而可得的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 15．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是______． 【答案】等腰直角三角形 【难度】0.85 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值求出的度数，进而确定出三角形的形状即可． 【详解】解：∵，都是锐角，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形． 16. （25-26九年级上·江苏苏州·期中）比较大小：___________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知角度比较三角函数值的大小 【分析】本题考查了锐角三角形的性质，根据锐角三角函数的性质，正弦函数在到范围内是单调递增的，即可得解，熟练掌握锐角三角形函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：因为正弦函数在区间到上单调递增，且， 所以， 故答案为：． 题型05 根据特殊角的三角函数值求角的度数 17. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】角度的四则运算、特殊三角形的三角函数、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】根据特殊角三角函数值，结合已知条件，得到的值并求出． 【详解】解：由，根据特殊角三角函数值得： ， 解得， 经检验是锐角，符合题意． 故选：B． 18. 三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】互余两角三角函数的关系、已知角度比较三角函数值的大小 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的特点．根据三角函数之间的关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 19. （26-27九年级下·全国·单元复习）在中，，，，则的值为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】特殊三角形的三角函数、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】先根据直角三角形边长关系得到的度数，再代入计算目标三角函数值． 【详解】解：如图所示，在中，，，， ∴， ， ∴． 20．若锐角满足，则的取值范围是 _____． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】互余两角三角函数的关系、根据三角函数值判断锐角的取值范围 【分析】首先根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型06 特殊角的三角函数值的混合运算 21.（25-26九年级下·辽宁大连·期末）计算： 【答案】 【难度】0.85 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的算术平方根、零指数幂、特殊三角形的三角函数、特殊角三角函数值的混合运算 【详解】解：原式 ． 22.（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）计算： (1)； (2)． (3)已知是锐角，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.71 【知识点】零指数幂、二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算、根据特殊角三角函数值求角的度数 【详解】（1）解： （2）解： （3）解：∵已知是锐角，， ∴， ∴ 23.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【难度】0.74 【知识点】分式化简求值、特殊角三角函数值的混合运算 【详解】解： 当时， 原式． B组 能力进阶 1. （26-27九年级下·全国·期末）如图，数轴上的点表示的数是1，在中，，以为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，连接，则等于（     ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】实数与数轴、用勾股定理解三角形、求角的正切值 【分析】利用勾股定理求出的长，进而求出，，即可解决问题． 【详解】解：∵数轴上的点A表示的数是1，，且， ∴， ∴， ∴． 2. （26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针旋转，当点恰好落在直线上时，得到，则旋转的最小度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.55 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】根据勾股定理求出的长，再由旋转的性质得：，再结合特殊角的三角函数值得出，即可求解． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴， 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转的最小度数为． 3. 已知，则（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用同角三角函数关系求值 【分析】本题考查同角三角函数的关系，理解锐角三角函数的意义是解决问题的关键． 设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c，则， ， ，由，得到，设，则，由勾股定理得，可得，或，，由得到，，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c， 则， ， ， ∵，即， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ∴， ∴，或，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 4. （26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上，平分，与轴交于点．若点的坐标为，，则的值是__________． 【答案】/0.25 【难度】0.65 【知识点】求点到坐标轴的距离、求角的正切值 【分析】过点作x轴的垂线段交x轴于点，根据点的坐标求出，的长，在中根据正切的概念求出，再根据角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：过点作x轴的垂线段交x轴于点， ∵点的坐标为， ∴，， 又∵， ∴， ∴在中，． ∵平分， ∴， ∴． 5. （26-27九年级上·广东深圳·自主招生）在中，已知，，，则_________________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】先通过边长验证角为直角，再利用正弦定理对进行边角转化计算． 【详解】解：∵，，， ∴， 是直角三角形，其中是斜边， ∴ ． 6. （25-26九年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、特殊三角形的三角函数、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】延长三角形玻璃破损的两条边，交于点，过点作于点，先在直角中，求出的长度，再在直角中，求出的长度即可． 【详解】解：如图，延长三角形玻璃破损的两条边，交于点，过点作于点， ， ， 在直角中， ，，， ， ， ， ， ， 在直角中， ，，， ． 7. （2026·河南安阳·二模）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（结果取整数）（参考数据：，） 【答案】(1)； (2) 【难度】0.62 【知识点】已知正切值求边长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）根据，，即可求出的长度； （2）过点作于点，过点作于点，利用勾股定理即可求出，设，则，，利用可得方程，解方程求出的值即可得到塔的高度． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：如下图所示，过点作于点，过点作于点， 则，， 在中，，， ， ，， ， 设，则，， 在中，，，， ， ， 解得：， 塔的高度大约为． 8．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，D是的中点，过点B作直线的垂线，垂足为点E． (1)计算线段的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、求角的余弦值、已知余弦求边长 【分析】（1）先利用余弦定义和勾股定理求得，再根据直角三角形斜边上的中线性质求解即可； （2）先根据三角形的中线平分该三角形的面积求得，在中，利用余弦定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ． 设，则， ， ． ，解得， ，， ∵D是的中点， ； （2）解：∵D是的中点， ∴， ，即， ∴， ． ∴在中，． 9. （26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）观察下列等式： ①，；②，；③，． (1)根据上述规律，计算 [注：]． (2)求的值 【答案】(1)1 (2) 【难度】0.65 【知识点】互余两角三角函数的关系 【分析】（1）根据所给等式总结即可； （2）根据（1）中结论计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵， ∴， ∴； ； （2）解：∵， ∴ ．． C组 思维拔高 1．如图，的边长分别为1，，2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画，使得，其相似比．嘉嘉说：“k的值有3个．”佳佳对嘉嘉说：“k不能取．” 对他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，佳佳不正确 B．嘉嘉不正确，佳佳正确 C．他俩都正确 D．他俩都不正确 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、相似三角形的判定与性质综合、在网格中画与已知三角形相似的三角形、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】根据题意可得，在正六边形网格找与相似的三角形，即找三边的比值为的直角三角形，分析图形可得共三种情况，即可解答． 【详解】解：∵的边长分别为1，，2，即，，， ∴，即 ∴为直角三角形， ∵ ∴，． 在正六边形网格中作出三边比为的直角三角形，如图所示： 在中，，故相似比； 在中，，故相似比； 在中，，故相似比； ∴k可取，，． 综上所述，嘉嘉正确，佳佳不正确． 2．（25-26九年级下·山东济南·自主招生）已知在中，，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.45 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、三角形三边关系的应用、三角形内角和定理的应用、根据三角函数值判断锐角的取值范围 【分析】根据题意解得、、的度数，进而根据余弦定理判断、选项，根据三角形的边和角的关系判断选项，根据正弦定理和三角函数的三倍角公式解得，进而判断选项． 【详解】解：由题意可得，， 设，则，， ，解得， ，， ， 由余弦定理可得，， 即， ， 选项错误，选项正确； 大角对大边，可知， 选项错误； ， ， 由三角函数的三倍角公式可得，， 由正弦定理可得，， 当时，， ， 解得， ，与矛盾，故选项错误． 3．（25-26九年级上·四川内江·期中）下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④若为锐角，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.55 【知识点】互余两角三角函数的关系、特殊角三角函数值的混合运算、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查三角函数的基本性质，包括特殊角的值和余角恒等式． 通过直接计算和恒等式变换判断各结论的正确性． 【详解】解：∵ ， ∴，故①错误； ，故②正确； ∵ ，即根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦， ∴ ，故③正确； ∵ ，且为锐角，，结合根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦， ∴ ， ∴ ，故④正确； 综上，正确的结论有②、③、④，共3个， 故选：C． 4. （26-27九年级上·江苏苏州·开学考试）如图，在中，，点为的中点，点为上一点，点D为上一点，，，若，，则的值______． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】先证，得到，然后可得，再设，则，利用勾股定理求出，然后由正切的定义求解． 【详解】解：， 而，， ， 又 ， ， ， 又 点是的中点， ∴， ， 在 中，设，则， ， ． 5.（2026·山东济南·中考真题）如图，平行四边形纸片中，，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕交于点，与交于点．若，则________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题、三角函数综合、特殊三角形的三角函数 【分析】点M作，交的延长线于点K，设，则，根据勾股定理，求得，；继而就可以确定；过点E作于点H，证明，继而得到，解答即可． 【详解】解：如图，过点M作，交的延长线于点K，根据折叠的性质，得， 由平行四边形纸片中，，，， ，，， ， 设，则， ，， ， ， ， 根据勾股定理，得， 解得， ∴； ，， ， ； 过点E作于点H， ，，， 由平行四边形纸片中，， 则， 根据折叠的性质，得， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 拓展 链接中考 1．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求角度、根据正方形的性质求线段长、求角的正切值 【分析】设正方形的边长为，则，利用正方形性质求出、的长及，在中利用正切定义求解． 【详解】解：连接，如图： 设， ∵四边形和是正方形，， ∴，，， ∴，， ∵、分别是正方形、的对角线， ∴，， ∴， ∴在中，． 2．（2026·广东·中考真题）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【答案】6 【难度】0.75 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、已知正切值求边长 【分析】根据余角的性质及已知条件推导出， 再根据锐角三角函数的定义在中计算的长即可． 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 3. （2026·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数 【详解】解： 4.（2022·江苏常州·中考真题）如图，在四边形中，，平分．若，，则______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、求角的正弦值 【分析】过点作的垂线交于，证明出四边形为矩形，为等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解． 【详解】解：过点作的垂线交于， ， 四边形为矩形， ， ， 平分， ， ， ， ∴∠CDB=∠CBD ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $