1.1 锐角三角函数（分层作业·练题型）数学新教材浙教版九年级下册

分层作业 1.1 锐角三角函数 目 录 A组 巩固过关 题型01 正弦概念的认识 题型02求角的正弦值 题型03 已知正弦值求边长 题型04 余弦概念的认识 题型05 求角的余弦值 题型06 已知余弦值求边长 题型07 正切概念的认识 题型08 求角的正切值 题型09 已知正切值求边长 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 正弦概念的认识题型01 一、单选题 1．符号sinA表示（　　） A．∠A的正弦 B．∠A的余弦 C．∠A的正切 D．∠A的余切 2．在中，，那么锐角的正弦等于（      ） A． B． C． D．． 3．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于sinA的是：（     ） A． B． C． D． 4．在中，，则表示（     ） A． B． C． D．以上都不对 5．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的倍，则的正弦值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 7．如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．锐角的_______统称为锐角的三角函数． 10．如图，在 中，．（1）斜边 ________________ ；（2） 的对边 ________________；（3） 的邻边 ________________；（4） ________________． 三、解答题 11．如图，在中，，点D在边上，连接，．请你用尺规作图法在边上找一点E，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 求角的正弦值题型02 一、单选题 1．在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在下列网格中小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是（     ） A． B． C． D． 4．如图，菱形的对角线，相交于点，为的中点，，，那么（     ） A． B． C． D． 5．如图，线段，相交于点，其顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，M是x轴正半轴上一点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知菱形的面积为20，对角线，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C都在格点上，过A、B、C三点的圆与网格线交于点D，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，点是斜边的中点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，是边上的中线，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在矩形中，，，E是边的中点．连接，过点E作交于点F，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．的三边长分别为，，，若，则最小角的正弦值为________． 14．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为________． 15．如图，P是一边上的点，点P的坐标为，则__________． 16．如图，是的外接圆，半径为，弦，则______． 17．在矩形中，对角线、交于点，过作，垂足为点，若，则的正弦值为________ 18．如图，在正方形网格中，格点的面积为，则________． 19．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为，“矢”为，则的值为_______． 20．如图，在半径为的中，直径与弦相交于点E，连接，，若，则_____． 三、解答题 21．如图，在中，，． (1)可以由哪两条线段之比表示? (2)若，，求的值． 22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； (2)直接写出点的坐标为________，的值为________． 23．如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为E，折痕交边于点F．若，求的值． 已知正弦值求边长题型03 一、单选题 1．在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 2．在中，已知，，，则长为（　　） A．12 B．26 C．24 D．13 3．如图，市政府准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的正弦值为，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 4．在中，，则（    ） A．12 B．14 C．15 D．16 5．如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，且，若，则的长为（    ） A． B．6 C． D． 6．如图，在菱形中，，，则的长度为（  ） A． B． C．5 D． 二、填空题 7．在中，，，，则边的长为________， 8．如图，在中，．若，，则_________． 9．如图，是的弦，半径，，则弦的长为______． 10．如图，在中，，垂足为E．若，则BC的长为_______． 11．如图，点为正方形的边上一点，连接，，是的中线，若，则的长为______________． 12．如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． 三、解答题 13．如图，在中，，，，点在的延长线上，，求的长． 14．在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积．（结果都保留根号） 15．如图，在中，已知，， (1)求的长； (2)求的面积． 16．如图，在中，，以为圆心，适当长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，过点作． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 余弦概念的认识题型04 一、单选题 1．cosα表示的是(　　) A．一个角 B．一个实数 C．一个点 D．一条射线 2．在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 3．如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 4．在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 C．都没有变化 D．不能确定 5．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有______个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 三、解答题 10．如图，在中，．请用尺规作图法在线段上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 求角的余弦值题型05 一、单选题 1．在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中点，连接，若与x轴正半轴夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，则的值为（） A． B． C． D． 4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．如图，若该弧田的面积为，“弦”为8，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，那么（     ） A． B． C．1 D． 8．如图，的顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形纸片中，，将沿折叠到位置，交于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在边长为1的正方形网格中，，，，，是正方形网格上的五个点，若半径为1的与线段交于点，则的余弦值是（    ） A． B．2 C． D． 二、填空题 11．已知在中，，为斜边中线，，，则______． 12．如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． 13．在等腰中，，，则的值是______． 14．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则___________． 15．如图，是的直径，是的弦．若，则________． 16．如图，在中，，点为边的中点，连接，若，，则的值为___． 17．如图，是的外接圆，是的直径．若，弦，则的值为_________． 18．如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，线段与线段交于点O，则的余弦值是______． 三、解答题 19．在中，，，，求． 20．如图，已知是的外接圆，是的直径，为的弦，且，点为的中点，连接，交于点，． (1)求的半径； (2)连接，求的值． 已知余弦值求边长题型06 一、单选题 1．在中，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，则的长是（    ） A． B．4 C． D．9 4．如图，在中，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D． 5．在直角三角形中，，，，则的长为（    ） A．5 B．10 C．12 D．24 6．如图所示，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．2 7．如下图所示，在矩形中，于点，设，且，，则的长为（    ）    A．3 B． C． D． 二、填空题 8．在中，，的余弦值是，，那么的长为______． 9．如图，在中，是边上的高，，，那么的长是_______． 10．如图，在中，，，，点是的中点，则的长为___________． 11．如图，是半圆的直径，点在半圆上，过点作于点．已知，，则的长为__________． 三、解答题 12．如图，已知，在中，，，求的值． 13．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，其中，点在轴上，，． (1)求线段的长； (2)求点的坐标． 14．如图，在中，，过点作边上的高线，． (1)求的长； (2)若，求的长． 15．如图，在中，是边的中点，，垂足为点．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 16．如图，在中，，通过尺规作图，小明作出了线段、射线，依据作图痕迹： (1)判断下列结论正确的是_________． ①；②； ③．请填写编号） (2)如果，求的长． 正切值的认识题型07 一、单选题 1．在中，若，则表示的（     ） A．正弦 B．正切 C．余弦 D．坡角 2．在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，于点，下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 6．如图，在中，，，，，则(    ) A． B． C． D． 7．在中，如果，那么表示的（  ） A．正弦 B．余弦 C．正切 D．不能确定 8．如图，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，且a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则tanA等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．把的对边与邻边的比叫做的_____，记作_____，即_____ 求角的正切值题型08 一、单选题 1．在中，，如果，那么的值是（     ） A． B．2 C． D． 2．如图，数轴上的点表示的数是1，在中，，以为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，连接，则等于（     ） A． B． C．2 D． 3．如图，在中，若，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 4．如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 6．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点，则的值为（   ） A． B． C． D．2 7．如图，菱形的对角线与相交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 8．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 9．如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则 （  ） A． B． C． D． 10．如图，为的直径，弦相交于点P．如果，那么（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，正方形是由4个全等的正方形和4个全等的矩形拼接而成．若矩形的对角线与长边的夹角为，则的值是_________． 12．如图，已知中，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于、两点，连接交于．连接，则_________． 13．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为________． 14．如图，的顶点都在的方格纸的格点上，则的正切值为___________ 15．如图，个全等的小正方形放置在中，则的值是_______． 16．如图，在中，于点C，为直径，连接．若，，则______． 17．如图，为矩形纸片的边上一点，将纸片沿折叠，使点落在边的中垂线上，，则______________． 18．如图，在中，，，是的角平分线，则的值为_______． 19．如图，在菱形中，与交于点，，，则的值为___________． 20．如图，将矩形沿（点E在边上）折叠，使点B落在边上的点F处，若，则_______． 三、解答题 21．如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 22．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在图中找到D点，连接，使（D为格点）； (2)连接，则线段的长为________； (3)若E为的中点，求的值． 23．如图，在中，，，斜边上的中线，求的值． 24．如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接．若，求的值． 25．如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且． (1)求证：； (2)若，求的值． 已知正切值求边长题型09 一、单选题 1．如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 2．在中，，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，是的边上的高，若，，则边的长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．如图，在边长为4的正方形中，E为边上一点，交于F，已知，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．在中，，，，则的长为______________． 6．在正方形中，点E在直线上，，．则的长为_____． 7．在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 8．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______． 三、解答题 9．在中，，，，求和的长． 10．如图，在中，，平分交于点，过点作，于点，于点，于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是(     ) A． B． C． D． 3．如图，已知的直径为10，锐角内接于，于点D，，则的值等于（     ） A． B． C． D． 4．如图，在等腰直角中，，，D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．如图，点，，在上，是的一条弦，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，的垂直平分线交 于点 ， 、为垂足，若，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．在中，，，，则的长为___________． 8．在如图所示的正方体中，的值为_______，的值为_______，的值为_______． 9．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的正弦值为________． 10．如图，小明先将矩形纸片沿对角线剪开，再将纸片沿方向平移到处，与重合，连接．若，，则的值为__________． 11．如图，在正方形中，连接、，相交于点O，E为中点，连接，则的值为____． 三、解答题 12．如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 13．在学习北师版九年级下册第一章时，小华同学对一个角与其倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，并进行了研究． (1)【实践探究】在解决“如图①，若在中，，，，求的值”这一问题时，小华想构造包含的直角三角形，延长到点，使，连接，则，即转化为求的正切值．请按小华的思路求出的值． (2)【拓展延伸】如图②，若在中，，，，则： ①的值为 ； ②的值为 ． 14．如图，以的边为直径作，交边于点，过点作交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．综合与实践：某学校数学兴趣小组以“折纸求特殊角三角函数值”为主题，开展学习实践活动． 【观察理解】按照如图1所示的方法将正方形纸片依次折叠，展开后如图2所示，折痕分别为、、． (1)【操作体验】如图3，在正方形中，请先连接，再分别作出折痕、（要求：用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)【问题解决】直接写出的度数和的值． 一、解答题 1．如图是由的小正方形组成的网格，、、都是格点，仅用无刻度的直尺在下列给定的网格中完成画图． (1)在图1中，画线段，使得，且； (2)在上画点，使得； (3)直接写出的值：_______． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，E，F分别是边和对角线上的点，连接，，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 3．如图，矩形中，点在边上，与的延长线交于，是的中点，的延长线与交于． (1)求证：； (2)若，，试求的值． 4．在四边形中，对角线交于点，，，． (1)如图1，①求证：；②求证：； (2)如图1，若，，求的长度； (3)如图2，若，直接写出的值（用含的式子表示）． 5．探究图形中线段之间的关系，并完成以下问题 (1)问题背景  如图，点在上，，，，求证：． (2)尝试应用  如图，在中，点在边上，将沿折叠得到，且点恰好为边的中点，求的值． (3)拓展创新  如图，在菱形中，点，分别在，边上，，，，．请直接写出的值． 一、单选题 1．如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 4．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则________． 三、解答题 5．在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1 锐角三角函数 目 录 A组 巩固过关 题型01 正弦概念的认识 题型02 求角的正弦值 题型03 已知正弦值求边长 题型04 余弦概念的认识 题型05 求角的余弦值 题型06 已知余弦值求边长 题型07 正切概念的认识 题型08 求角的正切值 题型09 已知正切值求边长 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 正弦概念的认识题型01 一、单选题 1．符号sinA表示（　　） A．∠A的正弦 B．∠A的余弦 C．∠A的正切 D．∠A的余切 【答案】A 【分析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案． 【详解】符号sinA表示∠A的正弦． 故选：A． 【点睛】考查了锐角三角函数的定义．在Rt△ABC中，∠C=90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 2．在中，，那么锐角的正弦等于（      ） A． B． C． D．． 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数的定义可直接得出结果． 【详解】在中，，那么锐角的正弦=， 故选：B． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，需要熟练掌握锐角三角函数的定义． 3．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于sinA的是：（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质推出∠A＝∠BCD，然后根据三角函数的定义，针对各选项在不同的直角三角形中分析解答即可． 【详解】∵CD是斜边AB的高， ∴CD⊥AB， ∴∠A＋∠ACD＝90°， 又∵∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， A、在Rt△ABC中，sinA＝，故本选项正确； B、在Rt△ACD中，sinA＝，故本选项正确； C、在Rt△BCD中，sin∠BCD＝，故本选项错误； D、在Rt△BCD中，sin∠BCD＝＝sinA，故本选项正确； 故选C． 4．在中，，则表示（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】结合直角三角形中锐角三角函数的定义，判断给定边的比值对应的三角函数名称即可． 【详解】解：在中，， 为斜边， 的对边为， ． 5．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的正弦值，根据正弦值的定义即可得出答案，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键． 【详解】解：在中，，， 故选：C． 6．在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的倍，则的正弦值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数的定义，理解相似三角形中对应角不变，三角函数值不变是关键． 根据三角函数的定义，正弦值是对边与斜边的比值，当三边都扩大相同倍数时，比值不变． 【详解】∵在中，， ∵三边都扩大为原来的3倍，则新三角形中，对边变为，斜边变为， ∴， ∴的正弦值不变． 故选：C． 7．如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义即可判断A，B，再在中，利用锐角三角函数的定义即可判断C，最后利用同角的余角相等可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义即可求出，即可判断D． 【详解】解：∵， ∴， 在中， 故A、B不符合题意； 在中，， 故C符合题意； ∵，， ∴， 在中，， ∴， 故D不符合题意； 故选：C． 8．如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角的余角相等可得，在三个直角三角形中由正弦函数的定义即可确定答案． 【详解】，， ， ， ； 故正确的是B选项； 故选：B． 二、填空题 9．锐角的_______统称为锐角的三角函数． 【答案】正弦、余弦、正切 【分析】根据初中所学三角函数的种类直接填写即可得到答案． 【详解】解：锐角的正弦、余弦、正切统称为锐角的三角函数． 10．如图，在 中，．（1）斜边 ________________ ；（2） 的对边 ________________；（3） 的邻边 ________________；（4） ________________． 【答案】 c b a 【分析】根据各边名称定义写出每边的代号即可． 【详解】（1）直角三角形的斜边为最长边c （2）∠B的对边是∠B正对的边b （3）∠B的邻边是a， （4）∠B的对边比斜边即等于b÷c= 故答案为①c②b③a④ 三、解答题 11．如图，在中，，点D在边上，连接，．请你用尺规作图法在边上找一点E，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图所示，点E即为所求： 【分析】本题考查了尺规作图—垂线和正弦的定义，作出正确的图形是解决本题的关键．以点D为圆心，以任意长为半径作弧交于点F和点G，以F为圆心，以大于为半径作弧，以G为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于一点H，连接射线交于点E，由作图可得，为的垂线，可得，进而即可得到，再利用正弦的定义即可说明． 【详解】由作图得， ， ， ，， ， ． 求角的正弦值题型02 一、单选题 1．在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由勾股定理求出，然后由正弦函数值定义代入具体值计算即可． 【详解】解：在中，，，，则由勾股定理可得， 则． 2．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的意义即可求出． 【详解】解：如图，设，则，    ∵， ∴， ∴． 3．如图，在下列网格中小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，用勾股定理先求出，的长，利用面积法求出的长，由即可得． 【详解】解：过点作于点， ，， ， ， ， ． 4．如图，菱形的对角线，相交于点，为的中点，，，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由四边形是菱形，得，，，可得,再结合为的中点，得，故，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在中，. 5．如图，线段，相交于点，其顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由网格可知，所以 ，又，，所以，得，从而有，然后通过特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：如图， 由网格可知，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的正弦值等于． 6．如图，在平面直角坐标系中，M是x轴正半轴上一点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图：过P作于N，利用点P的坐标以及勾股定理可得，再利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图：过P作于N， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． 8．如图，已知菱形的面积为20，对角线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点，首先根据菱形的性质以及菱形面积公式确定的长度，再利用勾股定理解得的值，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如下图，连接，交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵菱形的面积为20，且， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C都在格点上，过A、B、C三点的圆与网格线交于点D，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为同弧所对的圆周角相等，可将求转化为求．根据网格的坐标特征，计算、、的长度，利用正弦的定义，即直角三角形中角的对边与斜边的比值，计算的值． 【详解】∵和都对弧， ∴，即． 根据每个小正方形边长为1，则 ，， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 10．如图，在中，点是斜边的中点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，计算即可； 【详解】解：在中，，点是斜边的中点， ， ， ， ， ． 11．如图，在中，，是边上的中线，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正弦的定义以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得到，即可求出，再根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：是边上的中线，， ， 在中，， 在中，， 故， 故选C． 12．如图，在矩形中，，，E是边的中点．连接，过点E作交于点F，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，列出比例式求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出，的长，再利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，， ∴， ∴． 二、填空题 13．的三边长分别为，，，若，则最小角的正弦值为________． 【答案】 【分析】根据边长平方的比例关系设参数，先判断三角形形状，再根据大边对大角确定最小角，最后利用正弦的定义即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴最短边为，其所对的为最小角，最长边为， 设（），则，， ∴， ∴为直角三角形，最大角为， ∴． 14．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为________． 【答案】 【分析】根据图形可以得到，，，，然后根据勾股定理可以得到的长，从而可以计算出的值． 【详解】解：如图， 由图可得，，，，， ∴， ∴． 15．如图，P是一边上的点，点P的坐标为，则__________． 【答案】 【分析】过P作轴于E，首先利用勾股定理计算出的长，然后再求出的正弦值即可． 【详解】解：过P作轴于E， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．如图，是的外接圆，半径为，弦，则______． 【答案】/ 【分析】连接，，得到是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得为的中点，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得出，计算答案即可． 【详解】解：连接，， ， 是等腰三角形， 作，垂足为， ，， ， ． 17．在矩形中，对角线、交于点，过作，垂足为点，若，则的正弦值为________ 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，设，再得出，进而在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，再根据锐角正弦的定义计算的正弦值． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ， ， ，即是直角三角形， ∴， ∴． 18．如图，在正方形网格中，格点的面积为，则________． 【答案】/0.6 【分析】过点作于，设小正方形的边长为，则，解得，然后由勾股定理表示出，，则由三角形面积公式求出，再由正弦的定义求解即可． 【详解】解：过点作于， 设小正方形的边长为，则， 解得（舍负） 则， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． 19．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为，“矢”为，则的值为_______． 【答案】 【分析】作于点，交圆弧于点，利用垂径定理和勾股定理构建方程求出，，利用正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，作于点，交圆弧于点， 由题意可得， 设，则， ∴， ∵，为半径， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∴． 20．如图，在半径为的中，直径与弦相交于点E，连接，，若，则_____． 【答案】/0.8 【分析】连接，根据同弧所对的圆周角相等可得，，再根据勾股定理可求得，最后根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：连接， 和是所对的圆周角， ， 是的直径， ，， ， ． 三、解答题 21．如图，在中，，． (1)可以由哪两条线段之比表示? (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明，再结合正弦的定义计算即可得出结果； （2）由勾股定理可得，再结合正弦的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：在中，由勾股定理，得， ． 22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； (2)直接写出点的坐标为________，的值为________． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据位似的定义作图； （2）证明，结合位似的性质和三角函数计算． 【详解】（1）略 （2）点的坐标为； 由题意知，， ，，， ∴， ∴， ∴． 23．如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为E，折痕交边于点F．若，求的值． 【答案】 【分析】由折叠可知，根据矩形性质得，继而求出，结合已知即可求出； 【详解】解：由折叠，得 ， 在矩形纸片中，， ∵，， ∴， ∴； 已知正弦值求边长题型03 一、单选题 1．在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】已知直角三角形斜边与一锐角的正弦值，利用锐角正弦的定义建立边的关系求解． 【详解】解：在中，． ，，， ． 2．在中，已知，，，则长为（　　） A．12 B．26 C．24 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，利用正弦的定义即可求出． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：B． 3．如图，市政府准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的正弦值为，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是解直角三角形的应用．在中，通过已知边和已知角的正弦值，即可计算出未知边的长度． 【详解】解：在中，， ∵， ； 故选：C． 4．在中，，则（    ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】过点作，交于点，在中，由，可求出，根据勾股定理可求出，根据，得到，即可求出的长度． 【详解】解：如图，过点作，交于点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，且，若，则的长为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得，得到，利用正弦函数的定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．如图，在菱形中，，，则的长度为（  ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、锐角三角函数等知识，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 连接交于点O，根据四边形是菱形，可得， ，，，再用锐角三角函数求解即可得出结论． 【详解】解：如图， 连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ，，， ∴， ∴在中， ， ∴． 故选：A． 二、填空题 7．在中，，，，则边的长为________， 【答案】12 【分析】本题考查利用正弦函数值求线段长．根据三角函数正弦值列方程求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ，即， 解得， 故答案为：12． 8．如图，在中，．若，，则_________． 【答案】12 【分析】过点C作于点D，根据等腰三角形性质得到，，根据，得到，根据勾股定理得，即可得到答案. 【详解】解：过点C作于点D， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．如图，是的弦，半径，，则弦的长为______． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，解直角三角形，作，得到，解求出的长即可得出结果． 【详解】解：作，则：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 10．如图，在中，，垂足为E．若，则BC的长为_______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据同角的余角相等可得，那么两角的正弦值相等，由此可求出的长． 【详解】解： ． ， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，点为正方形的边上一点，连接，，是的中线，若，则的长为______________． 【答案】 【分析】根据正方形性质得出，，利用直角三角形斜边中线性质得出，利用三角函数定义求出，利用勾股定理求出，进而可求出的长． 【详解】解：∵点为正方形的边上一点， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． 【答案】 【分析】过作于点，则，由四边形是平行四边形，得，，证明，所以，，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题 13．如图，在中，，，，点在的延长线上，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，根据正弦的定义可求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在中，∵，， ∴， 在中，由勾股定理，得． 14．在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积．（结果都保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角函数，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据三角函数得到，证明是等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理求出，进而求出，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点D， 在中，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：在中，， ， ， ， 的面积为． 15．如图，在中，已知，， (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了锐角三角函的应用，等腰直角三角的性质，勾股定理的应用，特殊角的三角函数值一定要熟记． （1）延长，过点B作，E为垂足，求出，根据三角形内角和得到，根据三角函数求出，根据计算即可； （2）根据勾股定理求出，则，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，延长，过点B作，E为垂足， 在中，已知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：在中根据勾股定理得，， ， 的面积是 16．如图，在中，，以为圆心，适当长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，过点作． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的度数，再根据角平分线的尺规作图可得是的角平分线，进而可得的度数，然后根据三角形的外角性质求解即可； （2）先根据角平分线的性质定理可得，再解直角三角形可得的长，由此即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 由题意得：是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 又∵是的角平分线，，且， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 余弦概念的认识题型04 一、单选题 1．cosα表示的是(　　) A．一个角 B．一个实数 C．一个点 D．一条射线 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义可得出选项． 【详解】由三角函数的定义可知，三角函数是线段的比值，所以三角函数是一个实数， 故选B． 2．在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中锐角余弦的定义，需明确的邻边与斜边，再根据余弦定义判断选项． 【详解】解：如图，在中，， ∴ 故选：B． 3．如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，根据确定斜边与的邻边，利用余弦定义求解． 【详解】解：在中，， 为斜边，为的邻边， ． 4．在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 C．都没有变化 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确锐角三角函数的定义，知道变化前后的两个三角形相似．根据一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍，可知扩大后的度数没有发生变化，可以判断是否变化． 【详解】解：一个的三边的长都扩大为原来的2倍， 的度数没有发生变化， 锐角的正弦值、余弦值没有变化， 故选：C 5．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 6．如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余弦的定义，根据锐角三角函数的定义解答即可，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由， ∴是， 故选：． 7．如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可推出、、均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出即可. 【详解】解：如图，、、均为直角三角形， A、在中，故A可以表示； B、在中，故B可以表示； C、不能表示 D、，，，在中，，故D可以表示； 故选：C. 8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】A．∵CD⊥AB， ∴∠CDB=∠ADB=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD， 在Rt△ACD中，cos∠ACD=， ∴cosB=， 故A不符合题意； B．在Rt△DBC中，cosB=，故B不符合题意； C．在Rt△DBC中，cos∠BCD=， ∵∠A≠45°， ∴∠B≠45°， ∴∠B≠∠BCD， ∴cosB≠， 故C符合题意； D．在Rt△ABC中，cosB=，故D不符合题意； 故选：C． 二、填空题 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有______个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 【答案】3 【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高， ∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴cosA＝＝＝． 故（1），（2），（4）正确． 故答案为：3． 三、解答题 10．如图，在中，．请用尺规作图法在线段上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 点E为所求： 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，余弦的定义，等腰三角形的性质，根据题意只需作出的垂直平分线，得到为等腰三角形，利用等腰三角形的性质得，即． 【详解】解：如图所示，以点A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，交于两点，连接这两点班延长分别交于点E，D，点E为所求； 是的垂直平分线， ， ． 求角的余弦值题型05 一、单选题 1．在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据余弦的定义计算的值即可． 【详解】解：由题可得图， ∵在中，，，， ∴由勾股定理得 ， 根据余弦定义可得 ． 2．如图，在平面直角坐标系中点，连接，若与x轴正半轴夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出和的长是解此题的关键．过P作轴于N，根据点P的坐标求出和，解直角三角形求出即可． 【详解】解：过P作轴于N，则，    ∵点， ∴，，， ∴， 故选：B． 3．如图，在中，，，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，用等腰三角形三线合一的性质求出的长，再根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ， ， 在中， ． 4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．如图，若该弧田的面积为，“弦”为8，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，先求出，再根据弧田的面积公式可得的值，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：公式中的“矢”等于， ∵弧田的面积为，“弦”为8， ∴，， 解得或（不符合题意，舍去）， 设，则， 在中，，即， 解得， 即， ∴． 5．如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形的长为，宽为，则小正方形的边长为，根据大正方形的边长相等列出方程求出与的关系，利用勾股定理求出矩形对角线长，根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：设矩形的长为，宽为，则小正方形的边长为， 由图可知，大正方形的边长，边长， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴， ∴矩形的对角线长为， ∵是矩形对角线与长边的夹角， ∴． 6．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线与坐标轴交点、的坐标，得出、的长，利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：令，则，解得， ，即． 令，则， ，即． 在中，由勾股定理得：． ． 7．我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，那么（     ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据两个正方形的面积可得，，设，得到，由勾股定理得，解方程可得x的值，从而解决问题． 【详解】解：∵大正方形的面积是100， ∴． ∵小正方形的面积是4， ∴小正方形的边长为2， ∴， 设， 则， ∵正方形， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得或（负值舍去）， ∴，， ∴． 8．如图，的顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到格点，连接，可得，再根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：连接，如下图： 由题意可得：， 由勾股定理可得：，， ． 9．如图，在矩形纸片中，，将沿折叠到位置，交于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可知，，，， ∴在和中，， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得：，则， ∴． 10．如图，在边长为1的正方形网格中，，，，，是正方形网格上的五个点，若半径为1的与线段交于点，则的余弦值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先在中，利用勾股定理可得，从而可得，，再根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：由题意得：是直角三角形，，， ∴， ∴， 由圆周角定理得，， ∴． 二、填空题 11．已知在中，，为斜边中线，，，则______． 【答案】/0.8 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上中线的性质得到，推出，最后利用锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】解：如图： ∵在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵为斜边中线， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． 【答案】/ 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，，勾股定理求出，求出，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵三角形是等腰三角形，，点D为的中点， ∴，， ∴， ∵于点E， ∴ 即， ∴． 13．在等腰中，，，则的值是______． 【答案】 【分析】过点作于点，得，，由勾股定理得，从而可求出． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴，， 在中，，， ∴， ∴． 14．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则___________． 【答案】/ 【分析】先利用格点构建，则，根据勾股定理可计算出，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：如图：在中，， ∴， ∴． 15．如图，是的直径，是的弦．若，则________． 【答案】 【分析】先由是的直径推出，再由等弧所对的圆周角相等，推出，求即可． 【详解】解：为的直径， ∵， ， ． 16．如图，在中，，点为边的中点，连接，若，，则的值为___． 【答案】 【分析】本题主要考查直角三角形的边角关系，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出 ，再根据求解即可． 【详解】解：∵在中，，点D为边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 17．如图，是的外接圆，是的直径．若，弦，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】连接，根据圆周角定理可得，，利用勾股定理计算出后，再结合余弦函数的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， 由勾股定理可得， 在直角中，， ∵， ∴， ∴． 18．如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，线段与线段交于点O，则的余弦值是______． 【答案】 【分析】把向上平移2个单位长度，得到线段，连接，取点G，连接，交于点F，可得，，由垂直平分，得，得，即得答案． 【详解】解：把向上平移2个单位长度，得到线段，连接，取点G，连接，交于点F， 则， ∴， ∵ ， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 19．在中，，，，求． 【答案】 【分析】画出图形，先由勾股定理求出，再根据三角函数的定义求解． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∴． 20．如图，已知是的外接圆，是的直径，为的弦，且，点为的中点，连接，交于点，． (1)求的半径； (2)连接，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理得到，，设，则，利用勾股定理求出，即可得到答案； （2）证明，得到，求出，，即可求得答案． 【详解】（1）解：点为的中点， ，， 设，则， ， ， 解得， 的半径为； （2）解：如图，由（1）得，，， ， 是的直径， ， ， ， ， 在中，， , ． 已知余弦值求边长题型06 一、单选题 1．在中，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据余弦的定义得到与的关系，设未知数后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 又，即， 解得， 则． 2．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 3．如图，在中，，则的长是（    ） A． B．4 C． D．9 【答案】A 【分析】利用三角函数求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， ∴． 4．如图，在中，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】过点A作于点，由三线合一的性质得出，再根据余弦的定义求出，进而求出． 【详解】解：过点A作于点D， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 5．在直角三角形中，，，，则的长为（    ） A．5 B．10 C．12 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形．在直角三角形中，余弦值定义为邻边与斜边的比，即 【详解】解：，且， ， ． 故选：B． 6．如图所示，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，作垂线(尺规作图)，等腰三角形的性质．由锐角的余弦定义得到，据此求解即可． 【详解】解：由作图知，， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 7．如下图所示，在矩形中，于点，设，且，，则的长为（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义．根据同角的余角相等求出，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵矩形中，， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题 8．在中，，的余弦值是，，那么的长为______． 【答案】16 【分析】本题考查余弦定义，熟知在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比是解答的关键．根据余弦的定义得到，代入已知值求解即可． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， 解得 ． 故答案为：16． 9．如图，在中，是边上的高，，，那么的长是_______． 【答案】2 【分析】本题考查三角形的三角函数，掌握知识点是解题的关键． 先求出，则，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 10．如图，在中，，，，点是的中点，则的长为___________． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解决本题的关键． 先根据锐角三角函数的边角间关系，求出的长，再根据直角三角形的斜边中线与斜边的关系得结论． 【详解】  解：在中，   ∵，，   ∴．   ∵M是的中点，   ∴， 故答案为3 11．如图，是半圆的直径，点在半圆上，过点作于点．已知，，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知余弦求边长，勾股定理等知识点，熟练掌握余弦的定义及勾股定理是解题的关键． 由可得，再利用勾股定理得出，于是得解． 【详解】解：∵过点作于点，且， ∴在中，， ∵， ∴， 则在中，， 故答案为：． 三、解答题 12．如图，已知，在中，，，求的值． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识；由等腰三角形性质得；由余弦函数可求得的长，即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值为12． 13．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，其中，点在轴上，，． (1)求线段的长； (2)求点的坐标． 【答案】(1)线段的长为 (2)点A的坐标为． 【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数，与三角形的高相关的计算． （1）设，，由勾股定理可得，即可得线段的长； （2）过点作于点，由，，可得，即可得点的横坐标，由（1）得，代入三角形的面积公式，可得，即可得点的横坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴设，， 又∵，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴线段的长为． （2）解：过点作于点， 在中，，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 14．如图，在中，，过点作边上的高线，． (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，根据余弦的定义求出的长度，然后根据勾股定理求解即可； （2）先求出的长度，然后在中，根据勾股定理求解即可. 【详解】（1）解：为边上的高线， ， ，， ， ； （2）解：，， ， ，， ． 15．如图，在中，是边的中点，，垂足为点．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角函数求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可； （2）先运用勾股定理求出，再由于D为上的中点可得，推出，利用正弦函数求出，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．如图，在中，，通过尺规作图，小明作出了线段、射线，依据作图痕迹： (1)判断下列结论正确的是_________． ①；②； ③．请填写编号） (2)如果，求的长． 【答案】(1)①③ (2) 【分析】（1）根据相似三角形的判定方法即可判定①正确；无法判定②正确；证明，得出，即可判定③正确； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，，根据，得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：①根据作图可得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵E点不一定是的中点， ∴不一定垂直平分， ∴不一定等于，故②错误； ③根据作图可得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上，正确的有①③； （2）解：∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 根据解析（1）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 正切值的认识题型07 一、单选题 1．在中，若，则表示的（     ） A．正弦 B．正切 C．余弦 D．坡角 【答案】B 【分析】根据正切的定义求解可得． 【详解】解：∵在中，， ∴的对边为，邻边为． ∴，即表示的正切． 2．在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 在中， ∵， ∴ 3．如图，在中，，于点，下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键． 【详解】解：∵在中，，是边上的高， ∴均为直角三角形， 又∵，， ∴， 在中，，故A可以表示，不符合题意； 在中，，故C可以表示，不符合题意； 在中，，故D可以表示，不符合题意； 不能表示，故B符合题意． 故选：B． 4．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确识图，根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 5．在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的意义，在中，各边都扩大倍，其相应边长的比值不变，因此锐角的正切函数值也不会改变，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键． 【详解】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化， 故选：． 6．如图，在中，，，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切的定义即可求解．在直角三角形中，锐角的正切值等于这个锐角的对边比邻边． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：C． 7．在中，如果，那么表示的（  ） A．正弦 B．余弦 C．正切 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据正切的定义求解即可得到答案． 【详解】在中，∵， ∴， 即表示的正切． 故选：C 8．如图，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，且a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则tanA等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切的定义解答即可． 【详解】解：tanA=． 故答案为A． 二、填空题 9．把的对边与邻边的比叫做的_____，记作_____，即_____ 【答案】 正切 tan A 【详解】解：在中，，，， 把的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即． 求角的正切值题型08 一、单选题 1．在中，，如果，那么的值是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，如果， ∴． 2．如图，数轴上的点表示的数是1，在中，，以为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，连接，则等于（     ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出的长，进而求出，，即可解决问题． 【详解】解：∵数轴上的点A表示的数是1，，且， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，若，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，若，， 则． 4．如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，则，利用正方形性质求出、的长及，在中利用正切定义求解． 【详解】解：连接，如图： 设， ∵四边形和是正方形，， ∴，，， ∴，， ∵、分别是正方形、的对角线， ∴，， ∴， ∴在中，． 5．如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 6．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先求出直线与y轴、x轴的交点坐标，得到直角三角形的两条直角边长，再根据锐角正切的定义计算即可 【详解】解：∵ 直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，坐标原点为O， ∴ 令，得，即， ∴ 令，得， 解得，即， ∴， 在中， 7．如图，菱形的对角线与相交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵，， ∴． 8．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：如图， 根据网格特点知：， 设小正方形的边长为1，则，， ∴． 9．如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则 （  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出的长，由直径求出半径的长，利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：是的直径，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 10．如图，为的直径，弦相交于点P．如果，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，证明推出，设，利用勾股定理可得，再根据正切的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 设， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 11．如图，正方形是由4个全等的正方形和4个全等的矩形拼接而成．若矩形的对角线与长边的夹角为，则的值是_________． 【答案】 【分析】设矩形的长为，宽为，小正方形的边长为，根据图形拼接特点得出，由大正方形的边长相等建立方程求出与的关系，利用锐角三角函数定义求解． 【详解】解：设矩形的长为，宽为，小正方形的边长为， 由图可知：，大正方形由4行图形拼接而成，且每行高度均为， ， 大正方形的边长由一个小正方形边长和一个矩形长组成，， 四边形是正方形， ， ，， 在矩形中，． 12．如图，已知中，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于、两点，连接交于．连接，则_________． 【答案】 【分析】由作图步骤可知，垂直平分，即，结合，，代入数值到中即可求解． 【详解】解：由作图步骤可知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 13．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为________． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，利用网格得到线段的长度，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点， 根据图像可知：， ∴． 14．如图，的顶点都在的方格纸的格点上，则的正切值为___________ 【答案】 2 【分析】作，连接，根据正切的定义进行求解即可. 【详解】解：作，连接，如图，则， 由网格特征可知，， 设小正方形的边长为1，则，， ∴. 15．如图，个全等的小正方形放置在中，则的值是_______． 【答案】 【分析】利用同位角相等把转化为，设小正方形边长为，在直角三角形中按正切定义算出． 【详解】解：如图， 根据题意可知，， 则， 设小正方形的边长为， 则，， ． 16．如图，在中，于点C，为直径，连接．若，，则______． 【答案】 【分析】连接，利用垂径定理求得，设，，在中，由勾股定理列式计算求得，得到，利用勾股定理求得，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴． 17．如图，为矩形纸片的边上一点，将纸片沿折叠，使点落在边的中垂线上，，则______________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，再得出，从而得出，继而得出，再利用直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】四边形是矩形， ， ， 点落在边的中垂线上， ，， ，， ， ， ． 18．如图，在中，，，是的角平分线，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据三线合一得到，，根据勾股定理得到，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：∵，是的角平分线，， ∴，， ∴， ∴． 19．如图，在菱形中，与交于点，，，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出、的长，在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， 、、， ， ，， 、， 在中，． 20．如图，将矩形沿（点E在边上）折叠，使点B落在边上的点F处，若，则_______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得再设，则，可得，然后根据折叠的性质得，并根据勾股定理求出，接下来说明，即可求出，最后根据正切的定义解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． 设，则， ∴． 根据折叠的性质得． 根据勾股定理，得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 在中，． 三、解答题 21．如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数先求出的值，再根据勾股定理求出的长； （2）过点D作，根据角平分线的性质得到，用证明，根据全等的性质和勾股定理求出的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得：； （2）解：过点D作交于点E，则，如下图所示， 平分，，， ，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， ， 整理得：， 解得：， ． 22．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在图中找到D点，连接，使（D为格点）； (2)连接，则线段的长为________； (3)若E为的中点，求的值． 【答案】(1) 如图， ∴即为所求； (2) (3) 【分析】（）根据画图要求，结合网格进行画图即可； （）根据勾股定理来求的长度； （）直接利用正切定义求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求； （2）解：由网格可得，； （3）解：． 23．如图，在中，，，斜边上的中线，求的值． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半求出的值，根据勾股定理求出的值，结合正切的定义，即可求解． 【详解】解：在中，斜边上的中线， 故， 在中，，，， ∴． 在中，． 24．如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接．若，求的值． 【答案】 【分析】设，得， ，根据的垂直平分线交于点D，得，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：设， ， ， 在中，， ， 的垂直平分线交于点D， ， ， ． 25．如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)四边形是矩形， ， ． 又， ． 又， ． (2) 【分析】（1）根据矩形的性质，得，只需再证明即可得证； （2）利用三角形的相似，求得，再根据正切函数的定义，计算即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：连接， 在中， ， 由勾股定理： 由（1）得， ． 把 ，代入得， 解得， ， 是直角三角形． 在中， 代入：  ． 已知正切值求边长题型09 一、单选题 1．如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】先根据正切定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 2．在中，，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正切的定义求出直角边的长，再利用勾股定理计算斜边的长度； 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ． 3．如图，是的边上的高，若，，则边的长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由可求出，由可求出的长． 【详解】解：， ， ， ， ． 4．如图，在边长为4的正方形中，E为边上一点，交于F，已知，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用证得 四点共圆，将 转化为，在 中求解． 【详解】解： 四边形 是正方形 四点共圆 ∵ 在 中， ∴． 二、填空题 5．在中，，，，则的长为______________． 【答案】 或 【分析】根据题意分情况作图，过点作于，利用三角函数定义和勾股定理分别计算各线段长度即可得到的长. 【详解】解：过点作于， 情况1：垂足在线段上， ∵ ， 设，则， 在中，， ∴， 解得（负值舍去） ∴，， 在中，， ∴， ∴； 情况2：垂足在线段延长线上， 同理可求，，， ∴； 综上，的长为或. 6．在正方形中，点E在直线上，，．则的长为_____． 【答案】10或 【分析】先求得，易得，再分点在边上和点在的延长线上两种情况，分别利用正方形的性质、勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∴， 如图：当点在边上时，则， 在中，由勾股定理得； 如图：当点在的延长线上时，则， 在中，由勾股定理得． 综上，的长为10或． 7．在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【答案】6 【分析】根据余角的性质及已知条件推导出， 再根据锐角三角函数的定义在中计算的长即可． 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 8．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理以及三角函数的应用，由垂径定理可以得出：，又，可以求出，继而求出的长． 【详解】， ， 是直径，弦于点， ， ． 三、解答题 9．在中，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】根据求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：在中，，， ， ， ． 10．如图，在中，，平分交于点，过点作，于点，于点，于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴为矩形； (2) 【分析】（1）由两组对边分别平行可证四边形是平行四边形，再由，即可证明题目； （2）由题意可证，设，因为，则，证明，得，则可知，在中根据勾股定理可求，则，因为，所以，则，设，在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴ 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得， ∴． 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，证明，得出对应边成比例，然后求出相关线段的长度，得出三角形平移的路径，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由点平移到点可知，图形向右平移了个单位长度， 由点平移到点可知，图形向下平移了个单位长度， ∴将向右平移个单位长度，再向下平移了个单位长度，可得到， 点的坐标可由点的坐标得到，即点的坐标为， ∴点的坐标为． 2．如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质得出，，，证出，，由证明，得出，，证是等腰直角三角形，得出，即可得出答案． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 是的中点， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 3．如图，已知的直径为10，锐角内接于，于点D，，则的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过B作的直径，连接，则有，，由同角的余角相等得出，过O作于点E，则，求出，再由正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：过B作的直径，连接， 又， 则有，， ∴，， ． 过O作于点E， 在中，，． 由勾股定理得， ． ． 4．如图，在等腰直角中，，，D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题的核心在于利用折叠的性质（全等）和等腰直角三角形的角度特征，通过角度转换证明，从而将求转化为求．接着，通过设未知数，在中利用勾股定理建立方程求出线段的长度，最后代入三角函数定义求解． 【详解】∵是等腰直角三角形，， ∴，． ∵D为的中点， ∴． 根据折叠的性质可知，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴． 在中，，即， 解得， ∴． ∴． 5．如图，点，，在上，是的一条弦，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明是的直径，由得到，根据圆周角定理和余弦的定义求出答案即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴是的直径， ∵点，在上， ∴ ∴， ∴． 6．如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，的垂直平分线交 于点 ， 、为垂足，若，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用正切定义解答即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 二、填空题 7．在中，，，，则的长为___________． 【答案】17 【分析】先由锐角正切的定义结合已知条件求出直角边的长度，再通过勾股定理计算斜边的长度． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴． 8．在如图所示的正方体中，的值为_______，的值为_______，的值为_______． 【答案】 【分析】根据正方体性质可得，，再根据勾股定理和各三角函数的定义求解即可． 【详解】解：在如图所示的正方体中，，， 设， ∴， ∴， ∴，，． 9．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的正弦值为________． 【答案】 【分析】如图在延长线上取格点，连接，根据网格结构，利用勾股定理分别计算出、、的长度，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，再根据求解． 【详解】解：设网格中小正方形的边长为1， 如图在延长线上取格点，连接， 由勾股定理得：，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 10．如图，小明先将矩形纸片沿对角线剪开，再将纸片沿方向平移到处，与重合，连接．若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】作垂线于，先利用勾股定理计算的长度，再利用面积法求出的长度，最后通过正弦的定义求出的值． 【详解】解：如图，作于，则， 四边形为矩形， ， ． 纸片沿方向平移到， ， ， ． ，， 的面积， ， ． 11．如图，在正方形中，连接、，相交于点O，E为中点，连接，则的值为____． 【答案】 【分析】利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，可得为直角三角形，设参数表示出和的长度，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，（）， 根据正方形的性质，可得对角线，，，， ，． 为中点， ， 在中，． 三、解答题 12．如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （2）延长，，交于点，连接，先证出，则，，再求出，进而可得，然后求出的长，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 又∵点是的中点， ∴． （2）解：如图，延长，，交于点，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 又∵，即点是的中点， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴在中，， ∴． 13．在学习北师版九年级下册第一章时，小华同学对一个角与其倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，并进行了研究． (1)【实践探究】在解决“如图①，若在中，，，，求的值”这一问题时，小华想构造包含的直角三角形，延长到点，使，连接，则，即转化为求的正切值．请按小华的思路求出的值． (2)【拓展延伸】如图②，若在中，，，，则： ①的值为 ； ②的值为 ． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， ，， ． （2）解：①如图，作的垂直平分线交于点，连接，则， ∴， ， 在中，，，， ∴， ， ， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即， ， ． ②如图，作交于点，使， ∴， 则， 设，则， ， 设点到，边上的距离为， ∴， ∵， ，即， ， 在中，， 即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ． 14．如图，以的边为直径作，交边于点，过点作交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）首先根据平行线的性质可得，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，然后结合，可证明，进而证明结论； （2）首先根据“直径所对的圆周角为直角”可得，结合易得；设，则，，在中由勾股定理解得的值，可确定的长度，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵为直径， ∴，即， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴，整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴在中，． 15．综合与实践：某学校数学兴趣小组以“折纸求特殊角三角函数值”为主题，开展学习实践活动． 【观察理解】按照如图1所示的方法将正方形纸片依次折叠，展开后如图2所示，折痕分别为、、． (1)【操作体验】如图3，在正方形中，请先连接，再分别作出折痕、（要求：用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)【问题解决】直接写出的度数和的值． 【答案】(1)所求图形，如图所示； (2)， 【分析】（1）先连接，再作的平分线，交于点，然后过点作的垂线，交于点即可； （2）根据折叠的性质可得，设，则可得，，的长，再求出，然后在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠的性质得：， 设， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，． 一、解答题 1．如图是由的小正方形组成的网格，、、都是格点，仅用无刻度的直尺在下列给定的网格中完成画图． (1)在图1中，画线段，使得，且； (2)在上画点，使得； (3)直接写出的值：_______． 【答案】(1)如图， (2) (3) 【分析】（1）找到的格点，连接，根据网格的特点分别为边长为的两个全等的直角三角形斜边，则，且这两个全等三角形不同的两个锐角构成直角，即； （2）找到所在的竖直网格线与的交点记为，连接交于点，则点即为所求； （3）取格点，连接，根据相似三角形的性质求得的长，进而得出的长，再根据正切的定义，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，找到所在的竖直网格线与的交点记为，连接交于点，取格点， ∵ ∴四点共圆， ∴ 又∵ ∴ （3）解：如图，取格点，连接， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，E，F分别是边和对角线上的点，连接，，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由矩形的性质得到，则由等边对等角和平行线的性质可推出，再证明，即可证明； （2）解直角三角形可得，设，则，由相似三角形的性质可得，据此列式求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 3．如图，矩形中，点在边上，与的延长线交于，是的中点，的延长线与交于． (1)求证：； (2)若，，试求的值． 【答案】(1)见解析； (2)的值为． 【分析】（）由四边形是矩形，则，通过同角的余角相等得出，然后证明，所以，再由直角三角形的性质可得，所以，则，从而可得； （）设，则，由四边形是矩形，则，，然后求出，，设，则，由（）得：，所以，得，过作于点，则有，由，则有，得出，，所以，，，再证明，所以，即，解得，从而得出，，然后代入即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， 设，则， 由（）得：， ∴， ∴， 过作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：， 解得：，经检验是原方程的解， ∴，， ∴， ∴的值为． 4．在四边形中，对角线交于点，，，． (1)如图1，①求证：；②求证：； (2)如图1，若，，求的长度； (3)如图2，若，直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)① 证明：设，则， ， 为等腰三角形， ， ， 在中，，， ， ， ． ② 证明：由①知，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． (2) (3) 【分析】① 由及推出的底角为，再结合对顶角相等得，从而，故． ② 通过角度代换可得，，于是，由相似比推出． （2）过点作于点，由知为中点．结合得，从而，得．再利用（1）中及Rt中勾股定理列方程求解． （3） 过点作于点，由知为中点．由，相似比为，得，．设，用和表示、，结合(1)中及Rt中勾股定理，求出与的关系，进而计算． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， 设，则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 由（1），， 在中， ， ， 解得或（舍去） ∴， ∴ （3）解：过点作于点， ，， 为的中点， ，， （AA）， ， 相似比为， ，， 设，则， ， ， 由（1）知， ， 在Rt中，， ， ， ， ， ， ． 5．探究图形中线段之间的关系，并完成以下问题 (1)问题背景  如图，点在上，，，，求证：． (2)尝试应用  如图，在中，点在边上，将沿折叠得到，且点恰好为边的中点，求的值． (3)拓展创新  如图，在菱形中，点，分别在，边上，，，，．请直接写出的值． 【答案】(1)证明：，，， ， ，， ， 在与中， ， ， ． (2) (3) 【分析】（1）证明与相似即可． （2）添加辅助线，利用平行四边形的性质以及翻折的性质证明与相似，得到边长成比例，再结合，，即可求解． （3）添加辅助线同理可证，得到边长成比例，设，列分式方程求解x的值，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在边取点，使，如图， 则， 在中，， ． 沿折叠得到， ，，， 在中，， ， 又， ， 在与中， ， ， ，即． ， ． ， 在中，，且点恰好为边的中点， ， ． （3）解： 作，，如图， 由（2）同理可证， ，即． 设，， 则，，， ，， ， ，即． 由，可知， ， ， 解得，，经检验，是原方程的解； ． 一、单选题 1．如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的性质，根据题意，设，，则：，三线合一，得到，进而得到，证明，得到，进而求出的数量关系，再根据正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴设，，则：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得或（不合题意，舍去）； 在中，； 故选A． 2．第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 3．在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【答案】6 【分析】根据余角的性质及已知条件推导出， 再根据锐角三角函数的定义在中计算的长即可． 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 4．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可； 【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F． ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 令， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 三、解答题 5．在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）把B的坐标代入，求出n，然后把B的坐标代入，求出k，最后把A的坐标代入求出m即可； （2）根据轴求出C的纵坐标，然后代入，求出C的横坐标，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， 把代入， 得； （2）解：由（1）知： 设l与y轴相交于D，    ∵轴，轴轴， ∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，， 把代入，得， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $