精品解析：北京市第二中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

北京二中教育集团2024—2025学年度第一学期 初三数学期中考试试卷 考查目标 1．知识：人教版九年级上册《一元二次方程》、《二次函数》、《旋转》、《圆》的全部内容． 2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共18页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷8页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：因为抛物线， 所以抛物线的顶点坐标是． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键． 3. 若关于的一元二次方程的一个根是，则a的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴把代入， 得， 解得， 故选：C 4. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解． 【详解】∵二次函数中，a=1>0， ∴抛物线开口方向向上， ∵对称轴 ∴时y随x的增大而增大， ∵当x=0.5时，y=−0.25<0，当x=0.75时，y=1.31>0， ∴方程的一个正根：0.5<x<0.75， 故选C. 【点睛】解答此题的关键是求出对称轴,然后由图象解答,锻炼了学生数形结合的思想方法. 5. 已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ） A. 18cm2 B. C. 27cm2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知底面半径即可求得底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：底面周长是2×3π=6π， 则圆锥的侧面积是：×6π×6=18π（cm2）． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若点在同一条直线上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角．根据旋转得到，进而得到，再利用三角形外角的性质，求解即可．掌握旋转的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∴； 故选D． 7. 在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】B 【解析】 【分析】设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物，根据所有人共送了90份礼物，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴参加聚会的同学有10人． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 如图，等边的边长为2，点是的中心，绕点旋转，分别交线段于两点，连接，给出下列四个结论： ①； ②的面积等于的面积； ③四边形的面积始终保持不变； ④的周长的最小值为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用等边三角形的性质易得，由全等三角形的性质来判断；作于，利用三角形的面积得到随的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，来求解；利用得到进而求解；利用得到，当时，最小，的周长最小来求解． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ． ∵点是的中心， 分别平分和， ∴， ，即， 而，即， ． 在和中 ，故①正确； 作于，如上图，则． ， ， .，， , 即随的变化而变化， 而四边形ODBE的面积为定值， ，故错误； ， ， ∴四边形的面积，保护不变，故正确； ， 的周长 当时，最小，的周长最小，此时， 周长的最小值，所以④正确. 故正确的有：． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质． 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，根据“关于原点对称时，横纵坐标都为相反数”求解即可． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． 10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______. 【答案】y＝x2＋1． 【解析】 【详解】此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可，如y＝x2＋1，y＝x2＋2x＋1等． 11. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根， ∴△=0， ∴（-2）2-4×1×（-m）=0，解得m=-1． 故答案为：-1． 12. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了抛物线平移的规律：左加右减，上加下减．根据规律直接得到答案． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为， 故答案为：． 13. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键． 根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵是正三角形， ∴， ∴的长为： ， ∴“莱洛三角形”的周长=． 故答案为：． 14. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．由题意知，对称轴为直线，再结合已知进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：． 15. 如图，分别切于A，B两点，，点C是上一点，则的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和．根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，得出，然后分两种情况，根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，当点在优弧上时， ∵分别与相切于两点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 当点在上时， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：或． 16. 2024年4月1日，北京二中喜迎300年华诞，小元和小聪两名同学合作制作四个主题为“春”“夏”“秋”“冬”的书签，为校庆献礼，每个书签都先由小元进行绘画，然后再由小聪题字，两位同学完成每个书签各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： 春 夏 秋 冬 小元 9 5 6 8 小聪 7 7 9 3 （1）如果按照春→夏→秋→冬的顺序制作，两位同学合作完成这四个书签的总时长最少为______分钟； （2）若想用最短的时间完成这四个书签的制作，制作的顺序应该是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的应用，熟悉理解题意是解题的关键． （1）根据题目所给的制作顺序运算时间即可； （2）让小元给书签制作的时间最短，先制作时间短的书签，且在小聪上色时能够制作好下一个书签，排出顺序即可． 【详解】解：（1）小元先制作春用9分钟，然后小聪再给春上色7分钟，这7分钟小元可以给夏制作，（分），还剩下的时间给秋制作2分钟，秋这时还需要（分），小聪开始给上色又花了7分钟，这7分钟小元给秋制作，还留有（分），这3分钟小元给冬制作，在小聪完成夏的上色时小元给口制作还需要（分），此时小聪给秋上色9分钟，小元就能把冬制作完了，最后小聪再给冬上色； 综上所述，总时长为（分）； 故答案为：； （2）要用最短的时间完成这四个书签的制作，开始的时候要让小元给书签制作的时间最短，先制作时间短的书签，且在小聪上色时能够制作好下一个书签，所以制作的顺序应该是：； 故答案为：． 三、解答题（共68分，其中第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）①以点B为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； ②以原点O为旋转中心，画出将按逆时针方向旋转后的； （2）在（1）的条件下，可以由绕某点按顺时针方向旋转得到，则该点坐标为 ，旋转角的度数为 ． （3）的外接圆半径长 ． 【答案】（1） ①如图，即为所求作； ②如图，即为所求作； （2），； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转变换，旋转的性质，坐标两点的距离公式，全等三角形的判定和性质，三角形外接圆的性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）①根据旋转的性质作图即可；②根据旋转的性质作图即可； （2）设旋转中心为，由旋转的性质可知，，，，结合坐标两点的距离公式，求出、值，即可得到旋转中心坐标，过点作直线轴，过点作于点，过点作于点，证明，得到，进而得出，从而推出，即可得到旋转角的度数； （3）由直角坐标系可知，是等腰直角三角形，再由直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设旋转中心为， 由旋转的性质可知，，，， 由（1）可知，，，，， ，， 整理得：，， 解得：，， 旋转中心坐标为， 如图，过点作直线轴，过点作于点，过点作于点， 则，，， ，， ， ， ， ， ，即旋转角的度数为， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由直角坐标系可知，是等腰直角三角形， 的外接圆半径长等于斜边的一半， ，， ， 的外接圆半径长是． 19. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为______分米． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴， ∵分米，C为的中点， ∴分米， 设圆的半径为x分米，则分米， ∵分米， ∴分米， 在中，由勾股定理， ∴， ∴， 即拱门所在圆的半径是15分米． 故答案为：15． 20. 下面是小宁设计的“作三角形的高”的尺规作图过程． 已知：． 求作：，垂足为D． 作法：如图所示， ①分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； ②作直线，交于点O； ③以点O为圆心，长为半径作圆，交线段于点D（点D不与点C重合），连接． 所以线段就是所求作的高． 根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：， ， ∴点P、Q都在线段的垂直平分线上， ∴直线为线段的垂直平分线， ∴O为中点． ∵为直径，与线段交于点D， ∵ °．（ ）（填推理的依据） ． 【答案】（1） 解：作图如下： 线段就是所求作的高； （2） ；；直径所对圆周角为直角； 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂线的尺规作图，线段垂直平分线的判定与性质， （1）按照题干要求作图，即可； （2）按照题干给出的思路，结合直径所对圆周角为直角的知识证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：连接，，，，如图， ，， 点P、Q都在线段的垂直平分线上， 直线为线段的垂直平分线， O为中点，即． ∴为直径，与线段交于点D， （直径所对圆周角为直角） ． 21. 中国上海国际艺术节期间，主办方工作人员准备利用一边靠墙(墙长26米)的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？ 【答案】封闭型长方形等候区的边为15米，为20米． 【解析】 【分析】设封闭型长方形等候区的边为米，根据面积为300平方米的封闭型长方形等候区可得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设封闭型长方形等候区的边为米， 由题意得：， 整理，得， 解得，， 当时，； 当时，， 不合题意，应舍去． 答：封闭型长方形等候区的边为15米，为20米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽． 22. 已知二次函数 的y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 时，． 【答案】（1）； （2） 函数图象如图： （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）用待定系数法，设二次函数的表达式为，把代入即可求解； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据图象，所求结果是二次函数在直线以上的对应的的取值范围，据此解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数的表达式为：， 把代入得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为：， 即； 【小问2详解】 解：根据题意，抛物线的顶点坐标为，描点画图， 【小问3详解】 解：当时，， 解得：，， 如图： 根据图象可得：当时，x的取值范围为：， 故答案为：． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程只有一个实数根为负数，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明：由题意可得， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求证即可； （2）利用公式法求得方程的两个根为，，根据题意可得，，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴方程的两个根为，， ∵该方程只有一个实数根为负数， ∴，解得， 故答案为：． 24. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD． （1）求证：是⊙O的切线； （2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长． 【答案】（1）证明：如下图所示，连接， ∵D是弧BC的中点， 即 ∴∠BAD=∠CAD， ∵OA=OD， ∴∠BAD=∠ODA， ∴∠CAD=∠ODA， ∴OD//AE， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线.； （2）1． 【解析】 【分析】（1）连接OD，由D为弧BC的中点，得到，求得∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，推出AC∥OD，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切线； （2）连接OC，易得△AOC是等边三角形，继而证得四边形ACDO是菱形，根据菱形的性质可得CD=AC=2，∠CDE=30°，继而即可求解． 【详解】（1） 略 （2）解：如下图所示，连接OC， ∵∠CDA=30°， ∴∠AOC=2∠CDA=60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴AC＝AO＝OD 由（1）可得，AC∥OD， ∴ 四边形ACDO既是平行四边形，也是菱形， ∴CD=AC=2，∠CDO＝∠CAO＝60°， ∠CDE=90°－60°＝30°， ∵DE⊥AE, ∠CED＝90° ∴CE=1． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边对等角、平行线的判定及其性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定及性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 25. 2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x/m 3 h 4 4.5 竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25 根据表中数据，直接写出h的值为 ，满足的二次函数关系式为： ； （2）在（1）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解； （2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据表格得：函数图象过点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：对于， 当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴米， 对于， 当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． （1） （用含a的式子表示）； （2）已知点，在抛物线上，若，求出a的值； （3）已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键． （1）根据二次函数的对称轴公式求解即可； （2）首先根据，得出点，关于对称轴直线对称，据此列式求解即可； （3）根据二次函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：对称轴为直线； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵点，在抛物线上，且， ∴对称轴为直线， 由题意得，解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴， ∵关于的对称点为， ∴， ∴． 27. 如图，中，，，点在上（不与，重合），取的中点，连结，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结，． （1）依题意，请补全图形； （2）判断与的数量关系，并证明； （3）当，时，设与相交于点，则点在上运动的过程中，线段的最小值为 ． 【答案】（1） 解：如图所示： （2） 解：；理由如下： ①当时， 如图，延长至，使，连接， ， ，， ， 由旋转得：， ， 设， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ； ②当时， 如图， 同理可求：； ③当时， 如图， 同理可求：； 综上所述：； （3） 【解析】 【分析】（1）按要求补全图形，即可求解； （2）①当时，延长至，使，连接，由等腰三角形的性质得，由旋转的性质得：，，设，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可证，由全等三角形的性质得，即可得证； ②当时，同理可证；③当时，同理可证； （3）取的中点，连接，由（2）同理可证：，由角的和差可得 ，当、、三点共线时，最小，此时，的最小值为：，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接， ， 由（2）同理可证：， ， ， ， ， ， 当、、三点共线时，最小，如下图， 此时， 的最小值为： 在中： ， ； 故答案：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，两点之间连线段最短，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，能熟练利用“倍长中线法”构建全等三角形，并根据两点之间连线段最短找出线段取得最小值的条件是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，设的半径为，对于外一点，给出如下定义：若上存在点，使点绕点逆时针旋转后的对应点落在的内部或上，则称点是点关于的“逆转点”． （1）如图，当，时， ①点，，中，点 是点关于的“逆转点”； ②若点是点关于的“逆转点”，则点的横坐标的最大值是 ； （2）当时，已知点是直线上一点，记点的横坐标为，当点是点关于的“逆转点”时，求出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据新定义，对于点绕上点逆时针旋转后的对应点落在的内部或上，反之将上的任一点顺时针旋转回去所形成的图形就是点的所有位置，据此即可求解； ②由①可得点绕 逆时针旋转 得到点，根据定义可得点在以为圆心,半径为的上或内部，当点横坐标加半径1，即得出最大值； ③根据定义可得点在以为圆心，为半径的上或内部，且在外部，随着点的运动，则点的轨迹可以生成一个半径为与的圆环，由到距离为时，求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，，则 ∴点绕时针旋转后的对应点在的外部，点绕时针旋转后的对应点在的外部 ∵，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴ ∴ ∴ ∴点绕时针旋转后的对应点为，在内部， ∴点是点关于的“逆转点”； 故答案为：． ②由①可得点绕 逆时针旋转 得到点， ∴点在以为圆心,半径为的上或内部， ∴点横坐标最大值为 【小问2详解】 点绕上任意一点顺时针旋转得到 ∴ ∴点在以为圆心，为半径的上或内部，且在外部 随着点的运动，则点的轨迹可以生成一个半径为与的圆环，如图所示， ∴点是直线上一点，记点的横坐标为， ∴当到距离为时， 解得：或， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，点与圆的位置关系，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中教育集团2024—2025学年度第一学期 初三数学期中考试试卷 考查目标 1．知识：人教版九年级上册《一元二次方程》、《二次函数》、《旋转》、《圆》的全部内容． 2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共18页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷8页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程的一个根是，则a的值是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 5. 已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ） A. 18cm2 B. C. 27cm2 D. 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若点在同一条直线上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 8. 如图，等边的边长为2，点是的中心，绕点旋转，分别交线段于两点，连接，给出下列四个结论： ①； ②的面积等于的面积； ③四边形的面积始终保持不变； ④的周长的最小值为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 点关于原点的对称点的坐标为______． 10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______. 11. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 12. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 13. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 14. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______． 15. 如图，分别切于A，B两点，，点C是上一点，则的度数为______． 16. 2024年4月1日，北京二中喜迎300年华诞，小元和小聪两名同学合作制作四个主题为“春”“夏”“秋”“冬”的书签，为校庆献礼，每个书签都先由小元进行绘画，然后再由小聪题字，两位同学完成每个书签各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： 春 夏 秋 冬 小元 9 5 6 8 小聪 7 7 9 3 （1）如果按照春→夏→秋→冬的顺序制作，两位同学合作完成这四个书签的总时长最少为______分钟； （2）若想用最短的时间完成这四个书签的制作，制作的顺序应该是______． 三、解答题（共68分，其中第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分） 17. 解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）①以点B为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； ②以原点O为旋转中心，画出将按逆时针方向旋转后的； （2）在（1）的条件下，可以由绕某点按顺时针方向旋转得到，则该点坐标为 ，旋转角的度数为 ． （3）的外接圆半径长 ． 19. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为______分米． 20. 下面是小宁设计的“作三角形的高”的尺规作图过程． 已知：． 求作：，垂足为D． 作法：如图所示， ①分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； ②作直线，交于点O； ③以点O为圆心，长为半径作圆，交线段于点D（点D不与点C重合），连接． 所以线段就是所求作的高． 根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：， ， ∴点P、Q都在线段的垂直平分线上， ∴直线为线段的垂直平分线， ∴O为中点． ∵为直径，与线段交于点D， ∵ °．（ ）（填推理的依据） ． 21. 中国上海国际艺术节期间，主办方工作人员准备利用一边靠墙(墙长26米)的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？ 22. 已知二次函数 的y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 时，． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程只有一个实数根为负数，求m的取值范围． 24. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD． （1）求证：是⊙O的切线； （2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长． 25. 2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x/m 3 h 4 4.5 竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25 根据表中数据，直接写出h的值为 ，满足的二次函数关系式为： ； （2）在（1）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． （1） （用含a的式子表示）； （2）已知点，在抛物线上，若，求出a的值； （3）已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． 27. 如图，中，，，点在上（不与，重合），取的中点，连结，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结，． （1）依题意，请补全图形； （2）判断与的数量关系，并证明； （3）当，时，设与相交于点，则点在上运动的过程中，线段的最小值为 ． 28. 在平面直角坐标系中，设的半径为，对于外一点，给出如下定义：若上存在点，使点绕点逆时针旋转后的对应点落在的内部或上，则称点是点关于的“逆转点”． （1）如图，当，时， ①点，，中，点 是点关于的“逆转点”； ②若点是点关于的“逆转点”，则点的横坐标的最大值是 ； （2）当时，已知点是直线上一点，记点的横坐标为，当点是点关于的“逆转点”时，求出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $