精品解析：湖南汝城县井坡镇学校等校2026－2027学年上学期九年级数学期中监测数学试卷

2026年下学期九年级数学期中监测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 若，且为锐角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 下面四组线段中，成比例的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 6 4. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，那么的值为（ ）． A. 5 B. C. D. 6. 如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（ ） A. 2:3 B. 2:5 C. 3:5 D. 3:2 7. 如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将一张矩形纸片沿折叠，B点恰好落在边上，设此点为F，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 10. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC，其中正确的结论是 A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 两个相似三角形面积比为，则对应高的比为______． 12. 计算：=________． 13. 如图，一道斜坡坡比为，，则斜坡的高度__________． 14. 若线段AB＝2cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，则线段AC的长为________． 15. 如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 16. 如图，在中，，，，点E在上，将沿折叠，点B恰好与点C重合，则________，的值为________． 三﹑解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分．） 17. 计算：． 18. 如图，在中，，，，点在的延长线上，，求的长． 19. 如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上． （1）以O点为位似中心，位似比为2，将放大为，请在网格图中画出； （2）若，的面积分别为S、，写出S、的数量关系． 20. 如图所示，在矩形中，E是上一点，于点F． （1）求证：． （2）若，点E是边的中点，求的长． 21. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 22. 如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： （1）． （2）若，求的值． 23. 阅读下列材料：如图1，在中，的对边分别为．求证：． 证明：过点作于点． 根据上面的材料解决下列问题： （1）如图2，在中，的对边分别为．求证： （2）为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据： 24. 已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，边与轴交于点，点的坐标分别为，，． （1）求的面积； （2）在轴上找一点，连接，使得（不包括全等），并求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如分别是边和边上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似？如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期九年级数学期中监测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 若，且为锐角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，根据特殊角的三角函数值，直接比较的值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， 故选：． 2. 下面四组线段中，成比例的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，比例的基本性质，利用比例的基本性质判断比例线段是解题的关键． 通过计算每组线段的比例关系，判断是否满足或其它等价形式，只有选项B满足比例关系． 【详解】∵ 对于选项B：，，，， ∴，， ∴， 故选项成比例， 对于其他选项： 选项A：，，不相等； 选项C：，，不相等； 选项D：，，不相等， 故选：B． 3. 如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 4. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，理解余弦的定义是解题的关键．利用勾股定理求得的长度，然后利用余弦的定义即可求得答案． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：B． 5. 已知，那么的值为（ ）． A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，代入所求代数式并化简即可． 【详解】解：设，则， ∴． 6. 如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（ ） A. 2:3 B. 2:5 C. 3:5 D. 3:2 【答案】B 【解析】 【详解】四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． 7. 如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质将俯角转化为直角三角形的内角，利用正弦函数的定义列式求解即可． 【详解】解：由题意可知，水平线与地面平行， 等于俯角，即， 在中，，， ， ， ． 8. 如图，将一张矩形纸片沿折叠，B点恰好落在边上，设此点为F，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件设，则，根据矩形的性质及折叠的性质得出，再由勾股定理确定，根据正切函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴． 9. 在中，，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由非负数的性质求得，，利用特殊角的三角函数值求得，，进而可得是等边三角形． 【详解】解：由得，， 解得，， ∴，， ∴，则， 所以是等边三角形． 10. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC，其中正确的结论是 A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论． 【详解】∵△BPC是等边三角形， ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 在正方形ABCD中， ∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DCF=30°， ∴BE=2AE；故①正确； ∵PC=CD，∠PCD=30°， ∴∠PDC=75°， ∴∠FDP=15°， ∵∠DBA=45°， ∴∠PBD=15°， ∴∠FDP=∠PBD， ∵∠DFP=∠BPC=60°， ∴△DFP∽△BPH；故②正确； ∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°， ∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°， ∴∠PFD≠∠PDB， ∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误； ∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC， ∴△DPH∽△CPD， ∴， ∴DP2=PH∙PC，故④正确； 故选C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 两个相似三角形面积比为，则对应高的比为______． 【答案】 【解析】 【分析】两个相似三角形的面积之比等于相似比的平方． 【详解】解：两个相似三角形的面积之比为， 两个相似三角形的相似比为， 这两个三角形对应高比为． 12. 计算：=________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 根据角的三角函数值计算． 【详解】解： ＝1． 故答案为：1． 13. 如图，一道斜坡坡比为，，则斜坡的高度__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据坡比得到，从而求出的值． 【详解】解：斜坡坡比为， ， ， ． 14. 若线段AB＝2cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，则线段AC的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，结合AC<BC可得BC2=AC·AB，设AC=x，则BC=2-x，由此建立方程关于x求解，即可求得AC的长． 【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC<BC， ∴BC2=AC·AB， 设AC=x，由AB=2可得BC=2-x， ∴ (2−x)2=2x， 解得： x1=3−，x2=3+（不合题意，舍去）， ∴AC= 3−． 故答案为： ． 【点睛】本题考查利用黄金分割的定义求线段长，解题的关键是根据AC<BC，得出BC2=AC·AB是解答本题的关键． 15. 如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，根据可求得，进而可求得，根据勾股定理即可求得． 【详解】解：在正方形中，， ，， ，即， ， ， 中，． 16. 如图，在中，，，，点E在上，将沿折叠，点B恰好与点C重合，则________，的值为________． 【答案】 ①. 80 ②. ## 【解析】 【分析】先求出的度数和的长，再得出，求出的度数和的长，则可得的长，然后根据角的和差和余弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵将沿折叠，点恰好与点重合， ∴，，， ∴，， ∴在中，． 三﹑解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 如图，在中，，，，点在的延长线上，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，根据正弦的定义可求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在中，∵，， ∴， 在中，由勾股定理，得． 19. 如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上． （1）以O点为位似中心，位似比为2，将放大为，请在网格图中画出； （2）若，的面积分别为S、，写出S、的数量关系． 【答案】（1）解：如图所示：即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据位似可直接进行作图； （2）由题意易得和相似比为，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，位似比的绝对值为2，放大为， ∴和相似比为， ∴ 即：． 20. 如图所示，在矩形中，E是上一点，于点F． （1）求证：． （2）若，点E是边的中点，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质、直角三角形的性质求出，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解； （2）由矩形的性质得，，根据勾股定理求出，再根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，，点E是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 21. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【答案】树的高度为15.5米 【解析】 【分析】证明，列出比例式，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ， ， ，，， ， ， ， 答：树的高度为15.5米． 22. 如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： （1）． （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． 又∵， ∴． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用三边对应成比例判定相似求解； （2）先由，可得，再证明，接着利用勾股定理求得，从而可求得，再利用相似三角形的性质列出比例式求得，然后正切的定义求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵在中，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在中，． ∴． 23. 阅读下列材料：如图1，在中，的对边分别为．求证：． 证明：过点作于点． 根据上面的材料解决下列问题： （1）如图2，在中，的对边分别为．求证： （2）为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据： 【答案】（1） 证明：如图，过点作于点． （2）这片区域的面积约为平方米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． （1）过点作于点，利用三角函数表示后，即可建立关联并求解； （2）先根据“正弦定理”求出，根据三角形内角和定理求出，过点作于点， 解直角三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 米． 如图，过点作于点， （米）， （平方米）． 答：这片区域的面积约为平方米． 24. 已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，边与轴交于点，点的坐标分别为，，． （1）求的面积； （2）在轴上找一点，连接，使得（不包括全等），并求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如分别是边和边上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似？如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 如图1，过点B作，交x轴于点D， 点D的坐标为： （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据，即可求解； （2）如图1，过点B作，交x轴于点D，可证，，可得，可证，可得，可求的长，即可求点D坐标； （3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，点B的横坐标为1，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴的面积为； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为：； 【小问3详解】 解：如图2，当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 如图3，当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 综上所述：当或时，与相似． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $