湖南省长沙市一中集团联考2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026年下学期九年级期中考试 数学试题卷 考试时间：2026年11月4日14：00-16：00 注意事项： 1.答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2.必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4.请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5.答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 刻 6.本试卷时量120分钟，满分120分 ☒ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.辰州剪纸是流传于怀化市沅陵县的传统美术形式，已列入湖南省级非物 质文化遗产代表性项目名录扩展项目，下列剪纸图案是轴对称图形的是 救 2.2025年，长沙位列全国先进制造业百强市第5位，工程机械产业集群规 模突破2500亿元，同比增长8%，持续领跑全国.将2500亿用科学记数 法表示为 苏 A.25X1010 B.0.25×1012 C.2.5×1012 D.2.5×101 图 3.下列计算正确的是 A.x·x5=x5 B.(2x)3=2x6 C.(x3)2=x5 D.(x-2)2=x2-4 4.下表是李明体育课8次练习投掷实心球的成绩： 次数 第1次第2次 第3次第4次 第5次 第6次 第7次第8次 成绩/米 8.5 9 10 10.5 10 8 8.5 10 则李明这8次成绩的众数和中位数分别是 A.8.5,9.5 B.10,9.5 C.10,9 D.8.5,10 5.如图，在△ABC中，点D在边BC上，AC=AD=BD,∠B=35°，则∠C 的度数是 A.75° B.70° C.60° D.65° 数学试题卷Q第山页（共8页） 6.“湘超”是2026年湖南省内最大的群众足球赛事.湘超有n支代表队参 赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行91场 比赛，则可列方程 A2n(m-1)=91 B.n(n-1)=91 Ca(n+1)=91 D.n(n+1)=91 7.若关于x的二次函数y=mx2+2x一3的图象与x轴有两个不同的交 点，则实数m的取值范围是 Am>- Bm<-方 Cm≥-号且m≠0 D.m>- 且m0 8.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到 △ADE,若∠E=70°且AD⊥BC于点F,则 ∠BAC的度数为 A.65° B.70° C.75 D.80° 9.在平面直角坐标系中，函数)y=(≠0)的图象经过第二，四象限，则函 数y=一kx十k2(k≠0)的图象大致为 10.定义：若二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象上存在两个不同的点 关于原点对称，则称该函数为“中心对称友好”函数.已知二次函数y= x2一2kx十2一1(k为实数)，有如下结论： ①该函数图象的顶点在直线y=一1上； ②无论k取何值，该函数图象与x轴总有交点； ③当一1<k<1时，该函数为“中心对称友好”函数； ④该函数图象与直线y=2x一1总有交点. 其中正确的结论是 A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④ 数学武题卷Q第2页（共8页） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.一元二次方程x2=2x的解是 12化菌。a”6 13.在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均 数相同，方差分别为s=0.95,s克=1.05，则考核成绩更为稳定的运动 员是 .（填“甲”或“乙”). 14.若a2+b2=2030,ab=-2,则(a十b)2-2026= 15,如图，在矩形ABCD中，连接BD,分别以B,D为圆心，大于BD的长 为半径画弧，两弧交于P,Q两点，作直线PQ,分别与AD,BC交于点 M,N,连接BM,DN.若AD=8,AB=4.则四边形MBND的周长为 16.如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数 y=(>0,x>0)图象上一点，以0A为边作正 方形OABC,使点B落在该反比例函数图象上， 点C在第四象限，已知点A的横坐标为1. (1)则k= (2)点C的坐标为 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每题6分，第19、20题每题8 分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分.解答应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.计算：2-1-3+（号）-(x-2026)°. 18.如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0,3), B(3,4),C(2,2).(正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长 度) (1)作出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B,C; (2)作出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2 19.“春暖三湘，阅启新程”，岳麓书会暨长沙图书交易会顺利举办，长沙某 中学抓住书展优惠契机，计划为各班图书角采购一批人文读本与自然 科普读物.已知采购自然科普读物25本和人文读本30本共需要1500 元；采购自然科普读物30本和人文读本20本共需要1400元， (1)求自然科普读物、人文读本的单价分别是多少元？ (2)若学校现打算在书展上一次性采购这两类书籍一共450本，并且要 求人文读本的购买数量不超过自然科普读物数量的2倍，请求出采 购这一批图书所需要的最低总费用. 效学试题卷Q第4页（共8页） 20.2026年长株潭一体化加速推进，长沙地铁2号线西延二期进人试运 行，长浏市域铁路加快建设.某交通研究中心调查了长株潭城际通勤者 每日单程通勤时间（单位：分钟），随机抽取了80名通勤者的数据并整 理如下 通勒时间频数分布表 时间（分钟） 15≤t<30 30≤t<45 45≤t<60 60≤1<75 75≤≤90 频数 8 16 28 20 8 频率 0.10 0.20 0.35 m 0.10 解答下列问题： (1)表中m= (2)在扇形统计图中，表示通勤时间在“30≤1<45”分钟组的扇形圆心 角度数是 (3)已知这80名通勤者的通勤时间数据（单位：分钟）从小到大排列后 的部分数据如下： 第1~8位：16,18,20,22,25,26,28,29，第20~22位：36,40,41，第 40~42位：50,52,53，第60~62位：62,65,68，求这组数据第一四 分位数(Q)； (4)长株潭区域城际通勤者总数约有12万人，若按本次调查中通勤时 间达到60分钟（即第4、5组）的通勤者比例估算，长株潭区域每日 单程通勤时间需要一个小时及以上的通勤者约有多少万人？ 21.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O,AC平分∠BAD, (1)求证：四边形ABCD为菱形； (2)若AB=10,AC=12,DE⊥BC的延长线于点E,求线段OE的长， 数学试题卷Q第5页（共8页） 22.为积极响应国家“十四五”规划中关于绿色低碳与新型储能技术发展的 号召，某新能源科技公司致力于研发新一代光伏储能电池.在实验室测 试阶段，研究员小王对一块新型储能电池进行了放电特性测试.实验 中，电池的放电时间记为x(单位：小时)，电池的端电压记为y(单位：伏 特，V).为了预测电池在复杂工况下的电压变化趋势，小王根据采集到 的离散数据，分别选用了“一次函数模型”和“反比例函数模型”对数据 进行曲线拟合.在测试记录中，小王发现：当放电时间进行到第1小时， 电池端电压为10V;当放电时间进行到第3小时，端电压降至6V,且 这两组数据恰好满足一次函数模型的变化规律.同时，通过对数据的进 一步分析发现，两个函数模型图象的两个交点A,B中，交点B的横、纵 坐标恰好相等 请根据以上实验记录与背景信息，结合所学的函数知识，解决下列 问题： (1)求两个函数模型对应的解析式； (2)求出这两个拟合模型图象的交点A,B的坐标； (3)在放电时间0<x<6的范围内，为了评估电池在不同阶段的特性， 需要比较两种模型的预测差异.请结合函数图象分析：当反比例函 数模型预测的电压高于一次函数模型预测的电压时，直接写出此时 放电时间x的取值范围. x/h 数学试题卷Q第6页（共8页） 3.手工实践课上，同学们利用一块矩形纸片ABCD开展图形探究活动， 已知在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E是边AB上的动点，将线段 EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF,连接CF, (1)如图1，当点E为AB的中点时，求线段CF的长度； (2)如图2，以A为原点，AB方向为x轴正方向，AD方向为y轴正方 向建立平面直角坐标系，试探究：点E在运动过程中，是否存在一 条定直线，使得点F始终在这条直线上运动？若存在，求出这条直 线的解析式；若不存在，请说明理由； (3)如图3，设EB=m,连接BF.记△BCF的面积为S1,△CEF的面积 为S2. 0求关于m的函数关系玉 (国求号的最大值 R 图1 图2 图3 数学试题卷Q第7页（共8页） .已知抛物线y=ax2+bx一3(a≠0)经过点A(一1,0)，对称轴为直线 x=1. (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)直线l:y=x十m与抛物线交于E,F两点，若抛物线上存在点 M(xM,yM),使得△MEF为等边三角形，求证：yM十2xM为定值； (3)反比例函数y=(≠0)的图象经过该抛物线的顶点，若将(2)中 的直线l平移得到直线'：y=x十t,直线L与该抛物线交于点 P(xp,yp,),P2(xp,yp,),与反比例函数图象交于点Q,Q2,且点 P1,P2落在Q1,Q2两点之间，且四点互不重合.过点P1,P2分别作 y轴的平行线，交反比例函数图象于K(xK,yK),H(xH,yH)两点， 记S=yk十yH,求S的取值范围， 数学试题卷Q第8页（共8页） 2026年下学期九年级期中考试 数学参考答案 一、 选择题 题号 1 234567 8910 答案BD CBBA DDCB 二、填空题 11. ×,=0,X2=2 (只有一个答案0或2则记0分) 12. a十b 13. 甲 14. 0 15. 20 16.(1)1+v5 2 (2)(十5，一1)（第一空2分，第三空1分 三、解答题 17.原式=23-(N3-1)+32-1 ---4分（每个化简各1分) =V3+9 --6分 补充说明：第一步绝对值化简正确，未带括号且答案正确给6分； 答案不对，未带括号，则只给4分。 18.【解析】(1)如图所示，△AB1C1即为所求.3分 (2)如图所示，△AB2C2即为所求.6分 ①若只作出三角形，没有标注顶点字母或者标注的字母对应错误，则每小问 各扣一分： ②没有写如图所示，三角形即为所求不扣分 19.【解析】(1)设自然科普读物单价为×元，人文读本单价为y元，1分 25x+30y=1500. 由题意得， 1分 30x+20y=1400 x=30, 解得 1分 y=25 答：自然科普读物单价为30元，人文读本单价为25元.4分 (2)设采购自然科普读物a本，人文读本(450一a)本，总费用为W元， 则450-a≤2a,解得a≥150. （列不等式并解出a的值)1分 W=30a+25(450-a)=5a+11250 ,5>0,.W随着a的增大而增大， ∴.a=150时，W最小，Wmin=12000元. 3分（的情给分，说明理由哪 个便宜哪个多买也可以给3分，没说理由结果对的给2分) 答：最低总费用为12000元. 只要有作答给1分（两问只要有一问作答就给1分，两问都没作答扣1分.） (第2问：如果设人文读本a本，自然科普读物(450一a),总费用为W元，都可 以，一样给分。) 20.(1)0.25(2分，25%或二不扣分) 2分 4 (2)72(2分，多写了°或度不扣分) 4分 (6)第2022位为36,40,41，故Q1=36十40=38(2分，答案对了就给满 2 分) 6分 (4)第4、5组合计频率为0.25+0.1=0.35，估计人数为12×0.35=4.2（万人）. 答：每日单程通勤时间需要一个小时及以上的通勤者约有4.2万人.(2分， 解答过程可以合成一个式子，没有作答不扣分) 8分 21.【解析】(1)证明：，在平行四边形ABCD中，AD∥BC, .∠BCA=∠DAC.(1分) AC平分∠BAD, ∴.∠BAC=∠DAC,(1分) .∠BAC=∠BCA,(1分) .AB=CB,（1分) .四边形ABCD为菱形.（1分)5分 (本问关键看邻边相等是否证对，再看过程中有没有出现平行四边形ABCD 即可；也可通过证明△ABC≌△ADC(ASA)或(AAS)得邻边相等，如还有其他方法， 大家的情给分，方法正确即可，如ABCD前面没有四边形或证全等没写判断依据 总共扣一分) (2),在菱形ABCD中，AC=12, ∴.AO=CO=6,AC⊥BD. .AB=10, .B0=D0=V102-62=8. DE⊥BC,O为BD的中点， .∴.OE=B0=DO=8.10分 （本问关键看答案，格式分总共2分，勾股定理格式只要有垂直或者直角三 角形或者90°即可，如果没有体现直角则扣一分，斜边中线格式主要突出直角加 斜边中点即可，没有体现扣一分) 22.【解析】(1)设一次函数的解析式为y=kx十b, k=-2, 代入点(1,10)，(3,6)得， k十b=10,解得 3k+b=6, =12, ∴.一次函数解析式为y=一2x+12. ,点B的横、纵坐标相等，设Bt,), 代入一次函数解析式得，t=一2t+12,解得t=4, ∴.B(4,4) 设反比例函数的解析式为y=m, 代入B(4,4)得，m=4×4=16, 一反比例函数的解析式为y=16 (4分) 求出一次函数解析式给2分，若列式正确但求错，给1分： 求出B点坐标给1分，若没有设点，直接列式“x=一2x十12”求出，不扣分： 求出反比例函数解析式给1分： 整个小问中，若没有求的过程，仅有解析式的答案，给1分答案分 =-2x+12, (2)联立1 16 得-2x+12=16, 两边同乘xx>0)得-2x2+12x=16, 整理得x2-6x十8=0， 因式分解得(x-2)x-4=0, 解得x1=2,X2=4, 当x=2时，y=-2×2+12=8,得A(2,8); 当x=4时，y=4,得B(4,4). ∴.两个拟合模型图象的交点坐标为A(2,8),B(4,4).(8分) 联立解析式得到初始方程“-2x十12=16”给1分： 求出方程的两个解“x1=2,X2=4”给1分，若没有解方程的过程，不扣分： 求出交点坐标，每个各1分： 若没有求的过程，仅有最终答案，写出一个，点或两个点均只给1分答案分 (3)由图象可知，当0<x<2或4<x<6时，反比例函数模型预测的电压高于一次 函数模型预测的电压.(10分) 此问共2分，写出“0<x≤2或4<x<6”即给分，写出一半给1分 23.【解析】(1)，四边形ABCD为矩形， ∴.∠B=90°. ,AB=4,E是AB的中点， ∴BE=1AB=2, ∴.CE=1BC2+BE2=1V62+22=2V10.…1分 由旋转性质可知，△CEF为等腰直角三角形，即CE=EF,∠CEF=90°，… 2分（得出等腰直角三角形给1分） ∴.CF=1V2CE=V2×2V10=4V5.…3分 (2)答：存在，证明如下。（答了“存在”但没有解答过程的给1分，有正确解 答过程但没答“存在”的不扣分) ,以A为原点，AB方向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向建立平面直角 坐标系， ∴.各点坐标为A(0,0),B(4,0),C(4,6),D(0,6). 设EB=m,则E(4-m,0),0≤n≤4. 过点F作FG⊥BA的延长线，垂足为G ,EC绕点E逆时针旋转90°得到EF, ∴.EF=EC,∠CEF=90°. ,FG⊥AB,四边形ABCD为矩形， ∴.∠FGE=∠B=90°. ,∠CEF=90°，且点G,E,B在同一直线上， ∴.∠FEG+∠BEC=90°， 又∠BEC+∠BCE=90°. ∴.∠FEG=∠BCE. 在△EFG和△CEB中， 「∠FGE=∠B, ∠FEG=∠ECB, EF=CE, ∴.△EFG≌△CEB(AAS).…5分（做出辅助线，证出两三角形全等得2分) .'.BE=GF=m,GE=BC=6, ∴.点G的横坐标为(4一m)一6=一2一m, ∴.F(一2一m,m).…6分（用参数正确给出点F的坐标给1分) 设Fx,y),则x=-2-m,y=m, 消去参数m,得x十y=一2， ∴.存在定直线y=一X一2，点F始终在这条直线上运动.…7分（消参得出 正确结论给1分) 证明了三角形全等后取两个特殊点，再用待定系数法求出解析式的给3分： 没证全等三角形，直接找到A、B旋转后的对应点坐标，再用待定系数法求 出解析式的给2分： (3)①)，在Rt△CEB中，EB=m,BC=6, ∴.CE2=BC2+BE2=m2+36. ,△CEF为等腰直角三角形，即CE=EF, .S2=1cE2=1m2+36).…8分 过点F作FG⊥AB,垂足为G. ,由(2)得△EFG≌△CEB, ∴.GE=BC=6,BG=EB+GE=Im十6， ∴S1=BCBG=×6m+句=3m+6, 2 8=3m十62=6m+360≤m≤利…9分（8、52求出一个得1分，m S21m2+36)m2+36 取值范围没给不扣分) (i)设t=m+6,则6≤t≤10， 则S1= 6t 6t 6 S2(t-6)2+362-12t+72t+72-12 …10分 ,'根据完全平方公式变形可得，a十b≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立， t+72≥272=122，当且仅当t=72,即=6N2负值含去时，等号成 t 立， 又，t=6V2时，m=6V2-6符合条件0≤m≤4， t+72的最小值为122.…11分 :S=6 6 1_V2+1 “S,t+72-12122-1222-22 的最大值是2+1…12分 S 2 (其他合理解答均同等给分) 另解： i设S:_6m+36-k, S2m2+36 ∴.km2+36k=6+36 整理得：km2-6m+36k-1)=0,其中0≤m≤4， .△=36-4k36k-1)≥0， 解得：1≤k≤中恒 当k=+时，m=6√2-1)符合题意。 2 24.【解析】①)：抛物线的对称轴为直线x=一b=1, 2a .b=-2a 1分 将A(-1,0)代入解析式得a-b-3=0, 联立得a十2a一3=0，解得a=1,b=-2, .抛物线的解析式为y=X2-2X一3.2分 配方得y=(-1)-4, .顶点坐标为(1，一4) 3分 (2),抛物线y=x2-2x-3与直线1：y=x十m交于E,F两，点， 联立得x2-2x-3=x十m, 整理得x2-3x-(3十m)=0, 设Ex1,y1),F(2,y2),由韦达定理得1十x2=3,X1x2=-3-m, ∴.EF=V(&1-x)+y1-y2)=V2k1-x2)=V2x1-xl. 设点G为EF的中点， ,直线EF的解析式为y=x十m,X1十x2=3, :G的生标对C+可 4分 ,△MEF为等边三角形，G为线段EF的中点， ∴MGLEF,MG=Y3Er ∴.kMG=-1, ∴.直线MG的解析式为y=一x+3十m. 设点G(&G,yc), Mg--刘j+bu-y对=V20u-=2到-- x}--对 .(x1-x2)=(k1十x2)-4k1x2=32-4(-3-m)=4m+21, :au}-1+m0 ………5分 ,点M为抛物线与直线MG的交点， ∴.xM-2xM-3=-XM十3+m, 变形得，m=M一XM-6,② 联立①②得， 解得M=或8=一 :xM=3时，点M与点G重合（舍去）， w=--(J-(目g 6分 yt2-}3=子 yM十2xM恒为定值（证毕）】 7分 3)反比例函数y=Kk≠0)的图象过顶，点L,一4， ∴.k=1×(-4)=-4, y=-4 .8分 联立抛物线y=x2-2x-3与直线1'：y=x+t, 得x2-2x-3=x+t, 整理得x2-3x-(3+)=0. ,抛物线与直线有两个不同交点P1,P2, 判别式△1=(-3)+43+0=21+40，-21 4 xP1+xP=3,xP1XP2=-(3+t), 联立双曲线y=-4与直线：y=x+t, 得x+t=-4,整理得x2+x十4=0， x 双曲线与直线有两个不同交点Q1,Q2, ∴.判别式△2=t2-16>0,>4或t长-4. 点P1,P2落在Q1,Q2两点之间，且四，点互不重合， 当t=-5时，抛物线与直线的交点P1,P2的坐标为(1，一4)，(2，一3)，双 曲线与直线的交点Q1,Q2的坐标为(1，一4)，(4，一1)，这与四点互不重合矛盾. 当>一5时，由图象可知，点P1,P2没有都落在Q1,Q2两点之间， 篮上可得，1衣-5 10分 过点P1,P分别作y轴的平行线，交反比例函数图象于K(,yK),H(H,yH) 两点， ..XK=xP1,XH=XP2 :K(,yK),HH,yH)两点在双曲线y=-4上， P,'H=4 yk=-4 xP2' S=g十H=-4-4=-4(+P)=-4X3=12 xPI xP2 xPixP2 -+3)+3l1分 令u=t+3,S=12 ' -9uK-2 4 ,12>0,u<0,S随着u的增大而减小， 当u=-9时，8=-16：当u=-2时，S=-6, 4 3 -6<S<- 3 12分 (其他合理解答均同等给分)