双曲线方程及其性质知识总结与题型分类讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

双曲线方程及其性质知识总结与题型分类 一、双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示． 二、双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 总结：一、双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 二：中点弦问题（点差法） 若双曲线与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过双曲线的中心，为双曲线上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 三、双曲线离心率求解的常用方法 公式1: 公式 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 公式4:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则．当曲线焦点在轴上时, 四、1.双曲线的渐近线方程亦为. 2.已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点. 如图1.若,则 图1 图2 设，则坐标均满足①，②.又.则由，可得： . 给②式乘再相减得： 故.由 如图2.若，则 3.双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为. 4.已知具有公共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为是它们的一个交点，且，则有. 题型一：双曲线的定义与标准方程 例1．（1）（高二上·河北石家庄·期中）双曲线的两个焦点分别是和，焦距为8，M是双曲线上的一点，且，则的值为（ ） A．1 B．4 C．1或9 D．9 【详解】因为双曲线的焦距为8，所以，即.由，可得，则.若点在双曲线的左支上，由，可得， 若点在双曲线的右支上，，与不符.故选：D （2）（25-26高三上·四川自贡·期末）设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D．1 【详解】依题意得.因为，所以，故.故选：C    （3）（2026·云南昭通·模拟预测）已知、是双曲线的左、右两个焦点且焦距为6，点P、Q在双曲线C上且关于原点对称，若线段的中点在y轴上且，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】∵双曲线的焦距为6，∴.∵线段的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，所以，所以轴，所以是直角三角形，又∵点P，Q在双曲线上且关于原点对称，，∴，结合已知，可得，根据双曲线的定义， 即，，在直角中，解得，故选：A （4）（2025·甘肃·模拟预测）已知双曲线的两个焦点是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【详解】设，，则由已知得，又，所以，又因为，所以，所以双曲线的标准方程为.故选：C. （5）（25-26高二上·湖南·期中）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】在中，直线的斜率为2，故⊥，则，故， 又，所以，，由勾股定理得，所以． 又内切圆半径为，由三角形等面积法可得， 解得，故，，故双曲线的方程为.故选：A． （6）（多选题）（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知双曲线，焦点，，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线于第一象限交于点，则下列满足内切圆半径为1的双曲线方程有（   ） A． B． C． D． 【详解】以原点为圆心、为半径的圆方程为，该圆过双曲线的两个焦点，根据直径所对圆周角为直角，可得为直角三角形，，设，，由双曲线定义得； 直角三角形内切圆半径公式为，又，，代入得；结合， 可得：，由勾股定理，将、代入上式化简可得关系：； 选项A：双曲线，，，，不满足条件， 选项B：双曲线，，，，满足条件， 选项C：双曲线，，，，满足条件， 选项D：双曲线，，，，满足条件.故选：BCD 例2．（1）（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线（，）的两条渐近线夹角为，离心率，则该双曲线的标准方程可能是（    ）. A． B． C． D． 【详解】双曲线的渐近线方程为，两条渐近线夹角为，则渐近线与轴的夹角为或，因此或.由离心率定义，结合，得.已知，故，即.若，则，，不符合的要求，故舍去，仅保留，即. 验证选项：选项：，，不符合，排除；选项：，，不符合，排除；选项：，，不符合，排除；选项：，，此时，满足所有条件.故选： D （2）（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】 对于双曲线，得，设所求双曲线方程为， 因为所求双曲线与双曲线有公共焦点，所以将点代入得：， 将代入上式，去分母整理得： .可得，，符合题意.因此所求双曲线方程为.故选：A． （3）（天津·统考高考真题）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，因为，不妨设渐近线方程为，即，   所以.设,则，所以，所以.因为,所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为故选：D （4）（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：，则由得，由得， 则，由双曲线第一定义可得：，，所以双曲线的方程为.故选：C （5）（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，是的平分线，且为坐标原点，则（    ） A． B．4 C． D．8 【详解】如图，延长，交于点，因为是的平分线，且，所以与全等，所以，为的中点，为的中点，所以，由于双曲线的左、右焦点分别为，所以，，所以双曲线的定义可知：，所以，即，所以. 故选：A    （6）（2026·天津武清·模拟预测）已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上有一点，满足且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】 双曲线的左焦点，渐近线为， 向量，①， ②，联立①②得，， 解得或（，舍去），，即， 代入①得，在渐近线上， ，解得，，解得，， 双曲线的方程为．故选：A． （7）（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知双曲线的离心率为，AB是过右焦点F且垂直于x轴的弦，若点A，B到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为双曲线的离心率为，即，可得，则， 则双曲线方程为，可知右焦点，渐近线方程为，即 则直线，可得，则到渐近线的距离为，到渐近线的距离为，则距离之和为，解得，则双曲线的方程为.故选：D. 题型二：双曲线方程的充要条件 例3．（1）25-26·河南·期末）若方程 表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】因为方程 表示焦点在轴上的双曲线，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：B. （2）（25-26高二上·广东江门·阶段检测）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】依题意，方程表示双曲线，所以，解得， 所以的取值范围是.故选：A （3）（25-26高二上·山西太原·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线，由题意可得，解得. 故选：C （4）（多选题）（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）若方程所表示的曲线为C，则下面结论正确的是（   ） A．若，则C为椭圆 B．若，则C为双曲线 C．若C为双曲线，则焦距可以为 D．若C为焦点在轴上的椭圆，则 【详解】对于A，若表示椭圆，则，解得或，A错； 对于B，当时，，此时方程表示焦点在x轴上的双曲线，B对；对于C，当时，方程，此时，则双曲线的焦距为，C对；对于D，若表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，D对.故选：BCD 例4．（1）（25-26高二上·云南保山·期末）“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由方程表示双曲线，得或，则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件．故选：B （2）（2026·湖南·三模）下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 【详解】A：当时，该双曲线的焦点在y轴上，当时，该双曲线的焦点在x轴上，所以本选项不符合题意；B：当该选项方程表示双曲线时，则有，或，由， 由，综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有，此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； C：因为该选项方程表示双曲线，所以，因为，所以该选项方程表示双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意；D：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由，由，综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在y轴上，符合题意.故选：D （3）（多选题）（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）曲线C：，下列结论正确的有（   ） A．若，则曲线C的渐近线为 B．若曲线C表示圆，则该圆的半径为 C．若曲线C表示椭圆，则 D．若曲线C表示双曲线，则或 【详解】A选项，当时，，曲线的渐近线为：，所以A选项错误； B选项，若曲线C表示圆，则，解得，则曲线为，圆的半径为，所以B选项正确；C选项，曲线C表示椭圆，则，解得：且，所以C选项错误；D选项，曲线C表示双曲线，则，解得：或，所以D选项正确.故选：BD （4）（多选题）（25-26高二上·河南郑州·期末）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以A正确；对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以B正确；对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解；若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解，综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，所以C错误；对于D，若方程表示双曲线，则满足，解得或，所以D正确.故选：ABD （5）（多选题）（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的有（   ） A．曲线可以是圆 B．当时，曲线可以是焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线可以是焦点在轴上的双曲线 D．当曲线是椭圆或双曲线时，其焦距均为5 【详解】对于A，当方程表示圆时，，无解，故A错误； 对于B，当时，，则表示焦点在轴上的椭圆，故B正确； 对于C，当时，，则表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当，即，此时方程表示焦点在轴上的双曲线， 故，所以，焦距为6；当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆，故，所以，焦距为6．故D错误．故选：BC． （6）（多选题）（25-26高三上·河北保定·期末）是关于的方程，则（　　） A．方程可以表示半径为的圆 B．当时方程表示焦点在轴上的椭圆 C．是方程表示焦点在轴上的椭圆的必要不充分条件 D．是方程表示双曲线的充要条件 【详解】方程表示圆的条件是，即，此时方程为，即，半径为，故A正确；当时，，则，所以， 表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；方程表示焦点在x轴上的椭圆的条件是，得到，所以是表示焦点在轴上的椭圆的充分不必要条件，故C错误；方程表示双曲线的条件是，即， 所以，所以是方程表示双曲线的充要条件，故D正确.故选：ABD. 题型三：双曲线中的焦点三角形问题 例5．（1）（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为双曲线，则，所以.因为点在双曲线右支上，所以.令，则，又因为，，所以由余弦定理得，即，即，因为，解得，即，所以，则的周长为.故选：C （2）（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（      ） A．4 B．2 C． D．1 【详解】不妨设点在双曲线右支上，，分别表示与同方向的 单位向量， 由 可知点在的平分线上，又由，可知， 延长交的延长线于点，则，根据双曲线的定义，得， 易得点O，M分别为，的中点，.故选：B （3）（2026·四川成都·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为为坐标原点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，且点到直线的距离为，则内切圆的半径为（    ）. A． B． C． D． 【详解】如图所示，过点作，垂足为，过点作 ，垂足为. 依题意可得，且,因为为线段的中点，故，设，则，故，故，由双曲线定义可得，故的周长为，故，故.故选：B （4）（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线第一象限内的一点，的角平分线为，过原点作的平行线，分别与和交于两点，若，则的周长为（  ） A．48 B．50 C．52 D．56 【详解】   ，，， ，，为的中点，过原点作的平行线，分别与和交于两点，，，，设直线交于点，点为双曲线第一象限内的一点，， 的角平分线为，，，，，，，，，，，，是的角平分线，，， 点为双曲线第一象限内的一点，，，，，，的周长为.故选：C. （5）（25-26高二上·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【详解】法1：由双曲线焦点三角形的面积公式可知，解得，即. 法2：由双曲线定义，在焦点三角形中，由余弦定理得 ,即，所以，又，所以，整理得，解得.故选：A. 例6．（1）（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为第一象限内一点，且，，为坐标原点，延长PO交双曲线C的左支于点Q，点M为双曲线C上异于的任意一点，若直线PM与QM的斜率都存在，则直线PM与QM的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，，，在中，由余弦定理可得， 又，则有，①又为的中点，由中线定理可得， 即，②②①可得，所以，故， 易知点与关于原点对称，设，则，因为都在双曲线上，所以，，所以，则．故选：C （2）（26-27高二上·北京·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A．6 B．10 C．12 D．15 【详解】结合双曲线定义可计算出、，再求出后可得，即可得解， 由双曲线定义可知，又，则，则，故，解得，则，又，由，故， 则.故选：A （3）（26-27高三上·甘肃·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【详解】把双曲线方程化为标准形式 ，设双曲线实半轴长为，那么，根据双曲线的定义可知，，, 又,所以的周长为. 故选：B （4）（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为双曲线，则，所以.因为点在双曲线右支上，所以.令，则，又因为，，所以由余弦定理得，即，即，因为，解得，即，所以，则的周长为.故选：C （5）（26-27高二上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交双曲线的右支于，两点，且．若，则的周长为（    ） A．68 B．72 C．76 D．80 【详解】双曲线的实半轴长，令，由，得，由双曲线的定义，得，． 在中，，由余弦定理，得，即，整理得，则，因此，，，所以的周长为72．.故选：B 例7．（1）（多选题）（25-26高二下·四川凉山·期末）已知，分别是双曲线：，（，）的左、右焦点，为其右支上一点（异于右顶点），的内切圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（     ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若且，则的离心率为 D．若，则的周长为 【详解】 设双曲线焦点 ，设的内切圆与相切于. 因为点在右支上，故.根据三角形内切圆切线长相等：，所以，即.设 ，则，得，即 .选项A，因为到轴距离为，不一定等于，故A错误；选项B，由 ，所以，故，又，得，即​， 所以双曲线的渐近线方程为，故B正确；选项C，由题意 ，，，，由余弦定理：， 代入上述值得，，，所以，，因此，C正确；选项D，设，由，得， 又，所以，得​，故​周长为 ，故D正确.故选：BCD （2）（多选题）（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）如图，，是双曲线：与椭圆：（，）的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，则（     ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则椭圆方程为 【详解】对于A，双曲线：，，所以，则.故焦点，.则，A错误.对于B，设的内切圆切轴于点，切于点，切于点. 则，，，由双曲线定义得， （*），又，，代入（*）解得，故切点为，B正确.对于C，若，则.双曲线：，所以.椭圆：，则，所以.故椭圆的离心率为，C错误. 对于D，若，则.又，则，所以，则，即，则，，故椭圆方程为，D正确.故选：BD （3）（多选题）（2026·重庆渝中·模拟预测）已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为 是坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【详解】由题意得，不妨设在第二象限，当时，则，则，故，，故，由于是的角平分线，所以，进而可得，故斜率为，故A正确，由于，所以，故B正确， 延长交于点，连接，由于是的角平分线，，所以， 故是的中点，，由双曲线定义可得，又是的中点，，故C正确，D错误.故选：ABC （4）（多选题）（26-27高二上·江苏·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．内切圆的圆心在直线上 【详解】对于选项A：由双曲线定义可得，则，则，又，则，故A正确；对于选项B：设，则，即，双曲线的渐近线为，则，由对称性，不妨设在上，在上，则，，有， 由，则，则，故，由点不在顶点上，故不能取等，即，故B正确；对于选项C：，故C错误； 对于选项D：设内切圆圆心为，与、、的切点分别为、、，由切线长定理可得、、，又，，即， 则，则，又，故，即内切圆的圆心在直线上，故D正确．故选：ABD 题型四：轨迹方程 例8．（1）（25-26高二下·贵州毕节·期中）过点M作直线和直线的垂线，垂足分别为点A，B，当点A，B分别在第一象限与第二象限，点在两直线夹成的上方区域内，且时，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【详解】设．点到直线，即的距离为，点到直线，即的距离为，由，得因为点在两直线夹角的上方区域内，所以因此于是，整理得又由可知该轨迹为上支，故所以点的轨迹方程为故选：D （2）（2026·河南驻马店·模拟预测）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【详解】不妨设，设动点，直线与的一般式为、，由点到直线的距离公式，得，.直线与的夹角为，由，得与两直线夹角互补，故. 由，即，化简得，即.当时，整理为；当时，整理为. 因此动点的轨迹方程为或.故选：D （3）（26-27高二上·云南昆明·期中）已知点，，，以点为一个焦点作过的椭圆，椭圆的另一个焦点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【详解】，，， ，，，因为都在椭圆上，所以，，所以的轨迹是以为焦点的双曲线的下支（，动点离更近），由，，得，所以的轨迹方程是．故选：A （4）（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】易知点不在轴上，由知动点在单位圆上，设点在轴右侧，如图，延长交于点． 因为点在的平分线上，且，所以为等腰三角形，则，且为的中点，所以，因此．同理，当点在轴左侧时，．故点在以、为焦点的双曲线上，则该双曲线实轴长为，焦距，虚轴长为，所以双曲线方程为．故选：C 例9．（1）（25-26高二上·山西太原·期末）已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】如下图所示：   当点在轴右侧时，连接，延长交直线于点， 因为，，故为线段的中点， 所以为等腰三角形，所以，又因为为的中点，所以， 此时；当点在轴左侧时，同理可得，所以，故点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线，由题意可得，则，，所以，因此点的轨迹方程为.故选：A. （2）（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支，又，则，故，动圆圆心的轨迹方程为.故选：C （3）（25-26高二上·江西萍乡·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，，点，则，， ∴，由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线，焦点为，，∴，，，则，∴动点的轨迹为双曲线方程为：.故选：B. （4）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为圆心，，所以，因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以，所以，所以Q点轨迹为双曲线，且，所以，则点的轨迹方程为.故选：B    （5）（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【详解】如图，连接，由题意可得，且为的中点，又为的中点，所以且．连接，因为点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，由垂直平分线的性质可得，所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，，，所以，所以曲线的方程为，令可得，即．故选：A 题型五：双曲线中最值问题 例10．（1）（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【详解】设双曲线的右焦点为，则，，而（渐近线斜率），故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以，当共线且A在之间时等号成立．所以的最大值为，故选：C （2）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【详解】由，得，，，所以上焦点，则下焦点为，又，由双曲线的定义得，由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．   故选：B． （3）（25-26高二下·浙江·开学考试）已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点. 根据椭圆和双曲线的定义，可得，即.又，当三点共线时取等号.所以，即周长的最小值为4.故选：B． （4）（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上异于顶点的动点，的内切圆与轴相切于点，若点是以为圆心、半径为1的圆上的动点，则的最小值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【详解】由题意得，则，所以，设的内切圆与分别相切于两点，则有，由双曲线定义可得，即，进而，即， 因为，所以，联立得，因为，所以， 所以点在以为圆心，半径的圆上移动，且，所以.故选：C （5）（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【详解】 在双曲线中，，，，所以双曲线的焦点，，，因为，，所以.故选：B． 例11．（1）（多选题）（2026·辽宁锦州·模拟预测）分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由椭圆可得：，，左右焦点为、， 由椭圆的定义：对椭圆上任意点，，得，因此：，由三角形不等式：，又，则，故，故A错误，B正确；由双曲线可得：，，焦点同样为、，由双曲线的定义：若在右支：，得，因此：，由三角形不等式：，得，若在左支：，得，因此，综上，总有，故C正确，D错误.故选：BC． （2）（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【详解】由题意，可设所求的双曲线的方程为，即.椭圆的焦点坐标为，，所以双曲线的焦点为，，所以，， 所以双曲线的方程为，则，，的周长为.当，，三点共线时，有最小值，最小值， 故的周长的最小值为.故选：D.    （3）（2026·江西赣州·二模）已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为，所以双曲线的焦半距为2，由题意可知双曲线离心率为，所以可知双曲线，解得.因为为双曲线右支上任意一点， 所以，即，又因为，所以，令，得，由对勾函数单调性可知其中单调递增，当时，取到最小值，即，所以的最小值为． （4）（25-26高二上·重庆·阶段检测）点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为______. 【详解】由双曲线的方程可得，焦点，右焦点，可得，所以，当A，，B三点共线时，最小，联立直线的方程，可得，消参数t可得，可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆（除去点），所以，当过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小.所以的最小值为9.故答案为：9    （5）（25-26高二上·辽宁大连·期末）如果点在运动过程中，总满足等式，则点到直线距离的最小值为_______． 【详解】因为点在运动过程中，总满足等式，所以点到点的距离与到点的距离之差为定值，而且，所以点是以点和点为焦点的双曲线的下支，设双曲线的标准方程为，所以，所以双曲线的标准方程为， 设与直线平行且与双曲线相切的直线方程为，则有，所以有， 当时，，符合题意，当时，，不符合题意，所以点到直线距离的最小值为.故答案为： （6）（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点M在双曲线左支上，点N为圆上一点，则的最小值为______． 【详解】双曲线中，，，故，，左焦点，右焦点，因动点在双曲线左支上，由双曲线定义得，即， 圆的圆心为，半径，对圆上任意点，有， 当且仅当共线且在之间时取等号， 由两点之间线段最短，，当且仅当为线段与双曲线左支的交点时取等号， 代入得，等号可同时成立，故最小值为. 题型六：双曲线中内切圆问题 例12．（1）（25-26高二上·河南郑州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若的角平分线为，与直线交于点，的内切圆圆心为，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】设三角形的内切圆切AB于E，切于N，切于M，     由，得 ，根据圆的切线长性质有，，， 所以，即，所以E与重合，则于，又直线过点，令，可得，所以，所以直线的方程为，由，解得，所以.故选：A （2）（25-26·湖南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若的角平分线所在直线，与直线交于点D，的内切圆圆心为C，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【详解】设三角形的内切圆切AB于E，切于N，切于M，      由，得，根据圆的切线长性质有，，，所以，即，所以E与重合，则于，故，而，即．故选：B （3）（25-26高二上·浙江杭州·期中）双曲线的右支上一点在第一象限，分别为双曲线的左、右焦点，若内切圆与轴相切，为双曲线的左顶点，则直线AI的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，可设、，设内切圆与轴的切点是点，、与内切圆的切点分别为、， 由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，，，故，即， 设内切圆的圆心横坐标为，则点的横坐标为，故，解得.由双曲线得，，，因为内切圆与轴相切，所以内切圆的半径为3， 而轴，得到，即，而，则，可得方程为， 整理得，故D正确.故选：D （4）（多选题）（25-26·湖北孝感·开学考试）已知双曲线为坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线位于第一象限上的点，分别是的内心、重心，则下列说法正确的是（   ） A．的横坐标为 B．直线与双曲线相切 C．的最大值是 D．若轴，则 【详解】如图所示，内切圆与三边的切点分别为，延长交于，连接． 对于A选项：由题意可知、、，，，可知，，所以内心的横坐标为，故A正确；对于B选项：与的外角平分线相互垂直，由双曲线的光学性质可知直线是双曲线在点处的切线，故B正确； 对于C：设，则有，其中为双曲线的离心率，设内切圆的半径为，则有，化简可得，两边同时平方，代入，化简可得，所以，故C错误；对于D选项：轴，由重心的性质可知，由题意及角平分线定理可知，则，在中，由余弦定理可知，代入数据可得 ，因为，所以，所以，故D正确．故选：ABD. （5）（26-27·湖南衡阳·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交右支于A，B两点，，的内切圆心为T，则T的坐标为__________. 【详解】设，，与内切圆的切点分别为E，F，G，令， ，，则，得，，，由双曲线定义得， 则点G与点重合，又，则，即.又，，直线GT的方程为， . 例13．（1）（25-26·湖北襄阳·期末）如图，在中，，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且，固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且在直线的异侧，则当最大值时，内切圆的面积为__________. 【详解】设圆与的三边分别切于点，如图，是中点，则， ，所以，所以在以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，则，的轨迹方程为：， ，所以，由题意，当是射线与双曲线右支的交点时，最大， 直线方程为， 由点在第一象限，解得，即， ，，设此时内切圆半径为，则，所以，所以内切圆面积为. 故答案为：. （2）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与该双曲线的左、右支分别交于两点，记与的内切圆的半径分别为，若，则的值为___________． 【详解】由双曲线，得，则，，设，则，所以， ，则．在与中，，即，整理得，所以，解得，所以． （3）（25-26高二上·浙江杭州·期末）设双曲线的左右焦点分别为，，离心率为2，，是右支上两点，且满足，记，的内切圆半径分别为，，则_____． 【详解】双曲线离心率，故，得，，右焦点，，双曲线方程可化为，设，则，，，由​得即， 设直线，代入双曲线方程，整理得，由韦达定理 ​，​，因为直线与双曲线交于右支，所以即，结合​，代入得： ​联立解得​，不妨令，则，，所以，所以，，，则， ，. （4）（25-26高二上·山东青岛·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，为其右支上一点，的内切圆圆心的横坐标为2，过作直线的垂线，垂足为，则___． 【详解】设各边的切点为，由圆的切线长定理可知， 由双曲线的定义可知：，因为，所以，所以为双曲线的右顶点，显然， 的横坐标为2，所以，设过作直线的垂线交于，因为点是内心,且 ，所以，且是的中点，所以，由双曲线的定义可知：，所以.故答案为：2 （5）（25-26·河南郑州·阶段检测）双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线上一点，若的内切圆圆心为，则外接圆的半径为_______． 【详解】设的内切圆圆心为，半周长为，，，设内切圆与的切点为， 则，，由切线长性质，， 两式相减得，由双曲线的定义可得，，由题意，则有，且，则，， 则，， 即，则，设外接圆的半径为，由正弦定理，，故外接圆的半径为.故答案为：. 例14．（1）如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（     ）. A． B． C． D． 【详解】设， ，，.在△与△中：，即：，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C. （2）（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与双曲线的右支交于两点.的内心为，的内心为，则下列说法正确的有（    ） A．双曲线的离心率为 B．直线的斜率的取值范围为 C．的取值范围为 D． 【详解】由题意得，，则，.A.离心率，选项A正确.B.双曲线渐近线方程为，倾斜角分别为，由过的直线与双曲线的右支交于两点可知直线的倾斜角，故直线斜率的取值范围为，选项B正确. C.设圆与的三边分别切于点，.根据切线长定理得，.由双曲线定义得，，即，∴，解得，即，∴圆切轴于双曲线的右顶点处，同理圆也切轴于双曲线的右顶点处.由得，.设，由分别为的平分线得，∴ ，由得，，故，选项C错误.D.由内切圆性质得，，分别为的平分线，∴∴，∴，选项D正确.故选：ABD. （3）（多选题）（高二上·浙江·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其一条渐近线为，直线l过点且与双曲线C的右支交于A，B两点，M，N分别为和的内心，则下列选项正确的是（   ） A．直线l斜率的取值范围为 B．点M与点N的横坐标都为a C．为直角三角形 D．面积的最小值为 【详解】解：因为双曲线的其一条渐近线为，故双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为和，作图可知，   若直线l过点且与双曲线C的右支有两个交点，则直线l倾斜角的取值范围为，则直线l斜率的取值范围为，故A错误；设焦距为2c，由题可知，故，如图，过点M分别作，，的垂线，垂足分别为D，E，H，易得，，，因为，所以，又，得，，所以，M点横坐标为a，同理可得N点横坐标也为a，故B正确;设直线l的倾斜角为，则，所以，即是直角三角形，故C正确;易得，则，，所以，，，由对勾函数可得，当且仅当时等号成立，则最小为，所以三角形的面积的最小值为，故D正确.故选：BCD. 题型七：双曲线的渐近线 例15．（1）（26-27高三上·四川成都·阶段检测）设双曲线C：经过点和点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】将代入双曲线方程得，解得，所以的渐近线方程为.故选：C. （2）（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【详解】因为点是双曲线右支上一点，，则，即， 可知三边长为，，，又因为双曲线离心率，得，即，可知焦点三角形的最大内角与最小内角之和为， 则，由余弦定理可得，即，整理可得，即，可得，即， 双曲线的渐近线方程为.故选：B （3）（2026·甘肃平凉·模拟预测）若双曲线虚轴的一端点与两顶点构成直角三角形，则C的渐近线方程为（） A． B． C． D． 【详解】双曲线的顶点为，虚轴的一个端点为 由题意，这三点构成直角三角形，且直角顶点只能是. 则，即 ，整理得，即双曲线的渐近线方程为，代入，得渐近线方程为.故选：D （4）（2026·四川成都·三模）已知双曲线的渐近线方程为分别为双曲线的左､右顶点，点在双曲线上（异于两点），则直线与直线的斜率之积为（    ） A．4 B．-4 C． D． 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以．又，，设，所以，，所以直线与直线的斜率之积为．故选：C. （5）（2026·天津和平·三模）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，的一条渐近线方程为，点在上，且，则（     ） A．1 B．2 C．4 D．5 【详解】因为椭圆，所以半焦距满足，即，故两焦点距离， 因为双曲线与共焦点，所以；又因为渐近线为，则，即， 代入得，解得，因为双曲线上的点，则，两边平方得：，又因为由，得，由勾股定理得，所以将代入得，解得.故选：C. 例16．（1）（多选题）（25-26高二下·广西崇左·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点（位于第一象限）在上，在点处的切线恰好为的角平分线，则（   ） A．的渐近线方程为 B．当时， C．当与轴交于点时， D．当的斜率为2时，点到轴的距离为 【详解】，因为，所以其渐近线方程为，故A错误；因为，，所以，故B正确；由得，则由角平分线定理得，因为，所以，在中利用余弦定理得， 则，故C正确；设，与联立得，则，得，因为点位于第一象限，所以，此时，则点到轴的距离为，故D错误.故选：BC （2）（多选题）（2026·湖南怀化·三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P是C的右支上一点（不与右顶点重合），过点P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（   ） A．焦点到渐近线的距离等于 B．内切圆的圆心在直线上 C．为定值 D．若直线与C交于另一点A，则的最小值为6 【详解】对于A选项，由题意可知，则渐近线方程为， 焦点到渐近线的距离等于，同理到渐近线的距离为；对于B选项，设的内切圆与三边分别切于点，根据切线长定理得则 ，又因为，解得，故G点坐标为，因为三角形的内切圆的圆心与切点G的连线垂直于x轴上，故横坐标与G点相同，故B选项正确； 对于C选项，设点，则，即，点P到的距离，同理点P到的距离，则，故C选项正确；    对于D选项，当点P与右顶点重合时， ，故当点P越接近右顶点时，的值就越接近2该值小于6，故D选项错误.故选：ABC （3）（多选题）（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知分别为双曲线的左、右焦点，为的渐近线上一点，且，则（ ） A．的方程为 B．的离心率为 C．点到直线 的距离为3 D．的面积为 【详解】已知焦点，得双曲线半焦距，即 ，又由双曲线渐近线为，得，即，代入，得，因此双曲线的方程为，故A正确；离心率，故B不正确；到直线的距离： ，故C错误；由，可知在以为直径的圆上， 联立渐近线：代入得，可得交点纵坐标，即的面积为： ，故D正确.故选：AD （4）（多选题）26-27高二上·黑龙江佳木斯·期中）双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则（     ） A． B．的渐近线方程为 C． D．当时，四边形的面积为 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，故A正确；对于C，方法一：因为在以为直径的圆上，故且，设，则，故，故，由于，故即，故C错误； 方法二：因为，因为双曲线中，，则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则，若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，又，则，故C错误； 方法三：在中利用余弦定理知，，即，则.则为直角三角形，且，则，故C错误；对于B，因为，则，则双曲线的渐近线方程为，故B正确；对于D，当时，则，故四边形的面积为，故D正确.故选：ABD 例17．（1）（25-26高二上·四川广元·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．如图2所示，若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，反射光线分别是，且，，三点共线，则的渐近线方程为______． 【详解】如图，由，可得，所以,因为，所以在直角三角形中, 设由双曲线的定义得到，即，又因为，所以 ，即 所以， ，在直角三角形中，，即，即，得到所以双曲线的渐近线为.故答案为：. （2）（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知双曲线的渐近线方程为，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上位于第一象限的动点，设，，则________． 【详解】双曲线的渐近线为，已知渐近线为，故，即， 所以，则，即，由题设，设，则， 因此，故，又，故， 因此，由几何意义得，，因此，所以. （3）（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知双曲线的离心率为，圆与的一条渐近线相交，且弦长不小于2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】设双曲线的半焦距为，则，解得：，且双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线为，因为圆的圆心为，半径，可知圆关于轴对称，不妨取渐近线为，即，则圆心到渐近线的距离，可得：.又因为圆与双曲线的一渐近线相交弦长为，由题意可得：，解得：.综上可得：的取值范围是.故选：B 题型八：双曲线的简单几何性质问题 例18．（1）（多选题）（26-27高二上·河北保定·期中）已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线实轴长为3 B．双曲线虚轴长为 C．双曲线离心率为2 D．双曲线的两渐近线夹角的正切值为 【详解】由双曲线：，得，则，即，则双曲线实轴长为，虚轴长为，离心率为，故A错误，BC正确；而双曲线的两渐近线方程为，则两渐近线的倾斜角分别为，所以两渐近线的夹角为，则夹角的正切值为，故D错误.故选：BC （2）（多选题）（26-27高二上·河南南阳·期中）已知双曲线：，：，则（    ） A．和的实轴长相等 B．和的渐近线相同 C．和的焦距相等 D．上存在两点，使得上任意一点到这两点距离之差的绝对值为定值 【详解】对于双曲线：，，，，对于双曲线：，，，，对于A，的实轴长，的实轴长，所以和的实轴长不相等，故A错误；对于B，的渐近线为，的渐近线为，所以和的渐近线相同，故B正确；对于C，的焦距为，的焦距为，所以和的焦距不相同，故C错误；对于D，由于的左右焦点分别为，根据双曲线的定义， 可知上任意一点到的距离之差的绝对值为定值，由于在上，即上存在两点，满足条件，故D正确.故选：BD （3）（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，过点作圆的切线，交双曲线的右支于点，若，则实数________. 【详解】如图，作出符合题意的图形，   设过点的切线与圆相切于点，由圆，可得， 又因为点为双曲线的左右焦点，所以，所以，在中，由正弦定理可得，代入 ，，得，解得 ，又因为在双曲线的右支，所以，即，在中，由余弦定理可得，代入，，， 得到，解得，又因为双曲线中，所以， 所以，即.故答案为： （4）（25-26高三上·辽宁锦州·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，和是以为圆心（为坐标原点），以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则___________． 【详解】依题意得，根据题意，作图如下：   因为为等边三角形．故可得，在直角三角形中，可得,根据双曲线的定义：，解得：.故答案为：. （5）（25-26高二下·安徽合肥·期末）我们知道，对勾函数的图象实际上是双曲线，它是由标准双曲线经过变换得到，它满足双曲线的基本性质．则函数的图象对应的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知：函数有两条渐近线，， 设渐近线的夹角为，，直线的倾斜角为，则，，可得，则，整理可得，解得或（舍去），即，所以所求双曲线的离心率为.故选：D 例19．（1）（多选题）（25-26高二下·福建厦门·期末）已知双曲线，则（    ） A． B．C的焦点在x轴上 C．C的焦距为2 D．C的渐近线不可能互相垂直 【详解】A选项，由题意得，解得，A正确；B选项，由A知，，故，，故焦点在x轴上，B正确；C选项，因为，所以，故C的焦距为，C错误；D选项，当，即时，C的渐近线方程为，两条渐近线互相垂直，D错误.故选：AB （2）（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于两点，分别过点作的垂线，垂足为.若四边形的面积为，则的实轴长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限，显然的倾斜角为的倾斜角为，故，而，由对称性易得四边形是平行四边形，故其面积，可得，设，由的倾斜角为，得，于是由，得，又，则，解得，故的实轴长为.故选：B. （3）（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 【详解】 的周长为，当且仅当三点共线时取等号，因为，所以 ，在中，，即，解得， 所以.故选：C （4）（多选题）（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，对勾函数（，）的图象是一条中心在坐标原点的旋转双曲线，其渐近线分别为直线与y轴，该双曲线的实轴和虚轴所在的直线是两条渐近线的角平分线．已知双曲线的实轴长为2m，离心率为e，设双曲线C的渐近线与实轴夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．点是双曲线C的一个顶点 C． D． 【详解】根据双曲线的定义，设双曲线的实轴长、虚轴长分别为2a，2b，则，所以，故A正确．由题意知，在双曲线C中，顶点是实轴所在的直线与双曲线的交点，渐近线的斜率为，则，解得或（舍），则，所以双曲线C的实轴所在的直线为．与联立，解得顶点的坐标为或，故B错误．由，得，结合A选项，得，故C正确．为顶点到坐标原点的距离，所以，故D正确.故选：ACD 题型九：直线与双曲线的位置关系及弦长 例20．（1）已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 【解析】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，点是双曲线的顶点.①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与双曲线只有一个公共点，合乎题意；②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点.若直线的斜率为，则直线的方程为，此时直线为双曲线的一条渐近线，不合乎题意.综上所述，过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条.故选：A. （2）（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）已知双曲线的离心率为，C的渐近线与圆相切，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，又，即，所以，因为双曲线的渐近线方程为.由，得，即，圆与渐近线相切，圆的圆心为.所以，解得．故选：D （3）已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为 A．3 B．1 C． D．2 详解：由题可得：c=，即有a=b，渐近线方程为y=±x，圆（x-m）2+y2=4（m＞0）的圆心为（m，0），半径为2，可得圆心到直线的距离为d=，则直线被圆截得的弦长为，解得m=2（-2舍去），故选D． （4）（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若无论为何值，直线与双曲线总有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C．，且 D．，且 【详解】易得原点到直线的距离，故直线为单位圆的切线，由于直线与双曲线总有公共点，所以点必在双曲线内或双曲线上，则.故选：B. （5）（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】设，令，则，过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点，如果在同一支上，则有，如果在两支上，则有，因为这样的直线有4条，所以，解得，故选：B 例21．（1）已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】设坐标原点为，易知的渐近线的方程为，联立解得，不妨取，同理可得， 则，因为四边形是平行四边形，于是，由于点在上，所以，因此，故C正确.故选：C． （2）倾斜角为锐角的直线经过双曲线的左焦点，分别交双曲线的两条渐近线于两点，若线段的垂直平分线经过双曲线的右焦点，则直线的斜率为 .   设中点为，两渐近线可写成，设，则，且①-②可得，整理得，，即(*)，如图，在中，，则,故，即，将此式代入（*）得，解得依题意，，则.故答案为：. （3）（全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，则，解得，所以双曲线的渐近线为，当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D （4）（多选题）（2027·湖南衡阳·一模）已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若满足的直线恰有3条，则 C．恒成立 D．的取值范围为 【详解】双曲线：的右焦点为，左右顶点分别为，对于A，当直线斜率为0时，，A错误；对于B，由满足的直线恰有3条，得必有2条直线与双曲线的左右两支相交，并关于轴对称，另有一条直线与右支交于两点，也关于轴对称，其斜率不存在， 因此为通径长，等于12，B正确；对于C，当斜率为0时，成立，当斜率不为0时，若直线与交于同一支，则，设，， 由，得，则，，，因此， 若直线与交于左右两支时，不妨设在左支，，同理可得成立，因此恒成立，C正确；对于D，当直线与交于右支时，，当直线与交于左右两支时，不妨设， ，由，得，当直线斜率为0时，，因此的取值范围为，D正确．故选BCD （5）（多选题）（26-27高三上·云南曲靖·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，的离心率，过右焦点的直线交双曲线于，两点，则下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．弦长度的最小值为 C．当直线垂直于渐近线时，直线与双曲线的左、右两支都相交 D．若直线的斜率为2，则 【详解】对于A，因为，即，则，，所以， 即直线的斜率，则该直线的倾斜角的取值范围为，A正确．对于B，直线与双曲线的两个交点，可能都在同一支（右支）上，也可能分别在左、右两支上．当两个交点，都在右支上时，通径最短，即直线与轴垂直时，弦最短，此时，当直线与双曲线的两支都相交时，交点，都在轴上时，弦最短，此时．由，可得，所以，则，所以，所以弦AB长度的最小值为．B错误．对于C，因为渐近线的倾斜角总大于，所以当直线垂直于渐近线时，直线的倾斜角大于，此时直线与另一条渐近线的交点在第二象限，故直线与双曲线的两支都相交，故C正确． 对于D，当直线的斜率为2时，的方程为．由，消去整理得，则．设，． 由，得，，则，，所以令，则，．所以．D正确．故选ACD 题型十：共焦点的椭圆与双曲线 例22．（1）（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为___________． 【详解】设椭圆的长半轴长为，半焦距为，根据椭圆的定义.设双曲线的实半轴长为，半焦距为，根据双曲线的定义，不妨设，则有.联立得.因为，所以根据勾股定理有，化简得：，两边同除以可得：，则根据柯西不等式得，当且仅当 所以的最大值为. （2）（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）已知椭圆：与双曲线有公共的焦点，，A为，在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则最小值为________. 【详解】记椭圆中的几何量为，双曲线中的几何量为， 则由椭圆和双曲线的定义可得①，②，两式平方相减整理得， 记，则由余弦定理得③，如下图： 得，由面积公式得，则, 代入整理得，即，故，因为，所以，所以，得，因此，，则， 所以，即，所以，当且仅当时等号成立，即最小值为.故答案为：8 （3）（25-26·湖北武汉·阶段检测）已知椭圆和双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，设两曲线在第一象限的交点为M，、的离心率分别为、，当时，不可能等于（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，，根据椭圆的定义，；根据双曲线的定义，.所以， 所以，且.所以.设，，则. 因为函数在上单调递增，所以.所以.所以不可能等于.故选：B （4）（多选题）（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且左、右焦点分别为，，它们在第一象限的交点为，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则下列结论正确的是（     ） A．若，则为直角三角形 B．若，，则 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 【详解】设两曲线的公共半焦距为，即，根据椭圆和双曲线的定义，对第一象限交点有：​，，解得：，. 选项A：若，则：，因此.计算，所以为直角三角形，A正确； 选项B：若，则，B错误； 选项C：若，由余弦定理，得，即，得，所以，即.所以 ，当且仅当时等号成立，由得，代入解得.因此当时，的最小值为，所以C正确；选项D：若，由余弦定理， 得，即，所以，得. 令，则，，由柯西不等式，，即，所以，当且仅当时等号成立，因此的最大值为，D正确.故选：ACD 题型十一：离心率的值及取值范围 例23．（1）（25-26高二上·江苏南通·期末）设是椭圆：和双曲线：的公共焦点，是它们在第一象限的公共点，与双曲线的右支交于另一个点，若以为直径的圆过点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，若以为直径的圆过点，则满足， 所以，可得， 所以，化简得出，又因为，所以，所以，即得，所以，代入，可得，则椭圆的离心率.故选：D. （2）（26-27高二上·江苏·期中）已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，设在右支上， 设双曲线的左焦点为，则，且，所以由双曲线的对称性可得四边形为矩形，所以，因为，，所以，因为，所以，所以.故选：A （3）（26-27高三上·江西宜春·阶段检测）已知焦距相同的椭圆与双曲线的一个交点为，的左、右焦点分别为、，且的离心率为，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，椭圆与双曲线的焦距相同，即焦点相同，设，，则在椭圆中，可得。，则，则，又，即，即，所以， 所以，在双曲线中，可得，则， 所以，又，所以，化简得，又，所以，所以，解得， 所以双曲线的离心率为.故选：B （4）（26-27高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知双曲线的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．3 B．2 C． D． 【详解】因为，，所以，因此，即，则； 不妨设在第二象限，因为，，则，所以；又因为是双曲线上一点，所以，整理得，化简得， 又因为，所以.故选：B （5）（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，可得双曲线的渐近线方程为，又，所以，如图所示，又，所以，所以，又，，所以在中，，又，所以，化简得， 又在双曲线中，，所以，整理得，即，所以， 即双曲线的离心率为.故选：A 例24．（1）（多选题）（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，则下列结论正确的是（     ） A．椭圆的离心率为 B． C．若双曲线的离心率为2，则 D．双曲线的离心率的取值范围是 【详解】椭圆 是焦点在x 轴上的椭圆所以，即半焦距，椭圆焦点为 ，由于椭圆与双曲线有公共焦点，因此双曲线 C 的半焦距也为 ，且焦点在 x 轴上. 选项 A，椭圆的长半轴长为，半焦距 ，所以离心率为，A正确； 选项 B，双曲线满足，结合公共焦点的 ，得，B正确； 选项 C，双曲线离心率公式为 ，代入 、，得，解得 ，C正确； 选项 D，由双曲线定义， 且 ，结合 ，可得 ，即 ，双曲线离心率 ，由 可推出 ，即离心率取值范围为 ，并非 ，D错误.故选：ABC （2）（26-27高二上·河南南阳·期中）已知双曲线：（，）的右焦点为，点，分别在的左、右两支上，且直线平行于轴．若，，则的离心率为__________． 【详解】 设，（），双曲线的左焦点为，由于直线平行于轴，根据双曲线的对称性可知，由双曲线定义：，在左支、在右支，为右焦点，故，，在中，，由余弦定理：， 故，于是，得，从而，，由平行于轴及双曲线关于轴对称，、横坐标互为相反数，又在右支，故点横坐标，将代入双曲线方程，得，解得，右焦点，由两点间距离公式，代入得：，将代入，， 展开得，整理为，两边除以，令，得，解得或，双曲线离心率，舍去，故. （3）（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知是双曲线的上焦点，直线与双曲线交于，两点，其中在第一象限，，且，则双曲线的离心率的取值范围为_________． 【详解】如图所示，设下焦点为，上焦点为，由题可知：，，所以四边形是平行四边形，所以，设，则，由双曲线定义得：，所以，则：，，， 根据平行四边形对角互补可知：，已知，所以，则，在三角形中，由余弦定理得：， 则，即：，两边同时除以得：，即：，所以，因为，所以，，所以. （4）（26-27高二上·浙江·开学考试）已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，连接，由双曲线定义，，因，则，由对称性可知，，设，在等腰三角形中，，即（*）在中，由余弦定理，，即，将（*）代入，可得，整理得，则有，故.故选：B （5）（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为．若存在一条过的直线，与双曲线C的左支交于两个不同的点，且的周长为焦距的3倍，则双曲线C的离心率的取值范围为______． 【详解】 因为都在双曲线左支上，所以由双曲线的定义可得：，， 两式相加得：，即.因为同在左支，所以焦点弦长，因此的周长为： .因为的周长为焦距的3倍，所以，即.过左焦点且与双曲线左支交于两个不同点的弦中，通径最短，且通径长度为，因此弦长必须满足：，即 ，两边同除以，结合离心率公式，整理得：.又，所以，故双曲线C的离心率的取值范围为：. 题型十二：双曲线综合大题 例25．（25-26高二上·贵州·期中）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，且的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）已知第一象限内的动点在上，点. （i）若点，求的最小值； （ii）若，求的面积. 【详解】（1）因为动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为， 所以，将上式两边平方，化简得，所以的方程为（或）. （2）（i）由（1）可知分别是的左､右焦点，又，，因为第一象限内的点在上，所以，则，又，所以， 所以，当且仅当在与双曲线在第一象限的交点时取等号，所以的最小值为. （ii）由题意得，将①左右两边平方，得，结合②得，所以的面积为.    例26．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知双曲线：（，）过点，且离心率为． （1）求双曲线的方程； （2）已知，分别是双曲线的左、右顶点，，分别是其左、右焦点． ①点在双曲线右支上运动，点在圆：上运动，求的最小值； ②若是双曲线上异于，的一点，且，求证：的面积小于． 【详解】（1）由题意得，解得，所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，. ①点在双曲线右支上运动，由双曲线定义得，即. 圆：圆心为，半径，点在圆上，则（当且仅当在线段上时取等号）.所以 又（当且仅当在线段上时取等号），， 所以（当且仅当在线段上，在线段上时取等号），所以的最小值为. ②由（1）知，，故.在中，由余弦定理可得， 即； 由题意可得，所以上式不能取等号， 所以，所以；设的高为，所以，因此；又因为与的高相等， 所以. 例27．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）已知双曲线：（，）的离心率为，且点在双曲线上，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点． （1）求双曲线的方程； （2）若，且，求直线的斜率； （3）若，，分别是双曲线的左、右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围． 【详解】（1）对于双曲线：，，，则，将点，代入得，解得，所以双曲线的方程为． （2）当直线斜率为0时，易知，舍去； 当直线斜率不为0时，设直线方程为，，，联立，整理得，，，，，     从而，解得或，故直线的斜率为或． （3）当直线斜率为0时，易知与共线，不符合题意；当直线斜率不为0时，设直线l方程为， 设，，则，联立，整理得， （*）且，，， 因为，，如图4， 所以，， 所以，即， 即，整理得，即，     代入（*）中得，又，所以，又因为，即，所以且，综上，m的取值范围为． 例28．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知双曲线（，）的一条渐近线的方程为，左、右焦点分别为，，且，过点的直线与双曲线交于，两点． （1）求双曲线的标准方程． （2）若点，均在双曲线的右支上，且的周长为，求直线的方程． （3）探究是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为，即，所以．又因为一条渐近线的方程为，所以，所以，所以，，所以双曲线的标准方程为； （2）因为点，均在双曲线的右支上，且的周长为，所以，即，解得． 因为，所以设直线的方程为．代入，得，整理得．由题意，得，恒成立．设，，则，所以，．因为，所以．解得，所以． 所以直线的方程为，即或； （3）假设存在轴上的定点，使得为定值．因为，， 所以 ．因为为定值，所以，解得，此时．所以存在点，使得为定值． 例29．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，左焦点为，过的直线与的右支交于、两点，且点在第一象限． （1）求的标准方程； （2）若，求的方程； （3）记的内心为，的内心为，的面积为，的面积为，求的最大值． 【详解】（1）因为右焦点到渐近线的距离，所以． 又离心率，且，解得．所以的标准方程为． （2）设直线，点在第一象限，故，联立消去得．由韦达定理，得．因为与的右支交于两点，所以，即．因为，且，所以．所以，解得，满足要求，由于，故，故，解得，故，所以的方程为． （3）由已知得．过的内心作的垂线，垂足分别为，如图所示． 根据切线长定理，得，由，得．又，所以．而，则．所以．同理．所以．又，所以 ．因为， 所以，解得．即，同理．所以．因为，所以．所以．又，所以．因为， 所以．所以．因为，所以当时，取最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 双曲线方程及其性质知识总结与题型分类 一、双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示． 二、双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 总结：一、双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 二：中点弦问题（点差法） 若双曲线与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过双曲线的中心，为双曲线上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 三、双曲线离心率求解的常用方法 公式1: 公式 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 公式4:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则．当曲线焦点在轴上时, 四、1.双曲线的渐近线方程亦为. 2.已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点. 如图1.若,则 图1 图2 设，则坐标均满足①，②.又.则由，可得： . 给②式乘再相减得： 故.由 如图2.若，则 3.双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为. 4.已知具有公共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为是它们的一个交点，且，则有. 题型一：双曲线的定义与标准方程 例1．（1）（高二上·河北石家庄·期中）双曲线的两个焦点分别是和，焦距为8，M是双曲线上的一点，且，则的值为（ ） A．1 B．4 C．1或9 D．9 （2）（25-26高三上·四川自贡·期末）设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D．1 （3）（2026·云南昭通·模拟预测）已知、是双曲线的左、右两个焦点且焦距为6，点P、Q在双曲线C上且关于原点对称，若线段的中点在y轴上且，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． （4）（2025·甘肃·模拟预测）已知双曲线的两个焦点是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． （5）（25-26高二上·湖南·期中）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． （6）（多选题）（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知双曲线，焦点，，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线于第一象限交于点，则下列满足内切圆半径为1的双曲线方程有（   ） A． B． C． D． 例2．（1）（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线（，）的两条渐近线夹角为，离心率，则该双曲线的标准方程可能是（    ）. A． B． C． D． （2）（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． （3）（天津·统考高考真题）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． （4）（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． （5）（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，是的平分线，且为坐标原点，则（    ） A． B．4 C． D．8 （6）（2026·天津武清·模拟预测）已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上有一点，满足且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． （7）（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知双曲线的离心率为，AB是过右焦点F且垂直于x轴的弦，若点A，B到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：双曲线方程的充要条件 例3．（1）25-26·河南·期末）若方程 表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·广东江门·阶段检测）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·山西太原·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （4）（多选题）（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）若方程所表示的曲线为C，则下面结论正确的是（   ） A．若，则C为椭圆 B．若，则C为双曲线 C．若C为双曲线，则焦距可以为 D．若C为焦点在轴上的椭圆，则 例4．（1）（25-26高二上·云南保山·期末）“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）（2026·湖南·三模）下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． （3）（多选题）（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）曲线C：，下列结论正确的有（   ） A．若，则曲线C的渐近线为 B．若曲线C表示圆，则该圆的半径为 C．若曲线C表示椭圆，则 D．若曲线C表示双曲线，则或 （4）（多选题）（25-26高二上·河南郑州·期末）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 （5）（多选题）（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的有（   ） A．曲线可以是圆 B．当时，曲线可以是焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线可以是焦点在轴上的双曲线 D．当曲线是椭圆或双曲线时，其焦距均为5 （6）（多选题）（25-26高三上·河北保定·期末）是关于的方程，则（　　） A．方程可以表示半径为的圆 B．当时方程表示焦点在轴上的椭圆 C．是方程表示焦点在轴上的椭圆的必要不充分条件 D．是方程表示双曲线的充要条件 题型三：双曲线中的焦点三角形问题 例5．（1）（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（      ） A．4 B．2 C． D．1 （3）（2026·四川成都·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为为坐标原点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，且点到直线的距离为，则内切圆的半径为（    ）. A． B． C． D． （4）（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线第一象限内的一点，的角平分线为，过原点作的平行线，分别与和交于两点，若，则的周长为（  ） A．48 B．50 C．52 D．56 （5）（25-26高二上·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 例6．（1）（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为第一象限内一点，且，，为坐标原点，延长PO交双曲线C的左支于点Q，点M为双曲线C上异于的任意一点，若直线PM与QM的斜率都存在，则直线PM与QM的斜率之积为（    ） A． B． C． D． （2）（26-27高二上·北京·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A．6 B．10 C．12 D．15 （3）（26-27高三上·甘肃·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 （4）（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． （5）（26-27高二上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交双曲线的右支于，两点，且．若，则的周长为（    ） A．68 B．72 C．76 D．80 例7．（1）（多选题）（25-26高二下·四川凉山·期末）已知，分别是双曲线：，（，）的左、右焦点，为其右支上一点（异于右顶点），的内切圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（     ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若且，则的离心率为 D．若，则的周长为 （2）（多选题）（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）如图，，是双曲线：与椭圆：（，）的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，则（     ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则椭圆方程为 （3）（多选题）（2026·重庆渝中·模拟预测）已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为 是坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若 ，则 D．若 ，则 （4）（多选题）（26-27高二上·江苏·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．内切圆的圆心在直线上 题型四：轨迹方程 例8．（1）（25-26高二下·贵州毕节·期中）过点M作直线和直线的垂线，垂足分别为点A，B，当点A，B分别在第一象限与第二象限，点在两直线夹成的上方区域内，且时，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． （2）（2026·河南驻马店·模拟预测）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 （3）（26-27高二上·云南昆明·期中）已知点，，，以点为一个焦点作过的椭圆，椭圆的另一个焦点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． （4）（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 例9．（1）（25-26高二上·山西太原·期末）已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·江西萍乡·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． （5）（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 题型五：双曲线中最值问题 例10．（1）（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 （3）（25-26高二下·浙江·开学考试）已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 （4）（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上异于顶点的动点，的内切圆与轴相切于点，若点是以为圆心、半径为1的圆上的动点，则的最小值为（     ） A．2 B． C．1 D． （5）（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 例11．（1）（多选题）（2026·辽宁锦州·模拟预测）分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为（   ） A．4 B． C． D． （3）（2026·江西赣州·二模）已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 （4）（25-26高二上·重庆·阶段检测）点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为______. （5）（25-26高二上·辽宁大连·期末）如果点在运动过程中，总满足等式，则点到直线距离的最小值为_______． （6）（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点M在双曲线左支上，点N为圆上一点，则的最小值为______． 题型六：双曲线中内切圆问题 例12．（1）（25-26高二上·河南郑州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若的角平分线为，与直线交于点，的内切圆圆心为，则点坐标为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26·湖南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若的角平分线所在直线，与直线交于点D，的内切圆圆心为C，则的值为（   ） A． B． C． D．2 （3）（25-26高二上·浙江杭州·期中）双曲线的右支上一点在第一象限，分别为双曲线的左、右焦点，若内切圆与轴相切，为双曲线的左顶点，则直线AI的方程为（   ） A． B． C． D． （4）（多选题）（25-26·湖北孝感·开学考试）已知双曲线为坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线位于第一象限上的点，分别是的内心、重心，则下列说法正确的是（   ） A．的横坐标为 B．直线与双曲线相切 C．的最大值是 D．若轴，则 （5）（26-27·湖南衡阳·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交右支于A，B两点，，的内切圆心为T，则T的坐标为__________. 例13．（1）（25-26·湖北襄阳·期末）如图，在中，，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且，固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且在直线的异侧，则当最大值时，内切圆的面积为__________. （2）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与该双曲线的左、右支分别交于两点，记与的内切圆的半径分别为，若，则的值为___________． （3）（25-26高二上·浙江杭州·期末）设双曲线的左右焦点分别为，，离心率为2，，是右支上两点，且满足，记，的内切圆半径分别为，，则_____． （4）（25-26高二上·山东青岛·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，为其右支上一点，的内切圆圆心的横坐标为2，过作直线的垂线，垂足为，则___． （5）（25-26·河南郑州·阶段检测）双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线上一点，若的内切圆圆心为，则外接圆的半径为_______． 例14．（1）如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（     ）. A． B． C． D． （2）（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与双曲线的右支交于两点.的内心为，的内心为，则下列说法正确的有（    ） A．双曲线的离心率为 B．直线的斜率的取值范围为 C．的取值范围为 D． （3）（多选题）（高二上·浙江·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其一条渐近线为，直线l过点且与双曲线C的右支交于A，B两点，M，N分别为和的内心，则下列选项正确的是（   ） A．直线l斜率的取值范围为 B．点M与点N的横坐标都为a C．为直角三角形 D．面积的最小值为 题型七：双曲线的渐近线 例15．（1）（26-27高三上·四川成都·阶段检测）设双曲线C：经过点和点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． （2）（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． （3）（2026·甘肃平凉·模拟预测）若双曲线虚轴的一端点与两顶点构成直角三角形，则C的渐近线方程为（） A． B． C． D． （4）（2026·四川成都·三模）已知双曲线的渐近线方程为分别为双曲线的左､右顶点，点在双曲线上（异于两点），则直线与直线的斜率之积为（    ） A．4 B．-4 C． D． （5）（2026·天津和平·三模）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，的一条渐近线方程为，点在上，且，则（     ） A．1 B．2 C．4 D．5 例16．（1）（多选题）（25-26高二下·广西崇左·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点（位于第一象限）在上，在点处的切线恰好为的角平分线，则（   ） A．的渐近线方程为 B．当时， C．当与轴交于点时， D．当的斜率为2时，点到轴的距离为 （2）（多选题）（2026·湖南怀化·三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P是C的右支上一点（不与右顶点重合），过点P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（   ） A．焦点到渐近线的距离等于 B．内切圆的圆心在直线上 C．为定值 D．若直线与C交于另一点A，则的最小值为6 （3）（多选题）（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知分别为双曲线的左、右焦点，为的渐近线上一点，且，则（ ） A．的方程为 B．的离心率为 C．点到直线 的距离为3 D．的面积为 （4）（多选题）26-27高二上·黑龙江佳木斯·期中）双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则（     ） A． B．的渐近线方程为 C． D．当时，四边形的面积为 例17．（1）（25-26高二上·四川广元·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．如图2所示，若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，反射光线分别是，且，，三点共线，则的渐近线方程为______． （2）（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知双曲线的渐近线方程为，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上位于第一象限的动点，设，，则________． （3）（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知双曲线的离心率为，圆与的一条渐近线相交，且弦长不小于2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八：双曲线的简单几何性质问题 例18．（1）（多选题）（26-27高二上·河北保定·期中）已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线实轴长为3 B．双曲线虚轴长为 C．双曲线离心率为2 D．双曲线的两渐近线夹角的正切值为 （2）（多选题）（26-27高二上·河南南阳·期中）已知双曲线：，：，则（    ） A．和的实轴长相等 B．和的渐近线相同 C．和的焦距相等 D．上存在两点，使得上任意一点到这两点距离之差的绝对值为定值 （3）（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，过点作圆的切线，交双曲线的右支于点，若，则实数________. （4）（25-26高三上·辽宁锦州·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，和是以为圆心（为坐标原点），以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则___________． （5）（25-26高二下·安徽合肥·期末）我们知道，对勾函数的图象实际上是双曲线，它是由标准双曲线经过变换得到，它满足双曲线的基本性质．则函数的图象对应的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 例19．（1）（多选题）（25-26高二下·福建厦门·期末）已知双曲线，则（    ） A． B．C的焦点在x轴上 C．C的焦距为2 D．C的渐近线不可能互相垂直 （2）（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于两点，分别过点作的垂线，垂足为.若四边形的面积为，则的实轴长为（    ） A．2 B．4 C． D． （3）（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． （4）（多选题）（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，对勾函数（，）的图象是一条中心在坐标原点的旋转双曲线，其渐近线分别为直线与y轴，该双曲线的实轴和虚轴所在的直线是两条渐近线的角平分线．已知双曲线的实轴长为2m，离心率为e，设双曲线C的渐近线与实轴夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．点是双曲线C的一个顶点 C． D． 题型九：直线与双曲线的位置关系及弦长 例20．（1）已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 （2）（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）已知双曲线的离心率为，C的渐近线与圆相切，则（   ） A． B． C． D． （3）已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为 A．3 B．1 C． D．2 （4）（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若无论为何值，直线与双曲线总有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C．，且 D．，且 （5）（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例21．（1）已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（    ） A． B． C． D． （2）倾斜角为锐角的直线经过双曲线的左焦点，分别交双曲线的两条渐近线于两点，若线段的垂直平分线经过双曲线的右焦点，则直线的斜率为 . （3）（全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． （4）（多选题）（2027·湖南衡阳·一模）已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若满足的直线恰有3条，则 C．恒成立 D．的取值范围为 （5）（多选题）（26-27高三上·云南曲靖·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，的离心率，过右焦点的直线交双曲线于，两点，则下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．弦长度的最小值为 C．当直线垂直于渐近线时，直线与双曲线的左、右两支都相交 D．若直线的斜率为2，则 题型十：共焦点的椭圆与双曲线 例22．（1）（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为___________． （2）（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）已知椭圆：与双曲线有公共的焦点，，A为，在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则最小值为________. （3）（25-26·湖北武汉·阶段检测）已知椭圆和双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，设两曲线在第一象限的交点为M，、的离心率分别为、，当时，不可能等于（    ） A． B． C． D． （4）（多选题）（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且左、右焦点分别为，，它们在第一象限的交点为，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则下列结论正确的是（     ） A．若，则为直角三角形 B．若，，则 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 题型十一：离心率的值及取值范围 例23．（1）（25-26高二上·江苏南通·期末）设是椭圆：和双曲线：的公共焦点，是它们在第一象限的公共点，与双曲线的右支交于另一个点，若以为直径的圆过点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． （2）（26-27高二上·江苏·期中）已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． （3）（26-27高三上·江西宜春·阶段检测）已知焦距相同的椭圆与双曲线的一个交点为，的左、右焦点分别为、，且的离心率为，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． （4）（26-27高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知双曲线的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．3 B．2 C． D． （5）（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 例24．（1）（多选题）（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，则下列结论正确的是（     ） A．椭圆的离心率为 B． C．若双曲线的离心率为2，则 D．双曲线的离心率的取值范围是 （2）（26-27高二上·河南南阳·期中）已知双曲线：（，）的右焦点为，点，分别在的左、右两支上，且直线平行于轴．若，，则的离心率为__________． （3）（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知是双曲线的上焦点，直线与双曲线交于，两点，其中在第一象限，，且，则双曲线的离心率的取值范围为_________． （4）（26-27高二上·浙江·开学考试）已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． （5）（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为．若存在一条过的直线，与双曲线C的左支交于两个不同的点，且的周长为焦距的3倍，则双曲线C的离心率的取值范围为______． 题型十二：双曲线综合大题 例25．（25-26高二上·贵州·期中）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，且的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）已知第一象限内的动点在上，点. （i）若点，求的最小值； （ii）若，求的面积. 例26．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知双曲线：（，）过点，且离心率为． （1）求双曲线的方程； （2）已知，分别是双曲线的左、右顶点，，分别是其左、右焦点． ①点在双曲线右支上运动，点在圆：上运动，求的最小值； ②若是双曲线上异于，的一点，且，求证：的面积小于． 例27．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）已知双曲线：（，）的离心率为，且点在双曲线上，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点． （1）求双曲线的方程； （2）若，且，求直线的斜率； （3）若，，分别是双曲线的左、右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围． 例28．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知双曲线（，）的一条渐近线的方程为，左、右焦点分别为，，且，过点的直线与双曲线交于，两点． （1）求双曲线的标准方程． （2）若点，均在双曲线的右支上，且的周长为，求直线的方程． （3）探究是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例29．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，左焦点为，过的直线与的右支交于、两点，且点在第一象限． （1）求的标准方程； （2）若，求的方程； （3）记的内心为，的内心为，的面积为，的面积为，求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $