专题3.2.2 双曲线的简单几何性质（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦双曲线的简单几何性质核心知识点，系统梳理标准方程、范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等基础内容，构建从概念理解到性质应用（如求方程、渐近线、离心率、最值及实际问题）的递进式学习支架。 资料按10大题型分类，结合例题与变式题，通过对比表格明晰性质差异，融入3D打印塔筒等实际案例，培养数学思维的推理能力与数学眼光的观察意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺。

专题3.2.2 双曲线的简单几何性质（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 双曲线的简单几何性质】 3 【题型2 利用双曲线的几何性质求标准方程】 4 【题型3 双曲线的对称性及其应用】 6 【题型4 双曲线的渐近线方程】 9 【题型5 求双曲线的离心率的值或取值范围】 11 【题型6 由双曲线的离心率求参数】 14 【题型7 双曲线离心率大小与双曲线形状的关系】 16 【题型8 等轴双曲线】 18 【题型9 双曲线中的最值问题】 20 【题型10 双曲线的实际应用】 22 考点1 双曲线的简单几何性质 知识点1 双曲线的简单几何性质 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的渐近线 (1)已知双曲线方程求渐近线方程 若双曲线方程为，则其渐近线方程为. 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即可得到渐近线方程. (2)已知渐近线方程求双曲线方程 若双曲线渐近线方程为mx±ny=0，则可设双曲线方程为m2x2-n2y2=λ，根据己知条件，求出λ即可. (3)与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上） (4)等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，其渐近线方程为y=±x，因此等轴双曲线可设为. 3．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 4．求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 【方法技巧与总结】 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，. 【题型1 双曲线的简单几何性质】 【例1】（25-26高二上·辽宁大连·期末）双曲线和双曲线（）的（   ） A．离心率相等 B．实轴长相等 C．虚轴长相等 D．焦距相等 【答案】D 【解题思路】根据双曲线方程依次求出离心率，实轴长，虚轴长，焦距，进而判断. 【解答过程】对于双曲线，，，则， 离心率为，实轴长为8，虚轴长为6，焦距为10； 对于双曲线，得，，， 离心率为，实轴长为，虚轴长为，焦距为10. 故选：D. 【变式1.1】（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）双曲线的一条渐近线方程为，则C的焦距为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据渐近线方程求得，再根据即可求解． 【解答过程】由双曲线可知，其渐近线方程为， 由题意可知，， 所以，则，解得， 所以双曲线C的焦距为． 故选：D． 【变式1-2】（25-26高二上·贵州黔东南·期末）双曲线的虚轴长为（    ） A． B．5 C．10 D． 【答案】C 【解题思路】根据双曲线方程求出，即可求出虚轴长. 【解答过程】双曲线，则， 所以双曲线的虚轴长为. 故选：C. 【变式1.3】（25-26高三上·广东潮州·开学考试）双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的焦距为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据实轴长是虚轴长的3倍得到方程，求出，从而求出焦距. 【解答过程】由双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，得，解得， 所以的焦距为． 故选：C. 【题型2 利用双曲线的几何性质求标准方程】 【例2】（25-26高二上·河南安阳·期中）若双曲线的离心率，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据离心率可知双曲线为等轴双曲线，设出方程，利用点在曲线上，点的坐标满足曲线方程，从而可求得结果 【解答过程】因为离心率，所以，即， 所以，所以双曲线为等轴双曲线， 所以设双曲线方程为， 因为双曲线经过点 ， 所以，得，所以双曲线方程为， 故选：A. 【变式2.1】（25-26高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的一条渐近线方程是，虚轴的一个端点坐标为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的几何性质可得. 【解答过程】由题意可设双曲线的方程为， 由题意，，故，故双曲线的方程为， 故选：A. 【变式2.2】（25-26高二上·广西桂林·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）假设双曲线标准方程，根据焦距、实轴长和之间关系可构造方程求得结果； （2）分别讨论双曲线焦点在轴和轴上的情况，根据离心率、双曲线上的点和之间的关系可构造方程求得结果. 【解答过程】（1）设双曲线标准方程为：， ，，双曲线标准方程为. （2）当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 综上所述：双曲线标准方程为或. 【变式2.3】（25-26高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)与双曲线有公共焦点，且经过点； (3)与双曲线有共同渐近线，且过点. 【答案】(1)或 (2) (3) 【解题思路】（1）根据虚轴长及离心率计算可得结果； （2）求得双曲线的焦点坐标，根据过的点坐标构造方程组解得结果； （3）设双曲线方程为，代入点可得结果. 【解答过程】（1）设所求双曲线的标准方程为或. 由题意知且， 所以， 所以所求双曲线的标准方程为或. （2）双曲线的焦点为. 设所求双曲线的方程为， 则有,解得. 故所求双曲线的方程为. （3）设所求双曲线方程为， 将点代入得， 所以双曲线方程为， 即. 【题型3 双曲线的对称性及其应用】 【例3】（2026·天津·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得，则，从而得到点在以为圆心，为半径的圆的内部，即可求出的取值范围. 【解答过程】设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 又为的中点，所以，即，所以， 要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部， 根据对称性可知，即的取值范围是. 故选：B. 【变式3.1】（25-26高三上·江苏·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知分别是双曲线的左、右焦点，点分别在C的左，右两支上，且在x轴上方，若，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】延长交双曲线左支于点，连结，依题意设，则根据双曲线的性质得，根据双曲线的定义及勾股定理计算可得，进而在中，利用勾股定理得，即可求解渐近线. 【解答过程】 如图，延长交双曲线左支于点，连结， 由双曲线的对称性及知，设，， 则有，，又， 在中，，即，解得， 又在中，，即， 所以，即，所以， 所以双曲线C的渐近线方程为. 故选：C. 【变式3.2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 ___________. 【答案】6 【解题思路】根据双曲线的定义和对称性，可列式求值. 【解答过程】如图： 对双曲线：，可得. 因为点、关于原点对称，根据双曲线的对称性可得. 所以， 根据双曲线的定义，. 故答案为：6. 【变式3.3】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知双曲线：（，）的右焦点为.为坐标原点，若在的左支上存在关于轴对称的两点，，使得，且，则的离心率为 ___________. 【答案】 【解题思路】根据给定条件，结合双曲线的对称性可得是正三角形，且是其中心，再用半焦距c表示出点坐标，代入双曲线方程求出离心率. 【解答过程】轴，令垂足为，由双曲线的对称性知，则是正三角形， 又，，则是的中心，， 而，则，点在双曲线， 因此，即，整理得，即， 解得，所以的离心率 故答案为：. 【题型4 双曲线的渐近线方程】 【例4】（25-26高二上·陕西汉中·期末）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，直接求出双曲线的方程，即可求解. 【解答过程】由，得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 【变式4.1】（25-26高二上·广西钦州·期末）若双曲线的焦距为20，且过点，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的焦距为20，可求得，由过点，列方程组可求得，进而可得渐近线方程. 【解答过程】因为双曲线的焦距为20，即，解得. 又双曲线过点，所以，解得，即， 所以渐近线方程为. 故选：C. 【变式4.2】（25-26高二上·山东烟台·期末）双曲线的焦点到其渐近线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】利用双曲线方程求得焦点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离求得焦点到渐近线的距离. 【解答过程】由双曲线，可得，所以， 所以双曲线的两焦点坐标分别为， 渐近线方程为，即， 所以焦点到渐近线的距离为. 故选：A. 【变式4.3】（25-26高二上·青海海东·期末）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，且，，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意得，得到，再利用余弦定理求解即可． 【解答过程】根据题意得， 解得， 又， ， 即， ， ， ，即， 则的渐近线方程为，即． 故选：A． 【题型5 求双曲线的离心率的值或取值范围】 【例5】（25-26高二上·云南曲靖·期末）若直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据渐近线的概念，写出参数之间的等量关系，根据离心率的概念直接求出结果即可. 【解答过程】因为直线为双曲线的一条渐近线， 所以，则， 由，则， 离心率. 故选：C. 【变式5.1】（25-26高二上·广东湛江·期末）已知双曲线，以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】由题知为等边三角形，进而得点A到渐近线的距离为，再结合点到直线的距离公式得，最后根据离心率公式求解即可. 【解答过程】双曲线，右顶点，不妨取渐近线方程为， 因为，， 所以为等边三角形， 所以，在正三角形中，点A到渐近线的距离为， 由点到直线的距离公式，化简得， 所以， 故选：D. 【变式5.2】（25-26高二上·江苏淮安·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，记线段与双曲线的交点为，若点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求双曲线的渐近线方程，进而得的直线方程，进而得点的坐标，又为的中点，利用中点公式得的坐标，又点在双曲线上，代入双曲线方程，解出方程即可求解. 【解答过程】由题意得：双曲线的一条渐近线为，又， 过作双曲线的一条渐近线的垂线方程为， 所以，所以， 又，又为的中点，设， 所以，， 所以，又点在双曲线上， 所以，化简得， 又， 即，又，所以， 所以，所以， 故选：B. 【变式5.3】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据双曲线方程，可得渐近线方程，设，根据中点坐标公式，可得Q点坐标，根据Q在渐近线上，得，所以点在直线上，所以直线与圆有公共点.由圆心到直线的距离不大于圆的半径，求得的关系，进而求出双曲线的离心率的取值范围. 【解答过程】双曲线的渐近线为，即. 设，则. 因为点在双曲线的渐近线上，所以，即. 所以点在直线上. 因为点在圆上，所以直线与圆有公共点. 所以圆心到直线的距离不大于圆的半径，所以，. 设双曲线的焦距为，则，所以，所以. 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 【题型6 由双曲线的离心率求参数】 【例6】（25-26高二上·河南·期中）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【解题思路】将双曲线的方程化为标准式，可得出，由离心率得出关于的等式，求解即可. 【解答过程】因为双曲线的焦点在轴上， 所以其标准方程为 所以， 所以解得． 又因为双曲线的离心率，所以． 又，所以， 即， 即，解得或（舍去）． 故选：C． 【变式6.1】（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）若双曲线的离心率为，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】根据双曲线方程结合离心率公式运算求解即可. 【解答过程】由题意知，双曲线的离心率，所以． 故选：D． 【变式6.2】（25-26高一上·江苏连云港·期末）设k为实数，已知双曲线的离心率，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意确定，根据双曲线离心率的范围可得不等式，即可求得答案. 【解答过程】由题意双曲线方程为,可得， 故实半轴，则， 由得，则， 即k的取值范围为， 故选：A． 【变式6.3】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，（），若的离心率为，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案． 【解答过程】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为，由余弦定理可得， 整理可得，所以， 即，解得或，又因为，即． 故选：A． 【题型7 双曲线离心率大小与双曲线形状的关系】 【例7】（2026·上海嘉定·一模）已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（    ） ①的开口最为开阔； ②的开口比的更为开阔； ③和的开口的开阔程度相同. A．只有一个正确 B．只有两个正确 C．均正确 D．均不正确 【答案】D 【解题思路】分别计算出四条双曲线的离心率，根据离心率越大开口更开阔进行比较. 【解答过程】依题意，依次计算出各自的离心率可得： ，比较大小知： 可知：三个结论均为错误； 故选：D. 【变式7.1】（25-26高二下·上海黄浦·期中）双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（    ） A．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 B．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 C．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 D．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 【答案】A 【解题思路】根据离心率公式及渐近线方程，得到两曲线渐近线斜率的关系，即可判断. 【解答过程】因为，， 又双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为， 因为，所以，即，即， 所以的渐近线斜率的绝对值较大，又离心率越大，双曲线开口越开阔. 故选：A. 【变式7.2】（25-26高二上·上海奉贤·期末）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆与双曲线的离心率的性质即可解决． 【解答过程】由题意得到椭圆①，②的b值相同，a值①比②小，则，可以知道，； 根据双曲线的开口越大离心率越大，则． 所以， 故选：A． 【变式7.3】（25-26高二上·河南平顶山·期末）设双曲线的离心率为，则下列命题中是真命题的为（    ） A．越大，双曲线开口越小 B．越小，双曲线开口越大 C．越大，双曲线开口越大 D．越小，双曲线开口越大 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的性质结合离心率对双曲线开口大小的影响即可得解. 【解答过程】解：对于A，越大，双曲线开口越大，故A错误； 对于B，越小，双曲线开口越小，故B错误； 对于C，由，越大，则越大，双曲线开口越大，故C正确； 对于D，越小，则越小，双曲线开口越小，故D错误. 故选：C. 【题型8 等轴双曲线】 【例8】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意设双曲线方程为，根据焦点坐标求出，即可得解. 【解答过程】依题意设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为，即. 故选：B. 【变式8.1】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用等轴双曲线的标准方程，结合代入法进行求解即可. 【解答过程】设对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为， 因为该双曲线过点， 所以，即， 故选：B. 【变式8.2】（25-26高二上·江苏·阶段检测）若双曲线：为等轴双曲线，其焦点在轴上，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】根据题意写出焦点在轴的双曲线的标准方程，再根据该双曲线为等轴双曲线写出满足的条件，解得即可. 【解答过程】由于双曲线是焦点在轴上的双曲线，所以双曲线的标准方程为， 又因为双曲线为等轴双曲线，所以，解得. 故选：D. 【变式8.3】（25-26高二上·全国·随堂练习）中心在原点，焦点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意可求出直线与轴的交点，得到双曲线的焦点，再根据条件双曲线为等轴双曲线即可得出结论． 【解答过程】解：令 ，得， 又双曲线焦点在x轴上， 等轴双曲线的一个焦点为， 即， ∴， 故等轴双曲线的方程为. 故选：A. 考点2 双曲线中的最值问题 知识点2 双曲线中的最值问题 1．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【题型9 双曲线中的最值问题】 【例9】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据条件求出双曲线方程和焦点坐标，然后表示出，结合的范围求出最小值即可. 【解答过程】双曲线的离心率为. ，解得，， 又，. 设点， 则且. ， . 的最小值为. 故选：B. 【变式9.1】（2026·新疆·模拟预测）已知点是双曲线上的动点，，分别为其左，右焦点，为坐标原点.则的最大值是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解题思路】设在右支上，根据双曲线的性质求得、且，由已知双曲线有，结合的范围求范围，即可得结果. 【解答过程】由双曲线的对称性，假设在右支上，即， 由到的距离为，而， 所以 ， 综上，，同理，则， 对于双曲线，有且， 所以，而，即. 故选：D. 【变式9.2】（25-26高二上·河北保定·期中）已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点． (1)求双曲线C的方程； (2)已知，P是C上的任意一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据双曲线的性质求解； （2）利用点在双曲线上以及两点间的距离公式求解. 【解答过程】（1）双曲线的焦点为， 所以设双曲线C的方程为， 所以，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）由可得，或， 设，或，则， 所以， 所以当时，有最小值为. 【变式9.3】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【答案】(1) (2)23 【解题思路】（1）利用点到直线的距离公式和离心率列方程求出，，，即可得到双曲线的方程； （2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【解答过程】（1）由题意知，解得， 则， 所以双曲线的方程为. （2）设双曲线的左焦点为，则， 由双曲线的定义知：，则， 可得， 当，，三点共线时，最小，且最小值为. 故的最小值为. 【题型10 双曲线的实际应用】 【例10】（25-26高二上·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 【答案】D 【解题思路】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可. 【解答过程】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为， 由双曲线的离心率为，得，则， 由喉部（中间最细处）的直径为，得， 所以双曲线的方程为，设点， 由，得，所以该塔筒的高为. 故选：D.    【变式10.1】（25-26高二上·河北张家口·阶段检测）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【解题思路】将代入双曲线得到，当得到，进而求得拱顶到水面的距离，即可判断. 【解答过程】根据题意，，，故，解得，即， 则当水面宽度为米时，即时，解得，， 因此，拱顶M到水面的距离为. 故选：D. 【变式10.2】（25-26高二上·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】如图，建立平面直角坐标系，求得双曲线标准方程，当时，代入计算可解. 【解答过程】如图，建立平面直角坐标系，设该双曲线的方程为），焦距为， 由题意得，得， 所以双曲线的方程为1. 当时，， 所以该进料口的上口宽度为. 故选：B. 【变式10.3】（25-26高二上·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率. 【解答过程】由题意知延长 则必过点 ， ， 设， 则，， 由双曲线的定义可得 ，， 由可得， 在中，由余弦定理， 可得， ， 在中，由余弦定理， 可得， 解得：， 则， 故选：D. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2.2 双曲线的简单几何性质（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 双曲线的简单几何性质】 3 【题型2 利用双曲线的几何性质求标准方程】 3 【题型3 双曲线的对称性及其应用】 4 【题型4 双曲线的渐近线方程】 5 【题型5 求双曲线的离心率的值或取值范围】 5 【题型6 由双曲线的离心率求参数】 6 【题型7 双曲线离心率大小与双曲线形状的关系】 6 【题型8 等轴双曲线】 7 【题型9 双曲线中的最值问题】 8 【题型10 双曲线的实际应用】 9 考点1 双曲线的简单几何性质 知识点1 双曲线的简单几何性质 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的渐近线 (1)已知双曲线方程求渐近线方程 若双曲线方程为，则其渐近线方程为. 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即可得到渐近线方程. (2)已知渐近线方程求双曲线方程 若双曲线渐近线方程为mx±ny=0，则可设双曲线方程为m2x2-n2y2=λ，根据己知条件，求出λ即可. (3)与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上） (4)等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，其渐近线方程为y=±x，因此等轴双曲线可设为. 3．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 4．求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 【方法技巧与总结】 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，. 【题型1 双曲线的简单几何性质】 【例1】（25-26高二上·辽宁大连·期末）双曲线和双曲线（）的（   ） A．离心率相等 B．实轴长相等 C．虚轴长相等 D．焦距相等 【变式1.1】（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）双曲线的一条渐近线方程为，则C的焦距为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·贵州黔东南·期末）双曲线的虚轴长为（    ） A． B．5 C．10 D． 【变式1.3】（25-26高三上·广东潮州·开学考试）双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的焦距为（    ） A． B．4 C． D． 【题型2 利用双曲线的几何性质求标准方程】 【例2】（25-26高二上·河南安阳·期中）若双曲线的离心率，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的一条渐近线方程是，虚轴的一个端点坐标为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高二上·广西桂林·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 【变式2.3】（25-26高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)与双曲线有公共焦点，且经过点； (3)与双曲线有共同渐近线，且过点. 【题型3 双曲线的对称性及其应用】 【例3】（2026·天津·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高三上·江苏·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知分别是双曲线的左、右焦点，点分别在C的左，右两支上，且在x轴上方，若，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 ___________. 【变式3.3】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知双曲线：（，）的右焦点为.为坐标原点，若在的左支上存在关于轴对称的两点，，使得，且，则的离心率为 ___________. 【题型4 双曲线的渐近线方程】 【例4】（25-26高二上·陕西汉中·期末）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高二上·广西钦州·期末）若双曲线的焦距为20，且过点，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高二上·山东烟台·期末）双曲线的焦点到其渐近线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【变式4.3】（25-26高二上·青海海东·期末）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，且，，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【题型5 求双曲线的离心率的值或取值范围】 【例5】（25-26高二上·云南曲靖·期末）若直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【变式5.1】（25-26高二上·广东湛江·期末）已知双曲线，以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式5.2】（25-26高二上·江苏淮安·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，记线段与双曲线的交点为，若点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式5.3】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型6 由双曲线的离心率求参数】 【例6】（25-26高二上·河南·期中）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【变式6.1】（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）若双曲线的离心率为，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式6.2】（25-26高一上·江苏连云港·期末）设k为实数，已知双曲线的离心率，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，（），若的离心率为，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【题型7 双曲线离心率大小与双曲线形状的关系】 【例7】（2026·上海嘉定·一模）已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（    ） ①的开口最为开阔； ②的开口比的更为开阔； ③和的开口的开阔程度相同. A．只有一个正确 B．只有两个正确 C．均正确 D．均不正确 【变式7.1】（25-26高二下·上海黄浦·期中）双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（    ） A．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 B．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 C．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 D．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 【变式7.2】（25-26高二上·上海奉贤·期末）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7.3】（25-26高二上·河南平顶山·期末）设双曲线的离心率为，则下列命题中是真命题的为（    ） A．越大，双曲线开口越小 B．越小，双曲线开口越大 C．越大，双曲线开口越大 D．越小，双曲线开口越大 【题型8 等轴双曲线】 【例8】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（25-26高二上·江苏·阶段检测）若双曲线：为等轴双曲线，其焦点在轴上，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式8.3】（25-26高二上·全国·随堂练习）中心在原点，焦点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 考点2 双曲线中的最值问题 知识点2 双曲线中的最值问题 1．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【题型9 双曲线中的最值问题】 【例9】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9.1】（2026·新疆·模拟预测）已知点是双曲线上的动点，，分别为其左，右焦点，为坐标原点.则的最大值是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式9.2】（25-26高二上·河北保定·期中）已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点． (1)求双曲线C的方程； (2)已知，P是C上的任意一点，求的最小值． 【变式9.3】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【题型10 双曲线的实际应用】 【例10】（25-26高二上·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 【变式10.1】（25-26高二上·河北张家口·阶段检测）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【变式10.2】（25-26高二上·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【变式10.3】（25-26高二上·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $