3.3.2抛物线的简单几何性质8题型分类讲义(讲+练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦抛物线的简单几何性质及应用，系统梳理从标准方程、几何性质（焦点、准线、范围等）到焦半径公式、直线与抛物线位置关系、弦长、焦点弦、中点弦及综合问题的递进脉络，构建完整学习支架。 该资料以8大题型分类为特色，结合高考模拟题，通过对比不同抛物线性质培养数学眼光，通过位置关系判断和焦点弦定值推导强化数学思维，例题与练习结合，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.3.2抛物线的简单几何性质8题型分类 一、抛物线的简单几何性质 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 二、焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为. 1．抛物线，. 2．抛物线，. 3．抛物线，. 4．抛物线，. 三、直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时， 若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点； 若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点； 若Δ<0，直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，直线与抛物线有1个公共点． 四、直线与抛物线相交弦长问题 1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 2．抛物线的焦点弦：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②＝x1＋x2＋p； ③＋＝. （一） 抛物线的简单几何性质 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 1．开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． 2．关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． 3．定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 题型1：研究抛物线的几何性质 1．【多选】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 2．（2026高二·江苏淮安·期中）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为10，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（2026·湖北·模拟预测）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 4．【多选】（2026高二·陕西榆林·期末）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 5．（2026高二·贵州·阶段检测）如图，艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后得到的三条曲线与C 组合而成的图形，其中，分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形 ABDE 的周长为64，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 6．（2026高二·广西崇左·期末）设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 题型2：求抛物线的标准方程 7．（2026高二·全国·单元测试）已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 8．（2026高二·天津西青·期末）已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 9．（2026高二·陕西西安·期末）已知抛物线的焦点在轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 （二） 直线与抛物线位置关系的判断 直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，Δ>0，两个交点；Δ＝0，一个交点；Δ<0，无交点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，直线与抛物线有1个公共点． 注：判断直线与抛物线位置关系时：设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况． 题型3：直线与抛物线位置关系的判断及应用 10．（2026高二·全国·课后作业）过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 11．（2026高二·安徽宿州·期末）过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．（2026·天津·模拟预测）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．【多选】（2026高二·河北唐山·期末）已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．抛物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 14．（2026高二·上海黄浦·期末）若动点P满足到的距离等于到直线的距离，动点P的轨迹为曲线C，则求： (1)动点P的轨迹方程： (2)过点且与曲线C只有一个公共点的直线． 15．（2026高二·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 16．（2026高二·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 17．【多选】（2026高二·全国·课后作业）已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． （三） 直线与抛物线的相交问题 直线与抛物线相交弦长问题 1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 2．抛物线的焦点弦：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②＝x1＋x2＋p； ③＋＝. 注：直线与抛物线的位置关系 (1)一般弦长：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. (2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p. 题型4：直线与抛物线的相交弦长问题 18．（2026高二·四川绵阳·期中）已知抛物线的方程为 ，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（    ） A． B．3 C． D．2 19．（2026高三·河北唐山·期末）若直线交抛物线于两点，则（   ） A． B．4 C． D．8 20．（2026·安徽合肥·模拟预测）直线与抛物线交于，两点，则（   ）. A． B．6 C． D．8 21．（2026高二·上海·期中）直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为__________． 22．（2026·甘肃·模拟预测）若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 23．（2026高二·贵州遵义·期中）已知抛物线的焦点为F，已知第一象限的点A在抛物线上，连接AF并延长交抛物线于另一点B，且，则的面积是___________. 24．（2026高二·四川德阳·期末）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则＝（   ） A． B．2 C． D． 25．（2026·山东烟台·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限交于点，若，则的斜率为（ ） A． B． C． D． 26．（2026高二·云南玉溪·阶段检测）直线过点，且与抛物线交于，两点．若，则线段的中点到轴的距离是______． 题型5：抛物线的焦点弦 27．（2026高二·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，直线经过点交于两点，点在第一象限，点在轴上的射影为. 若的面积为8，则（   ） A．3 B．4 C． D．5 28．【多选】（26-27高三·山西太原·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于两点，过作直线的垂线，垂足为，则（ ） A．的坐标为B． C． D． 29．【多选】（2026高二·广东潮州·期末）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 30．【多选】（2026高二·西藏昌都·期末）已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 31．【多选】（2026高二·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 32．【多选】（2026高二·广西梧州·期末）过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（     ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则的横坐标为 C．的最小值为 D．向量为定值 33．【多选】（2026高二·湖南·期末）设抛物线：的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于点A，B，过点F且垂直于的直线交准线：于点E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（    ） A． B． C．与不垂直 D． （四） 抛物线的中点弦 1、抛物线的中点弦结论： 若直线与抛物线相交于两点、， 中点为，则有. 2、根与系数关系法：联立直线方程和抛物线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. 3、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入抛物线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 题型6：求抛物线的中点弦 34．（2026高二·上海·期中）AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．（2026高二·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（在第一象限），线段的中点分别为．若，则直线的斜率为（   ） A． B．-2 C． D． 36．（2026高二·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 37．（2026高三·湖南长沙·阶段检测）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点.若线段中点的横坐标为6，则等于（    ） A．20 B．16 C．12 D．8 38．（2026高二·陕西西安·阶段检测）已知直线交抛物线于、两点，且的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 39．（2026高二·河北邢台·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 40．（2026高三·广东·阶段检测）过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． （五） 抛物线的综合问题 1．解决抛物线综合问题的基本策略：可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论． 2．求距离的最值，常见的解题思路：一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决，体现了数学计算的核心素养；二是利用数形结合转化两平行线间距离求得，体现了逻辑推理素养，提升直观想象能力． 题型7：抛物线的定值、定点问题 41．（2026·四川巴中·模拟预测）两直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的 两点， 则直线 恒过的点是（ ） A． B． C． D． 42．（2026·云南红河·模拟预测）已知直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，若则直线过定点（    ） A． B． C． D． 43．（2026高三·江苏·竞赛）在平面直角坐标系中，已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在两点处的切线交于点． (1)求线段长度的最小值； (2)若直线与抛物线交于两点，分别为线段的中点．求证：直线经过定点． 44．（素养拓展10圆锥曲线常考定值、定点问题02（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）已知抛物线C：（）经过点（），F为焦点，且. (1)求C的方程及； (2)设O为原点，过F作斜率不为0的直线l交C于M，N两点，直线分别交直线OM，ON于A，B. 证明：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 45．（2026·上海浦东新·模拟预测）已知抛物线与斜率为1的直线相交于，两点．是的焦点．是上异于，的一点． (1)证明：； (2)若是的顶点且，求直线的方程； (3)设且的外接圆与有异于，，的公共点．证明：直线斜率为定值，并求出此定值． 46．设抛物线：的焦点为，直线：与抛物线相交于两点，点为线段的中点． (1)求的取值范围； (2)求证：点的纵坐标为定值． 47．（2026高二·贵州六盘水·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为2，点在直线上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)若，垂足为，求证：存在定点，使得为定值； (3)求面积的最小值． 48．（2027高二·全国·专题练习）已知抛物线经过点，过点的直线l与抛物线C有两个不同的交点，且直线交y轴于M，直线交y轴于N．设O为原点， .求证：为定值． 49．（2026高二·广西柳州·期末）已知抛物线的焦点为，过点作直线交于，两点，为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)若为直角三角形，求直线的斜率； (3)点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交轴于点，探究是否为定值？ 题型8：抛物线的向量问题 50．（2026·甘肃·模拟预测）已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，直线与轴交于点，，点为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 51．（2026高二·全国·专题练习）已知直线（斜率大于0）过点，且与抛物线交于两点，，若抛物线上存在一点，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 52．（2026·江西新余·模拟预测）抛物线的焦点为，为坐标原点，，点为抛物线上任意一点，的平分线与轴的交点为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为5，则（O为坐标原点）的面积为（     ）． A．1 B． C．2 D．4 2．（2026·北京大兴·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点为坐标原点，的面积为（     ） A． B．2 C． D．4 3．（2026高二·河南焦作·期中）已知抛物线的焦点为，过点作直线与交于，两点，线段的中点为，过点作轴的垂线交于点，若，则的斜率为（ ） A． B．±1 C． D．±2 4．（2026高二·浙江金华·期末）已知点为抛物线的焦点，抛物线的准线与轴交于点，是抛物线上的一点，满足，则的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 5．（2026高二·天津·阶段检测）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（2026高二·四川广安·阶段检测）抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 7．（2026高二·安徽黄山·期末）若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2026高三·山西·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与该抛物线交于两点，记直线（为坐标原点）的斜率分别为，若，则（   ） A．144 B．148 C．152 D．156 9．（2026高二·陕西商洛·期末）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点，若是的中点，且，则线段的长为（    ） A．6 B．4 C． D． 10．（2026高二·四川广安·期末）已知直线与抛物线，则“与只有一个公共点”是“与相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2026高三·全国·开学考试）过抛物线的焦点的直线交于两点，若直线过点，且，则抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 12．（2026高二·北京延庆·期末）已知点在抛物线上，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 13．（2026高二·浙江杭州·期末）已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 14．（2026高二·贵州黔西南·期末）已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．（2026高二·河南洛阳·阶段检测）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 16．（2026高二·广东梅州·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线C交于点，若，则（    ） A． B． C．12 D． 17．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．【多选】（2026高二·浙江衢州·期末）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．当的倾斜角为时， C．当垂直于轴时，弦长最小 D． 19．【多选】（2026高二·云南文山·阶段检测）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 20．（26-27高三·全国·一轮复习）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 21．（2026高二·河南平顶山·期中）已知为抛物线：的焦点，过点的直线与相交于，两点，若轴，，则______. 22．（26-27高三·全国·一轮复习）已知为抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为________. 23．（2026高二·浙江台州·期末）过的直线交抛物线于、两点，若（为坐标原点），则的面积为__________． 24．（2026高二·山西朔州·期末）已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为__________. 25．（2026高二·全国·课堂例题）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C有唯一公共点，则这样的直线有______条． 26．（2026高二·全国·课后作业）设抛物线（）的准线与直线的距离为3，则抛物线的标准方程为________． 27．（2026高二·四川自贡·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 28．（2026高二·河南新乡·期末）已知抛物线的焦点为F，M是的准线与轴的交点，是上的一点，且． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，过点的直线与交于A，B两点，若为的重心，求直线OG的斜率的最大值． 29．（2026高二·四川宜宾·期末）已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.3.2抛物线的简单几何性质8题型分类 一、抛物线的简单几何性质 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 二、焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为. 1．抛物线，. 2．抛物线，. 3．抛物线，. 4．抛物线，. 三、直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时， 若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点； 若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点； 若Δ<0，直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，直线与抛物线有1个公共点． 四、直线与抛物线相交弦长问题 1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 2．抛物线的焦点弦：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②＝x1＋x2＋p； ③＋＝. （一） 抛物线的简单几何性质 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 1．开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． 2．关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． 3．定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 题型1：研究抛物线的几何性质 1．【多选】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误. 故选：AC 2．（2026高二·江苏淮安·期中）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为10，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，建立方程，可得答案. 【详解】    由抛物线上点到焦点的距离为，则点到抛物线的准线的距离为， 由抛物线，则其准线为直线， 所以，解得. 故选：B. 3．（2026·湖北·模拟预测）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大， 所以抛物线中，开口最大的为. 4．【多选】（2026高二·陕西榆林·期末）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 【答案】AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为4，故D错误. 故选：AC 5．（2026高二·贵州·阶段检测）如图，艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后得到的三条曲线与C 组合而成的图形，其中，分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形 ABDE 的周长为64，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据“四角花瓣”图形的对称性，得到四边形为正方形，求得边长为，求得点的坐标为，将点的坐标代入抛物线的方程，即可求解. 【详解】由题意知，“四角花瓣”图形是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后， 得到的三条曲线与组合而成的图形， 其中分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形的周长为， 根据“四角花瓣”图形的对称性，可得四边形为正方形，所以正方形边长为， 则点的坐标为，将代入抛物线的方程，可得，解得. 6．（2026高二·广西崇左·期末）设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆与曲线的对称性，及四个交点的坐标特征求出的值，进而根据为圆的直径即可求解． 【详解】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，， 又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中， 所以，解得， 又为圆的直径，所以．    题型2：求抛物线的标准方程 7．（2026高二·全国·单元测试）已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据已知条件可得点M坐标，代入抛物线方程求解即可. 【详解】因为抛物线的准线方程是，而点M到准线的距离为6， 所以点M的横坐标是. 所以点M的坐标为， 又因为点M在抛物线上， 所以32=2p，解得p=8或p=4， 故该抛物线的标准方程为或. 故选：D. 8．（2026高二·天津西青·期末）已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出两个圆的公共弦所在的直线方程，再求出抛物线方程作答. 【详解】将两圆、的方程相减得：， 显然圆的圆心到直线距离1小于其半径2， 圆的圆心到直线距离小于其半径， 因此直线是圆与圆的公共弦所在的直线，即抛物线的准线， 所以抛物线的标准方程为：. 故选：C 9．（2026高二·陕西西安·期末）已知抛物线的焦点在轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义及标准方程计算即可. 【详解】由题意可知该抛物线的焦点坐标为或， 所以其对应标准方程为为或. 故选：D （二） 直线与抛物线位置关系的判断 直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，Δ>0，两个交点；Δ＝0，一个交点；Δ<0，无交点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，直线与抛物线有1个公共点． 注：判断直线与抛物线位置关系时：设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况． 题型3：直线与抛物线位置关系的判断及应用 10．（2026高二·全国·课后作业）过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【分析】对直线的斜率是否存在进行分类讨论，写出直线的方程，将该直线方程与抛物线方程联立，根据直线与抛物线有且只有一个公共点求出参数的值，即可得出结论. 【详解】若直线的斜率不存在，则该直线的方程为，联立，解得， 此时直线与抛物线有两个公共点，不符合题意； 若直线的斜率为，则该直线的方程为，联立，解得， 此时直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意； 若直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为， 联立可得， 由，整理可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，满足条件的直线共条. 11．（2026高二·安徽宿州·期末）过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】作图分析，根据抛物线的图形特点结合直线与抛物线的位置关系，可得答案. 【详解】如图示，过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点， 符合条件的直线有三条，其中两条是与抛物线相切的直线，其中包含y轴，另一条是与抛物线对称轴平行的直线， 故选：D 12．（2026·天津·模拟预测）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 13．【多选】（2026高二·河北唐山·期末）已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．抛物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 【答案】ABD 【分析】根据题意设出抛物线的方程，利用点在抛物线上及直线与抛物线的位置关系即可求解. 【详解】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确； 对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确； 对于C、D选项，过点与对称轴平行的直线，以及抛物线在点处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确. 故选：ABD. 14．（2026高二·上海黄浦·期末）若动点P满足到的距离等于到直线的距离，动点P的轨迹为曲线C，则求： (1)动点P的轨迹方程： (2)过点且与曲线C只有一个公共点的直线． 【答案】(1) (2) 和 【分析】（1）利用抛物线的定义：平面内到定点与定直线的距离相等的点的轨迹为抛物线，可直接求出轨迹方程； （2）过定点与抛物线只有一个公共点的直线，包括抛物线的切线和与抛物线对称轴平行的直线两类，需分情况讨论斜率是否存在. 【详解】（1）根据抛物线的定义： 动点到定点的距离等于到定直线的距离， 因此曲线是以为焦点、直线为准线的抛物线. 设抛物线方程为， 由焦点坐标，得，即， 所以动点的轨迹方程为：. （2）设过点的直线为，分两种情况讨论： 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，与抛物线只有一个公共点，符合条件. 当直线斜率存在，设为，直线方程为，即， 联立抛物线方程，得：， 当直线与抛物线相切时，方程有且仅有一个解，判别式， 即， 解得，此时直线方程为. 综上，过点且与曲线只有一个公共点的直线为： 和 . 15．（2026高二·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D 16．（2026高二·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【答案】C 【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的的取值个数即可. 【详解】联立直线和抛物线方程可得， 整理可得， 直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当时，方程为仅有一解，符合题意； 当时，一元二次方程仅有一解， 即，解得， 所以满足题意得直线有三条，即，和. 故选：C 17．【多选】（2026高二·全国·课后作业）已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时分二次系数是否为0讨论可得. 【详解】（1）当过点的直线l的斜率存在时，设其方程为， 由方程组消去y得， ①若，则，解得，此时直线与抛物线只有一个交点，直线l的方程为，A正确； ②若，令，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，直线l的方程为，即，B正确. （2）当过点的直线l的斜率不存在时，方程为，与抛物线相切，只有一个交点，C正确． 综上，直线l的方程为，或. 故选：ABC.    （三） 直线与抛物线的相交问题 直线与抛物线相交弦长问题 1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 2．抛物线的焦点弦：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②＝x1＋x2＋p； ③＋＝. 注：直线与抛物线的位置关系 (1)一般弦长：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. (2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p. 题型4：直线与抛物线的相交弦长问题 18．（2026高二·四川绵阳·期中）已知抛物线的方程为 ，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和焦点弦公式代入计算可求得. 【详解】如下图所示：    易知，不妨设； 设直线的方程为，与联立消去得， , 由韦达定理可知； 由可得；联立解得，即； 根据焦点弦公式可得； 代入计算可得. 故选：C 19．（2026高三·河北唐山·期末）若直线交抛物线于两点，则（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【详解】已知抛物线方程，则焦点，准线为， 设， 联立直线方程与抛物线方程得， 则， 因为直线过焦点， 所以由抛物线焦点弦的性质可得． 20．（2026·安徽合肥·模拟预测）直线与抛物线交于，两点，则（   ）. A． B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】联立直线方程与抛物线方程，可求出两交点坐标，再利用两点间距离公式计算即可得. 【详解】，解得或， 则. 21．（2026高二·上海·期中）直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为__________． 【答案】0 【详解】联立直线与抛物线得， 由韦达定理有，． 弦长为 ， 解得．此时，故方程有解． 故． 22．（2026·甘肃·模拟预测）若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式计算即得. 【详解】将代入，得， 设，则， 由，解得， 于是原点到直线的距离为. 23．（2026高二·贵州遵义·期中）已知抛物线的焦点为F，已知第一象限的点A在抛物线上，连接AF并延长交抛物线于另一点B，且，则的面积是___________. 【答案】 【分析】抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知：，求得直线AB的方程，与抛物线方程联立消去y，进而利用韦达定理和点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可求得的面积． 【详解】抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知：， 过A做， 由， ，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正， ∴直线AB的斜率为，直线AB的方程为， 联立直线AB与抛物线的方程可得：，整理得：， 由韦达定理可知：，则， 而原点到直线AB的距离为， 则三角形AOB的面积， 故答案为：．    24．（2026高二·四川德阳·期末）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则＝（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形相似及抛物线定义求解. 【详解】抛物线C：的焦点，准线为， 设准线与轴交于点， ∵，由与相似得：， ∵，∴. 25．（2026·山东烟台·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限交于点，若，则的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线标准方程确定焦点的坐标，进而利用焦半径公式求的横坐标，代入抛物线方程求纵坐标，再利用两点间斜率公式计算直线的斜率. 【详解】由抛物线，可得，即，则焦点，准线方程为. 设，已知，则：，解得， 代入抛物线方程得：， 由在第一象限，可得，即. 因为直线过和， 所以斜率：. 26．（2026高二·云南玉溪·阶段检测）直线过点，且与抛物线交于，两点．若，则线段的中点到轴的距离是______． 【答案】3 【分析】利用抛物线定义得到焦点弦长公式，求出、两点横坐标之和，进而计算得到中点到轴的距离. 【详解】由抛物线，得，即，准线方程为，焦点坐标为， 设，则，， 所以焦点弦长，已知，代入得， 中点的横坐标为，点到轴的距离等于横坐标的绝对值， 因此距离为. 题型5：抛物线的焦点弦 27．（2026高二·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，直线经过点交于两点，点在第一象限，点在轴上的射影为. 若的面积为8，则（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【详解】设点，则，解得，所以， 因此，所以直线， 与抛物线方程联立可得，即， 所以，， 所以， 因此，， 所以. 28．【多选】（26-27高三·山西太原·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于两点，过作直线的垂线，垂足为，则（ ） A．的坐标为B． C． D． 【答案】BC 【分析】由抛物线方程易得焦点坐标，判断A；由抛物线定义判断B；设直线，与抛物线方程联立得韦达定理，利用弦长公式以及数量积的坐标表示判断C，D. 【详解】由可知抛物线的焦准距，则，则焦点的坐标为， 准线为，由抛物线定义可知，故A错误，B正确； 显然直线的斜率不为0，可设，，， 联立方程，消去x可得， 则，，， 则，, 故，当且仅当时，等号成立，故C正确； 又因为，， 则，所以不成立，故D错误. 29．【多选】（2026高二·广东潮州·期末）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 【答案】ABC 【分析】求出焦点坐标判断A；利用抛物线定义，结合两点间线段最短求解判断B；利用抛物线定义求出倾斜角判断C；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及抛物线定义求出弦长关系判断D. 【详解】对于A，由直线与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率，C正确； 对于D，由消去得，设， 显然，，，，D错误. 30．【多选】（2026高二·西藏昌都·期末）已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 【答案】AC 【详解】抛物线的焦点，，，故A正确. 准线方程为，故B错误. 因为A为抛物线上的一点，，所以，解得， 所以，解得，所以点或，故C正确. 不妨取，则AF的中点坐标为，因为点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以为直径的圆与y轴相切，故D错误． 31．【多选】（2026高二·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 【答案】BD 【分析】选项A，设过抛物线的焦点的直线为，联立抛物线并应用韦达定理得，进而有；选项B，结合向量数量积的坐标运算来判断；选项C，利用抛物线定义和韦达定理化简，；选项D，中点到准线的距离等于，故以为直径的圆与准线相切. 【详解】选项A，设过抛物线的焦点的直线为， 代入抛物线方程得，因，， 则，， 所以，A错误； 选项B，，， 所以， B正确； 选项C，由抛物线定义，，则，由可知，，，代入得，C错误； 选项D，设中点为，过点作于， 由抛物线定义，即点在以为直径的圆上，故以为直径的圆与l相切，D正确. 32．【多选】（2026高二·广西梧州·期末）过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（     ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则的横坐标为 C．的最小值为 D．向量为定值 【答案】ABD 【分析】本题考查抛物线的基本性质、抛物线定义、直线与抛物线的位置关系，结合韦达定理计算相关量即可判断各选项. 【详解】选项A：抛物线C：为开口向右的标准抛物线，满足，， 准线方程为，故A正确. 选项B：根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，则，即A点的横坐标为4，故B正确. 选项C：因为直线过焦点，焦点，由题意已知直线与抛物线要有两个交点， 所以直线斜率不为0，设直线为，， 由韦达定理得；； ，则， ，故的最小值为16，故C错误. 选项D： ，故D正确. 33．【多选】（2026高二·湖南·期末）设抛物线：的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于点A，B，过点F且垂直于的直线交准线：于点E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（    ） A． B． C．与不垂直 D． 【答案】ABD 【分析】对A，由抛物线定义判断；对B，由抛物线焦点弦中通径最短可判断；对C，由判断；对D，设直线，先联立抛物线得到，求出点，再将距离平方配方因式分解，借助韦达定理整体代换化简乘积，最后由利用单调性得到最小值 . 【详解】对于A：由抛物线的定义可知，A正确； 对于B：抛物线过焦点的弦中通径最短，由抛物线方程可得焦点， 由得或，所以通径长为，所以，B正确； 对于C：当直线斜率不存在时，，由选项B分析可知，， 此时，即与垂直； 若直线斜率存在，设，则 由得， 设，则， 所以， 由，得，即， 所以 ，所以此时与垂直； 综上，C错误； 对于D：设过的直线 方程为 ，交抛物线于 ， 由 得：，由韦达定理得， 过 且垂直于 的直线斜率为 ，方程为 。 在准线 x上，代入得 ， 因此 ， 根据两点间距离公式： ， 因为 在 上，，因此 ， 所以， 同理可得：， 因此， 因为 所以 因为 ，所以 ，因此： ， 当且仅当 （即 垂直 轴）时，等号成立，故 成立，D正确.    （四） 抛物线的中点弦 1、抛物线的中点弦结论： 若直线与抛物线相交于两点、， 中点为，则有. 2、根与系数关系法：联立直线方程和抛物线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. 3、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入抛物线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 题型6：求抛物线的中点弦 34．（2026高二·上海·期中）AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为，准线为，设焦点弦的端点为、，根据抛物线的定义，，， 故弦长，由得， 所以中点的横坐标为. 35．（2026高二·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（在第一象限），线段的中点分别为．若，则直线的斜率为（   ） A． B．-2 C． D． 【答案】D 【分析】易知，设，根据中点坐标公式，表示出三点的坐标，由结合图象知，，根据向量的坐标运算，可得.设直线的方程为，联立抛物线的方程，解得，将直线的方程转化为斜截式方程，可得斜率. 【详解】由题可知，. 设直线的方程为，， 则. 若，则，即， 所以，所以，即. 由，得. 所以，所以，解得. 所以直线的方程为，即，所以其斜率为. 故选：D. 36．（2026高二·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用点差法，设出和两点坐标代入抛物线方程作差，结合中点坐标求出直线斜率，再用点斜式得到直线方程. 【详解】设，，则，由：作差得， 得，所以直线方程为，即. 故选：C 37．（2026高三·湖南长沙·阶段检测）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点.若线段中点的横坐标为6，则等于（    ） A．20 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】设，联立抛物线并应用韦达定理及中点横坐标求得，再由弦长公式求. 【详解】由题设，抛物线的焦点为，可设， 联立，可得，则， 所以，，则，得， 所以. 故选：B 38．（2026高二·陕西西安·阶段检测）已知直线交抛物线于、两点，且的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】若直线的斜率不存在，则该直线的方程为， 此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率存在， 设点、， 因为的中点为，则， 则，这两个等式作差得， 即， 故直线的斜率为. 故选：A. 39．（2026高二·河北邢台·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】设，，由点差法即可求解. 【详解】设，，则， 由：作差得， 得. 故选：A 40．（2026高三·广东·阶段检测）过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由以及线段的中点的纵坐标为1，可得直线的斜率，从而得到直线的方程，求出直线的中点的横坐标为，则，由抛物线的弦长公式求解即可 【详解】设，则，则. 因为线段的中点的纵坐标为1，所以，则. 又直线过的焦点，所以直线的方程为， 则线段的中点的横坐标为，则，故. 故选：C （五） 抛物线的综合问题 1．解决抛物线综合问题的基本策略：可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论． 2．求距离的最值，常见的解题思路：一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决，体现了数学计算的核心素养；二是利用数形结合转化两平行线间距离求得，体现了逻辑推理素养，提升直观想象能力． 题型7：抛物线的定值、定点问题 41．（2026·四川巴中·模拟预测）两直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的 两点， 则直线 恒过的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线与抛物线方程，求出的坐标，然后求出直线的方程，进而可求出结果. 【详解】因为两直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的 两点， 所以分别联立直线与抛物线为： ，化简得和. 解得和，所以. 所以直线的斜率为，所以直线的方程为. 化简得，所以直线 恒过的点是. 故选：D. 42．（2026·云南红河·模拟预测）已知直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，若则直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线，，将直线与抛物线方程联立，得到，，根据列出方程，解得，即可确定直线所过定点. 【详解】显然直线的斜率不为，且不经过坐标原点， 故设直线的方程为，，． 联立方程消去得， 则，所以． 因为，所以，即， 解得， 所以直线的方程为，则直线过定点． 故选：C． 43．（2026高三·江苏·竞赛）在平面直角坐标系中，已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在两点处的切线交于点． (1)求线段长度的最小值； (2)若直线与抛物线交于两点，分别为线段的中点．求证：直线经过定点． 【答案】(1) (2)因为直线与抛物线交于,两点，故时为坚直线. 记的斜率为， 则，由韦达定理和中点公式， 线段的中点分别为， 又，即；若，则，不可能，故. 点,都在抛物线上，故直线的斜率为， 其方程为， 令，恒有，所以直线恒过定点. 【分析】（1）采用设线法并联立抛物线方程得到韦达定理式，从而得到点坐标，再利用两点距离公式转化为二次函数求最值，即可得到长度的最小值； （2）求出的坐标，化简直线的方程，代入检验即可得出直线恒过定点. 【详解】（1）易知直线的斜率存在，故可设. 设,的横坐标分别为，联立抛物线得， ， 所以. ，求导得， 则抛物线上横坐标为的点处切线斜率为，切点纵坐标为， 则切线方程为，即， 则其在点处的切线方程分别为， 联立解得，则， ，当时等号成立， 故的最小值为. （2）略 44．（素养拓展10圆锥曲线常考定值、定点问题02（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）已知抛物线C：（）经过点（），F为焦点，且. (1)求C的方程及； (2)设O为原点，过F作斜率不为0的直线l交C于M，N两点，直线分别交直线OM，ON于A，B. 证明：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 【答案】(1)， (2)因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为， 设直线l的方程为， 与抛物线方程联立可得， 故，， 可得，， 设，，则，， 可得直线OM的方程为， 与联立，可得，同理可得. 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的方程为. 令，整理可得，解得， 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点，. 【分析】（1）根据抛物线的定义可得，代入抛物线方程即可得； （2）设直线l的方程为，联立方程利用韦达定理可得圆的方程，令运算求解即可. 【详解】（1）因为抛物线C：（）经过点，F为抛物线的焦点，且， 所以由抛物线的定义，可得，解得，所以， 又因为P的横坐标为1， 所以，解得， 又，所以. （2）略 45．（2026·上海浦东新·模拟预测）已知抛物线与斜率为1的直线相交于，两点．是的焦点．是上异于，的一点． (1)证明：； (2)若是的顶点且，求直线的方程； (3)设且的外接圆与有异于，，的公共点．证明：直线斜率为定值，并求出此定值． 【答案】(1)如图，作出符合题意的图形， 由题意得，．设． 联立化简得，而判别式． 解得，由焦半径公式得，． 若，则，则， 即，解得，与矛盾，故． (2) (3)对于一元四次方程， 设四个根为，则方程为， 则， 化简得， 可得，则韦达定理得证， 如图，作出符合题意的图形， 由题意得，则由弦长公式得， 解得，故，联立，解得或， 则，，令，则，即点在上． 对于点，有，即；对于点，有，即． 设，，将的外接圆方程可设为． 将，代入，可得， 化简得， 此四次方程的四个根恰为外接圆与的四个交点的参数，，，． 由韦达定理得，则．得到， 由题意得直线的斜率为， 代入，得． 此值与无关，故直线的斜率为定值． 【分析】（1）根据抛物线的几何意义，结合直线与抛物线交点个数即可证明. （2）结合（1）问，得到与的值，直线互相垂直则意味着直线的方向向量数量积为零，进而构建方程即可求解. （3）将抛物线方程转化为参数方程，表示出外接圆表达式，根据韦达定理即可求解. 【详解】（1）略 （2）由题意得为顶点，若，得到 而，可得， 由韦达定理得，，则， 解得或，当时，，此时不符合题意，舍去， 当时，，满足所有条件，故． （3）略 46．设抛物线：的焦点为，直线：与抛物线相交于两点，点为线段的中点． (1)求的取值范围； (2)求证：点的纵坐标为定值． 【答案】(1). (2)证明：设，则, 则点Q的纵坐标为. ∴点Q的纵坐标为定值2. 【分析】(1)利用直线与抛物线联立得到一元二次方程，然后利用判别式大于0求参数范围即可； (2)使用韦达定理得到纵坐标两根之和与的关系，然后得到定值 【详解】（1）直线l：与抛物线：联立得， ∴， 解得. （2）略 47．（2026高二·贵州六盘水·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为2，点在直线上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)若，垂足为，求证：存在定点，使得为定值； (3)求面积的最小值． 【答案】(1)； (2)存在定点，使得为定值，证明如下： 设点，，. 设过的切线方程为（为切线斜率，）， 整理得，将其代入抛物线方程得， 整理得 ②. ∵ 直线与抛物线相切，∴ ， 两边同除以16得 ③. 将①式代入③式，得， 整理得，解得. 将代入所设切线方程，得， 两边同乘得， 将①式代入上式，得，整理得. 即抛物线的过切点的切线方程为. ∵ 点在切线上，∴ ，同理可得. ∴ 点均在直线上，即直线的方程为. 将直线方程整理为，令，解得，即直线恒过定点. ∵ ，垂足为，∴ ，即点的轨迹是以线段为直径的圆. 该圆圆心为中点，半径为. ∴ 存在定点，使得为定值. (3) 【分析】（1）利用抛物线的定义，抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，求解值即可得到抛物线方程. （2）设出点坐标，推导切点弦的直线方程，确定其恒过定点，结合得到点的轨迹为圆，即可得到定点. （3）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出，结合点到直线距离公式求出点到直线的距离，写出面积表达式后求最小值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为. ∵ 点到焦点的距离为，由抛物线定义可知. ∴ 解得. ∴ 抛物线的方程为. （2）略 （3）将直线的方程与抛物线联立，消去得： . ∴ ，，. ∴ . 点到直线的距离. ∴ 的面积. ∵ ，∴ 当时，取得最小值. 即面积的最小值为. 【点睛】方法归纳：本题考查抛物线的定义、切点弦方程、定点定值问题及面积最值问题，求解时可先推导抛物线的切点弦直线方程，利用直线过定点确定动点轨迹，再通过代数运算化简面积表达式求最值. 48．（2027高二·全国·专题练习）已知抛物线经过点，过点的直线l与抛物线C有两个不同的交点，且直线交y轴于M，直线交y轴于N．设O为原点， .求证：为定值． 【答案】极点极线背景：与符合与Q调和共轭， 所以Q为极点时，P在其对应极线上，此时极线方程为，即直线交于R， 所以，以P为射影中心，， 所以，即 【分析】应用极点极线背景，得出极线方程，再得出比例关系，最后计算求解. 【详解】略 49．（2026高二·广西柳州·期末）已知抛物线的焦点为，过点作直线交于，两点，为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)若为直角三角形，求直线的斜率； (3)点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交轴于点，探究是否为定值？ 【答案】(1)； (2)或； (3)是定值1,理由如下： 由（2）可知， 且，， 又因为， 所以直线的方程为， 令，得 ， 即， 所以， 所以是定值1.    【分析】（1）由题意可得，求出的值即可得答案； （2）设的方程为，与抛物线方程联立，分、及分别求解； （3）由题意可求得，，利用点斜式求出直线的方程，进而可得点的坐标，代入化简即可得答案. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设为， 所以的方程为， 由，得， 其中， 解得， 设, 由韦达定理可得：， 所以， 又因为为直角三角形， 当时，则有, 即， 即， 所以， 解得， 所以， 又因为在抛物线上， 所以， 整理得, 即， 解得； 同理当时，解得； 当时，所以,即， 所以， 解得，满足， 所以； 综上，或； （3）略； 题型8：抛物线的向量问题 50．（2026·甘肃·模拟预测）已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，直线与轴交于点，，点为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点参法，设点坐标，再利用得出点坐标，再利用转化思想，将转化为即可. 【详解】可知，设为坐标原点， 则， ，得， 故， 轴，，而， ， 故选：B. 51．（2026高二·全国·专题练习）已知直线（斜率大于0）过点，且与抛物线交于两点，，若抛物线上存在一点，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，，利用向量加法的坐标表示可得，设直线方程为①，与抛物线方程联立，利用韦达定理代入①式解出的范围，最后令解出，结合函数单调性求范围即可. 【详解】设，，， 则，，，，，， 因为，所以，解得， 代入方程得，即①， 设直线方程为，联立消去得， 所以，即，，， 代入①得，即，则，解得， 故，解得， 对于，令，得， 易知函数在单调递增，故当时，， 所以的取值范围为， 故选：A 52．（2026·江西新余·模拟预测）抛物线的焦点为，为坐标原点，，点为抛物线上任意一点，的平分线与轴的交点为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点与坐标原点重合时，可求得；当点不与原点重合时，不妨设点在第一象限，过点作垂直准线于点，利用角平分线的性质可得出，可得出，结合题意可求出的取值范围，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意得，焦点，准线方程为，为准线与轴的交点. 当点与坐标原点重合时，的平分线与轴交点为，即. 当点不与原点重合时，由抛物线的对称性，不妨设点在第一象限， 过点作垂直准线于点， 如图，由抛物线的定义可得， 记的平分线与轴交于点，则，. 根据角平分线定理可得，即. 因为， 所以，解得. 综上. 故选：B. 1．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为5，则（O为坐标原点）的面积为（     ）． A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】抛物线，焦点，准线方程为， 因为抛物线上一点到焦点的距离为5，所以点到准线的距离也为5， 即点的横坐标为4，代入可得， 因此. 2．（2026·北京大兴·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点为坐标原点，的面积为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】由抛物线：，可得焦点，准线方程为， 设，则，得， 又，可得， 所以. 3．（2026高二·河南焦作·期中）已知抛物线的焦点为，过点作直线与交于，两点，线段的中点为，过点作轴的垂线交于点，若，则的斜率为（ ） A． B．±1 C． D．±2 【答案】B 【分析】由题可得轴，得，设出直线方程与抛物线方程联立，得，进而求得答案. 【详解】由可得,将代入方程，解得, ，可得轴，从而点的纵坐标为2或， 显然直线的斜率存在，设直线，，， 将直线方程代入抛物线，消去，整理得， ，依题意，即，解得. 所以直线的斜率为. 4．（2026高二·浙江金华·期末）已知点为抛物线的焦点，抛物线的准线与轴交于点，是抛物线上的一点，满足，则的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】首先求出抛物线的焦点与准线方程，即可得到，不妨令在第一象限，即可求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出的坐标，即可求出面积. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，则， 因为，不妨令在第一象限，则， 所以直线的方程为， 由，解得，所以，则轴， 所以. 故选：B 5．（2026高二·天津·阶段检测）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将抛物线化为标准方程得，即可得到焦点坐标. 【详解】将抛物线化为标准方程得，所以焦点坐标是 故选：C. 6．（2026高二·四川广安·阶段检测）抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求得抛物线C的方程，即可得出抛物线C的准线方程. 【详解】∵抛物线C与抛物线关于轴对称， ∴抛物线C的方程为， ∴抛物线C的准线方程是. 故选：C. 7．（2026高二·安徽黄山·期末）若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在抛物线上及抛物线定义列方程组求参数p，即可得结果. 【详解】由题意，结合抛物线定义，可得，解得， 所以抛物线的方程为. 故选：D. 8．（2026高三·山西·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与该抛物线交于两点，记直线（为坐标原点）的斜率分别为，若，则（   ） A．144 B．148 C．152 D．156 【答案】B 【分析】设，由题意和斜率公式，求得，得到，求得的方程，联立方程组，求得的值，结合抛物线焦点弦的性质，即可求解. 【详解】由题意，设，，则， 即，，可得，， 因为，可得，解得， 直线AB的斜率， 又由抛物线，可得焦点，所以直线的方程为， 联立方程组，整理得，所以， 由抛物线的定义和焦点弦的性质，可得. 故选：B. 9．（2026高二·陕西商洛·期末）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点，若是的中点，且，则线段的长为（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设直线的方程为，根据中点条件将的坐标表示出来，根据求出，然后联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求出坐标，最后根据两点距离公式求出结果. 【详解】由题意得，，设直线的方程为. 因为的横坐标为，代入方程得其纵坐标为. 所以点的坐标为，设， 因为是的中点，所以，解得. 所以，由于，所以根据抛物线的定义可得，解得. 所以直线的方程为，抛物线. 联立直线与抛物线方程得，化简得. 所以，由于，所以，所以. 所以线段的长为. 故选：D. 10．（2026高二·四川广安·期末）已知直线与抛物线，则“与只有一个公共点”是“与相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件的定义先判断充分性，再利用必要性的定义判断必要性. 【详解】当“与只有一个公共点”时，如图，直线与抛物线的对称轴平行，与抛物线只有一个公共点，但是此时与不相切.所以“与只有一个公共点”是“与相切”的不充分条件； 当“与相切”时，与只有一个公共点，所以“与只有一个公共点”是“与相切”的必要条件. 综上，“与只有一个公共点”是“与相切”的必要不充分条件. 故选：B 11．（2026高三·全国·开学考试）过抛物线的焦点的直线交于两点，若直线过点，且，则抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的方程，联立抛物线方程，设出坐标，得到两根之和，两根之积，根据弦长列出方程，求出答案. 【详解】因为直线过点，所以直线的方程为. 由得，.      设，则. 因为 ， 整理得，解得， 所以抛物线的准线方程是. 故选：D. 12．（2026高二·北京延庆·期末）已知点在抛物线上，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点间的距离公式，结合的取值范围，即可求解. 【详解】设，， ， 当时，取得最小值2. 故选：A 13．（2026高二·浙江杭州·期末）已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 当时，即点的坐标为时，取最小值， 则点到直线的距离的最小值是. 14．（2026高二·贵州黔西南·期末）已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，其中，利用点到直线的距离公式结合二次函数的基本性质可求出点到直线距离的最小值，求出对应的值，即可得出点的坐标. 【详解】不妨设点，其中， 则点到直线的距离为， 故当时，取最小值，此时点的坐标为. 故选：C. 15．（2026高二·河南洛阳·阶段检测）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由抛物线的准线方程,分类讨论求参数的值. 【详解】当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为． 所以抛物线的方程为或． 故选：C 16．（2026高二·广东梅州·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线C交于点，若，则（    ） A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】结合图形特征得到直线AB的倾斜角，求出斜率，将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理结合焦点弦公式求解. 【详解】因为抛物线，所以，焦点，准线， 过分别作，垂足分别为， 由抛物线定义可知，过点作，垂足为， 设，因为，所以， 所以， 在中，，所以， 所以直线的倾斜角为，斜率，所以直线方程为， 由，得， 设，则， 由焦点弦公式， 故选：B. 17．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】联立方程组，利用判别式法得到切线方程，再表示出三角形面积，最后求解参数即可. 【详解】如图，设过点的抛物线切线斜率为， 则切线方程为， 联立，消元可得， 因该直线与抛物线相切，则，化简得， 解得，即切线方程为， 令，得，即，于是， 又，则，解得． 18．【多选】（2026高二·浙江衢州·期末）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．当的倾斜角为时， C．当垂直于轴时，弦长最小 D． 【答案】ABC 【分析】由抛物线方程可判断A,利用抛物线定义结合几何图形运算可判断BCD． 【详解】由抛物线：可得焦点，准线方程为，故A正确； 如图根据抛物线的定义可知：，， 由，故B正确； 设，则， 同理可得：， 所以， 此时取到最小值，故C正确； 由上可得：，故D错误； 故选：ABC 19．【多选】（2026高二·云南文山·阶段检测）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 【答案】BD 【分析】A根据抛物线的性质求焦点坐标可判断，B设直线，联立方程组结合根与系数的关系求可判断，C结合抛物线焦点弦公式求弦长的表达式，再求其最小值可判断，D根据抛物线定义利用表示，进一步计算可判断. 【详解】A，抛物线，设抛物线的焦点到准线的距离为，则， 故的坐标为，故A错误； B，设直线，联立，得， 方程的判别式，，， ，， 故，故B正确； C，因为， 所以时，弦的长度最小，最短弦的长度为4，故C错误； D，由，得，故D正确. 20．（26-27高三·全国·一轮复习）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 【答案】 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解. 【详解】设，（）， 由，得，所以. 因为在圆上，所以，得， 21．（2026高二·河南平顶山·期中）已知为抛物线：的焦点，过点的直线与相交于，两点，若轴，，则______. 【答案】5 【分析】结合题意确定点的坐标，代入抛物线方程求出的值，得到抛物线的具体方程， 进而联立直线与抛物线的方程，求出点的坐标,再结合焦半径公式求解. 【详解】不妨设点在第一象限内，，则， 代入，解得，即， 所以直线的方程为，即， 由得，则， 所以， 所以根据抛物线的定义可知，. 22．（26-27高三·全国·一轮复习）已知为抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为________. 【答案】 【分析】将点代入抛物线方程得，则抛物线方程为，根据直线与的倾斜角互补得，化简得，利用两点间斜率求得，即可得解. 【详解】因为是抛物线上一点，所以，得， 所以抛物线方程为，设，的坐标分别为，， 易知直线、直线、直线的斜率存在， 则，， 由题意，可得， 所以， 所以直线的斜率为定值. 23．（2026高二·浙江台州·期末）过的直线交抛物线于、两点，若（为坐标原点），则的面积为__________． 【答案】 【分析】设，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理及，可得、、，再由，应用数量积运算律可得，最后利用，利用方程求得，即可得结果. 【详解】由题意，不妨设，代入得：，    所以，即或，且， 根据对称性，不妨假设，则， 且， 所以，又，则， 由，则，， 所以①， ，则， 又， 所以②， 由①②得：， 所以，故， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由及数量积运算律得，结合韦达定理、弦长公式、三角形面积公式列出关于所设参数的方程为关键. 24．（2026高二·山西朔州·期末）已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】根据中点坐标以及点差法即可求解斜率，进而由点斜式求直线方程. 【详解】因为在抛物线内部，又，所以是的中点. 设，所以，即， 又在抛物线上，所以，两式作差，得，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为：    25．（2026高二·全国·课堂例题）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C有唯一公共点，则这样的直线有______条． 【答案】3 【分析】直线l与抛物线C有唯一公共点．分两类情况：一类是直线l平行于抛物线对称轴，另一类是直线l与抛物线C相切. 【详解】由题意知，直线的斜率存在. 设直线斜率为，则切线方程为， 联立 消x得， 当时，此时，与抛物线有唯一公共点； 当时，由，解得，即过M点的切线有两条． 综上可知，满足条件的直线有3条． 故答案为：3. 26．（2026高二·全国·课后作业）设抛物线（）的准线与直线的距离为3，则抛物线的标准方程为________． 【答案】或 【分析】先化为标准方程，得到准线方程，从而得到或，求出的值，得到答案. 【详解】可化为， 其准线方程为. 由题意知或，解得或， 故所求抛物线的标准方程为或. 故答案为：或 27．（2026高二·四川自贡·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）将点A坐标代入抛物线方程求解p即可得抛物线方程； （2）设直线方程联立抛物线，结合韦达定理和抛物线焦点弦长公式求斜率. 【详解】（1）已知点在抛物线上， 代入方程得，解得，因此抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线焦点. ①当直线斜率不存在时，则，代入得，此时，不合题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立方程得，整理得，恒成立， 由韦达定理得. 则，因此， 所以，解得，即，因此直线的方程为或. 28．（2026高二·河南新乡·期末）已知抛物线的焦点为F，M是的准线与轴的交点，是上的一点，且． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，过点的直线与交于A，B两点，若为的重心，求直线OG的斜率的最大值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）易知，则，     根据抛物线的定义，得，所以．     因此的方程为． （2）易得，设， 联立得消去得， ，     设的重心为， 则，     直线OG的斜率为，     要求直线OG的斜率的最大值，需使，则直线OG的斜率为， 当且仅当时，直线OG的斜率取得最大值1． 29．（2026高二·四川宜宾·期末）已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)或； (2)证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 【分析】（1）由题意转化为抛物线的定义，即可得到曲线方程； （2）利用方程组思想，结合韦达定理，即可得到直线过定点的证明. 【详解】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）略 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $