精品解析：广东深圳市新华中学2026-2027学年第一学期九年级期中学业质量监测数学学科问卷

2026-2027学年度第一学期九年级期中学业质量监测 数学学科问卷 答题时间：90分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下图是一种常见的化学实验仪器——漏斗，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图的定义，从物体正上方观察所得到的平面图形即为俯视图，结合漏斗的几何特征，漏斗的上部是一个大的圆形口，下部是一个位于中心的细小圆柱形管口，进行判断即可． 【详解】解：从上往下看，能看到一个大圆和中间的一个小圆，即两个同心圆； A、不符合题意； B、符合题意； C、不符合题意； D、不符合题意． 2. 若关于的一元二次方程的一个根是2，则（ ） A. -2 B. 0 C. 0.5 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】解：把代入，得， 即，解得． 3. 二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，当时，抛物线开口向下，顶点在原点，据此判断图像． 【详解】解：，， 二次函数的图像开口向下，故选A． 4. 下列两个图形一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】从对应角、对应边两方面判断图形是否相似． 【详解】解：A. 两个矩形对应角均为，但对应边不一定成比例，不一定相似； B. 两个菱形对应边成比例，但对应角不一定相等，不一定相似； C. 两个正方形对应角均为，且对应边成比例，一定相似； D. 两个等腰三角形对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，不一定相似． 5. 如图，四边形是平行四边形，以下条件不能判定四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，结合菱形的判定逐项分析． 【详解】解：A．∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，不符合题意. B．∵，， ∴平行四边形是矩形，不符合题意. C．∵， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，符合题意. D．∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， 不符合题意． 6. 中国结寓意团圆美满，如图，其主体部分可抽象为菱形．若菱形的边长为，对角线长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图，设菱形的对角线相交于点， ，，， 由题意得， ， ． 7. 如图，在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过角度计算得出，进而证明，利用相似三角形对应边成比例列方程求解． 【详解】解：设． ， ， ． ， ． ， ． ． 在中，，即， ， ． 在中，， ，， ， ． ，，， ， ， 整理得， 解得． ， ， ． 8. 解形如（，为常数）的一元二次方程时，欧几里得在《几何原本》中提出了以下图解法： （1）作线段，取中点； （2）过作的垂线，在上截取； （3）过点作的平行线； （4）以为圆心，为半径画弧，交直线于点； （5）过作于． 则下列线段中，可以表示该方程的一个根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】整理方程求出根的表达式，结合图形利用勾股定理计算线段的长度，进行对比即可． 【详解】解：原方程整理得． 解得． 由作图可知为中点，． ． 以为圆心，为半径画弧． ． ，，． 四边形是矩形． ． 在中，． ． 线段的长是方程的一个根． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】题干给出两组相等的比值，可通过比例关系将分子中的b、d用对应分母的a、c表示，代入所求分式化简得到结果. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 将b、d代入待求分式，则， ∵，，且， ∴约去分子分母的公因式， ∴原式． 10. 请写出一个比开口更小的抛物线解析式：______． 【答案】（答案不唯一，满足二次项系数的绝对值大于即可） 【解析】 【详解】解：二次函数的图象，开口大小由二次项系数的绝对值决定，越大，抛物线的开口越小，原抛物线的二次项系数绝对值为， 只要写出的抛物线满足二次项系数的绝对值大于，其开口就会比原抛物线更小， 如（答案不唯一，满足二次项系数的绝对值大于即可）． 11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线、相交于原点．若点的坐标是，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据四边形是正方形，对角线、相交于原点,结合正方形性质得点、点关于原点对称，再根据关于原点对称的点的特点即可得点的坐标. 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形，对角线、相交于原点, ∴点、点关于原点对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是. 12. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根比另一个根大2，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的两个实数根分别为和，结合根与系数的关系求出的值，再通过两根之积计算，最后验证方程满足有两个实数根的条件． 【详解】解：设一元二次方程的两个实数根分别为和， ∵ 根据根与系数的关系，该方程的两根之和为， ∴ ， 整理得， 解得， ∴ 另一根为， ∵ 根据根与系数的关系，该方程的两根之积为， ∴ ， 验证判别式：，满足方程有两个实数根的条件，符合题意． 13. 如图，在中，，，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转至，线段与线段交于点，则线段长度的最大值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】由旋转性质可知，结合及公共角，可证，从而得出与的数量关系，将表示为关于的代数式，利用垂线段最短确定的最小值，进而求得的最大值． 【详解】解：由旋转的性质可知，， 点在线段上， ， 在和中 ，， ， ， ， ， ， 使的长度最大，则的长度需最小， 是边上一点， 当时，取得最小值， 中，，， ， 此时， 线段与线段交于点， 点在线段上，即， ， 需满足 由知， ， ∵，时， ∴， ，即， 此时点在线段上，符合题意， 的最大值为． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）移项后提取公因式分解因式，转化为一元一次方程求解； （2）确定方程系数，计算判别式后代入求根公式求解； 【小问1详解】 解： 对原方程移项得， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：对于方程，，，， ∴， ∴， 即，． 15. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）以原点为位似中心，在轴的左侧作，使得它与位似（A、B、C的对应点分别为D、E、F）且相似比为． （2）在（1）的条件下，若为内一点，请写出点在内的对应点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的横纵坐标都乘以得到点，再顺次连接即可得出答案； （2）由（1）知把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点为内一点，则点在内的对应点坐标为． 16. 小华在新华中学校园看见两株树，其中树高，树高． （1）如图1，在夜晚路灯的照射下，树的影子为，树的影子为，请在图中找到路灯的位置． （2）如图2，在白天某时刻，树在阳光下的影子为，请用尺规作图找到此时树的影子（不写作法，保留作图痕迹），并求出影长． 【答案】（1）如图所示：点P即为所求； （2）如图所示；线段即为所求，； 【解析】 【分析】（1）路灯照射是中心投影，所有光线都交于光源，分别连接树顶端与对应影子的顶端，延长后的交点就是路灯的位置； （2）太阳光属于平行投影，太阳光线互相平行．先连接光线，利用尺规作同位角相等，以点为顶点，所在直线为一边，作，射线交地面于点，线段即为树的影子；再证明两个直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解影长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作图：略 ， ． 又， ． ， 代入，，： ． 解得． ∴影长为． 17. 如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， 又， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】第问，先利用平行线、角平分线推出等角对等边，得到一组对边平行且相等证平行四边形，再用邻边相等判定菱形； 第问，设菱形边长为未知数，把线段放在里，用勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 证明见答案． 【小问2详解】 设， 四边形是菱形， ． ， ． ， 是直角三角形，． 由勾股定理：， 代入已知： ， ， ， ， ， ． 18. 某运动品牌销售一款运动鞋，每双运动鞋的成本为60元，定价为100元．经过一段时间的降价促销发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降价（元）间存在如图所示的一次函数关系． （1）求出与的函数关系式；（无需写自变量的取值范围） （2）公司希望平均每天获得的利润达到8960元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价是多少元？ 【答案】（1） （2）88元 【解析】 【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解； 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 将，代入得：， 解得， 与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：根据题意得， 整理得：， 解得：， ∵要求优惠力度最大， 取， ． 答：每双运动鞋的售价应该定为88元； 19. 【背景】我们已经学习过，判定两个三角形相似至少需要两个条件，即：①两个角分别相等；②两边成比例及夹角相等；③三边成比例．这些判定方法使用的要素都是三角形的边和内角，于是数学兴趣小组的同学提出问题：三角形中的特殊线段（中线，高，角平分线）及其相关角，是否也可以作为判定三角形相似的要素呢？ 【探究】小新以中线为例，进行了如下研究：如图，与分别为与的中线． （1）当且时，是否一定与相似？_________（填“是”或“否”．） （2）当且时，判断与是否相似．若相似，请给出证明；若不相似，请画出反例． （3）当时，判断与是否相似．若相似，请给出证明；若不相似，请画出反例． 【答案】（1）是 （2）与不相似，反例如下： （3）与相似，证明如下： 如图，延长到点E使，连接，延长到点使，连接， ∵是的中线 ∴ 又∵ ∴ ∴， 同理可得， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴，即 ∵ ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，然后证明，得到，证明； （2）由和不是对应边的夹角即可得到与不相似，然后画出反例即可； （3）延长到点E使，连接，延长到点使，连接，证明，，得到，，，，然后证明，得到，，然后等量代换得到，即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴ ∵与分别为与的中线 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴一定与相似； 【小问2详解】 解：∵和不是对应边的夹角 ∴与不相似； 举反例如图， ∵， ∴，且 但是钝角三角形，是锐角三角形 ∴和不相似， ∴与不相似； 【小问3详解】 略 20. 在矩形中，，． （1）如图，为边上一点，为边上一点，且．求证：． （2）如图，是对角线上一点，将沿折叠得到，直线交直线于点． 若，求的长； 若与对角线所夹的锐角为，设与的交点为，直接写出的值． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ． 设与交于点． ， ， ． 又，即， （同角的余角相等）． 在和中，，， ． ∴． （2） 的值为或 【解析】 【分析】第问为证比例式题型：采用“横拆比例式”策略，把四条线段分到两个直角三角形，利用垂直条件带来的同角余角相等，证相似，再严格按照顶点对应写出比例式． 第问为翻折求线段长题型：优先挖掘折叠“折痕垂直平分对应点连线”这一性质得到垂直；作垂线构造字形相似得到线段长；再用同角余角相等构造新一组相似，列比例求解，全程只用相似，不使用坐标． 第问为求线段比值题型：先用字形相似转移比例，把转化为；作垂线构造含的直角三角形；面积法求斜高、母子相似求垂足分割线段；分在垂足左右两类讨论，得到两组答案． 【小问1详解】 证明见答案； 【小问2详解】 ①解：由折叠可知，折痕垂直平分对应点连线；又点在直线上， ． 如图所示：过点作，垂足为，则，且． ， ． ，即， ． 代入，， 得： ，； 又，， （同角的余角相等）． 在和中，，， ． 由相似对应边成比例： 代入数值： 解得． ②解：， ∴， ，把所求比值转化为对角线上线段之比． 在中，由勾股定理： 如图所示：过点作，垂足为，则是直角三角形，且． 由面积法求高： 由母子型相似：∵，， ∴， ∴， ，故， 在中，，则， ， ∴三边之比， 故 交点在上有两种位置，分类讨论． 情况一：点在线段上，如图所示． 则， ∴， ∴； 情况二：点在线段上，如图所示． ∴， ∴ ∴ 综上：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期九年级期中学业质量监测 数学学科问卷 答题时间：90分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下图是一种常见的化学实验仪器——漏斗，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程的一个根是2，则（ ） A. -2 B. 0 C. 0.5 D. 2 3. 二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列两个图形一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰三角形 5. 如图，四边形是平行四边形，以下条件不能判定四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 中国结寓意团圆美满，如图，其主体部分可抽象为菱形．若菱形的边长为，对角线长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 解形如（，为常数）的一元二次方程时，欧几里得在《几何原本》中提出了以下图解法： （1）作线段，取中点； （2）过作的垂线，在上截取； （3）过点作的平行线； （4）以为圆心，为半径画弧，交直线于点； （5）过作于． 则下列线段中，可以表示该方程的一个根的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则的值为______． 10. 请写出一个比开口更小的抛物线解析式：______． 11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线、相交于原点．若点的坐标是，则点的坐标是_______． 12. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根比另一个根大2，则_____． 13. 如图，在中，，，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转至，线段与线段交于点，则线段长度的最大值为_____． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解方程： （1） （2） 15. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）以原点为位似中心，在轴的左侧作，使得它与位似（A、B、C的对应点分别为D、E、F）且相似比为． （2）在（1）的条件下，若为内一点，请写出点在内的对应点的坐标． 16. 小华在新华中学校园看见两株树，其中树高，树高． （1）如图1，在夜晚路灯的照射下，树的影子为，树的影子为，请在图中找到路灯的位置． （2）如图2，在白天某时刻，树在阳光下的影子为，请用尺规作图找到此时树的影子（不写作法，保留作图痕迹），并求出影长． 17. 如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 18. 某运动品牌销售一款运动鞋，每双运动鞋的成本为60元，定价为100元．经过一段时间的降价促销发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降价（元）间存在如图所示的一次函数关系． （1）求出与的函数关系式；（无需写自变量的取值范围） （2）公司希望平均每天获得的利润达到8960元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价是多少元？ 19. 【背景】我们已经学习过，判定两个三角形相似至少需要两个条件，即：①两个角分别相等；②两边成比例及夹角相等；③三边成比例．这些判定方法使用的要素都是三角形的边和内角，于是数学兴趣小组的同学提出问题：三角形中的特殊线段（中线，高，角平分线）及其相关角，是否也可以作为判定三角形相似的要素呢？ 【探究】小新以中线为例，进行了如下研究：如图，与分别为与的中线． （1）当且时，是否一定与相似？_________（填“是”或“否”．） （2）当且时，判断与是否相似．若相似，请给出证明；若不相似，请画出反例． （3）当时，判断与是否相似．若相似，请给出证明；若不相似，请画出反例． 20. 在矩形中，，． （1）如图，为边上一点，为边上一点，且．求证：． （2）如图，是对角线上一点，将沿折叠得到，直线交直线于点． 若，求的长； 若与对角线所夹的锐角为，设与的交点为，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $