精品解析：广东省深圳市龙华第二实验学校华仁校区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

广东省深圳市龙华第二实验学校华仁校区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，8小题，共24分） 1. 下列各组中的两个图形，一定相似的是（ ） A. 有一个角对应相等的两个菱形 B. 对应边成比例的两个多边形 C. 两条对角线对应成比例的两个平行四边形 D. 任意两个矩形 2. 一块三角形板，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（ 　） A. 24cm B. 20cm C. 15cm D. 5cm 3. 关于x的方程的根的情况，正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个正根和一个负根 D. 没有实数根 4. 已知某商场2022年第四季度的某商品总销售量为9万件，其中10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连结、、，添加一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二、填空题（每小题3分，5小题，共15分） 9. 有2名男生和2名女生参加演讲比赛，抽签决定出场顺序，则前两个出场的都是男生的概率为_____． 10. 如果两个相似三角形的对应边上的中线之比是，并且这两个三角形的周长之和是，那么较大的三角形周长是______． 11. 关于x的方程kx2-4x-=0有实数根，则k的取值范围是______． 12. 珍珍观察一个用小正方体搭成的几何体，从不同方向看到的图形如图所示，这个几何体至少需要______个小正方体． 13. 如图，在正方形中，M，N分别为，上一点，且，连接，，交于点P，Q，R分别为，的中点，连接，，若，，则的长为________． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是：盐酸（呈酸性），：硝酸钾溶液（呈中性），：氢氧化钠溶液（呈碱性），：氢氧化钾溶液（呈碱性）． （1）小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是______；（直接填写答案） （2）小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率是多少？ 16. 某超市销售一种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，超市采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若每件降价5元，则平均每天销售量为_______件； （2）当每件降价多少元时，该超市每天销售此商品利润为1200元？ 17. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，且，连接． （1）求证；四边形是矩形； （2）连接交于点F，若，，求的长． 18. 如图，为的高，． （1）求证：； （2）求的长． 19. 同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）． （1）直接写出长方形区域的宽是_______m，长是_______m． （2）现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示四各小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 20. 定义：在凸四边形中，若对角线相等且至少有一个内角为直角的四边形叫作“奋进四边形”． （1）下列四边形中，是“奋进四边形”的是_______； ①直角梯形；②矩形；③菱形；④正方形； （2）正方形中，点分别为上一点，且，如图1，连接，过点M作于点M，连接，若四边形为“奋进四边形”． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，中，，点P为右侧平面内一点，且四边形为“奋进四边形”，过点P作于点Q，交的延长线于点Q，若与是相似三角形，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市龙华第二实验学校华仁校区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，8小题，共24分） 1. 下列各组中的两个图形，一定相似的是（ ） A. 有一个角对应相等的两个菱形 B. 对应边成比例的两个多边形 C. 两条对角线对应成比例的两个平行四边形 D. 任意两个矩形 【答案】A 【解析】 【分析】首先要了解什么是相似，以及四边形中不同四边形有什么区别，重点掌握等边、等角以及其比例关系. 【详解】解：A、菱形四边相等，四边形内角和为360，且有一个角对角相等，说明这两个图形各内角度数一致，则这两个图形必然相似. B、对应边比例相等的多边形不一定相似，如边长为1的正方形和宽为1长为2的长方形. C、当两条对角线的夹角对应相等时，这两个平行四边形相似．如图 . D、任意两个矩形不一定相似如正方形和长方形. 故选A. 【点睛】本题主要考查了学生对于图形的了解，着重考查了菱形的基本知识. 2. 一块三角形板，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（ 　） A. 24cm B. 20cm C. 15cm D. 5cm 【答案】B 【解析】 【分析】由投影得，由相似性质得，求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查中心投影，相似三角形的性质；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键． 3. 关于x的方程的根的情况，正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个正根和一个负根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是熟记根的判别式． 先写出各项系数，再求出判别式，根据符号判断根的情况． 【详解】解：， ，，， ， 所以关于x的方程没有实数根， 故选：D． 4. 已知某商场2022年第四季度的某商品总销售量为9万件，其中10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据该商场10月份的销售量及11，12月份销售量的平均增长率，可得出该商场11月某商品的销量为万件，12月某商品的销量为万件，结合该店2022年第四季度的某商品总销售量为9万件，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵该商场10月某商品的销量为3万件，且11，12月份销售量的平均增长率为x， ∴该商场11月某商品的销量为万件，12月某商品的销量为万件， 又∵该商场2022年第四季度的某商品总销售量为9万件， ∴可列方程为， 故选：C． 5. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 6. 学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出在B盘中，相当于把B盘平均分为3份，一份蓝色，两份红色，再画树状图，然后由概率公式求解即可． 【详解】解：∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是， ∴B盘红色扇形区域所占的圆心角是， ∴相当于把B盘平均分为3份，一份蓝色，两份红色， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的有3种情况， ∴小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 7. 如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连结、、，添加一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．先证四边形为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， A、∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、∵时，又， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴平行四边形是菱形，无法判定其为矩形，故选项D符合题意． 故选：D． 8. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：设菱形的对角线交于点，则：， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选D 二、填空题（每小题3分，5小题，共15分） 9. 有2名男生和2名女生参加演讲比赛，抽签决定出场顺序，则前两个出场的都是男生的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握画树状图法是解题关键．先画出树状图，找出前两个出场的所有等可能的结果，再找出前两个出场的都是男生的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，前两个出场的所有等可能的结果共有12种，其中，前两个出场的都是男生的结果有2种， 则前两个出场的都是男生的概率为， 故答案为：． 10. 如果两个相似三角形的对应边上的中线之比是，并且这两个三角形的周长之和是，那么较大的三角形周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．由两个相似三角形的对应边上的中线之比＝相似比＝相似三角形的周长比，即可求得这两个三角形周长比为：，又由周长之和是，即可求得答案． 【详解】∵两个相似三角形的对应边上的中线之比是， ∴这两个三角形周长比为：． ∵周长之和是， ∴这两个三角形周长分别为：， ∴较大的三角形周长是． 故答案为． 11. 关于x的方程kx2-4x-=0有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】k≥-6 【解析】 【详解】当k=0时，方程变为一元一次方程，有实数根； 当k≠0时，则有△=（-4）2-4×（-）k≥0， 解得k≥-6； 综上可得k≥-6． 12. 珍珍观察一个用小正方体搭成的几何体，从不同方向看到的图形如图所示，这个几何体至少需要______个小正方体． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了观察物体的方法，结合题意分析解答即可， 根据观察物体的方法，结合从上面看到的形状可知，几何体底层有5个小正方体，结合从前面和左面看到的形状，可知几何体有2层，上层至少有2个小正方体，据此结合题意分析解答即可． 【详解】解：观察一个用小正方体搭成的几何体，从不同方向看到的图形如图所示， 则几何体底层有5个小正方体，结合从前面和左面看到的形状，可知几何体有2层，上层至少有2个小正方体， 这个几何体至少需要7个小正方体． 故答案为：7． 13. 如图，在正方形中，M，N分别为，上一点，且，连接，，交于点P，Q，R分别为，的中点，连接，，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质以及全等三角形的判定和性质可得，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可求出，再根据勾股定理求出，进而求出，再求出，由相似三角形的判定和性质进行计算即可． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ，即， ，R分别为，的中点， ， 在中，，， 由勾股定理，可得， ， 在中，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相关知识点和正方形的十字架模型是解题的关键． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 或， 解得； 【小问2详解】 解：∵ ∴ 或 解得． 15. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是：盐酸（呈酸性），：硝酸钾溶液（呈中性），：氢氧化钠溶液（呈碱性），：氢氧化钾溶液（呈碱性）． （1）小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是______；（直接填写答案） （2）小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率是多少？ 【答案】（1）结果变红色的概率是； （2）两瓶溶液恰好都变红色的概率为． 【解析】 【分析】（）直接根据概率公式求解即可； （）画树状图得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可； 本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图， 共有种可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色,，共种结果， ∴两瓶溶液恰好都变红色的概率为． 16. 某超市销售一种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，超市采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若每件降价5元，则平均每天销售量为_______件； （2）当每件降价多少元时，该超市每天销售此商品利润为1200元？ 【答案】（1）30；（2）每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元 【解析】 【分析】（1）利用平均每天销售量=20+2×每件降价钱数，即可求出结论； （2）设每件降价x元，则每件盈利（40-x）元，平均每天销售量为（20+2x）件，根据该超市每天销售此商品的利润=每件的利润×平均每天销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件盈利不少于24元，即可确定x的值． 【详解】解：（1）平均每天的销售量=20+5×2=30件． 故答案为：30； （2）设每件商品应降价元时，该商店每天销售利润为1200元． 由题意得， ∴， ∴，， ∵要求每件盈利不少于24元． ∴应舍去， ∴． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，且，连接． （1）求证；四边形是矩形； （2）连接交于点F，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，， ，即， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据菱形的性质得出相等的边和直角，证明四边形是平行四边形，然后再根据直角得出矩形； （2）根据菱形的性质得出直角和相关线段的长度，然后利用勾股定理求出的长度，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理，得， ， 由（1）知，四边形是矩形， ， ∵， ∴， ∴， ∴点F为的中点． ． 18. 如图，为的高，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：为的高， ． 又， 和都是等腰直角三角形， ，且． 在和中， ，且， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，以及利用相似三角形的性质求解线段长度． （1）通过直角三角形得到，再结合条件，证明； （2）先利用相似三角形的性质得到对应边成比例，再结合等腰直角三角形的性质求出相关线段的关系，进而求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由，可得． ， ． 19. 同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）． （1）直接写出长方形区域的宽是_______m，长是_______m． （2）现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示四各小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 【答案】（1）8， （2）过道的宽度为 2 米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）设正方形的边长为米，则，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设过道的宽度为米，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：设正方形的边长为米，则， ∵长与宽之比为， ∴， 解得，， ∴，， 故答案为：8，． 【小问2详解】 解：设过道的宽度为米， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴过道的宽度为2米． 20. 定义：在凸四边形中，若对角线相等且至少有一个内角为直角的四边形叫作“奋进四边形”． （1）下列四边形中，是“奋进四边形”的是_______； ①直角梯形；②矩形；③菱形；④正方形； （2）正方形中，点分别为上一点，且，如图1，连接，过点M作于点M，连接，若四边形为“奋进四边形”． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，中，，点P为右侧平面内一点，且四边形为“奋进四边形”，过点P作于点Q，交的延长线于点Q，若与是相似三角形，请直接写出的长． 【答案】（1）②④ （2）①证明，② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据各四边形的特征即可求解； （2）①证得．根据四边形是“奋进四边形”得，即可求证； ②过点N作，可得四边形为矩形，推出，由①可得．根据题意可得、为等腰直角三角形，据此即可求解； （3）过点P作，垂足为D，分类讨论当时，当时，两种情况即可求解； 【小问1详解】 解：直角梯形的对角线不一定相等，矩形四个内角均为直角且对角线相等； 菱形的对角线不相等，正方形四个内角均为直角且对角线相等； 故答案为：②④； 【小问2详解】 ①证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ． 四边形是“奋进四边形”， ， ； ②如图1，过点N作，垂足为E， 四边形为矩形， ． 由①知， ． 由题意知， ，即， 为等腰直角三角形， ． 又， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图2，过点P作，垂足为D， 中，， 根据勾股定理得，， 四边形为“奋进四边形”， ． 第一种情况： 当时，如图2， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得（舍去）， ； 第二种情况： 当时， ， 设．则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得（舍去）， 故答案为：或 【点睛】本题考查了特殊四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识点，几何综合性较强． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $