广西壮族自治区贺州市昭平县昭平中学2026-2027学年高二上学期10月教学质量检测数学试题

2026年秋季学期教学质量检测卷 数 学 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 注意事项： 1 ．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3 ．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知直线的倾斜角为30°，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 6．过点且斜率为2的直线的点斜式方程是（   ） A． B． C． D． 7．在平行六面体中，，，，，，则AM 的长为（    ） A． B． C． D． 8．若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分． 9．设直线：，：，则（    ） A．与平行 B．与相交 C．与的交点在圆上 D．与的交点在圆外 10．直线与圆相交，则弦长可能为（    ） A．2 B．3 C． D．5 11．如图所示的在长方体中，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（    ） A． 与垂直 B． 与所成的角大小为 C． 与平面所成角大小为 D． 直线与平面不平行 E． 高二数学 第 1 页 共 4 页 高二数学 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知向量的夹角的余弦值为，则________ 13．已知复数，其中i是虚数单位，则z 的虚部为___________. 14．已知，则以为方向向量的两直线的夹角为________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图，正四棱柱中，，，点M，N分别是棱，的中点。 (1)求证：直线平面； (2)求点B到平面的距离． 16．设直线l 的方程为. (1)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围； (2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S 的最小值并求此时直线l的方程. 17．根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)圆心在直线：上，且过和点． 18．已知圆和圆. (1)判断和的位置关系； (2)求与的公共弦所在直线的一般式方程以及公共弦的弦长. 19．在四棱锥中，底面是一直角梯形，底面，，，，，是上的点，且. （1）若，求异面直线与所成角的大小； （2）当为何值时，二面角的余弦值为. 高二数学 第 3 页 共 4 页 高二数学 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《高中数学2026年10月高二教学质量检测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C B B C A BC BC 题号 11 答案 AC 1．B 【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由集合描述可求得，应用交运算求即可. 【详解】， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查了集合的基本运算，应用了一元二次不等式的解法、集合交运算求交集，属于简单题. 2．D 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数除法求解，再结合复数对应的点判断即可. 【详解】，所以对应的点位于第四象限. 故选：D 3．C 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】利用空间向量的运算法则求解即可. 【详解】如图所示： . 故选：C. 4．C 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系，计算即可. 【详解】直线的倾斜角为30°， 直线的斜率. 故选：C 5．B 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】利用圆的标准方程直接写出圆心即可. 【详解】由题可知圆心坐标为. 故选：B 6．B 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】由点斜式方程即可求解. 【详解】由题意直线方程为：， 故选：B 7．C 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】由题知，再求向量的模即可得答案. 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 故选：C． 8．A 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先求出直线恒过的定点，分别求出直线的斜率，由直线与线段相交，得到直线的斜率和直线的斜率的不等关系，从而得到直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线，即，则直线恒过定点，且斜率为， ，， 直线与以为端点的线段相交，   或，或， 直线的倾斜角取值范围为. 故选：A. 9．BC 【知识点】由斜率判断两条直线平行、求直线交点坐标、判断点与圆的位置关系 【分析】由两直线斜率判断AB，解出两直线的交点判断CD. 【详解】由题意，直线， 两直线斜率分别为，， 故两直线相交，选项A错误，B正确； 联立，解得，故两直线交点为， 由，得交点在圆上.故C正确，D错误. 故选：BC. 10．BC 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】求出恒过定点，从而得到弦长的最小值和最大值，得到答案. 【详解】的圆心为，半径为， 变形为， 故恒过定点， 由于，故在圆内， 当与直线垂直时，弦长最短， 此时弦长， 当过点时，弦长最长，为直径4， 故弦长可能为3或. 故选：BC 11．AC 【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】如图建立空间直角从标系，设， 则， 又、分别是、的中点，所以， 对于选项A，因为，，又， 所以，故与垂直，所以选项A正确， 对于选项B，因为，， 设与所成的角为，则，所以选项B错误， 对于选项C，因为，所以为正方形，连接，则， 又易知，，面，所以面， 又，，所以，故平面，所以选项C正确， 对于选项D，由选项C知，又面，面，所以面，则面，故选项D错误， 故选：AC. 12． 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】先根据数量积的定义可得，结合数量积的运算律分析求解. 【详解】由题意可得， 所以． 故答案为：. 13．. 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的乘法运算以及复数的概念即可求解. 【详解】， 所以复数z的虚部为. 故答案为：. 14． 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】由已知向量，的坐标，结合，求得，求出，由两向量的夹角公式求得以为方向向量的两直线的夹角. 【详解】因为所以，又，故. 又，所以，又. 设以为方向向量的两直线的夹角为 则，所以. 故答案为：. 15．(1)如图所示，以D为坐标原点，，，为x，y，z轴正方形建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则，即， 设，解得，，则平面的一个法向量为， 则，得， 又直线不在平面内，则直线平面． (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量法证明线面平行，求出直线方向向量和平面的一个法向量，证明向量垂直即可. （2）根据向量方法求空间中点到平面距离，根据公式求出距离即可. 【详解】（1）略 （2）点B到平面的距离． 16．(1) (2)6； 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线的点斜式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】（1）将直线方程化为斜截式，再结合不经过第二象限列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围； （2）根据两点的位置确定的坐标以及的取值范围，求得面积的表达式，结合的取值范围，结合基本不等式，求得面积的最小值与此时直线l的方程. 【详解】（1）， ∵不经过第二象限， ∴，解得. ∴实数的取值范围是. （2）令，解得，解得； 令，解得，解得或. 综上有. ∴ ，当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6， 此时直线方程，即.    17．(1)圆的标准方程为 (2)圆的标准方程为 【知识点】求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）小问由圆心和圆上的点，可得圆的半径，根据两点间的距离公式，可计算出圆的半径，进而可得圆的标准方程； （2）小问首先设圆心为，半径为，由圆心在直线：上，可得，再根据圆过点和点，可得，由两点间的距离公式，可得，整理可得，联立方程组，解得，再将，代入，解得，最后可得圆的标准方程. 【详解】（1）因为圆心在，且过点， 可得，圆的半径， 所以圆的标准方程为. （2）设圆心为，半径为，圆的标准方程为. 因为圆心在直线：上，所以， 又因为圆过点和点，所以， 即， 两边平方可得，， 整理得，， 联立方程，，解得， 则， 综上所述，圆的标准方程为. 18．(1)相交 (2)， 【知识点】判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】（1）首先求解两圆的圆心距，利用两圆的位置关系的公式，即可判断； （2）两圆相减，即可求解两圆公共弦所在的直线方程，利用点到直线距离公式以及弦长公式求得正确答案. 【详解】（1）根据题意，圆的圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 所以圆心距，因为， 故圆和圆相交. （2）将两圆方程相减，有， 所以两圆公共弦所在直线的方程为， 圆心到的距离， 故公共弦的弦长为. 19．（1）；（2）. 【知识点】异面直线夹角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】（1）建立空间直角坐标系,求和所成角，即可得异面直线AE与CD所成角；（2）求平面ACE和平面AED的法向量，利用法向量夹角的余弦值计算即可得到的取值. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，， （1）由，知，，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的大小为. （2）由， ， 设平面的法向量， 则即，取，得， 由已知面，所以平面的一个法向量， 所以，解得或. 因为，所以. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull2026年秋季学期教学质量检测卷数学 数学答题卡 姓名： 班级： 考号 1.答题前，考生务必将个人信息填写清 请注意粘贴范围 楚。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题 注 必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 贴条形码区 意 写。 事 3.必须按题号顺序在各题目的答题区域 请注意粘贴范围 项 内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4.保持答题卡清洁、完整，严禁折叠、不 此栏考生禁填 缺考标记：口 要弄破，严禁在答题卡上作任何标记，严 禁使用涂改液和修正带。 单选题 1 A]B]C]D 6 A]B]C]D] 2 ABCID 7 ABICID 3 [A B]C]D 8 AB网D 4 A BCD 5AB▣D 二、多选题 9AB©D 10ABC网D 11AB回D 三、填空题 12. 13. 14. 请勿在此区域作答 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 第1页共6页 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 四、解答题 15.(13分) D M A B 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 第2页共6页 ■ 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 第3页共6页 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 第4页共6页 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 第5页共6页 ■■ 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 第6页共6页