5.2 三角函数的概念【重点•题型】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题5.2 三角函数的概念 【知识点一、三角函数的定义】 1.任意角的三角函数定义 正弦，余弦，正切 2.三角函数的定义域： 三角函数 定义域 sinx R cosx R tanx 【知识点二、三角函数值的符号】 第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负. 注：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 【知识点三、诱导公式一】 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： 其中 【知识点四、单位圆的三角函数定义】 如图（1）PM表示角的正弦值，叫做正弦线.OM表示角的余弦值，叫做余弦线. 如图（2）AT表示角的正切值，叫做正切线. 注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负. 【知识点五、同角三角函数的基本关系】 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 重难点题型1 判断三角函数符号的正负 1．（2025高一上·河南安阳·专题练习）若，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】利用三角函数的定义即可解答． 【详解】要使，必须，，即，，所以是第二象限角. 故选：B. 2．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）若为第四象限角，且，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】确定已知角所在象限、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】若为第四象限角，得到范围，进而得到范围及象限. 【详解】为第四象限角，，，则，.又，则为第四象限角， 故选：D. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则“”是“角为第一或第二象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】充分条件、必要条件、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】先判断由“角为第一或第二象限角”能否推出“”，再判断“”能否推出“角为第一或第二象限角”. 【详解】根据任意角三角函数的定义，知道“角为第一或第二象限角”能推出“”； 但“”，根据任意角三角函数的定义， 此时角的终边可能在第一象限， 也可能在第二象限，还可能在轴非负半轴上.不能推出“角为第一或第二象限角”. 由充分必要条件的定义可知，“”是“角为第一或第二象限角”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）（多选题）已知是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】利用第四象限角的三角函数符号判断各选项. 【详解】因为是第四象限角，所以，，. A.，正确. B.，与矛盾，错误. C. 由平方关系知，在第四象限不等于，错误. D. 由且得，正确. 【点睛】第四象限：正弦负、余弦正、正切负；开方得绝对值. 5．（24-25高一下·江西·阶段检测）（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】先判断角终边所在位置，在判断其三角函数的符号，逐项判断即可. 【详解】因为，为第二象限角，故， 得. 故选：BD 6．（24-25高一下·河南·期中）__________0（填“”或“<”） 【答案】< 【难度】0.85 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】利用三角函数值在各象限的符号特征，得到给定余弦值和正切值的正负，再作出判断即可. 【详解】的终边在第二象限，的终边在第四象限， ， ， 故答案为：． 7．当为第三象限角时，的值是________. 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据角的象限确定三角函数的符号，计算可得结果. 【详解】因为为第三象限角，所以,,, 所以. 故答案为：1 重难点题型2 三角函数的概念 1．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知角的终边上有一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.8 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】先化简的坐标，再根据任意角三角函数的定义分别求出，的值，相加即可． 【详解】由题知， ，， 所以． 2．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据任意角三角函数的定义求解. 【详解】因为是第二象限角，点为其终边上一点，所以， 解得或或，因为是第二象限角，所以，所以. 3．（25-26高一上·江苏镇江·期末）（多选题）已知点是角终边上的一点，则（   ） A．当时， B．角为第四象限角 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】利用定义求某角的三角函数值 【分析】根据三角函数的定义分别对每个选项进行判断即可. 【详解】由三角函数的定义可得， 对于A，当时，，此时，，故A正确， 对于B，当时，，在第四象限； 当时，，在第二象限，故B错误， 对于C，根据三角函数的定义可知，故C正确， 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 4．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选题）已知角的终边经过点，则（   ） A．为钝角 B． C． D．点在第二象限 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】因为角的终边经过点，根据三角函数的定义即可判断三角函数值的符号及三角函数值，进而逐一判断. 【详解】因为角的终边经过点， 所以是第二象限角，由周期性可知不一定是钝角，且，，， 所以AC错误，B正确； 因为点的横坐标，纵坐标， 所以点在第二象限，D正确. 故选：BD. 5．（26-27高三上·北京平谷·开学考试）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称．若角终边与单位圆交于点，则_______________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据余弦函数的定义求解. 【详解】因为角与角的终边关于原点对称，且角终边与单位圆交于点， 所以角终边与单位圆交于点， 所以. 6．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）已知角终边上一点，且，则___________． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】利用正弦函数的定义求解. 【详解】由题意，解得（舍去）， 故答案为：2. 7．（24-25高一上·吉林四平·阶段检测）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】由三角函数的定义可知， ，所以，解得， 故答案为：． 重难点题型3 同角三角函数的基本关系 1．（25-26高三上·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（    ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由单位圆及点的坐标求出的值，将所求式化弦为切代入计算. 【详解】点在单位圆上且，则. 由三角函数定义得. 将原式分子分母同除以， 得. 2．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】根据同角的三角函数关系求解即可. 【详解】由，得，即， 所以. 故. 3．（25-26高一下·广西钦州·期末）（多选题）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.7 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【详解】对于A，因为，所以， 所以，A正确； 对于B，C，因为，所以，因为，所以， 所以，C正确；，B错误； 对于D，因为，所以，所以，D错误. 4．（2026·山东烟台·模拟预测）若，，则的值为______． 【答案】/ 【难度】0.69 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【详解】因为分子： 分母：，. 所以原式. 已知，两边同时平方可得： ， 所以. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，求______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【详解】设，， 则， 由，得， 又，则， ． 重难点题型4 综合应用 1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数； (1)若，求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.77 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、正、余弦齐次式的计算 【详解】（1）由，得， . （2）由得，，解得， 所以与异号，因为，所以，则，， 所以，， ， 所以. 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2)已知 （i）求的值 （ii）求的值 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【难度】0.77 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解即可； （2）（i）利用同角商数关系可求得，再利用齐次式可求值；（ii）利用，结合齐次式即可求值. 【详解】（1）由为第二象限角，得，由，得， 所以， （2）由，得，解得. （i）； （ii） . 3．（2026高三·全国·专题练习）已知是三角形的内角，且．求： (1)； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据给定条件，利用正余弦齐次式法计算得解. 【详解】（1）由题可知：， ． （2）由题可知：， ． 4．（25-26高一下·河南南阳·期中）（1）已知终边上一点 ，且 ，求的值. （2）已知角的终边过点 ，求的值. 【答案】（1）（2）若，则；若，则． 【难度】0.72 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）利用三角函数定义，由终边上点的坐标表示出，与已知条件联立方程解得，再代入定义式求出； （2）先由点的坐标算出，依据的符号分类讨论以确定角所在的象限和三角函数的正负号，再由定义求出和的值，最后代入给定的线性表达式完成计算. 【详解】（1）由题意知，由三角函数定义得． 又, ，，, 所以． （2）， ①若，则，角是第二象限角， 所以，所以． ②若，则，角是第四象限角，所以． 所以． 综上，若，则；若，则． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）若是第二象限角，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】由条件可得，然后逐一判断选项，即可得到结果. 【详解】因为是第二象限角，所以， ，故A错误； 若，则，故B错误； ，故C正确； ，即相当于一个在第四象限的角，所以，故D错误. 2．（26-27高三上·河南郑州·期中）已知角的终边经过点，则的值是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由于， . 3．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知角的终边过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】利用三角函数的定义可求出，利用弦化切可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为角的终边过点，则， 所以 ，解得. 4．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】将等式移项后平方，结合平方关系消元，可求出，，然后根据商数关系求得. 【详解】，所以， 由，得，所以， 因为，所以， 所以，即， 得，（舍去），所以， 则. 二、多选题 5．（24-25高一上·广东深圳·期末）若，则角的终边可能落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据各象限三角函数的正负情况判断即可. 【详解】因为，所以或， 所以为第三象限或第四象限角. 故选：CD 6．下列函数值符号为正的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】利用三角函数的象限角的符号判断. 【详解】解：因为是第二象限角，所以，故A正确； 因为是第三象限角，所以，故B正确； 因为是第二象限角，所以，故C正确； 因为是第三象限角，所以，故D正确； 故选：AD 7．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.7 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，利用平方关系对已知式变形，结合θ的范围判断三角函数符号，逐项验证选项即可. 【详解】选项A：已知，因此， 将两边平方得：， 解得， 因此，故，A正确； 选项B：由上述计算得，B错误； 选项C：计算， 因为，故，开方得，C正确； 选项D：利用平方差公式分解：，D正确. 三、填空题 8．已知角的终边上有一点，则___. 【答案】－ 【难度】0.85 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值 【详解】，，所以. 9．（26-27高三上·天津东丽·阶段检测），，则________. 【答案】 【难度】0.7 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【详解】已知，将等式两边同时平方，可得：. 由同角三角函数的基本关系，代入上式得： ，解得. 因为，所以，结合，可得，因此. 对平方，得：， 将代入，得：. 结合，开方得：. 10．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知，且，则__________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【详解】∵ , ∴ , 解得 . 又∵ , ∴ , , 即 . ∵ , ∴ . 11．（25-26高一下·上海青浦·期中）已知，则________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据题意，化简得到，代入计算，即可求解. 【详解】由，则 四、解答题 12．（25-26高一上·上海·期末）（1）若角的终边经过点，求的值； （2）已知，且为第二象限角，分别求和的值． 【答案】（1）；（2），. 【难度】0.79 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、由终边或终边上的点求三角函数值 【详解】（1）由角的终边经过点，得． 所以． 所以． （2）因为，所以． 又，所以，所以． 由，解得或， 因为是第二象限角，所以，所以， 所以． 13．（1）已知角的终边与单位圆的交点为 ①求的值； ②求的值. （2）已知，求： 【答案】（1）①；②； （2） 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、正、余弦齐次式的计算、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）①利用三角函数的定义求解即可； ②利用齐次式化简求解即可； （2）由题可得，化简可得 【详解】（1）因为角的终边与单位圆的交点为， ①所以， ② （2）因为， 所以，， 则， 所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 三角函数的概念 【知识点一、三角函数的定义】 1.任意角的三角函数定义 正弦，余弦，正切 2.三角函数的定义域： 三角函数 定义域 sinx R cosx R tanx 【知识点二、三角函数值的符号】 第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负. 注：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 【知识点三、诱导公式一】 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： 其中 【知识点四、单位圆的三角函数定义】 如图（1）PM表示角的正弦值，叫做正弦线.OM表示角的余弦值，叫做余弦线. 如图（2）AT表示角的正切值，叫做正切线. 注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负. 【知识点五、同角三角函数的基本关系】 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 重难点题型1 判断三角函数符号的正负 1．（2025高一上·河南安阳·专题练习）若，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）若为第四象限角，且，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则“”是“角为第一或第二象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）（多选题）已知是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江西·阶段检测）（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河南·期中）__________0（填“”或“<”） 7．当为第三象限角时，的值是________. 重难点题型2 三角函数的概念 1．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知角的终边上有一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（   ） A． B．2 C． D．3 3．（25-26高一上·江苏镇江·期末）（多选题）已知点是角终边上的一点，则（   ） A．当时， B．角为第四象限角 C． D． 4．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选题）已知角的终边经过点，则（   ） A．为钝角 B． C． D．点在第二象限 5．（26-27高三上·北京平谷·开学考试）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称．若角终边与单位圆交于点，则_______________． 6．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）已知角终边上一点，且，则___________． 7．（24-25高一上·吉林四平·阶段检测）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则_____． 重难点题型3 同角三角函数的基本关系 1．（25-26高三上·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（    ） A． B．11 C． D． 2．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广西钦州·期末）（多选题）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东烟台·模拟预测）若，，则的值为______． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，求______． 重难点题型4 综合应用 1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数； (1)若，求的值； (2)若，且，求的值. 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2)已知 （i）求的值 （ii）求的值 3．（2026高三·全国·专题练习）已知是三角形的内角，且．求： (1)； (2)的值． 4．（25-26高一下·河南南阳·期中）（1）已知终边上一点 ，且 ，求的值. （2）已知角的终边过点 ，求的值. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）若是第二象限角，则（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·河南郑州·期中）已知角的终边经过点，则的值是（     ） A．或 B．或 C． D． 3．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知角的终边过点，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一上·广东深圳·期末）若，则角的终边可能落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．下列函数值符号为正的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．已知角的终边上有一点，则___. 9．（26-27高三上·天津东丽·阶段检测），，则________. 10．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知，且，则__________． 11．（25-26高一下·上海青浦·期中）已知，则________. 四、解答题 12．（25-26高一上·上海·期末）（1）若角的终边经过点，求的值； （2）已知，且为第二象限角，分别求和的值． 13．（1）已知角的终边与单位圆的交点为 ①求的值； ②求的值. （2）已知，求： 1 学科网（北京）股份有限公司 $