3.3 幂函数（9大培优题型）-2026-2027学年高一上学期数学同步培优讲义（人教A版必修第一册）

3.3 幂函数 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、幂函数概念 3 知识点二、幂函数的图象及性质 3 03 题型精讲 5 题型一：幂函数判定 5 题型二：幂函数解析式求解 6 题型三：幂函数定义域 7 题型四：幂函数比较大小 9 题型五：幂函数的图象问题 11 题型六：幂函数定点问题 14 题型七：解不等式问题 16 题型四：幂函数的值域问题 18 题型九：幂函数性质综合应用 22 04 课后精练 27 05 培优拓展 35 知识点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点二、幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 知识点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 题型一：幂函数判定 【典例1-1】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 【典例1-2】（2026·高一·天津·阶段检测）下列幂函数中过点 ，的偶函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数 定义域为 ，所以不是偶函数，选项A错误； 函数是幂函数，且 图像过点 ，，定义域为, 且 ，所以为偶函数，选项B正确； 函数定义域为 ，所以函数图像不过点，选项C不对； 函数的定义域为，所以不是偶函数，选项D错误； 故选：B 【变式1-1】（第三章函数的概念与性质第5节幂函数）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由幂函数的定义：形如,其中为常数，所以可得是幂函数． 故选：C. 【变式1-2】（2026·高一·湖北·期末）下列函数是幂函数且是奇函数的是（    ） A．y=2x B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，易知不是幂函数，错误； 对于B，易知其为偶函数，错误； 对于C，由解析式可知为幂函数；，定义域为， 又，奇函数，正确； 对于D，易知其为偶函数，错误； 故选：C 【变式1-3】下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 【方法技巧与总结】 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数． 题型二：幂函数解析式求解 【典例2-1】（2026·高一·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【解析】由题意得，，则，则. 【典例2-2】（2026·高一·贵州六盘水·期末）已知幂函数的图象过点，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】由题意，得，则，即， 则. 故选：B 【变式2-1】（2026·高一·江苏无锡·期中）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】由题意得，，解得， 则，所以. 故选：C 【变式2-2】已知函数是幂函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【解析】由是幂函数的定义可知，解得，故， 故. 故选：D. 【变式2-3】（2026·高一·湖北·期中）已知幂函数在区间上单调递减.则（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】由幂函数可得：， 此时幂函数，在区间上单调递减，可得， 由代入可得：， 因为，所以， 即，所以， 故选：C. 【方法技巧与总结】 幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 题型三：幂函数定义域 【典例3-1】（2026·高一·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为幂函数的图象经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C 【典例3-2】（2026·高一·上海·期末）下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因，则该函数的定义域为，故A不合题意； 对于B，因，该函数的定义域为，故B不合题意； 对于C，因，则该函数的定义域为，故C符合题意； 对于D，因，则该函数的定义域为，故D不合题意. 故选：C. 【变式3-1】幂函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，即的定义域为. 故选：B. 【变式3-2】（2026·高一·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为. 故选：B 【变式3-3】（2026·高一·山西吕梁·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 【方法技巧与总结】 使表达式有意义． 题型四：幂函数比较大小 【典例4-1】（2026·高一·河南·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由为幂函数，令，解得或， 时，的图象经过原点，符合题意，所以， 时，，图象不过原点，不合题意， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以. 【典例4-2】（2026·高一·北京·期中）若，则它们的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由幂函数在上单调递增，且， 所以，即. 【变式4-1】（2026·高一·福建·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是幂函数，所以，解得或， 又的图象经过原点，所以，即 因为，所以 ， 又因为在上单调递增， 所以 【变式4-2】（2026·高三·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， 【变式4-3】（2026·高一·福建莆田·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且在内单调递增， 则，即. 故选：D. 【方法技巧与总结】 （1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． （2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． （3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 题型五：幂函数的图象问题 【典例5-1】如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】B 【解析】由选项情况设幂函数. 对于①，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为奇函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于②，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为偶函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于③，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为非奇非偶函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况； 对于④，由图得该函数定义域为，在上单调递减，为奇函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况. 综上可得选：B. 【典例5-2】（2026·高二·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 【变式5-1】（2026·高一·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数是幂函数，定义域为R， 又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求. 故选：B 【变式5-2】（2026·高一·广西玉林·期末）幂函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】幂函数的定义域为，图象不过原点，排除AB； 函数是偶函数，图象关于轴对称，在上单调递减，排除D，C符合. 故选：C 【变式5-3】（2026·高一·福建泉州·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为 （ ） A．或1 B．或2 C．1 D． 【答案】C 【解析】因为幂函数的图象与坐标轴没有公共点， 所以，解得． 故选：C. 【方法技巧与总结】 先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可． 题型六：幂函数定点问题 【典例6-1】函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数，令，可得且， 所以函数的图象恒过定点. 【典例6-2】（2026·高一·天津滨海新区·期中）已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】依题意，，则，因此， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：D 【变式6-1】（2026·高二·广西·学业考试）函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据幂函数的定义可知，函数，与均为幂函数， 因为幂函数图像所过定点为，所以可得这三个函数图像均过点. 故选：C 【变式6-2】幂函数的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，幂函数，当时，可得 所以幂函数的图象一定经过点. 故选：B. 【变式6-3】函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，所以函数的图象过定点. 故选：A. 【方法技巧与总结】 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点 题型七：解不等式问题 【典例7-1】若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】因为函数是定义在上的增函数，则由 ，可得，解得， 故实数的取值范围是. 由， 可得，解得， 故实数的取值范围是. 【典例7-2】（2026·高一·广东深圳·期中）已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【答案】 【解析】由题可设幂函数，则，即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. 【变式7-1】（2026·高一·天津·期末）已知幂函数在第一象限上是增函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是幂函数， 所以， 解得或， 又在第一象限上是增函数，故， 所以，则. （2）由（1）知在上是增函数， 又的定义域为， 所以解得， 所以的取值范围是. 【变式7-2】（2026·高一·陕西西安·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增． (1)求和的值； (2)若,求满足不等式的的取值范围． 【解析】（1）∵是幂函数， ∴，解得. 由在上单调递增得，解得. ∵， ∴或. 当时，函数，图象关于轴对称，符合题意. 当时，函数，图象关于原点对称，不合题意. 综上，，. （2）由（1）得，， ∴. 即，可化为， 解此分式不等式，得或， 故的取值范围是. 【变式7-3】（2026·高一·上海浦东新·阶段检测）已知幂函数经过点. (1)求此幂函数的表达式； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）设，因为经过点，所以， 解得，所以. （2）由题意，即， 所以，解得，故实数的取值范围为. 【方法技巧与总结】 运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径． 题型四：幂函数的值域问题 【典例8-1】（2026·高一·全国·期中）已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【解析】（1）由已知，得或， 又因为在区间上单调递增，所以. （2）， （i）法一： 法二：可解得， 将即可求得. （ii）法一：， 令，， 对称轴，所以当时取到最小值2， 所以值域为. 方法二：因为在上单调递增. 所以，所以值域为. 【典例8-2】（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 【解析】（1）由于， 则，，， 所以过点， 故的图象，如图所示，函数的定义域为； （2）由题可知， 设，则， 当时取等号，故的值域为． 【变式8-1】（2026·高一·湖南·阶段检测）已知函数． (1)求的解析式； (2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）令，则， 则， 故． （2）由（1）可得． 因为函数和函数均在上单调递增， 所以在上单调递增． 故． 对任意，，不等式恒成立， 即对任意，不等式恒成立， 则解得或． 故的取值范围是． 【变式8-2】（2026·高二·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【解析】（1）因为，所以， 整理得，即或（舍去）， 则，故． （2）由（1）可知，． 因为，所以，，所以． 故在上的值域为． 【变式8-3】（2026·高一·山东·期中）已知幂函数在区间上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数的值. 【解析】（1）由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 幂函数在区间上单调递减，所以，即. （2）由（1）知：，当时，可得， 设，则， 则函数，即为， 又由函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，即时，函数在上单调递增，所以， 令，解得； 当时，即时，函数在上递减，在上递增， 所以，令，解得（舍去）； 当时，即时，函数在上单调递减，所以， 令，解得（舍去）， 综上可得，实数的值为. 【方法技巧与总结】 利用单调性求解． 题型九：幂函数性质综合应用 【典例9-1】（2026·高一·福建厦门·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 【解析】（1）∵幂函数（k∈Z）是偶函数，且在上单调递增， ，且为正偶数，则，故. （2）在上单调递增， 证明如下：因为， 设， 则， 因为，所以，， 则， 所以在上单调递增 【典例9-2】（2026·高一·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 【解析】（1）由题意可得，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 又因为函数在区间上是增函数， 所以，解得或，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【变式9-1】（2026·高一·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）因为是幂函数，根据幂函数定义，则，系数为1， 所以，即或， 又因为函数在单调递减，所以，所以. 代入得：. （2）因为原命题是假命题，所以其否定为真. 即：. 由（1）可知，，所以， 代入得：， 要小于函数在上的最小值. 易得，在单调递增， 所以最小值在时取到：， 所以. （3）因为，定义域为，函数在和上均单调递减， 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，恒成立， 当时，，无解， 综上：不等式的解集为 【变式9-2】（2026·高一·河北承德·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)已知函数． ①求； ②当时，，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是幂函数，所以， 解得或． 因为在上单调递增，所以，即，则． 所以． （2）①，则， 所以． ②由①可知，则要使在上恒成立，则需． 因为，所以， 所以，即． 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 所以在上恒成立， 所以． 因为当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为 【变式9-3】（2026·高一·广东汕头·期中）已知在区间上单调递减，在区间上单调递增，现有函数和函数． (1)若，求函数的最值； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)若对于，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，，， 所以函数的最小值为，最大值为3； （2）由题意，关于x的不等式的解集为， 即不等式对于恒成立， 当时，不等式为，即不恒成立，不符合题意； 当时，有，解得. 综上所述，实数m的取值范围为. （3）由题意，对于，，使得成立， 则. 对于函数，，由（1）知，. 对于函数，， ①若，，则，而，不符合题意. ②若，易知开口向上，对称轴， 所以， 则，即，不符合题意； ③若， 当，即时，， 则，即，所以； 当，即时，， 则，即，所以此种情况不合题意； 当时，， 解不等式得 ，结合本情形的条件可得 ； 综上所述，实数m的取值范围为. 【方法技巧与总结】 解决幂函数综合题，先依据定义确定解析式，再结合定义域、值域、定点、单调性、奇偶性分析。解题第一步先看指数正负，区分函数在第一象限增减趋势；再判断奇偶性，拓展至完整定义域图像。比较大小、解不等式时，统一化为同底幂式，借助单调性转化自变量关系，注意定义域限制。 1．（2026·高一·江苏·期中）幂函数的定义域为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题，得，即，解得或， 当时，，定义域为，不合题意； 当时，，定义域为，合题意． 所以，即，所以， 即，解得， 所以不等式的解集为． 2．（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】因为幂函数在上单调递减，所以，故排除B、D项； 又因为幂函数是奇函数，而幂函数是偶函数，排除A项， 所以若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是. 3．（2026·高一·北京·阶段检测）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A，的定义域为，不关于原点对称，不具备奇偶性，错误； 选项B，，满足，是偶函数不是奇函数，错误； 选项C，，满足，是奇函数，但它在上单调递减，不符合要求，错误； 选项D，，满足，是奇函数；且由幂函数单调性可知，在上单调递增，正确. 4．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）下列幂函数中过点，的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A：的定义域为，故该函数不为偶函数，故A错误； 对B：令，有，，定义域为， 且，故该函数为偶函数，故B正确； 对C：的定义域中不含，不过点，故C错误； 对D：令，定义域为，且， 故该函数为奇函数，故D错误. 5．（2026·高一·内蒙古赤峰·阶段检测）在下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，设，函数的定义域为，关于原点对称， 由可知函数是偶函数， 因，所以函数在区间内单调递减，故A不合题意； 对于B，因为函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故B不合题意； 对于C，，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故C不合题意； 对于D，，函数的定义域为，关于原点对称， 由可知函数是偶函数， 又因为，所以函数在区间内单调递增，故D符合题意. 6．（2026·高一·湖北黄石·阶段检测）已知幂函数在单调递增，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【解析】因为幂函数 在单调递增，所以，解得： 7．（2026·高一·广东惠州·阶段检测）是（   ） A．奇函数，增函数 B．偶函数，增函数 C．奇函数，减函数 D．偶函数，减函数 【答案】A 【解析】根据幂函数性质知是奇函数，增函数. 8．（2026·高一·安徽淮北·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，定义域为，不关于原点对称，非奇非偶，故A错误； 对于B，不属于幂函数，故B错误； 对于C，定义域为关于原点对称，，为偶函数，故C错误； 对于D，定义域为，，为奇函数，故D正确. 9．（多选题）已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．定义域内的减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．上的减函数 【答案】BD 【解析】由题意，解得，则， 将点，即代入，得，即， 定义域为，有， 故为奇函数，故B正确，C错误； 又，所以在和上为减函数，故A错误，D正确． 10．（多选题）（2026·高一·陕西咸阳·期末）已知幂函数过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．不等式的解集是 【答案】ACD 【解析】设幂函数，则，即， 即，A正确， 函数的定义域为， 则函数在定义域和上分别单调递减，但在整个定义域上并不单调递减，B错误， 函数的定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数，C正确， 不等式为，即,解得或， 即不等式的解集是，D正确. 故选：ACD 11．（多选题）（2026·高一·陕西西安·期末）若幂函数的定义域为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】ACD 【解析】根据幂函数定义则，解得或. 当时，，定义域为，与的定义域为矛盾； 当时，，的定义域为，满足题意，故A正确，B错误； 对于C，，定义域为，且，所以是奇函数，C正确： 对于D，，D正确. 故选：ACD 12．（2026·高一·云南玉溪·期末）幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 【答案】 【解析】整理得一元二次方程，因式分解得，解得或； 幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 综上，实数. 13．（2026·高一·安徽阜阳·开学考试）已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则____. 【答案】 【解析】因为函数既是二次函数又是幂函数，所以，所以. 因为是上的奇函数，令， 则 ， 因此是奇函数，满足， 由，得 所以. 14．（2026·高一·河北邯郸·期末）若幂函数在上是减函数，则的值为多少？__________. 【答案】 【解析】∵是幂函数， ， 即或， 若在上是减函数； 若在上是增函数； 故答案为： 15．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 【解析】（1）因为是幂函数，且在上单调递增， 则且，由解得， 又，所以或3. 又是偶函数，则是偶数， 将或3分别代入，可得或6， 故或； （2）由（1），偶函数在上单调递增， 则由可得，故有， 两边取平方，整理得，解得或， 所以原不等式的解集是. 16．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 【解析】（1）因为函数为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，因此. （2）由（1）知，所以， 所以不等式转化为，即. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 17．（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，函数． (1)证明：是偶函数． (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增． 【解析】（1）证明:因为为幂函数，设， 代入可得，解得，所以，所以， 证明：的定义域为关于原点对称， ，所以是偶函数. （2）证明:任取，则 ， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以在上单调递增． 18．（2026·高一·上海浦东新·期末）已知幂函数，且在区间上是严格增函数． (1)求的值； (2)设定义域为的函数为奇函数，当时，，求的表达式. 【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得或. 当时，在上是严格减函数，所以不符合题意； 当时，在上是严格增函数，所以符合题意. 故. （2）当时，，又，解得， 时，， 当时，，因为为奇函数，所以，又， 19．（2026·高一·河南·阶段检测）已知幂函数在上单调递减. (1)求常数，的值； (2)设，判断在上的单调性，并用定义法证明你的结论. 【解析】（1）根据幂函数的定义可知，，，即，， 解得或， 当时，，显然在上单调递增，不合题意； 当时，，在上单调递减，满足题意， 所以幂函数，即，， 故常数，的值分别为2和4； （2）由（1）可知，，在上单调递减； 证明：任取，且， 因为，所以，，，， 所以，则， 所以，故在上单调递减． 1．设，为实数，且满足则__________. 【答案】2 【解析】设，因为是增函数，是增函数， 所以为增函数. 又，所以为奇函数. 将，化为， 即， 因为为奇函数，所以， 又因为函数为增函数，所以，即. 2．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________. 【答案】 【解析】函数在上单调递减，其函数值集合为， 当时，的取值集合为，此时的值域，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，其函数值集合为， 因为函数的值域为，则有，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（2026·高一·江苏·阶段检测）已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为___________． 【答案】-1 【解析】由是幂函数，得，解得或, 当时，，此时函数是奇函数，在上单调递减，定义域为，此时乙和丙的论述是错误的，甲的论述是正确的，符合题意； 当时，，此时函数是偶函数，在上单调递增，定义域为R，此时乙和丙的论述是正确的，甲的论述是错误的，故不符合题意； 综上所述，的取值为， 故答案为： 4．（2026·高一·河南洛阳·期中）设函数的最大值为，最小值为，则__________. 【答案】4052 【解析】， 设，定义域关于原点对称， 由，知函数为奇函数， ， 因为，， 所以. 故答案为：4052. 5．（2026·高一·广东广州·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数.已知函数.则函数图象的对称中心为____________ ；若函数关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围为__________________. 【答案】 【解析】由可得， 易知，即为奇函数， 则的图象关于中心对称； 易知在上单调递增，则时，有， 根据题意可知时，的值域是的子集， 而，即过点， ①若，即， 则在上单调递增，结合中心对称性，所以在上单调递增， 有，此时要满足题意需，解得 ②若，即， 则在上单调递减，结合中心对称性，所以在上单调递减， 同上有，此时要满足题意需，解得 ③若，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 结合中心对称性，所以在上单调递减， 在上单调递增， 则 又， ， 要符合题意需，解之得， 综上所述： 6．（2026·高一·海南海口·期末）限幅函数，与的图象存在三个公共点、、． (1)解关于的不等式； (2)求的取值范围； (3)求面积的最大值． 【解析】（1）， 当时，，解得，所以， 当时，，解得，所以， 当时，，解得，所以， 综上，； （2）若，，此时与的图象无交点，不合要求，舍去； 若，同一坐标系内，画出与的图象，如下； 当过点时，，此时与的图象有两个公共点， 当过点时，，解得， 此时与的图象有两个公共点， 要想与的图象有三个公共点，需满足； 若，此时的图象位于第四象限，与无公共点， 综上，； （3）如图所示，中，令得，则， 令得，解得或0（舍去），则， 令得，所以， 设直线解析式为， 将和代入得，解得， 所以的解析式为， 过点作⊥轴，交于点， 则点的纵坐标与的纵坐标相等， 中，令得，解得， 故，则， 故，， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故. 7．（2026·高一·湖南·期末）已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若关于的不等式恰有个整数解，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为在单调递增，所以， 解得，因为，所以，. （2）求解，即有个整数解. 因为，恰好为整数，由于二次函数的对称性，我们可知另外个整数解为， ，，所以. 8．对于函数，，若存在区间，同时满足： ①函数在上是单调函数； ②函数的定义域为时，其值域也为． 则称为函数的“优美区间”. (1)判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由； (2)若函数存在“优美区间”（m，），求实数a的最小值； (3)若函数（，）存在“优美区间”，当t变化时，求的最大值． 【解析】（1）不是，因为函数在上为减函数，且，， 所以的值域为，所以不是函数的“优美区间”． （2）因为在（m，）上为单调增函数，又（m，）为的“优美区间”， 所以，，所以m，n是方程的两个不等正整数根， 即m，n是的两个不等的正整数根， 所以，解得或， 所以a的最小值为4． （3）定义域为，假设或， 在上为增函数，又是函数的“优美区间”，所以，， 所以m，n是方程的两个不等的实数根，即m，n是的两个同号且不等实数根， 所以或，又， 所以， 当时，取得最大值为． 9．（2026·高一·湖北宜昌·期末）已知幂函数的图象过点，函数，函数． (1)求实数的值及函数的函数解析式； (2)用单调性的定义证明：在上单调递增； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由幂函数的定义可知，解得， 当时，，， 又的图象不过点，显然不满足题意； 当时，，将点代入得． 综上所述，，且． （2）由（1）可知，， 任取，不妨设， 则 ， 因为，所以， 则， 所以，则， 所以， 则，即， 故在上单调递增． （3）法一：由题可知， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，不等式化为：， 又∵，∴，整理得在恒成立， 令，则， ， 当且仅当时取等号， ∴， 综上，的取值范围是． 法二：由题可知， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，不等式化为：， 记，则恒成立． 抛物线开口向上，且对称轴：， ①，此时在上单调递增， 恒成立， 故满足条件 ②， 此时 ． 解不等式，即，解得， ∴， ③，此时在上单调递减， ， 解得，故此情况无解， 综上所述，的取值范围是． 10．（2026·高一·河南郑州·阶段检测）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若在上是增函数，求的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【解析】（1）因为幂函数在上单调递增， 所以，即，解得或； 当时，，在上单调递减，不合题意； 当时，，在上单调递增，符合题意； 所以，即实数的值为； （2）由（1）知，，所以，其开口向上，对称轴为； 又在上是增函数，所以，即的取值范围为； （3）依题意，不等式可化为，即，即； 当时，，无解； 当时，由，解得； 当时，由，解得； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 11．（2026·高一·上海宝山·期末）如果函数满足：对于任意，均有，其中为常数，则称函数在D上具有性质. (1)分别判断函数，，是否在上具有性质，并说明理由. (2)设函数在具有性质，对任意的实数，求证：函数具有性质. (3)若在闭区间上具有，且，求证：对任意的都有. 【解析】（1）函数在上具有性质，函数，在上不具有性质，理由如下： 对于函数，对于任意，， 故不等式成立，所以函数在上具有性质， 对于函数，，则， 不满足，所以函数在上不具有性质， 对于函数，则， 不满足，所以函数在上不具有性质， （2）函数在上具有性质， 即对于任意，均有成立， 故对任意的实数，，则， 设，则 ， 故函数具有性质； （3）若在闭区间上具有，且， 则对于任意，， 当时，则， 当时，不妨设，则， 由，得， 由三角不等式可得：， 由于在闭区间上具有，则， 得到， 所以， 由于，则， 得到， 所以当时，有. 综上，对任意的，都有. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 幂函数 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、幂函数概念 3 知识点二、幂函数的图象及性质 3 03 题型精讲 5 题型一：幂函数判定 5 题型二：幂函数解析式求解 5 题型三：幂函数定义域 6 题型四：幂函数比较大小 6 题型五：幂函数的图象问题 7 题型六：幂函数定点问题 9 题型七：解不等式问题 10 题型四：幂函数的值域问题 11 题型九：幂函数性质综合应用 12 04 课后精练 15 05 培优拓展 18 知识点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点二、幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 知识点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 题型一：幂函数判定 【典例1-1】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·高一·天津·阶段检测）下列幂函数中过点 ，的偶函数是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（第三章函数的概念与性质第5节幂函数）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高一·湖北·期末）下列函数是幂函数且是奇函数的是（    ） A．y=2x B． C． D． 【变式1-3】下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数． 题型二：幂函数解析式求解 【典例2-1】（2026·高一·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【典例2-2】（2026·高一·贵州六盘水·期末）已知幂函数的图象过点，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式2-1】（2026·高一·江苏无锡·期中）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【变式2-2】已知函数是幂函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式2-3】（2026·高一·湖北·期中）已知幂函数在区间上单调递减.则（   ） A． B． C． D．4 【方法技巧与总结】 幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 题型三：幂函数定义域 【典例3-1】（2026·高一·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高一·上海·期末）下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 【变式3-1】幂函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高一·山西吕梁·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 使表达式有意义． 题型四：幂函数比较大小 【典例4-1】（2026·高一·河南·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·高一·北京·期中）若，则它们的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高一·福建·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高三·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高一·福建莆田·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． （2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． （3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 题型五：幂函数的图象问题 【典例5-1】如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【典例5-2】（2026·高二·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高一·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高一·广西玉林·期末）幂函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高一·福建泉州·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为 （ ） A．或1 B．或2 C．1 D． 【方法技巧与总结】 先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可． 题型六：幂函数定点问题 【典例6-1】函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026·高一·天津滨海新区·期中）已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【变式6-1】（2026·高二·广西·学业考试）函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】幂函数的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点 题型七：解不等式问题 【典例7-1】若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 【典例7-2】（2026·高一·广东深圳·期中）已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【变式7-1】（2026·高一·天津·期末）已知幂函数在第一象限上是增函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【变式7-2】（2026·高一·陕西西安·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增． (1)求和的值； (2)若,求满足不等式的的取值范围． 【变式7-3】（2026·高一·上海浦东新·阶段检测）已知幂函数经过点. (1)求此幂函数的表达式； (2)若，求实数的取值范围. 【方法技巧与总结】 运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径． 题型四：幂函数的值域问题 【典例8-1】（2026·高一·全国·期中）已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【典例8-2】（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 【变式8-1】（2026·高一·湖南·阶段检测）已知函数． (1)求的解析式； (2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围． 【变式8-2】（2026·高二·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【变式8-3】（2026·高一·山东·期中）已知幂函数在区间上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数的值. 【方法技巧与总结】 利用单调性求解． 题型九：幂函数性质综合应用 【典例9-1】（2026·高一·福建厦门·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 【典例9-2】（2026·高一·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 【变式9-1】（2026·高一·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 【变式9-2】（2026·高一·河北承德·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)已知函数． ①求； ②当时，，求实数的取值范围． 【变式9-3】（2026·高一·广东汕头·期中）已知在区间上单调递减，在区间上单调递增，现有函数和函数． (1)若，求函数的最值； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)若对于，使得成立，求实数的取值范围． 【方法技巧与总结】 解决幂函数综合题，先依据定义确定解析式，再结合定义域、值域、定点、单调性、奇偶性分析。解题第一步先看指数正负，区分函数在第一象限增减趋势；再判断奇偶性，拓展至完整定义域图像。比较大小、解不等式时，统一化为同底幂式，借助单调性转化自变量关系，注意定义域限制。 1．（2026·高一·江苏·期中）幂函数的定义域为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 3．（2026·高一·北京·阶段检测）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）下列幂函数中过点，的偶函数是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·内蒙古赤峰·阶段检测）在下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·湖北黄石·阶段检测）已知幂函数在单调递增，则（    ） A． B．0 C．1 D． 7．（2026·高一·广东惠州·阶段检测）是（   ） A．奇函数，增函数 B．偶函数，增函数 C．奇函数，减函数 D．偶函数，减函数 8．（2026·高一·安徽淮北·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．定义域内的减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．上的减函数 10．（多选题）（2026·高一·陕西咸阳·期末）已知幂函数过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．不等式的解集是 11．（多选题）（2026·高一·陕西西安·期末）若幂函数的定义域为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是奇函数 D． 12．（2026·高一·云南玉溪·期末）幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 13．（2026·高一·安徽阜阳·开学考试）已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则____. 14．（2026·高一·河北邯郸·期末）若幂函数在上是减函数，则的值为多少？__________. 15．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 16．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 17．（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，函数． (1)证明：是偶函数． (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增． 18．（2026·高一·上海浦东新·期末）已知幂函数，且在区间上是严格增函数． (1)求的值； (2)设定义域为的函数为奇函数，当时，，求的表达式. 19．（2026·高一·河南·阶段检测）已知幂函数在上单调递减. (1)求常数，的值； (2)设，判断在上的单调性，并用定义法证明你的结论. 1．设，为实数，且满足则__________. 2．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________. 3．（2026·高一·江苏·阶段检测）已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为___________． 4．（2026·高一·河南洛阳·期中）设函数的最大值为，最小值为，则__________. 5．（2026·高一·广东广州·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数.已知函数.则函数图象的对称中心为____________ ；若函数关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围为__________________. 6．（2026·高一·海南海口·期末）限幅函数，与的图象存在三个公共点、、． (1)解关于的不等式； (2)求的取值范围； (3)求面积的最大值． 7．（2026·高一·湖南·期末）已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若关于的不等式恰有个整数解，求实数的取值范围． 8．对于函数，，若存在区间，同时满足： ①函数在上是单调函数； ②函数的定义域为时，其值域也为． 则称为函数的“优美区间”. (1)判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由； (2)若函数存在“优美区间”（m，），求实数a的最小值； (3)若函数（，）存在“优美区间”，当t变化时，求的最大值． 9．（2026·高一·湖北宜昌·期末）已知幂函数的图象过点，函数，函数． (1)求实数的值及函数的函数解析式； (2)用单调性的定义证明：在上单调递增； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 10．（2026·高一·河南郑州·阶段检测）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若在上是增函数，求的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 11．（2026·高一·上海宝山·期末）如果函数满足：对于任意，均有，其中为常数，则称函数在D上具有性质. (1)分别判断函数，，是否在上具有性质，并说明理由. (2)设函数在具有性质，对任意的实数，求证：函数具有性质. (3)若在闭区间上具有，且，求证：对任意的都有. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $