1.1.3 集合的运算 讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

高中数学　必修第一册 第 1 章　集合与逻辑 第 3 课时 沪教版·必修第一册　|　新授课　|　建议用时 45 分钟 1.1.3 集合的运算 沪教版·必修第一册　第 1 章　集合与逻辑 01 　学习目标 1．理解交集、并集、补集的概念，会用 A∩B、A∪B 及 ∁U A 表示运算结果。 2．会求两个集合的交集与并集，会求给定全集下某个集合的补集。 3．能借助数轴与文氏图处理交、并、补的混合运算，并由运算结果确定参数。 02 　知识梳理 1. 交集 由既属于集合 A 又属于集合 B 的所有元素组成的集合，叫做集合 A 与 B 的交集，记作 A∩B，即 A∩B 由同时属于 A 和 B 的元素组成。 性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅；若 A⊆B，则 A∩B＝A。 随学随练 1　已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2. 并集 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，叫做集合 A 与 B 的并集，记作 A∪B，即 A∪B 由属于 A 或属于 B 的元素组成，重复的只算一次。 性质：A∪A＝A，A∪∅＝A；若 A⊆B，则 A∪B＝B。 随学随练 2　已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3. 全集与补集 研究问题时所涉及的全部元素组成的集合叫做全集，常用 U 表示。设 A 是全集 U 的子集，由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 A 在 U 中的补集，记作 （读作“A 补”），即 ＝{x|x∈U 且 x∉A}。 强调全集时，也可以记作 ∁UA。两种记号含义相同：A 上加一横是课本的主记号，∁UA 在强调全集时使用，也是全国教材通用的写法。 例如全集为实数集 R 时，有理数集 Q 的补集就是全体无理数组成的集合。 随学随练 3　已知全集 ，集合，，则（    ） A． B． C． D． 4. 运算性质 A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A；补集的补集是它本身。 若 A⊆B，则 A∩B＝A，A∪B＝B；求交并补时，先看清全集，再按运算顺序逐步化简。 随学随练 4　下列说法正确的是（     ） A．任何集合都至少有两个子集 B．给定集合，存在集合满足 C．集合（是定点，是平面内的动点）的点组成的图形是圆 D．集合与集合不是同一个集合 5. 数轴与文氏图 区间的交、并、补通常在数轴上完成：把各集合画成线段，取公共部分得交集，取全部覆盖得并集，在全集中挖去该集合得补集。元素较少的集合用文氏图更直观，阴影部分就是运算结果。 随学随练 5　已知全集 ，且 都是 的子集，则如图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 03 　典例精讲 题型一　交集的概念与运算 例1　设集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1 　集合，，求__________． 变式1-2 　已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 题型二　并集的概念与运算 例2　已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 变式2-1 　已知集合，，那么______． 变式2-2 　已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型三　补集的概念与运算 例3　若全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 变式3-1 　已知全集，集合，则________． 变式3-2 　已知全集，，，则______，______. 题型四　交、并、补的混合运算 例4　设全集，集合，，则 （    ） A． B． C． D． 变式4-1 　已知集合，，. (1)求，； (2)记全集，求. 变式4-2 　已知集合，集合，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C．或 D． 题型五　由运算结果求参数 例5　设集合，集合，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 变式5-1 　设，已知集合，．若，则的取值范围是________． 变式5-2 　已知集合，，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六　文氏图与元素个数 例6　已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A． B． C． D． 变式6-1 　已知全集，，，则如图中阴影部分表示的集合是______． 变式6-2 　某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为__________. 04 　知识结构回顾 交集 ① 定义：由既属于 A 　　　　　 的所有元素组成的集合，叫做 A 与 B 的交集，记作 　　　。 ② 性质：A∩A＝　　；A∩∅＝　　；若 A⊆B，则 A∩B＝　　。 ③ 图形：交集就是文氏图中两个集合的　　　　。 并集 ① 定义：由所有属于 A 　　　　　 的元素组成的集合，叫做 A 与 B 的并集，记作 　　　。 ② 性质：A∪A＝　　；A∪∅＝　　；若 A⊆B，则 A∪B＝　　。 ③ 图形：并集是文氏图中两个集合　　　　　　　，重复元素只算一次。 全集与补集 ① 全集：研究问题中所涉及的　　　　组成的集合，常用 　　 表示。 ② 定义：由 U 中　　　　　 的所有元素组成的集合，记作 　　　　　　（读作 A 补），强调全集时记作 　　　　　　。 ③ 例子：全集为 R 时，有理数集 Q 的补集是　　　　　组成的集合。 运算性质 ① A∩(∁UA)＝　　，A∪(∁UA)＝　　。 ② ∁U(∁UA)＝　　，即补集的补集是　　　。 ③ 若 A⊆B，则 A∩B＝　　，A∪B＝　　。 05 　当堂检测 1．若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 4．已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知全集，，，，则__________． 06 　课后作业 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 4．设全集 ，集合 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．或 D．或 5．下列集合表示图中阴影部分的为（　　） A． B． C． D． 6．已知全集，集合，． (1)求，； (2)求，. 7．已知全集，集合，集合. (1)求； (2)求. 8．已知集合，．（要求：每一问都直接写出结果） (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的值． 9．已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 10．已知表示集合中的元素个数，若，，，则（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 — 讲义完 — 1.1.3 集合的运算 — 1 — 第 3 课时 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学　必修第一册 第 1 章　集合与逻辑 第 3 课时 沪教版·必修第一册　|　新授课　|　建议用时 45 分钟 1.1.3 集合的运算 沪教版·必修第一册　第 1 章　集合与逻辑 01 　学习目标 1．理解交集、并集、补集的概念，会用 A∩B、A∪B 及 ∁U A 表示运算结果。 2．会求两个集合的交集与并集，会求给定全集下某个集合的补集。 3．能借助数轴与文氏图处理交、并、补的混合运算，并由运算结果确定参数。 02 　知识梳理 1. 交集 由既属于集合 A 又属于集合 B 的所有元素组成的集合，叫做集合 A 与 B 的交集，记作 A∩B，即 A∩B 由同时属于 A 和 B 的元素组成。 性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅；若 A⊆B，则 A∩B＝A。 随学随练 1　已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 答案　B　　解析　集合，， 则. 2. 并集 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，叫做集合 A 与 B 的并集，记作 A∪B，即 A∪B 由属于 A 或属于 B 的元素组成，重复的只算一次。 性质：A∪A＝A，A∪∅＝A；若 A⊆B，则 A∪B＝B。 随学随练 2　已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 答案　B　　解析　因为，， 所以． 3. 全集与补集 研究问题时所涉及的全部元素组成的集合叫做全集，常用 U 表示。设 A 是全集 U 的子集，由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 A 在 U 中的补集，记作 （读作“A 补”），即 ＝{x|x∈U 且 x∉A}。 强调全集时，也可以记作 ∁UA。两种记号含义相同：A 上加一横是课本的主记号，∁UA 在强调全集时使用，也是全国教材通用的写法。 例如全集为实数集 R 时，有理数集 Q 的补集就是全体无理数组成的集合。 随学随练 3　已知全集 ，集合，，则（    ） A． B． C． D． 答案　C　　解析　，，； 又，. 4. 运算性质 A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A；补集的补集是它本身。 若 A⊆B，则 A∩B＝A，A∪B＝B；求交并补时，先看清全集，再按运算顺序逐步化简。 随学随练 4　下列说法正确的是（     ） A．任何集合都至少有两个子集 B．给定集合，存在集合满足 C．集合（是定点，是平面内的动点）的点组成的图形是圆 D．集合与集合不是同一个集合 答案　BC　　解析　对于A，只有1个子集，A错误； 对于B，给定集合，取集合，则，B正确； 对于C，集合（是定点，是平面内的动点）的点组成的图形是圆，C正确； 对于D，集合，集合，两个集合是同一集合，D错误. 5. 数轴与文氏图 区间的交、并、补通常在数轴上完成：把各集合画成线段，取公共部分得交集，取全部覆盖得并集，在全集中挖去该集合得补集。元素较少的集合用文氏图更直观，阴影部分就是运算结果。 随学随练 5　已知全集 ，且 都是 的子集，则如图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 答案　B　　解析　阴影在 内、在 外，即 中不属于 的部分． 阴影部分属于 且不属于 ，即 ． 03 　典例精讲 题型一　交集的概念与运算 例1　设集合，，则（    ） A． B． C． D． 答案　A　　解析　因为集合，， 由交集的定义得． 方法点拨　交集取的是两个集合的公共元素。用列举法时逐个比对，用描述法时先化简再取公共部分，注意端点是否可取。 变式1-1 　集合，，求__________． 答案　　　解析　通过联立方程组，求解方程组的解进而求得. 联立方程，由，得：，代入得：， 整理得：，解得：，. 当时，；当时，. 故方程组有两组解或. 综上可得：. 变式1-2 　已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 答案　B　　解析　因为，， 所以. 题型二　并集的概念与运算 例2　已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 答案　A　　解析　由集合，，得. 方法点拨　并集把两个集合的元素合在一起，重复的只算一次。区间求并时在数轴上把各段连起来，注意衔接处是否连续。 变式2-1 　已知集合，，那么______． 答案　　　解析　根据集合的并集运算即可求解. 由题意得：. 变式2-2 　已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 答案　A　　解析　由集合，，得. 题型三　补集的概念与运算 例3　若全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 答案　B　　解析　依据补集的定义，从全集中排除集合的所有元素，即可求得。 根据补集的定义：若为全集，. 因为全集，集合，所以. 方法点拨　求补集先认清全集。补集是在全集里去掉该集合的元素，端点处理与原来相反：原集合取到的端点，补集不取。 变式3-1 　已知全集，集合，则________． 答案　　　解析　，， 变式3-2 　已知全集，，，则______，______. 答案　　　解析　由，，得； 由，，得. 题型四　交、并、补的混合运算 例4　设全集，集合，，则 （    ） A． B． C． D． 答案　A　　解析　由已知得，所以，则 . 方法点拨　按括号从里往外算，每算一步先明确这一步得到的集合，再代入下一步。必要时画数轴或文氏图辅助。 变式4-1 　已知集合，，. (1)求，； (2)记全集，求. 答案　(1)，(2)或　　解析　（1）先解不等式得集合，再由交集及并集的定义计算可得； （2）先求集合的补集，再由并集的定义计算可得. （1）解不等式，得，所以. 解不等式，得，所以， 又因为，所以，. （2）由（1）知，， 由补集的定义，或，或， 所以或. 变式4-2 　已知集合，集合，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C．或 D． 答案　D　　解析　，， ，故A不正确； ，故B不正确； 或，故C不正确； 或， 或，故D正确. 题型五　由运算结果求参数 例5　设集合，集合，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 答案　C　　解析　集合，集合，若，画出数轴如图，可得 方法点拨　由 A∩B 或 A∪B 的结果反推参数，先写出运算结果应满足的条件，再按端点列不等式，注意空集与端点能否取到。 变式5-1 　设，已知集合，．若，则的取值范围是________． 答案　　　解析　因为，，且， 所以，则的取值范围是. 变式5-2 　已知集合，，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 答案　A　　解析　由题可知或，， 要使得，则集合的区间必须包含，故. 题型六　文氏图与元素个数 例6　已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A． B． C． D． 答案　A　　解析　图中阴影部分为. 由，， 得. 方法点拨　文氏图的阴影部分要看清是哪几块区域的组合。元素个数用容斥原理：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)。 变式6-1 　已知全集，，，则如图中阴影部分表示的集合是______． 答案　　　解析　由韦恩图知图中阴影部分表示的集合是， 由，得，而， 则，所以所求集合为. 变式6-2 　某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为__________. 答案　41　　解析　由题可得只有数学不低于80分，只有物理不低于80分的人数，即可得答案. 由题，只有数学不低于80分的人数为， 只有物理不低于80分的人数为， 则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为. 故答案为： 04 　知识结构回顾 交集 ① 定义：由既属于 A 又属于 B 的所有元素组成的集合，叫做 A 与 B 的交集，记作 A∩B。 ② 性质：A∩A＝A；A∩∅＝∅；若 A⊆B，则 A∩B＝A。 ③ 图形：交集就是文氏图中两个集合的公共部分。 并集 ① 定义：由所有属于 A 或属于 B 的元素组成的集合，叫做 A 与 B 的并集，记作 A∪B。 ② 性质：A∪A＝A；A∪∅＝A；若 A⊆B，则 A∪B＝B。 ③ 图形：并集是文氏图中两个集合覆盖的全部区域，重复元素只算一次。 全集与补集 ① 全集：研究问题中所涉及的全部元素组成的集合，常用 U 表示。 ② 定义：由 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合，记作 A 上加一横（读作 A 补），强调全集时记作 ∁UA。 ③ 例子：全集为 R 时，有理数集 Q 的补集是全体无理数组成的集合。 运算性质 ① A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U。 ② ∁U(∁UA)＝A，即补集的补集是它本身。 ③ 若 A⊆B，则 A∩B＝A，A∪B＝B。 05 　当堂检测 1．若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 4．已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知全集，，，，则__________． 06 　课后作业 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 4．设全集 ，集合 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．或 D．或 5．下列集合表示图中阴影部分的为（　　） A． B． C． D． 6．已知全集，集合，． (1)求，； (2)求，. 7．已知全集，集合，集合. (1)求； (2)求. 8．已知集合，．（要求：每一问都直接写出结果） (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的值． 9．已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 10．已知表示集合中的元素个数，若，，，则（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 07 　参考答案与解析 答案速查　当堂 1　D　当堂 2　A　当堂 3　A　当堂 4　A　当堂 5　　　作业 1　D　　作业 2　C　　作业 3　A　　作业 4　ABC　　作业 5　BD　　作业 6　(1)，　(2)；或　　作业 7　(1)　(2)　　作业 8　(1)…　　作业 9　(1)　(2)　　作业 10　D 当堂检测 1．D 解析　交集是由所有既属于又属于的元素组成的集合， 已知，， 对比两集合元素可得：公共元素为，， 因此，对应选项D． 2．A 解析　由并集定义可得. 3．A 解析　由题意得，又，则. 4．A 解析　， 又，所以， 又因为，所以. 5． 解析　由题意得韦恩图如下： 由韦恩图得，所以. 课后作业 1．D 解析　先解一元一次不等式确定集合，再求两个集合的交集. 由，得，即，故. 又，所以，即. 2．C 解析　已知，， 可得. 3．A 解析　集合，，则. 4．ABC 解析　已知全集，集合，集合， 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，由A选项知，则其在实数集上的补集或，故C正确； 对于D选项，根据德·摩根定律，，由B选项知，其补集为或，故D错误. 5．BD 解析　根据韦恩图及交并补的意义求解. 对于A：中含有中的元素，与阴影部分不符，A错误； 对于B：阴影部分由在集合中且不在集合中的元素组成，即，B正确； 对于C：表示不在集合A中或不在集合B中的元素组成的集合，与阴影部分不符，C错误； 对于D：表示在集合中但不在集合中的元素组成的集合，与阴影部分相符，D正确. 6．(1)， (2)；或 解析　（1）因为，， 所以，. （2）因为，， 所以或， 又，所以， 又或， 所以或. 7．(1) (2) 解析　（1）因为集合，集合， 所以； （2）由集合，集合可得， 因为全集，所以. 8．(1) (2) (3) 解析　（1）根据集合交集运算求解即可； （2）根据集合并集运算求解即可； （3）根据集合补集运算求解即可； （1），，且，则， 所以的取值范围是. （2），，且，则， 所以的取值范围是. （3），若，则. 9．(1) (2) 解析　（1）因为，{或}，， 所以，解得，即的取值范围为． （2）当时，满足，此时，解得．   当时，或， 解得或，   综上，或，即的取值范围为． 10．D 解析　利用容斥原理求解. 根据容斥原理得：， 所以：，所以 — 讲义完 — 1.1.3 集合的运算 — 1 — 第 3 课时 学科网（北京）股份有限公司 $