1.1.3 集合之间的关系（讲义）高一数学沪教版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合之间的关系，以维恩图为直观工具，系统梳理子集、真子集、集合相等的定义与性质，结合空集的特殊规定及易混概念对比，构建从直观表示到抽象逻辑的学习支架。 资料通过即学即练、典例精析与变式巩固，强化分类讨论和逻辑推理，如含参数集合关系求解培养数学思维。维恩图应用提升几何直观（数学眼光），符号规范训练数学语言，课中辅助教学，课后分层练习助力查漏补缺。

第一章 集合与逻辑 1.1.3 集合之间的关系 课标要点 1.认识维恩图，掌握其画图特点与优缺点，能借助维恩图直观表示各类集合包含关系。 2.理解子集、真子集、集合相等的定义，熟记对应符号，区分元素从属与集合包含符号。 3.牢记空集相关规定与性质，能准确辨析、、四个易混概念。 4.熟练运用子集传递性、集合相等双向判定条件，完成含参数集合关系求解题型。 学习重难点 重点： 1.子集、真子集、集合相等的定义、符号书写与基础性质，掌握集合关系传递规律。 2.空集的两条核心规定，能在写子集、真子集时不遗漏空集这一特殊情况。 3.分清∈与⊆两种符号适用场景，借助维恩图可视化集合间包含关系。 难点： 1.区分、、，理清相互之间从属、包含两类不同逻辑关系。 2.含参数集合满足子集、真子集条件时，完整分类讨论，不漏空集、不丢参数解。 3.区分子集与真子集边界条件，牢记集合不能成为自身真子集，避免判定出错。 知识点01维恩图（Venn图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为维恩图。 维恩图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观工具，借助维恩图能简化集合关系类题目。 1.维恩图边界为封闭曲线，形状不限，圆、椭圆、矩形均可； 2.优点：直观展示集合间包含、相交等关系；缺点：无法体现集合元素共同特征。 即学即练 1．能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 知识点02子集 1.子集定义 对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，则称集合是集合的子集。 （1）记法与读法：记作（或），读作“含于”或“包含”。 （2）两条核心性质 ①任意集合是自身的子集，即； ②传递性：若，且，则。 （3）可用维恩图直观表示子集包含关系。 或 2.两类关系区分 包含符号用于集合与集合之间；从属符号用于元素与集合之间，二者不能混用。 即学即练 2．已知集合，则集合的所有子集为_______. 【答案】，，， 【详解】由或，所以. 所以集合的子集为：，，，. 故答案为：，，， 知识点03集合相等 若集合的任意元素都属于，且集合的任意元素都属于，则集合与集合相等，记作。 等价判定：且。 补充说明：两相等集合所含元素完全一致，集合具有无序性，和元素书写顺序无关；可使用重合的维恩图表示相等集合。 即学即练 3．已知集合， ，若 ，则 （    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】因为，且，所以，即， 所以. 知识点04真子集 若，且存在元素，同时，则称是的真子集。 1.记法与读法：记作，读作“真包含于”或“真包含”。 2.基础性质 ①一个集合不能是自身的真子集； ②传递性：若，，则。 3.维恩图表示：代表的封闭图形完全落在内部，二者不重合。 易错提醒 忽略真子集定义，认为集合可以是自身的真子集，记错真子集核心限制条件。 即学即练 4．集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 知识点05空集及其性质 不含任何元素的集合称为空集，记作。 1.规定：空集是任何集合的子集，即； 2.补充性质： ①空集只有1个子集，就是它本身； ②若为非空集合，则。 易混概念对比 1.与 相同点：字面含义都代表“无”； 不同点：是集合，是实数；二者不存在包含或从属等同关系。 2.与 相同点：均为集合； 不同点：不含任何元素，含有一个实数元素；关系：。 3.与 相同点：均为集合； 不同点：无元素，的元素是空集；关系：、。 易错提醒 1.混淆符号与，集合之间误用，元素和集合之间误用包含符号。 2.忽略真子集定义，认为集合可以是自身的真子集，记错真子集核心限制条件。 即学即练 5．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 题型01判断两个集合的包含关系 解题贴士 （1）数字集合：直接列举全部元素，对比两组元素范围，快速判断包含、相等、无包含三种情况。 （2）不等式数集：借助数轴画出两个集合范围，范围完全落在另一集合内部即为包含关系。 典｜例｜精｜析 【例1】已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， 因为，所以集合不是集合的子集，A错误 因为可视为集合的一个元素，但集合中不含该元素，所以集合不是集合的子集，C错误； 因为集合的元素中含有元素，所以，B错误，D正确. 【例2】设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，其中表示奇数， 而中，故. 故选：A 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵， ， 显然， 故选：B. 【变式1-2】若集合，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】，，，不是的子集， 所以AD错误，BC正确， 故选：BC 【变式1-3】已知集合，非空集合满足：，则集合可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意知，集合，因为非空集合满足， 所以，则A的可能情况为. 故选： 题型02求集合中子集（真子集） 解题贴士 1.公式法：若集合含有个元素，则子集总数为；真子集总数为；非空真子集为。 2.列举书写步骤：先写空集，再依次写单元素、双元素集合，最后写集合本身，不重不漏。 3.区分概念：子集包含空集与集合自身；真子集不含集合本身；非空子集不含空集。 典｜例｜精｜析 【例3】满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】D 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2，3，4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为； 当集合中含有四个元素时，可为； 综上所述满足条件的集合的个数为7个． 【例4】已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【详解】已知，，且，所以的个数为. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，集合的真子集为： 所以不是集合A的真子集的是. 故选：C 【变式2-2】设集合，若，则__________. 【答案】 【详解】因为集合，集合的子集有：， 所以. 故答案为： 【变式2-3】已知集合，且. (1)求实数的值； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以，解得. （2）由（1）可得， 故集合的所有子集为. 题型03空集的性质及应用 解题贴士 1.两条核心规定：空集是任意集合的子集；空集是任意非空集合的真子集。 2.方程无解、不等式无实数解的集合为空集，遇到含参数集合包含关系，优先讨论集合为空集的情况。 3.区分易混概念：是数字，无元素，含元素，的元素是空集。 典｜例｜精｜析 【例5】下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 【例6】关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由题意得：，所以． 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【答案】D 【详解】根据任意集合是自身的子集，可知①正确； 根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确； 因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确； 根据元素与集合之间可知④正确； 根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确； 根据空集是任何集合的子集可知⑥正确． 所以①④⑥正确 故选：D. 【变式3-2】下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为不是中的元素，故错误; 元素与集合之间的关系是属于关系,则正确; 空集是没有元素的集合.空集是任何集合子集，则正确; 集合相等是元素一样,则错误. 故选:BC. 【变式3-3】若集合的子集只有一个，则实数的取值情况是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】集合是空集的时候满足题意， 求无解时的取值范围即可. 【详解】集合的子集只有一个，所以集合是空集， 当时，，满足条件； 当时，有，即，集合是空集，满足条件， 综上所述，集合的子集只有一个时，， 故选：C. 【点睛】本题考查了集合的性质，空集的性质. 题型04根据两个集合相等求参数 解题贴士 1.相等判定条件：且，两个集合元素完全相同。 2.有限集合解题步骤：分情况配对元素列出方程，求解参数后代回检验互异性。 3.利用集合无序性，分类讨论元素多种配对方式，避免单一配对漏解。 典｜例｜精｜析 【例7】设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 【例8】已知集合，若，则（   ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】由已知得集合，由题意得，所以集合， 若，则，所以，解得． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】由题意，根据集合元素的互异性可知，，因为，所以， 又因为，所以或， 若，则，此时，， 因为，所以，解得，此时，，满足题意； 若，则，此时，， 因为，所以，即，又因为且，所以此种情况无解； 综上所述，， 所以. 故选：B 【变式4-2】已知集合，若，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 当时，则，所以，得， 此时； 当时，则，所以，所以，所以，则， 此时， 综上所述，实数的取值集合为. 故选：B. 【变式4-3】已知集合，，若，则集合的非空子集个数为（   ） A．2 B．3 C．7 D．8 【答案】B 【详解】由题意可得，当时，，此时； 当时，或，此时； 所以集合， 所以非空子集的个数为3个. 故选：B. 题型05根据集合的包含关系求参数 解题贴士 1.分类讨论第一步：先令被包含集合为空集，求出对应参数范围；再讨论集合非空的情况。 2.数集（列举型）：元素一一对应列不等式或方程，结合互异性限制参数。 3.区间不等式集合：数轴画出两个范围，内层集合端点全部落在外层集合内部，列出端点不等式。 4.端点处理：包含等号时端点可取，不包含等号严格区分，统一列出参数取值范围。 5.最后整合空集、非空集合两种情况，取参数取值的全部解集。 典｜例｜精｜析 【例9】集合，，，则实数的值为（     ） A．1 B．-1 C．0 D．0或1 【答案】C 【详解】由条件，则或， 当时，集合不满足集合元素的互异性，舍去， 当时，或（舍）， 所以. 【例10】已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】至多一个解，当时，无解，故， 当时，，解得， 当时，， 故所有的取值构成的集合为. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知集合，且，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】因为，且， 所以，解得， 故选：D 【变式5-2】设，，若是的真子集，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】因为是的真子集且，所以或 ， 解得，即的取值范围是． 【变式5-3】已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 基础通关 1．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 3．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，的唯一元素是零，而，所以，故A错误； 对于B，是无理数，是有理数集，故B错误； 对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C错误； 对于D，由集合的无序性可得D正确. 4．集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，集合有个元素，故集合的真子集个数为. 5．下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 所以集合和关系的图为A. 6．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，， 当时，，满足，因此， 当时，由，得，解得， 所以的取值范围是. 7．（多选）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】是以空集为元素的集合有且只有一个元素就是空集，根据空集是任何集合的子集所以A，C正确. 故选：AC 8．（多选）已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABC 【详解】因为集合只有两个子集，所以该集合恰有1个元素， 即：方程有且仅有1个解或有两个相等的实数解， 则当时，方程有一个解； 当时，，即：时，方程有1个解， 故或时，方程有1个解. 故选：ABC. 9．设集合，，若，则______． 【答案】1 【详解】因为 ，且 ，所以 ． 又 ，其中 ，，所以只能有 ，解得 ． 当 时，，，此时 ，符合题意． 10．若不等式组的非空解集为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】不等式组可化为，因为不等式组的解集为， 所以. 故答案为： 11．已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【答案】(1)答案见解析 (2)16，14 【分析】 【详解】（1）， 的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2）， 有4个元素，的子集数为个， 的非空真子集数为个． 12．已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若，则和是方程的两个实数根， 所以， 解得，代入中得：， 解得：或，满足， 所以. （2）当时，，满足， 当且时，或， 当时，，                         当时，，                          故的取值构成的集合为. 13．已知集合，非空集合，若，求实数的值． 【答案】2 【详解】因为，所以．由题知， 当时，，即，解得或． 若，则，所以，满足题意； 若，则，不符合题意． 当时，，即，解得或． 若，则，不合题意． 综上所述，实数的值为2． 素养提升 14．集合的全部非空子集的元素和等于_________. 【答案】240 【详解】集合中共有个元素， 对于集合中的任意一个元素，它在所有子集中出现的次数为次， 则集合的全部非空子集的元素和等于. 故答案为：. 15．已知集合，，若，则满足条件的实数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为，所以必在集合中， 当，解得， 此时不满足集合元素的互异性，故 舍去， 当，解得或（舍去）， 此时，满足条件， 综上所述，， 故满足条件的实数的个数为1个. 故选：A. 16．已知集合，集合，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由，解得或，所以. 因为，所以且. 由可知，或或，解得或 当时，，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，满足，故. 故选：B. 17．已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知集合，，， 则需要满足集合中元素都在中,可得，故C正确． 故选：C． 18．已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【详解】因为集合，则， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 19．设集合，，则满足的实数m的值所组成的集合为__________. 【答案】 【详解】，又， 当时，无解，故，满足条件； 若，则或，得或， 故满足条件的实数. 故答案为：. 迁移创新 20．（多选）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由解得或，则， 当时，此时，满足； 当时，此时，则， 若，则或，所以或； 综上所述，的可取值为， 故选：ABC. 21．若集合有2个子集，则实数的值为_______． 【答案】或 【详解】因为集合有个子集，所以方程有且只有一个根. 当时，方程可化为，解得，满足条件； 当时，若方程有且只有一个根，则，解得； 综上，实数的值为或. 故答案为：或. 22．已知集合的子集个数为______． 【答案】 【详解】由不等式， 当时，可得；当时，可得； 当时，可得；当时，可得， 不等式所围成的区域，如图所示的正方形， 又因为，所以集合表示正方形内的整点， 即集合，可得中元素的个数为5， 所以的子集个数为． 故答案为：.    23．若集合有且仅有两个子集，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【详解】因为集合有且仅有两个子集， 所以集合中有且只有1个元素，即方程只有一解. 由. 由或. 因为方程只有一解，所以或（因为是方程的增根）， 所以或. 故实数的取值集合为. 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与逻辑 1.1.3 集合之间的关系 课标要点 1.认识维恩图，掌握其画图特点与优缺点，能借助维恩图直观表示各类集合包含关系。 2.理解子集、真子集、集合相等的定义，熟记对应符号，区分元素从属与集合包含符号。 3.牢记空集相关规定与性质，能准确辨析、、四个易混概念。 4.熟练运用子集传递性、集合相等双向判定条件，完成含参数集合关系求解题型。 学习重难点 重点： 1.子集、真子集、集合相等的定义、符号书写与基础性质，掌握集合关系传递规律。 2.空集的两条核心规定，能在写子集、真子集时不遗漏空集这一特殊情况。 3.分清∈与⊆两种符号适用场景，借助维恩图可视化集合间包含关系。 难点： 1.区分、、，理清相互之间从属、包含两类不同逻辑关系。 2.含参数集合满足子集、真子集条件时，完整分类讨论，不漏空集、不丢参数解。 3.区分子集与真子集边界条件，牢记集合不能成为自身真子集，避免判定出错。 知识点01维恩图（Venn图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为维恩图。 维恩图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观工具，借助维恩图能简化集合关系类题目。 1.维恩图边界为__________曲线，形状不限，圆、椭圆、矩形均可； 2.优点：直观展示集合间包含、相交等关系；缺点：无法体现集合元素共同特征。 即学即练 1．能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 知识点02子集 1.子集定义 对于两个集合，，如果集合中__________一个元素都是集合中的元素，则称集合是集合的子集。 （1）记法与读法：记作（或），读作“__________”或“包含”。 （2）两条核心性质 ①任意集合是__________的子集，即； ②传递性：若，且，则。 （3）可用维恩图直观表示子集包含关系。 或 2.两类关系区分 包含符号用于__________与__________之间；从属符号用于__________与__________之间，二者不能混用。 即学即练 2．已知集合，则集合的所有子集为_______. 知识点03集合相等 若集合的__________元素都属于，且集合的__________元素都属于，则集合与集合相等，记作。 等价判定：且。 补充说明：两相等集合所含元素完全一致，集合具有无序性，和元素书写顺序无关；可使用重合的维恩图表示相等集合。 即学即练 3．已知集合， ，若 ，则 （    ） A． B．2 C． D．1 知识点04真子集 若，且存在元素，同时，则称是的真子集。 1.记法与读法：记作，读作“真包含于”或“真包含”。 2.基础性质 ①一个集合不能是自身的真子集； ②传递性：若，，则。 3.维恩图表示：代表的封闭图形完全落在内部，二者不重合。 易错提醒 忽略真子集定义，认为集合可以是自身的真子集，记错真子集核心限制条件。 即学即练 4．集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 知识点05空集及其性质 不含任何元素的集合称为空集，记作。 1.规定：空集是任何集合的__________，即； 2.补充性质： ①空集只有1个子集，就是它本身__________； ②若为非空集合，则。 易混概念对比 1.与 相同点：字面含义都代表“无”； 不同点：是集合，是实数；二者不存在包含或从属等同关系。 2.与 相同点：均为集合； 不同点：不含任何元素，含有一个实数元素；关系：。 3.与 相同点：均为集合； 不同点：无元素，的元素是空集；关系：、。 易错提醒 1.混淆符号与，集合之间误用，元素和集合之间误用包含符号。 2.忽略真子集定义，认为集合可以是自身的真子集，记错真子集核心限制条件。 即学即练 5．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型01判断两个集合的包含关系 解题贴士 （1）数字集合：直接列举全部元素，对比两组元素范围，快速判断包含、相等、无包含三种情况。 （2）不等式数集：借助数轴画出两个集合范围，范围完全落在另一集合内部即为包含关系。 典｜例｜精｜析 【例1】已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【例2】设，，则（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若集合，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知集合，非空集合满足：，则集合可能为（    ） A． B． C． D． 题型02求集合中子集（真子集） 解题贴士 1.公式法：若集合含有个元素，则子集总数为；真子集总数为；非空真子集为。 2.列举书写步骤：先写空集，再依次写单元素、双元素集合，最后写集合本身，不重不漏。 3.区分概念：子集包含空集与集合自身；真子集不含集合本身；非空子集不含空集。 典｜例｜精｜析 【例3】满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【例4】已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】设集合，若，则__________. 【变式2-3】已知集合，且. (1)求实数的值； (2)写出集合的所有子集. 题型03空集的性质及应用 解题贴士 1.两条核心规定：空集是任意集合的子集；空集是任意非空集合的真子集。 2.方程无解、不等式无实数解的集合为空集，遇到含参数集合包含关系，优先讨论集合为空集的情况。 3.区分易混概念：是数字，无元素，含元素，的元素是空集。 典｜例｜精｜析 【例5】下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【例6】关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为__________． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【变式3-2】下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若集合的子集只有一个，则实数的取值情况是（    ） A．或 B． C． D． 题型04根据两个集合相等求参数 解题贴士 1.相等判定条件：且，两个集合元素完全相同。 2.有限集合解题步骤：分情况配对元素列出方程，求解参数后代回检验互异性。 3.利用集合无序性，分类讨论元素多种配对方式，避免单一配对漏解。 典｜例｜精｜析 【例7】设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例8】已知集合，若，则（   ） A．4 B．2 C． D．1 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 【变式4-2】已知集合，若，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】已知集合，，若，则集合的非空子集个数为（   ） A．2 B．3 C．7 D．8 题型05根据集合的包含关系求参数 解题贴士 1.分类讨论第一步：先令被包含集合为空集，求出对应参数范围；再讨论集合非空的情况。 2.数集（列举型）：元素一一对应列不等式或方程，结合互异性限制参数。 3.区间不等式集合：数轴画出两个范围，内层集合端点全部落在外层集合内部，列出端点不等式。 4.端点处理：包含等号时端点可取，不包含等号严格区分，统一列出参数取值范围。 5.最后整合空集、非空集合两种情况，取参数取值的全部解集。 典｜例｜精｜析 【例9】集合，，，则实数的值为（     ） A．1 B．-1 C．0 D．0或1 【例10】已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知集合，且，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-2】设，，若是的真子集，则实数的取值范围是_________． 【变式5-3】已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 基础通关 1．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 5．下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（   ） A． B．0 C． D．1 9．设集合，，若，则______． 10．若不等式组的非空解集为，则实数的取值范围为______． 11．已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 12．已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 13．已知集合，非空集合，若，求实数的值． 素养提升 14．集合的全部非空子集的元素和等于_________. 15．已知集合，，若，则满足条件的实数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．已知集合，集合，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 19．设集合，，则满足的实数m的值所组成的集合为__________. 迁移创新 20．（多选）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 21．若集合有2个子集，则实数的值为_______． 22．已知集合的子集个数为______． 23．若集合有且仅有两个子集，则实数的取值集合为_____. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $