专题1.1.3 集合之间的关系（高效培优讲义，5知识9重难题型+分层强化）高一数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦集合之间的关系这一核心知识点，系统梳理子集、真子集、集合相等、空集的定义，构建从概念理解到符号区分（∈、⊆、⊂），再到Venn图、数轴表示及子集个数公式的学习支架，覆盖基础应用到含参数综合问题的完整脉络。 该资料亮点在于分层设计9类题型，通过符号辨析、空集分类讨论培养数学思维的严谨性，利用Venn图与数轴直观表达提升数学语言能力。课中助力教师精准突破重难点，课后即学即练与拓展题帮助学生查漏补缺，强化抽象能力与推理意识。

专题1.1.3 集合之间的关系 教学目标 1.理解子集、真子集、集合相等、空集的定义，能区分元素与集合符号(∈)、集合与集合符号(⊆、⊂)。 2.熟练使用符号语言、Venn 图、数轴三种形式表示集合间包含、相等关系。 3.掌握含n个元素有限集合的子集、真子集、非空子集、非空真子集个数计算公式，并能快速计算。 4.解决由集合包含关系求参数的题型，解题时完整分类讨论，不遗漏空集特殊情况。 教学重难点 教学重点 1. 1.子集、真子集、集合相等的概念及标准符号书写。 2. 2.空集两条核心规定：∅⊆A；若A≠∅，则∅⊂A。 3. 3.n元有限集合子集个数公式，完整列举一个集合所有子集。 4. 4.Venn 图、数轴表示集合包含关系的方法。 教学难点 1. 1.区分∈（元素与集合）、⊆/⊂（集合与集合），杜绝符号混用。 2. 2.含参数集合满足A⊆B时，主动讨论A=∅，学生极易遗漏此情况丢分。 3. 3.不等式无限数集借助数轴判断真包含，准确取舍端点等号。 4. 4.集合相等双向证明逻辑：A⊆B且B⊆A ⇔ A=B。 知识点01 子集 1. 定义：对于两个集合A、B，若集合A中任意一个元素都属于集合B，则称A是B的子集。 2. 符号与读法：记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”或“B包含A”。 3. Venn图表示：代表集合A的封闭曲线完全落在代表集合B的封闭曲线内部。 4. 核心性质： ① 自反性：任意集合是自身的子集，即A⊆A； ② 传递性：若A⊆B且B⊆C，则A⊆C； ③ 空集规定：空集∅是任何集合的子集，即∅⊆A。 【即学即练】写出集合的所有子集_____． 【答案】，，， 【详解】集合的所有子集有，，，. 故答案为：，，， 知识点02 集合相等 1. 定义：若A⊆B，同时B⊆A，则集合A与集合B相等，记作A=B。 2. 本质：两个集合所含元素完全相同，与元素排列顺序、书写顺序无关。 3. 判定逻辑：双向包含是集合相等的充要条件，即A⊆B且B⊆A ⇔ A=B。 【即学即练】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，且，则.______ 【答案】1 【详解】集合，，且，则有，解得或， 当，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 符合题意. 故答案为：1 知识点03 真子集 1. 定义：若A⊆B，且存在元素x∈B，且x∉A，则称A是B的真子集。 2. 符号与读法：记作A⊂B（或BA），读作“A真包含于B”或“B真包含A”。 3. Venn图表示：A的图形完全在B内部，且B存在部分区域不属于A。 4. 核心性质： ① 任意集合不是自身的真子集，即A⊂A不成立； ② 传递性：若A⊂B，B⊂C，则A⊂C； ③ 空集规定：空集∅是任何非空集合的真子集，即若A≠∅，则∅⊂A。 【即学即练】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合的所有真子集为________． 【答案】，， 【详解】解：集合的所有真子集为：，，， 故答案为：，，． 知识点04 有限集合子集个数 设集合A含有n个元素（n∈自然数）： 1. 子集总个数：2ⁿ（包含空集、集合本身）； 2. 真子集个数：2ⁿ-1（去掉集合自身）； 3. 非空子集个数：2ⁿ-1（去掉空集）； 4. 非空真子集个数：2ⁿ-2（去掉空集、集合自身）。 举例：集合A={1,2}，n=2 子集：∅、{1}、{2}、{1,2}，共4个；真子集：∅、{1}、{2}，共3个；非空真子集：{1}、{2}，共2个。 【即学即练】（24-25高一上·上海杨浦·阶段检测）集合有________个子集. 【答案】4 【详解】集合有四个子集. 故答案为：4 知识点05 常用数集包含链 ∅⊂N*⊂N⊂Z⊂Q⊂R 注：N*为正自然数集，N为自然数集，Z为整数集，Q为有理数集，R为实数集。 【即学即练】用符号“⊂”把数集、、、、的关系表示出来：______． 【详解】（正整数集）⊂（非负整数集）⊂（整数集）⊂（有理数集）⊂（实数集） 题型01 判断两个集合的包含关系（基础送分） 【典例1-1】（25-26高一上·上海·期中）“集合是集合的真子集”用数学符号可以表示为___________. 【详解】“集合是集合的真子集” 用数学符号可以表示为或. 【典例1-2】（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）设高一（5）班全体学生的集合为（中有名男生，名女生），高一（5）班全体女生的集合为，则______. 【答案】 【详解】由题意，根据真子集的定义，得到真包含. 故答案为： 【变式1-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）给出下列关系式，其中正确的是______（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【详解】因为空集是任何集合的子集，所以①，⑤正确， 由元素和集合的关系得，故②错误， 一个集合是自身的子集，故③正确， 由集合和集合的关系得，故④错误. 故答案为：①③⑤ 【变式1-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，，则________．（填“”“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：对于，时，； 时，， ， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则__________．（请在横线上填写“”､“”或“”） 【答案】 【详解】由于，为奇数， 而为任意整数， 所以，即. 故答案为： 题型02 根据集合的包含关系求参数（中档） 【典例2-1】（25-26高一上·上海·期末）已知，，，则______. 【答案】5 【详解】因为，，所以且， 又，所以. 【典例2-2】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的值是______． 【答案】2或3 【详解】由集合，，，可得或3. 故答案为：2或3. 【典例2-3】（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知集合，，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【详解】由可得或，则， 而当时，此时，符合题意； 当时，则，即， 要符合题意，需，或，即或， 综上所述实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2-1】（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 【答案】 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，且，则的值所构成的集合为___________． 【答案】 【详解】若，则，符合题意； 若，则，若，则或，得或， 综上，的值所构成的集合为. 故答案为： 【变式2-3】已知集合，，，则_____. 【答案】或0或 【分析】求解方程，讨论集合，计算. 【详解】由得到或；为的子集， 当，则； 当，则或，得到或； 综上，或或. 【变式2-4】（25-26高一上·上海·期末）设，集合，若，则符合条件的实数组成的集合为________． 【答案】 【详解】由题意得，因为， 当时，，符合题意， 当时，，则或，解得或， 综上，实数组成的集合为. 题型03 写出有限集合全部子集、真子集（基础） 【典例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知集合，则集合的子集依次是________． （2）已知集合，则集合的真子集依次是________． 【答案】 ，，，，，，， ，， 【详解】解：（1）集合子集依次是：，，，，，，，； 故答案为：，，，，，，，； （2）集合的真子集依次：，，； 故答案为：，，． 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期中）写出所有满足的集合________ 【答案】 【详解】由题设集合的包含关系知：是的真子集， 所以集合可能为. 故答案为： 【变式3-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合满足：，写出集合所有可能的情况：________ 【答案】，，，，，， 【详解】解：, ∴1,2都在集合中，且3,4,5中有1个或2个在集合中或3个都在集合中， 集合所有可能情况为： ，，，，，，． 故答案为： ，，，，，，． 【变式3-3】写出所有满足的集合M． 【答案】 【详解】满足条件的集合有： . 题型04 子集、真子集个数计算（高频小题） 【典例4-1】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，，则集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．7 【答案】C 【详解】因为，共3个元素， 所以集合的子集个数为个. 故选：C. 【典例4-2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知集合满足，则符合条件的集合个数有__________个． 【答案】 【详解】因为，则中一定含有元素，又， 所以符合条件的集合个数相当于求集合的真子集个数，故有个. 【变式4-1】（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 【变式4-2】（2025高一·上海·专题练习）已知集合，，，则集合的子集个数为__________. 【答案】8 【详解】因，， 则， 故集合的子集个数为个. 故答案为：8. 【变式4-3】（25-26高一上·上海·期中）适合条件的集合的个数_________个. 【答案】 【分析】由题意知集合中元素的个数可以为个，分别写出符合题意的，由此即可解出答案. 【详解】由题意知集合中元素的个数可以为个， 当集合中元素的个数为个时，可以为：； 当集合中元素的个数为个时，可以为：、； 当集合中元素的个数为个时，可以为：. 综上所述：适合条件的集合有个. 故答案为：4 题型5 集合相等求参数（中档） 【典例5-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，，若，则______. 【答案】 【详解】因为， 当解得：或，都不符合集合元素的互异性， 当解得：或（结合集合元素的互异性舍去） 所以. 故答案为： 【典例5-2】（24-25高一上·上海静安·开学考试）若集合=集合，则满足条件的的解集为_________ 【答案】 【详解】因为= 所以 或 故答案为： 【变式5-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）若集合，则实数a的取值范围为________________． 【答案】 【详解】令，则， 化简得，即， 而集合， 可得，解得. 故答案为： 【变式5-2】若集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}，则b的值为 _____． 【答案】或 【详解】根据题意，集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}， 则集合中只有一个元素，即只有一个实数根， ①当时，化为，解得， 此时集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{x|x＝}，则b＝； ②当时，，则a＝1， 此时集合{x|x2+2x+1＝0}＝{x|x＝}，故b＝； 所以的值为或. 故答案为：或． 【变式5-3】（23-24高一上·上海浦东新·阶段检测）设 (1)证明： (2)证明 【详解】（1）令，则， 即B为被3整除余2的整数构成的集合， 而，即C中元素都可以表示为的形式，其中， 所以C中任意元素都属于集合B, 又B中存在不属于C的元素，例如, 所以. （2）由（1）知， 又， 所以. 题型06 判断符号书写正误（易错专项） 【典例6-1】（24-25高一上·上海·期中）在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①中自然数集有元素0，∴，正确； ②中有理数集里面没有无理数，∴，不正确； ③有理数集包含了集合，∴，不正确； ④集合中的元素都在集合里面，∴，正确. 故选：B. 【典例6-2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）下列各式中，正确的个数是（    ） ①，②，③，④，⑤，⑥ A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】对于①，点集和数集不相等，结论错误； 对于②，不是中的元素，结论错误； 对于③，由集合中元素的无序性，两个集合中元素完全相同，这两个集合相等，结论正确； 对于④，是任何集合的子集，结论正确； 对于⑤，任何一个集合都是它本身的子集，结论正确； 对于⑥，元素与集合不相等，结论错误. 则有③④⑤正确. 故选：B 【变式6-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）下列关系式错误的个数为：（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对①：空集不含任何元素，故①错误； 对②：空集是任何集合的子集，故②正确； 对③：是自然数，故③正确； 对④：，故错误，故④错误； 故错误的个数为． 故选：B． 【变式6-2】（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，不是的元素，故A错误； 对于B，“”不能用于表示元素与集合的关系，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故，故C正确． 对于D，表示是无限集，而中只有元素1，2，，故D错误． 故选：C. 【变式6-3】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】①正确，集合中元素具有无序性； ②正确，任何集合是自身的子集； ③错误，表示空集，而表示的是含这个元素的集合，所以不成立. ④错误，表示空集，而表示含有一个元素0的集合，并非空集，所以不成立； ⑤正确，空集是任何非空集合的真子集； ⑥正确，由元素与集合的关系知，． 故选：C. 题型07 有限列举集含参子集问题（中档） 【典例7】（24-25高一上·上海·阶段检测）若集合，集合，若，求实数a的取值范围． 【答案】 【详解】集合， 因为，所以或或或， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，无解； 综上所述，实数a的取值范围为. 【变式7-1】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，且.若，求实数的值. 【答案】 【详解】因为 所以 解得或， 所以， 因为且， 所以或或， 当时，，方程无解； 当时，； 当时，，方程无解； 综上所述：. 【变式7-2】（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）已知，. (1)若，求； (2)若且，求的值. 【详解】（1）当时，对任意实数，恒有，因此， 所以. （2）当时，，由，得或，解得或， 所以的值1或2. 【变式7-3】已知集合. （1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围； （2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值. 【答案】（1）；（2）0或1. 【详解】（1）因为集合A的子集只有一个，则，即方程无实数根， 于是得，即，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）因为集合A中有且只有一个元素，则方程只有一个实数根或者两个相等实根， 当时，集合满足题意，则， 当时，则，，集合满足题意，即， 所以实数a的值为0或1. 题型08 不等式无限数集子集求参数（重难点压轴） 【典例8-1】若，，，则的取值范围是______ 【答案】 【详解】，，且， 当，即时，符合题意； 当，则，解得， 综上可得的取值范围是. 故答案为：. 【典例8-2】（23-24高一上·上海青浦·阶段检测）已知集合，．若，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】因为，且， 当，即时，符合题意； 当，则，解得， 综上可得. 【变式8-1】已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 【变式8-2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段检测）已知集合，若，求的取值范围_______________________ 【答案】或 【详解】依题意，当时，，解得，此时有，则， 当时，由，得或，解得或， 所以的取值范围是或. 故答案为：或 【变式8-3】（25-26高一上·上海·开学考试）已知或. （1）若或，⊂，求的取值范围. （2）若，⊂，求的取值范围. 【答案】（1）或（2） 【详解】（1）⊂即的范围小于的范围. 当，即时，，满足⊂； 当，即时，要使⊂，由图1得， ①②等号不同时成立，解得.    综上所述，的取值范围为或. （2）B⊂A即的范围小于的范围. 要使B⊂A，优先考虑是否为空集. 当，即时，，满足B⊂A； 当，即时，要使B⊂A，由图2得或， 解得.又因为，所以.    综上所述，的取值范围为. 题型09 空集性质综合辨析（易错题专项） 【典例9】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】C 【详解】解：A．空集只有一个子集，是它本身，故错误，不符合题意； B．空集是任何非空集合的真子集，故错误，不符合题意； C．若且，则，正确，符合题意； D．若且，则不一定相等，故错误，不符合题意； 故选：C． 【变式9-1】（23-24高一上·上海虹口·期中）在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为______（填写所有正确的序号）． 【答案】② 【分析】由数集定义、空集性质及集合的关系判断各项正误即可. 【详解】由数集的定义知：，，则①③错； 由空集性质和集合关系知：，，则②对，④错. 故答案为：② 【变式9-2】（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 【变式9-3】设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 一、单选题 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合M满足，则不同的有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【详解】因为，所以里一定含有， 而，则，， ，，， ，，共7个，故C正确. 故选：C 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）若，集合，则下列表示中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合和集合之间不能用属于的符号，故A错误； 由于，故，故B错误，故C正确； 元素和集合不能用包含于的符号，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列写法中正确的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】根据集合和集合的关系用包含表示，故，， 空集没有元素，故，综上只有C正确. 故选：C 4．（25-26高一上·上海·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则，，. 故选：C 5．（2025高一·上海·专题练习）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（    ） A． B． C．集合的子集有7个 D．集合的真子集为6个 【答案】A 【详解】由题可得：，因为， 当时，； 当时，，则或，解得：或， 所以实数取值的集合，则，故A正确；B错误； 集合的子集为个，真子集为7个，故C错误，D错误； 故选：A 二、填空题 6．（25-26高一上·上海·阶段检测）满足条件的集合的个数有__________个. 【答案】 【详解】因为， 所以，，且，即中除了元素和外至少还有一个元素， 则问题转化为求集合的非空子集个数， 又的非空子集有个， 所以满足条件的集合有个. 故答案为： 7．（25-26高一上·上海·期中）满足的集合有______个 【答案】15 【详解】因为， 可知集合必包含元素a，可能包含元素，且， 则集合的个数即为集合的非空子集的个数，即为个. 故答案为：15. 8．（25-26高一下·上海·期中）已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 【答案】3 【详解】当时，，集合中的元素都是1，不符合题意； 当时，，集合，符合题意； 当时，，此时，不符合题意， 综上，. 9．（23-24高一上·上海静安·阶段检测）设集合，，则集合M与N的关系是______. 【答案】 【详解】，解得，又，故， 因为，又，所以， 故答案为：. 10．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合有______个． 【答案】1012 【详解】由，得，即， 整理得，而，则，， 因此，由，得， 又，，所以符合要求的集合的个数为. 故答案为：1012 11．（25-26高一上·上海宝山·期中）已知非空集合，且若，则，满足题设条件的集合共有__________.个 【答案】15 【详解】依题意，1和64同时属于或不属于集合，2和32同时属于或不属于集合， 4和16同时属于或不属于集合，又8也可以属于或不属于集合， 因此满足题意的集合的个数为， 故答案为：15 12．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）下列表达式中正确的序号是________. ①；②；③； ④. 【答案】②④ 【详解】因为是无理数，所以，故①错误； 因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确； 根据集合之间的关系，可得，所以③错误； 由集合为自然数集，为整数集，所以，所以④正确. 故答案为：②④. 13．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________. 【答案】4或 【详解】集合有且只有一个非空子集，则集合中只有一个元素，即方程只有一个解， 得，解得或. 故答案为：4或. 14．（25-26高一上·上海闵行·期中）若集合有且仅有两个子集，则实数___________． 【答案】或 【详解】因为集合有且仅有两个子集，所以集合中有1个元素，即方程有且仅有1个实数根. 当时，，满足题意； 当时，一元二次方程有且仅有1个实数根， 所以，解得. 综上所述，实数的取值为或. 故答案为：或. 15．（25-26高一上·上海·期中）若集合有2个子集，则实数的值为_______． 【答案】或 【详解】因为集合有个子集，所以方程有且只有一个根. 当时，方程可化为，解得，满足条件； 当时，若方程有且只有一个根，则，解得； 综上，实数的值为或. 故答案为：或. 三、解答题 16．（23-24高一上·上海崇明·阶段检测）已知集合，，且，求实数的值. 【答案】或或 【详解】由题意解方程可得； 当时，易知，满足，符合题意； 当时，此时， 若满足，则需或，解得或； 综上可知，实数的值为或或 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）若集合，，且，求满足的条件． 【详解】由可知是的子集， ①当时，，所以； ②当时，， 所以，解得； ③当时， 所以，解得； ④当时，， 所以，解得； 综上可知，满足的条件为或或或. 18．集合． (1)若是，求实数的取值范围 (2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由． 【详解】（1）若，方程没有实数根，当时，方程有实数根不合题意；则，二次方程没有实数根，，解得. 所以实数的取值范围为 （2）要使集合A有且仅有两个子集，则集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根， 当时，方程化为，解得，此时，对应的两个子集为和； 当，二次方程只有一个实根，，解得，此时，对应的两个子集为和. 19．（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）已知，. (1)求实数的取值范围； (2)当时，求实数的值. 【详解】（1）由并根据集合中元素的互异性可知， 即，解得且； 所以实数的取值范围为且； （2）当时，可得或； 当时，解得，当时，无解； 所以. 20．已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【详解】（1）解：由题可知，，， ①若，则，即； ②若，则，解得：； 综合①②，得实数的取值范围是． （2）解：已知，，， 则，解得：， 所以实数的取值范围是． 21．（23-24高一上·上海青浦·阶段检测）设集合且满足①;②若，则. (1)能否为单元素集合，为什么? (2)求出只含有两个元素的集合； (3)满足题设条件的集合共有几个?能否列出来? 【详解】（1）假设为单元素集合，其元素为，则， 故，解得或，均不是正整数，不满足， 故假设不成立，不为单元素集合； （2）由题意得，则， 故只需满足， 其中能整除的正整数有， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 综上：或或； （3）由（2）可知，中元素只能从选取，且同时出现，同时出现，同时出现， 故满足条件的集合为，，，，，，，共7个. 1．（25-26高一上·上海奉贤·期中）对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是（             ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】对于①：因为，所以，故，故①正确； 对于②：因为，所以为偶数，且不能被4整除， 若，则存在，得， 因为和同奇或同偶， 若和同奇，则为奇数，矛盾，不符合， 若和同偶，则能被4整除，矛盾，不符合， 所以，故②正确； 对于③：因为，， 所以存在使得， 所以， 因为，所以，故③正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·上海·期中）集合有8个元素，设M的所有非空子集为（，2，…，255），每一个中所有元素乘积为，则__________. 【答案】 【详解】的所有非空子集为分为以下几种情况， ①含0的子集个，这些子集均满足乘积为0， ②不含0，不含，但含有其他元素的子集，有（去掉空集）个， ③不含0，含有且含有其他元素的子集，有个， ④只含的子集一个，此时乘积为， 其中②③中的集合是一一对应的，且为相反数，其乘积之和为0， 综上，. 故答案为： 3．（25-26高一上·上海·期中）对非空集合中的每个元素，都乘以再求和，称为集合的交叉数，例如，则集合的交叉数为．若集合，则的所有非空子集的交叉数的总和为______． 【答案】 【详解】由题意可知，元素在集合的所有非空子集中分别出现次数是一样的， 它们每一个出现的次数都相当于另外5个元素组成的集合的子集个数，故其出现次数均为次， 则这些交叉数的总和是： . 故答案为：96. 4．（23-24高一上·上海杨浦·阶段检测）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 【详解】（1）不是，是，理由如下： 中，令，则， 由于，故不是集合的“好子集”， 中，当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 综上：是集合的“好子集”； （2）假设原命题为假命题， 即若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有， 显然，且均为正整数， 当时，由于1能整除任何正整数，故能整除，不合要求， 当时，则是两个奇数，或是两个偶数，此时为偶数， 故故能整除，所以不合要求， 故假设不成立， 又由（1）知，当时，满足是的“好子集”，且， 综上：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有 （3）由（2）知，集合的“好子集”所含两个不同的元素，满足， 要想所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为3， 故可取，通过验证，此时满足不能整除， 故集合的“好子集”所含元素个数的最大值为， . 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合、； (2)若集合且， ①若，求证：； ②若，求证：. 【详解】（1）因为， ，， 所以. （2）且， 所以， ①证明： 因为， 所以， 所以. ②证明：因为， 又， 因为，所以， 所以， 又因为， 所以，即， 又，所以. 6．（25-26高一上·上海·期中）给定正整数，设集合．对于，称为的第i个坐标分量．若且同时满足以下条件，则称S是的好子集：①集合S中的元素个数不少于4；②对于S中任意的三个元素，，，存在使得，，的第m个坐标分量都是1． (1)若是的好子集，直接写出，； (2)求的好子集S的元素个数的最大值； (3)当取到（2）中的最大值时，求出好子集S的具体形式． 【详解】（1）因为是好子集，故中第m个坐标分量都是1， 故的第一个坐标分量是1，同理的第一个坐标分量是1， 而、与相异， 故为或. （2）中有个元素． 若元素与同时属于集合S， 则任选集合S中的另一个元素，那么，，中的第1，2，…，n个分量均不会同时为1， 从而S不是的好子集． 因此当S是的好子集时，其元素个数．           取，则S是的好子集，且．        综上，的好子集S的元素个数的最大值为． （3）当时，S中的元素必有某一个坐标分量的值均为1， 即，． 证明：由（2）知，，中的元素与恰有一个属于集合S， 则对于的好子集S中任意两个元素，， 都有元素 ． 若不然，假设存在S中的两个元素x，y，使得，则 ． 但元素x，y，的第k个坐标分量，，不可能同时为1， 这与S是的好子集矛盾！因此． 设S中所有元素的乘积为，则由命题知． 由于元素，故 所以z必定存在某个分量，此时S中所有元素的第i个分量均为1． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1.3 集合之间的关系 教学目标 1.理解子集、真子集、集合相等、空集的定义，能区分元素与集合符号(∈)、集合与集合符号(⊆、⊂)。 2.熟练使用符号语言、Venn 图、数轴三种形式表示集合间包含、相等关系。 3.掌握含n个元素有限集合的子集、真子集、非空子集、非空真子集个数计算公式，并能快速计算。 4.解决由集合包含关系求参数的题型，解题时完整分类讨论，不遗漏空集特殊情况。 教学重难点 教学重点 1. 1.子集、真子集、集合相等的概念及标准符号书写。 2. 2.空集两条核心规定：∅⊆A；若A≠∅，则∅⊂A。 3. 3.n元有限集合子集个数公式，完整列举一个集合所有子集。 4. 4.Venn 图、数轴表示集合包含关系的方法。 教学难点 1. 1.区分∈（元素与集合）、⊆/⊂（集合与集合），杜绝符号混用。 2. 2.含参数集合满足A⊆B时，主动讨论A=∅，学生极易遗漏此情况丢分。 3. 3.不等式无限数集借助数轴判断真包含，准确取舍端点等号。 4. 4.集合相等双向证明逻辑：A⊆B且B⊆A ⇔ A=B。 知识点01 子集 1. 定义：对集合A、B，若集合A中________元素都属于集合B，则A是B的子集。 2. 符号与读法：记作________或________，读作________、________。 3. 性质： ① 自反性：________； ② 传递性：若A⊆B，B⊆C，则________； ③ 空集规定：________是任意集合的子集，即________。 【即学即练】写出集合的所有子集_____． 知识点02 集合相等 1. 定义：若________且________，则集合A与集合B相等，记作A=B。 2. 本质：两个集合的________完全相同，与元素排列顺序无关。 3. 判定依据：双向包含 ⇔ ________。 【即学即练】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，且，则.______ 知识点03 真子集 1. 定义：若A⊆B，且存在________，则A是B的真子集。 2. 符号与读法：记作________或________，读作________、________。 3. 性质： ① 任意集合________自身的真子集； ② 传递性：若A⊂B，B⊂C，则________； ③ 空集规定：∅是任意________集合的真子集，即________。 【即学即练】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合的所有真子集为________． 知识点04 有限集合子集个数 设集合含有n个元素： 1. 子集总个数：________； 2. 真子集个数：________； 3. 非空子集个数：________； 4. 非空真子集个数：________。 例题填空：A={1,2}，n=________，子集共________个，真子集________个。 【即学即练】（24-25高一上·上海杨浦·阶段检测）集合有________个子集. 知识点05 常用数集包含链 ∅⊂N*⊂N⊂Z⊂Q⊂R 注：N*为正自然数集，N为自然数集，Z为整数集，Q为有理数集，R为实数集。 【即学即练】用符号“⊂”把数集、、、、的关系表示出来：______． 题型01 判断两个集合的包含关系（基础送分） 【典例1-1】（25-26高一上·上海·期中）“集合是集合的真子集”用数学符号可以表示为___________. 【典例1-2】（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）设高一（5）班全体学生的集合为（中有名男生，名女生），高一（5）班全体女生的集合为，则______. 【变式1-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）给出下列关系式，其中正确的是______（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【变式1-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，，则________．（填“”“”“”或“”） 【变式1-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则__________．（请在横线上填写“”､“”或“”） 题型02 根据集合的包含关系求参数（中档） 【典例2-1】（25-26高一上·上海·期末）已知，，，则______. 【典例2-2】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的值是______． 【典例2-3】（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知集合，，则实数的取值范围是_______. 【变式2-1】（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，且，则的值所构成的集合为___________． 【变式2-3】已知集合，，，则_____. 【变式2-4】（25-26高一上·上海·期末）设，集合，若，则符合条件的实数组成的集合为________． 题型03 写出有限集合全部子集、真子集（基础） 【典例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知集合，则集合的子集依次是________． （2）已知集合，则集合的真子集依次是________． 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期中）写出所有满足的集合________ 【变式3-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合满足：，写出集合所有可能的情况：________ 【变式3-3】写出所有满足的集合M． 题型04 子集、真子集个数计算（高频小题） 【典例4-1】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，，则集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．7 【典例4-2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知集合满足，则符合条件的集合个数有__________个． 【变式4-1】（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025高一·上海·专题练习）已知集合，，，则集合的子集个数为__________. 【变式4-3】（25-26高一上·上海·期中）适合条件的集合的个数_________个. 题型5 集合相等求参数（中档） 【典例5-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，，若，则______. 【典例5-2】（24-25高一上·上海静安·开学考试）若集合=集合，则满足条件的的解集为_________ 【变式5-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）若集合，则实数a的取值范围为________________． 【变式5-2】若集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}，则b的值为 _____． 【变式5-3】（23-24高一上·上海浦东新·阶段检测）设 (1)证明： (2)证明 题型06 判断符号书写正误（易错专项） 【典例6-1】（24-25高一上·上海·期中）在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【典例6-2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）下列各式中，正确的个数是（    ） ①，②，③，④，⑤，⑥ A．1 B．3 C．4 D．6 【变式6-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）下列关系式错误的个数为：（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 题型07 有限列举集含参子集问题（中档） 【典例7】（24-25高一上·上海·阶段检测）若集合，集合，若，求实数a的取值范围． 【变式7-1】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，且.若，求实数的值. 【变式7-2】（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）已知，. (1)若，求； (2)若且，求的值. 【变式7-3】已知集合. （1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围； （2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值. 题型08 不等式无限数集子集求参数（重难点压轴） 【典例8-1】若，，，则的取值范围是______ 【典例8-2】（23-24高一上·上海青浦·阶段检测）已知集合，．若，求实数的取值范围． 【变式8-1】已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段检测）已知集合，若，求的取值范围_______________________ 【变式8-3】（25-26高一上·上海·开学考试）已知或. （1）若或，⊂，求的取值范围. （2）若，⊂，求的取值范围. 题型09 空集性质综合辨析（易错题专项） 【典例9】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【变式9-1】（23-24高一上·上海虹口·期中）在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为______（填写所有正确的序号）． 【变式9-2】（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【变式9-3】设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 一、单选题 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合M满足，则不同的有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）若，集合，则下列表示中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列写法中正确的是（   ） A． B．0 C． D． 4．（25-26高一上·上海·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025高一·上海·专题练习）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（    ） A． B． C．集合的子集有7个 D．集合的真子集为6个 二、填空题 6．（25-26高一上·上海·阶段检测）满足条件的集合的个数有__________个. 7．（25-26高一上·上海·期中）满足的集合有______个 8．（25-26高一下·上海·期中）已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 9．（23-24高一上·上海静安·阶段检测）设集合，，则集合M与N的关系是______. 10．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合有______个． 11．（25-26高一上·上海宝山·期中）已知非空集合，且若，则，满足题设条件的集合共有__________.个 12．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）下列表达式中正确的序号是________. ①；②；③； ④. 13．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________. 14．（25-26高一上·上海闵行·期中）若集合有且仅有两个子集，则实数___________． 15．（25-26高一上·上海·期中）若集合有2个子集，则实数的值为_______． 三、解答题 16．（23-24高一上·上海崇明·阶段检测）已知集合，，且，求实数的值. 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）若集合，，且，求满足的条件． 18．集合． (1)若是，求实数的取值范围 (2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由． 19．（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）已知，. (1)求实数的取值范围； (2)当时，求实数的值. 20．已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 21．（23-24高一上·上海青浦·阶段检测）设集合且满足①;②若，则. (1)能否为单元素集合，为什么? (2)求出只含有两个元素的集合； (3)满足题设条件的集合共有几个?能否列出来? 1．（25-26高一上·上海奉贤·期中）对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是（             ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高一上·上海·期中）集合有8个元素，设M的所有非空子集为（，2，…，255），每一个中所有元素乘积为，则__________. 3．（25-26高一上·上海·期中）对非空集合中的每个元素，都乘以再求和，称为集合的交叉数，例如，则集合的交叉数为．若集合，则的所有非空子集的交叉数的总和为______． 4．（23-24高一上·上海杨浦·阶段检测）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合、； (2)若集合且， ①若，求证：； ②若，求证：. 6．（25-26高一上·上海·期中）给定正整数，设集合．对于，称为的第i个坐标分量．若且同时满足以下条件，则称S是的好子集：①集合S中的元素个数不少于4；②对于S中任意的三个元素，，，存在使得，，的第m个坐标分量都是1． (1)若是的好子集，直接写出，； (2)求的好子集S的元素个数的最大值； (3)当取到（2）中的最大值时，求出好子集S的具体形式． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $