圆的方程复习卷（基础）2026-2027学年上学期高二数学人教A版选择性必修第一册

圆的方程复习卷（基础） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·天津红桥·阶段检测）若圆的一条直径的端点是，，则此圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知，圆心为直径端点，的中点， 圆心坐标：， 半径， 圆的标准方程为， 即. 2．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线恒过定点，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 所以无论取多少，当时， 为 所以，以点为圆心，半径长为1的圆的方程是. 3．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 4．（25-26高二上·辽宁大连·期末）由曲线围成的图形面积等于 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据曲线的对称性，结合圆和正方形的面积公式进行求解即可. 【详解】因为在曲线方程中，以代，以代，方程不变， 所以该曲线关于原点、横轴、纵轴对称， 因此可以先考虑的情况， ， 表示圆心为，半径为的半圆， 所以第一象限围成的面积为， 所以曲线围成的图形面积. 故选：D      5．（25-26高二上·广东河源·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】D 【分析】先求出点的轨迹方程，然后判断直线过定点，把点到直线的距离转化为圆心到直线的距离与半径之和，进而求出最大值即可． 【详解】设，又点，且，所以， 则，即点的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 又直线恒过定点， 则，所以点在圆外， 所以点到直线的距离等于圆心到直线的距离与半径之和， 即点到直线的距离， 当时，，即点到直线的距离的最大值为6. 故选：D.    6．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）若圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定两圆的圆心和半径，根据题意可知两圆相交，利用圆心距与半径的关系，可得实数的取值范围. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 因为圆与圆有两个公共点，所以两圆相交，所以， 即，所以. 解得，且. 故选：C. 7．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由题意得，过某点的切线长最小时，该点到圆心的距离也为最小值，即为圆心到直线的距离，结合，即可求得的值. 【详解】由题意得，圆心，半径，切线长为， 过某点的切线长最小时，该点到圆心的距离也为最小值，则有， 即为圆心到直线的距离，解得， 故选：A. 8．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆：与圆：（）的公共弦所在的直线与直线：平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆与圆的公共弦所在直线方程，再由平行关系求出并验证，最后利用平行线距离公式即可得到答案. 【详解】圆与圆的方程相减得，即为圆与圆的公共弦所在直线方程， 由直线与直线平行，得，解得， 当时，两直线方程均为，此时两直线重合，故舍去； 当时，公共弦所在直线方程为，即， 直线，两直线平行， 此时圆，即，即圆心，半径， 圆的圆心，半径，，符合题意， 所以的值为，此时两直线距离为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·宁夏银川·期末）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ）． A．圆C的圆心坐标为 B．直线l与圆C相交 C．圆与圆C相切 D．圆C上存在4个点到直线l的距离为1 【答案】ABD 【分析】对于A，将圆方程化为标准式可判断选项正误；对于B，比较圆心到直线距离与圆半径大小可判断选项正误；对于C，比较两个圆心之间的距离与两圆半径之和与半径之差大小可判断选项正误；对于D，利用到直线的距离为1的直线与圆的位置关系可判断选项正误. 【详解】因为，所以， 圆C的圆心坐标为，故A正确； 圆心C到直线的距离为， 所以直线l与圆C相交，故B正确； 圆与圆C两圆心距离， 两圆半径之和为，半径之差为， 因为，故两圆相交，故C错误； 因为圆心C到直线的距离为，所以， 圆C上存在4个点到直线l的距离为1，故D正确. 故选：ABD. 10．（2026·江苏南京·模拟预测）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 【答案】BCD 【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误； 由圆：得圆心，半径，所以，故B正确； 又，所以，所以圆与圆相交，故C正确； 由，两式相减得：， 由圆心到直线的距离为：， 所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 11．（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为16 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】将条件化为圆的标准方程，利用坐标范围及特殊点判断分式结论，将平方和转化为距离的平方，并利用不等式及取等条件求的最大值． 【详解】对于A，原方程可化为，表示以为圆心、半径为1的圆， 因此，，分式中的分母为正及为非负． 取，满足原方程，此时，故A错误； 对于B，由及得，当时满足原方程且等号成立， 故其最小值为0，故B正确； 对于C，设圆上动点为，定点为，则， 由，及三角不等式得， 当位于时等号成立，因此的最大值为，故C正确； 对于D，由重要不等式可得，所以， 当且仅当时等号成立， 由得 ， 所以，当时满足原方程且取得等号， 因此的最大值为，故D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）与圆关于直线对称的圆的方程为______． 【答案】 【详解】圆关于直线对称后半径不变，仅需求出原圆圆心关于对称轴的对称点作为新圆心，即可写出对称圆的方程. 【点睛】由原圆方程，可得其圆心为，半径, 设圆心关于直线的对称点为，根据轴对称性质列方程： 直线与对称轴垂直，对称轴斜率为，故，整理得 ①； 线段的中点在对称轴上，代入直线方程得， 整理得 ②； 将①代入②解得，，即对称圆的圆心为，半径与原圆相等为. 故所求对称圆的方程为. 13．（25-26高二上·江苏扬州·期中）若直线（）与圆：相交于，两点，且，则实数为______. 【答案】 【分析】根据垂径定理可知，再结合点到直线距离公式可得，又因为，于是解得. 【详解】由题可知为等边三角形， 设到的距离为，圆的半径为， 则，再结合点到直线距离公式可得. 所以，又因为，所以解得 14．（26-27高三上·安徽·开学考试）过直线上一点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为________． 【答案】/0.6 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质及二倍角的余弦公式求解. 【详解】圆的圆心为，半径，点到直线的距离， 连接，由切圆于点，得，， 则， 所以的最小值为. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）求下列圆的标准方程： (1)圆心在轴上，半径为5，且过点； (2)过，，三点． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用点的特征结合半径可先求圆心坐标，再写标准方程即可； （2）设圆的一般方程为：，解方程组即得一般方程，再转换为标准方程； 【详解】（1）设圆心为， 则， 或， 圆心为或， 又，圆的标准方程为或； （2）设圆的一般方程为：. 将，，代入得： ， 所以圆的方程为：，所以圆的标准方程为. 16．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点距离公式代入整理即可得解； （2）利用相关点法与平面向量的坐标表示，结合（1）中结论即可得解. 【详解】（1）依题意，设点，又， 因为，即， 化简可得，即， 所以动点P的轨迹方程为； （2）设，又， 因为，所以， 即，得， 由（1）知，所以， 整理得动点Q的轨迹方程为. 17．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知圆. (1)若的坐标为，求过点与圆C相切的直线方程； (2)直线与圆交于两点，求的取值范围（为坐标原点）. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用斜率分类思想，来设出切线方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，即可求得斜率，从而可得切线方程； （2）联立直线与圆的方程，利用韦达定理，结合向量的坐标运算，可求得参数范围. 【详解】（1）圆的圆心为，半径，过点的切线， 若切线的斜率不存在，则直线方程为，符合题意； 若切线的斜率存在，设切线方程为，即 则根据相切可得：，即，解得， 所以切线方程为，即； 即过点的切线方程为或， （2） 由，得， 整理可得：， 设， 由，解得 则， 所以 ， 即， 因为， 所以， 即的取值范围为. 18．（26-27高二上·湖南常德·阶段检测）已知点圆：． (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程． 【答案】(1) 或 (2) 最短长度为，此时的方程为 【分析】（1）由弦长可得直线到圆心距离，结合点到直线距离公式可得答案； （2）要使弦长最短，则圆心到直线距离最长，据此可确定直线斜率，可得答案. 【详解】（1）当时，点坐标为，圆圆心为，半径为. 已知弦长为，由弦长、半径、弦心距的关系得直线到圆心距离为. 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为，即. 圆心到直线的距离， 两边平方得，解得，代入得直线方程为. 综上，直线的方程为或； （2）由弦长，直线到圆心距离，圆半径三者关系知： 为使弦长最短，应使最大.注意到， 当且仅当时取等号.则弦长最短时，. 则直线方程为：. 19．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）如图，港口在港口的正东海里处，在北偏东方向有条直线航道，航道和正东方向之间有一片以为圆心，半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中海里，，，现一艘科考船以海里/小时的速度从出发沿方向行驶，经过个小时后，一艘快艇以海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇. (1)若快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，求的长； (2)若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； (3)在无触礁危险的情况下，若快艇再等小时出发，求的最小值. 【答案】(1)； (2)快艇有触礁的危险 (3) 【分析】（1）以为坐标原点，正东方向为轴，正北方向为轴，建立平面直角坐标系，由已知条件求出点坐标，用表示出，在中，由余弦定理建立等量关系即可求出，进而求出的长； （2）先求出直线的方程，求出圆心到直线的距离，判断与半径的大小即可判断快艇是否有触礁的危险； （3）设快艇所走的直线与圆相切，且与科考船相遇于点，由相切建立，即可求出直线的方程，再求出方程，联立方程组即可求出点坐标，最后计算两船的时间差即可求出的最小值. 【详解】（1）以为坐标原点，正东方向为轴，正北方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，又，，所以点为， 又快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，则， 在中，由余弦定理可得， 则，化简整理得， 又，所以，因此； （2）由，则，又， 则，， 所以点为，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，因此快艇有触礁的危险； （3）设快艇所走的直线与圆相切，且与科考船相遇于点，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，化简得，解得或， 又当时，对应交点在下方，不合题意，所以，因此直线的方程为， 由（2）知，，则，即，所以直线的方程为， 联立，的方程得，解得，则点为， 所以， 则科考船走直线用时为小时，快艇走直线用时为小时， 又科考船提前2小时出发，所以快艇等待时间的最小值为小时，即. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆的方程复习卷（基础） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·天津红桥·阶段检测）若圆的一条直径的端点是，，则此圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线恒过定点，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 4．（25-26高二上·辽宁大连·期末）由曲线围成的图形面积等于 （   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东河源·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．6 6．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）若圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆：与圆：（）的公共弦所在的直线与直线：平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·宁夏银川·期末）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ）． A．圆C的圆心坐标为 B．直线l与圆C相交 C．圆与圆C相切 D．圆C上存在4个点到直线l的距离为1 10．（2026·江苏南京·模拟预测）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 11．（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为16 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）与圆关于直线对称的圆的方程为______． 13．（25-26高二上·江苏扬州·期中）若直线（）与圆：相交于，两点，且，则实数为______. 14．（26-27高三上·安徽·开学考试）过直线上一点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为________． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）求下列圆的标准方程： (1)圆心在轴上，半径为5，且过点； (2)过，，三点． 16．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 17．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知圆. (1)若的坐标为，求过点与圆C相切的直线方程； (2)直线与圆交于两点，求的取值范围（为坐标原点）. 18．（26-27高二上·湖南常德·阶段检测）已知点圆：． (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程． 19．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）如图，港口在港口的正东海里处，在北偏东方向有条直线航道，航道和正东方向之间有一片以为圆心，半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中海里，，，现一艘科考船以海里/小时的速度从出发沿方向行驶，经过个小时后，一艘快艇以海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇. (1)若快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，求的长； (2)若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； (3)在无触礁危险的情况下，若快艇再等小时出发，求的最小值. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $