直线的方程复习卷（培优）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线的方程复习卷（培优） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知直线的点斜式方程为，则该直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（26-27高二上·安徽淮南·阶段检测）过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·天津西青·期中）已知，两点，若过点的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 7．（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线与相交于点，点为坐标原点，则直线的斜率的最大值与最小值之和为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·山东滨州·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 10．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知直线：，下列说法正确的是（   ） A．原点关于的对称点的坐标是 B．直线关于的对称直线的方程是 C．直线关于点的对称直线的方程是 D．过点，垂直于直线的直线的方程是 11．（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）下列四个命题中正确的是（    ） A．过点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为； B．已知两条直线，若，则； C．若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为或； D．若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）点关于直线：的对称点为，则的坐标为_________________． 13．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，两点，若面积为12，则直线的方程为_________________． 14．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对,满足关系式，则实数t的所有可能的值为__________． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知点，，点为平面直角坐标系上一点． (1)若点且三点共线，求实数的值； (2)若过点的直线与线段相交，求直线的倾斜角的取值范围． 16．（26-27高二上·吉林四平·期中）求满足下列条件的直线的方程. (1)经过两条直线和的交点，且垂直于直线； (2)平行于直线，且与它的距离为的直线的方程. 17．（26-27高二上·天津河西·阶段检测）（1）已知实数x，y满足，求的最小值． （2）已知经过点的直线l与直线垂直，若点到直线l的距离等于，求直线l的一般式方程． （3）当点到直线（）距离取得最大值时，求直线l的一般式方程． 18．（26-27高二上·广西·阶段检测）已知直线：． (1)求证：无论取何值，直线恒过定点，并求出点坐标； (2)点到直线的最大距离时，求此时直线的方程； (3)若直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于，两点，求三角形面积的最小值（为坐标原点），并求此时直线的方程． 19．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图，当光从真空射入某介质时，在两种介质的分界面，不仅会发生反射，还会发生折射.我们把入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫作该介质的绝对折射率，简称折射率.    (1)当光从真空射入某介质时，发生折射，且入射角（）是折射角的两倍，求该介质的折射率的取值范围. (2)已知直线：，：，一条光线从点射出，经反射后，反射光线经再反射，再次反射的光线回到点P. ①求该光线经过的路程长度； ②当该光线从点P射出，从真空射入该介质时，经该光线在分界面上的投影所在的直线折射后，折射光线所在直线的斜率为，求该介质的折射率. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线的方程复习卷（培优） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知直线的点斜式方程为，则该直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的斜率确定方向向量. 【详解】直线方程为，斜率为2， 选项A中，选项B中，选项D中， 选项C中斜率为. 所以该直线的一个方向向量为C. 故选：C. 2．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得． 【详解】，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 故＂＂是＂＂的充要条件． 3．（26-27高二上·安徽淮南·阶段检测）过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】对截距为和截距不为两种情况，分别设出直线方程利用待定系数法求解. 【详解】当截距为零时，直线过原点，设直线方程为， 因为在直线上，所以，解得， 所以方程为； 当截距不为零时，设直线方程为， 因为在直线上，所以，解得， 所以方程为； 综上所得，直线的方程为或. 4．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解. 【详解】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C 5．（25-26高二上·天津西青·期中）已知，两点，若过点的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图像，根据倾斜角变化得到斜率变化. 【详解】如图所示， 直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到轴的过程中，倾斜角变大到，斜率增大到正无穷，此时斜率为，此时直线的斜率的取值范围为， 从轴旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始增大，此时斜率为， 此时直线的斜率的取值范围为，综上直线的斜率的取值范围为. 故选：D. 6．（2026高三·全国·专题练习）过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【分析】设直线方程为，根据过点及直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，列出方程组求解即可. 【详解】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线的方程为，则，即， 直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即， 联立解得直线的方程为，即， 即这样的直线有且只有一条． 7．（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线与相交于点，点为坐标原点，则直线的斜率的最大值与最小值之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析两条直线的定点，再求交点的轨迹，最后计算直线的斜率的最值之和. 【详解】直线整理为， 令，得定点； 直线整理为， 令，得定点； 因为，所以，则交点在以为直径的圆上. 的中点为，半径， 圆的方程为. 设直线的方程为，则圆心到直线的距离， 整理得，解得， 所以斜率的最大值为，最小值为，最值和为. 故选： 8．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】设，，，问题转化为直线上的动点到直线和点的距离之和的最小值，数形结合求最小值即可. 【详解】设，，， 表示直线上的动点到直线和点的距离之和，    令关于直线的对称点，则，可得， 所以关于直线的对称点，则， 当且仅当时取等号，故所求最小值是到的距离为. 选择：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·山东滨州·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 【答案】BCD 【分析】根据直线平行和垂直得到关于的方程，解出后即可判断AC，变形得，即可得到方程组，解出后即可判断B，将直线方程化为斜截式即可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得或， 当时，，，则与重合，故舍去， 当时，，，则，故A错误； 对于B，直线，即， 令，解得，故直线过定点，故B正确； 对于C：若，则，解得或，故C正确； 对于D：当时，直线始终过点，且斜率为负，故该直线过第一、二、四象限，故D正确． 故选：BCD． 10．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知直线：，下列说法正确的是（   ） A．原点关于的对称点的坐标是 B．直线关于的对称直线的方程是 C．直线关于点的对称直线的方程是 D．过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【分析】结合点关于直线对称、直线关于直线对称、直线关于点对称的性质，以及两直线垂直的斜率关系逐一验证各个选项． 【详解】选项A、设原点关于直线的对称点为， 满足两个条件：①线段中点在直线上， 即，化简得； ②两点连线与直线垂直，斜率乘积为， 即，化简得 联立方程解得， 所以原点关于的对称点的坐标是，选项A正确； 选项B、联立， 解得直线与的交点为，该点在对称直线上， 取上的点， 由选项A可知原点关于的对称点为， 过两点和的直线斜率为， 所以直线关于的对称直线的方程是，即，选项B正确； 选项C、直线关于点对称后与原直线平行，故斜率仍为2， 取直线：上的点，其关于的对称点为， 直线关于点的对称直线的方程是，即，选项C正确； 选项D、已知直线：， 则与直线垂直的直线斜率为， 所以过点，垂直于直线的直线的方程是，即，选项D错误． 11．（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）下列四个命题中正确的是（    ） A．过点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为； B．已知两条直线，若，则； C．若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为或； D．若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为． 【答案】BC 【分析】结合已知条件，利用直线方程的性质和图像对各选项进行逐一分析，选项A需考虑直线过原点和不过原点两种情况；选项B需根据平行条件，得出斜率相等，但截距不相等；选项C通过直线过定点，结合直线与线段相交求的范围；选项D需分析三条直线不能构成三角形的所有情况求的值． 【详解】选项A：如下图所示，过点在轴和轴上的截距互为相反数的直线为：和，共两条，故A错误；    选项B：， 整理得：，， ①，②，解①得或，解②得， ，故B正确； 选项C：直线等价于，恒过定点， 直线的斜率分别为， 又直线与线段相交， 或，即为或，故C正确；    选项D：当直线与平行时，即时不能构成三角形； 当直线与平行时，即时不能构成三角形； 直线与交于点， 当点在直线上时，即时，三条直线不能构成三角形， 实数的取值集合为，故D错误． 故选：BC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）点关于直线：的对称点为，则的坐标为_________________． 【答案】 【分析】利用点关于直线对称的两个核心性质：两点连线与对称轴垂直、两点中点在对称轴上，列方程组求解对称点坐标． 【详解】设对称点的坐标为， 易得直线：的斜率为2， 由题意知与直线垂直， 则，整理得， 已知，， 则的中点为， 代入直线的方程得，整理得， 联立，可得， 故的坐标为． 13．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，两点，若面积为12，则直线的方程为_________________． 【答案】 【分析】由直线的截距式方程列式求解，再化为一般式即可. 【详解】设直线方程为：， 所以， 因为，所以， 解得， 所以，即. 14．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对,满足关系式，则实数t的所有可能的值为__________． 【答案】或或 【分析】化简得到，然后对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得，整理得， 看成有且仅有三条直线满足和到直线(不过原点)的距离t相等， 又， （1）当，此时易得符合题意的直线 l 为线段AB的垂直平分线以及与直线平行的两条直线和； （2）当时，有4条直线l会使得点和到它们的距离相等，注意到l不过原点， 所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去． 设点A到l的距离为d， ①作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点，其方程为，此时，符合； ②作为增根被舍去的直线l，过原点且与平行，其方程为，此时，符合； 综上，满足题意的实数t为或或 故答案为：或或 【点睛】关键点点睛：本题的关键是化简得到，将问题转化为有且仅有三条直线满足和到直线(不过原点)的距离t相等，然后分类讨论即得. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知点，，点为平面直角坐标系上一点． (1)若点且三点共线，求实数的值； (2)若过点的直线与线段相交，求直线的倾斜角的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三点共线问题可转化为任意两点连线的斜率相等，通过建立方程求解未知参数；（2）求过定点的直线与线段相交的倾斜角范围，可先计算定点到线段两端点的直线倾斜角，再结合倾斜角的变化规律确定取值区间. 【详解】（1）由题意，斜率存在， 因为点，，三点共线，所以， 所以， 解得． 所以实数的值是． （2）设直线，，的倾斜角分别为，，，由图知． 可得，． 又， 所以，． 所以． 所以直线的倾斜角取值范围是． 16．（26-27高二上·吉林四平·期中）求满足下列条件的直线的方程. (1)经过两条直线和的交点，且垂直于直线； (2)平行于直线，且与它的距离为的直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）联立直线方程解方程组可得直线交点，由垂直关系可得直线的斜率，利用点斜式可求得直线的方程； （2）由平行关系可设直线的方程为，由点到直线的距离公式可得，求解可得方程． 【详解】（1），交点. 的斜率为，所以直线的斜率. 从而直线的方程为，即. （2）设直线的方程为. 两平行线间距离为，所以，解得或. 所以直线的方程为或. 17．（26-27高二上·天津河西·阶段检测）（1）已知实数x，y满足，求的最小值． （2）已知经过点的直线l与直线垂直，若点到直线l的距离等于，求直线l的一般式方程． （3）当点到直线（）距离取得最大值时，求直线l的一般式方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将目标式转化为原点与直线上的点的距离，进而结合几何意义与点到直线的距离公式求解即可. （2）根据题意，分和，两种情况讨论，结合点到直线的距离公式列出方程，求解参数得到直线方程即可. （3）将直线方程变形为，得直线恒过点，由此得到P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA，求出直线方程即可． 【详解】（1）由题意得表示原点与直线上的点的距离， 结合直线的性质可得的最小值为原点到直线所作垂线的长度， 设垂线长度为，由点到直线的距离公式得. （2）当时，直线，即为， 则经过点的直线的方程为， 此时点到直线的距离不等于，不符合题意，舍去； 当时，可设直线的方程为，即为， 可得，解得，故直线方程为. （3）∵直线l：， ∴可将直线方程变形为， ∴，解得，，由此可得直线l恒过点， 所以P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA． ∵，∴直线l的斜率为，∴，∴， ∴直线l的一般方程为． 18．（26-27高二上·广西·阶段检测）已知直线：． (1)求证：无论取何值，直线恒过定点，并求出点坐标； (2)点到直线的最大距离时，求此时直线的方程； (3)若直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于，两点，求三角形面积的最小值（为坐标原点），并求此时直线的方程． 【答案】(1)由题意得， 则，解得， 故直线恒过定点. (2). (3)三角形面积的最小值为，此时直线的方程. 【分析】（1）先整理方程，再列等式求解即可； （2）先求出的斜率，根据题意求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出； （3）设直线方程为，再利用均值不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得，则，解得， 故直线恒过定点. （2）点到动直线的最大距离，当且仅当时，距离取最大值， ，直线的斜率满足，即， 又直线恒过定点，，即. （3）设直线方程为，又直线恒过定点，， 利用基本不等式得，可得, 当且仅当，即时等号成立， 此时直线的方程为，即， ，所以三角形面积的最小值为. 19．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图，当光从真空射入某介质时，在两种介质的分界面，不仅会发生反射，还会发生折射.我们把入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫作该介质的绝对折射率，简称折射率.    (1)当光从真空射入某介质时，发生折射，且入射角（）是折射角的两倍，求该介质的折射率的取值范围. (2)已知直线：，：，一条光线从点射出，经反射后，反射光线经再反射，再次反射的光线回到点P. ①求该光线经过的路程长度； ②当该光线从点P射出，从真空射入该介质时，经该光线在分界面上的投影所在的直线折射后，折射光线所在直线的斜率为，求该介质的折射率. 【答案】(1) (2)①7；② 【分析】（1）根据题意可得，则，结合折射率的定义运算求解即可； （2）①求点关于直线、的对称点分别为，根据对称性求该光线经过的路程长度；②求法线和入射光线的倾斜角，结合题意求入射角和折射角，结合折射率的定义运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，则， 可得该介质的折射率为， 所以该介质的折射率的取值范围为. （2）①设光线与直线、的交点分别为，点关于直线、的对称点分别为， 则，解得，即； 且，解得，即； 所以该光线经过的路程长度为；    ②由直线：可知法线所在直线斜率，其倾斜角为， 则直线的方程为， 联立方程，解得，即， 则直线的方程为，其倾斜角为，可得入射角， 又因为折射光线所在直线的斜率为，其倾斜角为，可得折射角， 则， 所以该介质的折射率为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $