4.6 导数中的同构问题讲义-2027届高三数学一轮复习

§4.6 导数中的同构问题 目录 题型1：积型指对同构 4 题型2：商型指对同构 4 题型3：和、差型指对同构 5 题型4：同构法的应用 6 导数中的6个黄金函数的图像与性质 函数 图像 图像特征 函数特征 (1) 有极小值，且极值点偏右(); (2) 当时，；当时，； (3) 存在唯一零点； (4) 当时，；当时，. (1) 定义域：；值域：； (2) 减区间为；增区间为； (3) (当时取等号). (1) 有极小值，且极值点偏左(); (2) 当时，；当时，；当时，； (3) 不存在零点； (4) 当时，；当时，. (1) 定义域：；值域：； (2) 减区间为；增区间为； (3) 时，(当时取等号). (1) 有极大值，且极值点偏左(); (2) 当时，；当时，； (3) 存在唯一零点； (4) 当时，；当时，. (1) 定义域：；值域：； (2) 减区间为；增区间为； (3) (当时取等号). (1) 有极小值，且极值点偏左(); (2) 当时，；当时，； (3) 存在唯一零点； (4) 当时，；当时，. (1) 定义域：；值域：； (2) 减区间为；增区间为； (3) (当时取等号). (1) 有极大值，且极值点偏左(); (2) 当时，；当时，； (3) 存在唯一零点； (4) 当时，；当时，. (1) 定义域：；值域：； (2) 减区间为；增区间为； (3) (当时取等号). (1) 有极小值，且极值点偏左(); (2) 当时，；当时，；当时，；当时，； (3) 不存在零点； (4) 当时，；当时，. (1) 定义域：；值域：； (2) 减区间为；增区间为； (3) 时，(当时取等号). 题型1：积型指对同构 方法提炼 . 【例1.1.】 实数，满足，则的最小值为______． 【例1.2.】 已知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若，则（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知实数满足，，其中e为自然对数的底数，则______． 【例1.4.】 已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【例1.5.】 已知实数满足，则的最小值为（） A． B． C． D． 【例1.6.】 已知函数，，若，，有，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 题型2：商型指对同构 方法提炼 . 【例2.1.】 若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知，且，其中为自然对数的底数，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【例2.3.】 若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型3：和、差型指对同构 方法提炼 . 【例3.1.】 若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 已知函数，是的反函数．若，满足，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【例3.5.】 若，恒成立，则的值可以是（   ） A． B．1 C． D．2 【例3.6.】 已知实数，满足，则的取值范围是______． 题型4：同构法的应用 方法提炼 常见的同构函数有：①；②；③；④. 其中①④可以借助，②③可以借助进行指对互化. 【例4.1.】 已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 若函数存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 若对任意的恒成立，则实数a的最大值为（    ） A． B．1 C．e D． 【例4.4.】 （多选）是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例4.5.】 已知均为正实数，不等式恒成立，则的最大值（   ） A．1 B． C． D． 【例4.6.】 已知正实数满足和，则（    ） A． B． C． D． 【例4.7.】 已知函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.8.】 已知函数，，对于任意的，存在，使得成立，则的最大值为__________． 【例4.9.】 若，且，则的取值范围是______． 【例4.10.】 当，满足，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.6 导数中的同构问题 目录 题型1：积型指对同构 4 题型2：商型指对同构 8 题型3：和、差型指对同构 11 题型4：同构法的应用 17 导数中的6个黄金函数的图像与性质 函数 图像 图像特征 函数特征 (1) 有极小值，且极值点偏右(); (2) 当时，；当时，； (3) 存在唯一零点； (4) 当时，；当时，. (1) 定义域：；值域：； (2) 减区间为；增区间为； (3) (当时取等号). (1) 有极小值，且极值点偏左(); (2) 当时，；当时，；当时，； (3) 不存在零点； (4) 当时，；当时，. (1) 定义域：；值域：； (2) 减区间为；增区间为； (3) 时，(当时取等号). (1) 有极大值，且极值点偏左(); (2) 当时，；当时，； (3) 存在唯一零点； (4) 当时，；当时，. (1) 定义域：；值域：； (2) 减区间为；增区间为； (3) (当时取等号). (1) 有极小值，且极值点偏左(); (2) 当时，；当时，； (3) 存在唯一零点； (4) 当时，；当时，. (1) 定义域：；值域：； (2) 减区间为；增区间为； (3) (当时取等号). (1) 有极大值，且极值点偏左(); (2) 当时，；当时，； (3) 存在唯一零点； (4) 当时，；当时，. (1) 定义域：；值域：； (2) 减区间为；增区间为； (3) (当时取等号). (1) 有极小值，且极值点偏左(); (2) 当时，；当时，；当时，；当时，； (3) 不存在零点； (4) 当时，；当时，. (1) 定义域：；值域：； (2) 减区间为；增区间为； (3) 时，(当时取等号). 题型1：积型指对同构 方法提炼 . 【例1.1.】 实数，满足，则的最小值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、指数幂的运算、对数的运算性质的应用、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据，构造函数得到，然后转化为单变量问题，求导判断单调性即可. 【详解】，，即， 设，则，且， 当时，所以在上单调递增， 正实数，，，即， 所以，等价于， 即，， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以， 则， 令，则，即在上单调递增， 所以，所以，即的最小值为． 故答案为：. 【例1.2.】 已知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】由题意化简得到，设，得到，结合题意和函数的单调性，即可求解. 【详解】由，可得，即， 设，可得， 因为，可得， 又因为，所以，即，所以， 当时，，可得函数在为单调递增函数， 所以，即. 故选：B. 【例1.3.】 已知实数满足，，其中e为自然对数的底数，则______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】根据条件和，构造函数，利用函数单调递增得，代入化简即可求解. 【详解】且，且， 故，构造函数，则， 所以在上单调递增，所以，所以． 故答案为： 【例1.4.】 已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、对数的运算性质的应用 【分析】对原等式化简后构造函数，判断其单调性后即可判断. 【详解】由，则， 即，显然，即， 因为，所以，所以， 令，则， 由于，且，即得， 故在上单调递增， 所以，即，即． 故选：C． 【例1.5.】 已知实数满足，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、对数的运算性质的应用、对数的运算、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】由题可得，构造成的形式，利用的单调性推出，最后将表示为，并借助常见函数的最值结论求出的最小值. 【详解】由，得，则， 所以，即． 设，， 可知在上为增函数，所以， 则，即，对求导得. 令,得. 当时,单调递减，当时,单调递增. 所以. 【例1.6.】 已知函数，，若，，有，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.39 【知识点】利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】转化条件得，则，令，利用导数求得的最大值可得解. 【详解】由题意，，，， 即，则，， 令， ，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 作函数的草图如下， 由图可知，当时，有唯一解， 故，且，， ∴， 设，，则，令，解得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 故，即的最大值为. 题型2：商型指对同构 方法提炼 . 【例2.1.】 若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由题意可知，且对恒成立，设，则问题转化为在上恒成立，利用导数说明函数的单调性，再分和两种情况讨论，结合函数的取值情况及单调性，分别计算可得. 【详解】由题意可知，，即对恒成立． 设，则问题转化为在上恒成立， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以当时，；当时，． ①在上，若恒成立，即，； ②在上，若，则恒成立，即恒成立， 令，，则，所以在上单调递增， 所以，所以，综上所述，实数的取值范围为． 故选：B． 【例2.2.】 已知，且，其中为自然对数的底数，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、对数的运算性质的应用 【分析】由题意利用放缩法可得，构造，求导可得在上单调递增，再根据对数的性质逐项判断即可. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以，所以， 令，求导得， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以，即，故A错误； 所以，由对数函数的单调性得，即，所以，故B错误； 因为，结合可得，故C错误； 因为，所以，故D正确； 故选：D 【例2.3.】 若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将不等式变形为，构造函数，证明函数的单调性，比较与的大小，从而结合函数值的大小可求出的范围. 【详解】当时，可化为， 令，则，所以在上单调递减． 令，则，所以在上单调递增， 所以，因此当时，． 所以，即．则不等式可化为， 所以在上恒成立，因此，即实数的取值范围为． 故选：A． 【例2.4.】 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.15 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用同构得到，当时，满足要求，当时，令，则在上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到，构造，求导得到单调性，进而得到，得到答案. 【详解】由可得，即， 当时，，不等式在上显然成立； 当时，令，则在上恒成立， 由，在上，所以在上单调递增， 又时，，，所以只需在上恒成立， 即恒成立． 令，则，即在上单调递增， 其中， 故， 所以此时有． 综上，． 故选：C． 题型3：和、差型指对同构 方法提炼 . 【例3.1.】 若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】分析化简不等式，构造新函数，求导判断单调性，根据单调性逐项判断不等式是否正确即可. 【详解】依题意得，则， 令，则. 因为，求导得， 易得在上递减，在上递增， 当，时，，即，B错误，D正确. 当，时，，即，A和C错误. 故选：D. 【例3.2.】 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数极值点的辨析、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据在上递增，利用同构法求解即可． 【详解】解：构造， 则在上显然递增， 由得 ， 即， ， ， 令， 则， 由得，递增， 由得，递减， ， ． 故选：B． 【例3.3.】 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】依题意可得，进而可得在上恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围. 【详解】等价于． 令函数，则，故是增函数． 等价于，即． 令函数，则． 当时，，单调递增：当时，，单调递减． . 故实数a的取值范围为． 故选：C. 【例3.4.】 已知函数，是的反函数．若，满足，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、对数的运算、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、反函数的性质应用 【分析】利用等式变形，再同构一个函数，满足，再由单调性去找到等式关系，最后把二元变量转化为一元变量：，再用函数思想来求最大值即可. 【详解】由题意得，因为， 所以，所以， 令，则， 因为在上单调递增，所以，所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 【例3.5.】 若，恒成立，则的值可以是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、对数的运算性质的应用、对数的运算、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据题意可得：.故原题意即为恒成立，构建，结合的单调性可得恒成立，通过参变分离得到，令，利用导数求最值即可求得的范围. 【详解】因为，等价， 解法一（同构单调性）：于， 即为恒成立，令，则， 又易得在定义域内单调递增，所以，即， 故恒成立，， 令，则， 因为当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以当时，取得最大值，即. 所以. 解法二（同构保值性）：， 令，易知，当且仅当时等号成立，， 故利用保值性，， 当时取等号，故A、B、D错误，C正确． 解法三（分而治之）：， 即即可，取等条件为， 当时，，即，故A、B、D错误，C正确． 【例3.6.】 已知实数，满足，则的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.28 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】令，得到，构造函数 ，通过单调性得到，再构造函数，求导，确定值域，即可求解. 【详解】由对数定义域得，设， 原等式改写为： ， 整理得：， 设 ，其导数 ，故是R上的单调递增函数， 由 ，得，即 ， 设，求导得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故的最大值为​， 且当时，，当时，， 即， 又，结合指数函数单调性， 可得的取值范围是. 题型4：同构法的应用 方法提炼 常见的同构函数有：①；②；③；④. 其中①④可以借助，②③可以借助进行指对互化. 【例4.1.】 已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由题易知时不成立，时，由指对同构转化为，令，即，运用单调性解不等式得到在上恒成立，利用参变分离，接着求函数最值即可. 【详解】当时，，所以不符合题意； 当由，即， 令，， 所以在上单调递增， ，即， 在上恒成立， ，令， ， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 即， , 故选：B. 【例4.2.】 若函数存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点 【详解】由题意得，令，则，令，因为函数，均在上单调递增，所以在上单调递增，所以由，得，即（由于），解得，即的取值范围为．故选A． 【例4.3.】 若对任意的恒成立，则实数a的最大值为（    ） A． B．1 C．e D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】将原不等式变形，构造函数，转化为函数单调递减，进而转化为恒成立求解即可. 【详解】因为等价于， 即，即． 设，所以，即在上单调递减， 因为，所以在上恒成立， 即，即，故a的最大值为e． 故选：C． 【例4.4.】 （多选）是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、指数式与对数式的互化、根据函数的单调性解不等式、基本不等式求和的最小值 【详解】原式变形为，构造函数，则， 因为，当时，即；当时，；故在上单调递减，在上单调递增， 对于A：当时，成立时，不代表成立，比如，而，故A错误； 对于B：若，则有：当，即时，则，即；当，即时，由在时单调递增，且，故，则；综上所述：，B正确； 对于C：若，则有：当，即时，显然成立；当，即时，令，因为，当且仅当，即时等号成立，所以当时，所以，即，由可得，即， 又因为由在时单调递增，且，所以，即；综上所述：，C正确； 对于D：取，则，因为在上单调递减，故，所以故满足题意，但，D错误．故选BC． 【例4.5.】 已知均为正实数，不等式恒成立，则的最大值（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【详解】解析：解法一（同构）：得：，令，易知，当且仅当时等号成立，故利用保值性，时，仅需，此时，当且仅当时，取等，本题的设计有点迷，时，不能三个不等式同时取等，所以满足，我们仅需再排除D即可，当时，取代入，则，矛盾；解法二（分而治之）：原不等式转化为：，即，当，根据六大同构函数最值可知，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，所以当，即时成立，由于取等条件不能同时满足，故属于分而治之的错位PS模型，如左图，当时，，显然矛盾，如右图；故选C． 【例4.6.】 已知正实数满足和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.51 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、对数的运算性质的应用 【分析】将已知两等式两边取对数，整理后构造函数，利用导数判断其单调性，即由推得，再利用不等式性质推得，再将其变形后借助于指数函数单调性推出即可. 【详解】由，两边取对数，，即， 又由，两边取对数，， 即， 令，因为且，则， 则，由，可得在上单调递增， 则，故； 又由可得，则， 故. 【例4.7.】 已知函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】将函数的零点转化成方程的根，构造函数，再通过同构，构造函数，利用单调性求出的值域，进而得出的值域，从而求出结果. 【详解】因为，由，得到，所以， 令，令，则在区间上恒成立， 即函数在区间上单调递增，又时，，时，，即， 所以，所以，当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，且当时，，当时，， 又因函数有两个不同的零点，所以，即. 故选：C 【例4.8.】 已知函数，，对于任意的，存在，使得成立，则的最大值为__________． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据题意，同构法可得，再将转化为关于的函数，再利用导数求最大值即可得解. 【详解】因为， ，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为当时，，且，所以， 又，所以. 所以. 令 ， 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以有最大值. 故答案为：. 【例4.9.】 若，且，则的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.38 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究双变量问题 【分析】方法一：把条件整理为“同构”形式，用同一函数的单调性得到，再把化为的函数求值域；方法二：由原条件得分析得到，令，则，构造求导确定单调性即可求解.. 【详解】方法一：因，分母，原条件等价于 ，即. 因右边为正，故，即. 令，则. 设，，则， 故在上单调递增，由得，即. 于是.设，，则， 故在上单调递减；当时，当时. 所以. 反之，任取，令，代入原式恒等于，故上述范围内的值都能取到. 方法二：由原条件得， 因为，所以代入并整理， 得. 因，，且与同号， 两个同号实数相加等于 0，只能两项都等于 0，故两项只能同时为零，即. 令，则，. 令，， 恒成立， 故 又时， 所以. 【例4.10.】 当，满足，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.32 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】先利用同构变形得到，构造函数，，结合其单调性和取值范围的分析，得到在上恒成立.再分离参数得，，设，利用导数分析函数的单调性，求函数的最大值即可. 【详解】由. 设，， 则. 又因为，， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又当时，，与1的大小关系不确定，但是要求实数的最小值，所以只要考虑，此时， 所以. 因为，所以，. 设，，则，. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以. 所以. 即实数的最小值为. 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