培优课　导数中的函数构造问题复习讲义-2027届高三数学一轮复习

培优课 导数中的函数构造问题 题型分析　函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容,经常以客观题出现,通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 题型一　通过导数的运算法则构造函数 方向1　利用f(x)与ex构造函数 例1 函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x恒有f'(x)-f(x)>0,则(　　) A.f(-1)>0 B.f(3)>ef(2) C. f< f D.ef(3)>f(4) 课堂笔记： 利用f(x)与ex(或enx)构造函数 1.对于f'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=exf(x). 2.对于f'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=. 3.对于f'(x)+nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=enxf(x). 4.对于f'(x)-nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=. 方向2　利用f(x)与xn构造函数 例2 已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,且f(-2)=0,则不等式>0的解集是(　　) A.(-2,0)∪(0,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-2,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2) 课堂笔记： 利用f(x)与x(或xn)构造函数 1.对于xf'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x). 2.对于xf'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=. 3.对于xf'(x)+nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xnf(x). 4.对于xf'(x)-nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=. 方向3　利用f(x)与sin x,cos x构造函数 例3 已知函数y=f(x)对任意的x∈(0,π),满足f'(x)sin x>f(x)cos x,则下列不等式成立的是(　　) A.f<f B.f>f C.f>f D.f<f 课堂笔记： 利用f(x)与sin x,cos x构造函数 1.对于f'(x)sin x+f(x)cos x>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)sin x. 2.对于f'(x)sin x-f(x)cos x>0(或<0),构造函数F(x)=. 3.对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0(或<0),构造函数F(x)=. 4.对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)cos x. 1.函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R,都有f'(x)>-f(x)成立.若f(ln 2)=,则满足不等式f(x)>的x的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B.(0,1) C.(ln 2,+∞) D.(0,ln 2) 2.已知偶函数f(x)的定义域为R,导函数为f'(x),若对任意x∈[0,+∞),都有2f(x)+xf'(x)>0恒成立,则(　　) A.f(0)<0 B.9f(-3)<f(1) C.4f(2)>f(-1) D.f(1)<f(2) 3.已知定义在R上的奇函数f(x),其导函数为f'(x),且当x∈(0,+∞)时,f'(x)sin x+f(x)cos x<0,若a=f,b=-f,则a与b的大小关系为　　　　.(用“<”连接)  题型二　通过变量构造具体函数 例4 若实数a,b,c∈[0,1],且满足ae=ea,be1.2=1.2eb,ce1.6=1.6ec,则a,b,c的大小关系是(　　) A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a 课堂笔记： 若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解. 4.(多选)已知x,y∈R,若2(e2y-ex)=(y-x)(y+x+2),则下列关系式能成立的是(　　) A.y>x>0 B.x>y>0 C.x<y<0 D.x=y=0 1.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R满足f(x)+f'(x)<0,则下列结论正确的是(　　) A.f(2)>ef(3) B.f(2)<ef(3) C.f(2)≥ef(3) D.f(2)≤ef(3) 2.已知f(x)是定义在R上的偶函数,f'(x)是f(x)的导函数,当x≥0时,f'(x)-2x>0,且f(1)=3,则f(x)>x2+2的解集是(　　) A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(0,1) 3.已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f'(x),当x>0时,f'(x)->0,若a=2f(1),b=f(2),c=4f,则a,b,c的大小关系是(　　) A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<b<c 4.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意实数x,有f(x)>f'(x),且y=f(x)+2 024为奇函数,则不等式f(x)+2 024ex<0的解集是(　　) A.(-∞,0) B.(-∞,ln 2 024) C.(0,+∞) D.(2 024,+∞) 5.已知α,β均为锐角,且α+β->sin β-cos α,则(　　) A.sin α>sin β B.cos α>cos β C.cos α>sin β D.sin α>cos β 6.已知函数y=f(x)对任意的x∈满足f'(x)cos x-f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是(　　) A.f>f B.f<f C.2f(0)<f D.f(0)>f 7.已知a=e-0.02,b=0.01,c=ln 1.01,则(　　) A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a 8.(多选)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0,则下列结论正确的是(　　) A.f(2)-ln 2>f(1) B.f(4)-f(2)>ln 2 C.f(2)+ln 2>f(e)+1 D.f(e2)-f(e)>1 9.(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,xf'(x)+2f(x)>0恒成立,则(　　) A.f(1)<4f(2) B.f(-1)<4f(-2) C.16f(4)<9f(3) D.4f(-2)>9f(-3) 10.(多选)已知a>b>0,且 = ,则(　　) A.0<b<1 B.0<a<1 C.1<b<e D.a>e 11.已知定义在R上的函数f(x)满足xf'(x)+f(x)>0,且f(1)=1,则xf(x)>1的解集为　　　　.  12.已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f'(x),且满足f(-1)=0,当x>0时,2f(x)>xf'(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围是　　　　.  13.已知实数a,b,c∈(0,1),且ae2=2ea,be3=2eb,ce3=3ec,则(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 14.已知x∈,则不等式esin x-cos x-tan x≥0的解集为　　　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课 导数中的函数构造问题 题型分析　函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容,经常以客观题出现,通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 题型一　通过导数的运算法则构造函数 方向1　利用f(x)与ex构造函数 例1 函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x恒有f'(x)-f(x)>0,则(　　) A.f(-1)>0 B.f(3)>ef(2) C. f< f D.ef(3)>f(4) 解析　B　设g(x)=, 则g'(x)==, 由条件可知,f'(x)-f(x)>0,所以g'(x)>0, 则函数g(x)在R上单调递增, 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0, 由<,得f(-1)<0,故A错误; 由>,得f(3)>ef(2),故B正确; 由<,得 f< f,故C错误; 由<,得ef(3)<f(4),故D错误. 利用f(x)与ex(或enx)构造函数 1.对于f'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=exf(x). 2.对于f'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=. 3.对于f'(x)+nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=enxf(x). 4.对于f'(x)-nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=. 方向2　利用f(x)与xn构造函数 例2 已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,且f(-2)=0,则不等式>0的解集是(　　) A.(-2,0)∪(0,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-2,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2) 解析　D　设g(x)=,x≠0. 因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x). 因为g(-x)==-=-g(x),所以g(x)为奇函数,所以g(-2)=-g(2). 因为f(-2)=0,所以g(-2)=g(2)=0. 当x>0时,g'(x)=<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减, 此时不等式>0的解集是(0,2). 因为g(x)为奇函数,图象关于原点对称,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减, 所以当x<0时,不等式>0的解集是(-∞,-2). 综上所述,不等式>0的解集是(-∞,-2)∪(0,2). 利用f(x)与x(或xn)构造函数 1.对于xf'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x). 2.对于xf'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=. 3.对于xf'(x)+nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xnf(x). 4.对于xf'(x)-nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=. 方向3　利用f(x)与sin x,cos x构造函数 例3 已知函数y=f(x)对任意的x∈(0,π),满足f'(x)sin x>f(x)cos x,则下列不等式成立的是(　　) A.f<f B.f>f C.f>f D.f<f 解析　B　令F(x)=,x∈(0,π),则F'(x)=, 因为f'(x)sin x>f(x)cos x,则f'(x)sin x-f(x)cos x>0,所以F'(x)>0, 所以F(x)在(0,π)上单调递增,所以F>F,即>,即f>f. 利用f(x)与sin x,cos x构造函数 1.对于f'(x)sin x+f(x)cos x>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)sin x. 2.对于f'(x)sin x-f(x)cos x>0(或<0),构造函数F(x)=. 3.对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0(或<0),构造函数F(x)=. 4.对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)cos x. 1.函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R,都有f'(x)>-f(x)成立.若f(ln 2)=,则满足不等式f(x)>的x的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B.(0,1) C.(ln 2,+∞) D.(0,ln 2) 解析　C　由题意得f'(x)+f(x)>0. 令g(x)=exf(x),则g'(x)=f'(x)ex+f(x)ex=ex[f'(x)+f(x)]>0, 所以函数g(x)在R上单调递增. 不等式f(x)>等价于exf(x)>1,即g(x)>1. 因为f(ln 2)=,所以g(ln 2)=eln 2f(ln 2)=2×=1.故当x>ln 2时,g(x)>g(ln 2)=1, 所以不等式f(x)>的解集为(ln 2,+∞). 2.已知偶函数f(x)的定义域为R,导函数为f'(x),若对任意x∈[0,+∞),都有2f(x)+xf'(x)>0恒成立,则(　　) A.f(0)<0 B.9f(-3)<f(1) C.4f(2)>f(-1) D.f(1)<f(2) 解析　C　令x=0,则2f(0)+0>0,所以f(0)>0,故A错误; 令g(x)=x2f(x),则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x). 当x>0时,2f(x)+xf'(x)>0,所以2xf(x)+x2f'(x)>0,则g(x)在(0,+∞)上单调递增. 又偶函数f(x)的定义域为R, 所以g(x)=x2f(x)为偶函数,g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(-3)=g(3)>g(1),9f(-3)>f(1),故B错误; g(2)>g(-1),4f(2)>f(-1),故C正确; 易知f(x)=c>0(c为常数)符合题意,此时f(1)=f(2)=c,故D错误. 3.已知定义在R上的奇函数f(x),其导函数为f'(x),且当x∈(0,+∞)时,f'(x)sin x+f(x)cos x<0,若a=f,b=-f,则a与b的大小关系为　　　　.(用“<”连接)  答案　a<b 解析　设φ(x)=f(x)sin x,则φ'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x, 所以当x∈(0,+∞)时,φ'(x)<0,即φ(x)在(0,+∞)上单调递减, 又f(x)为奇函数,所以φ(x)为偶函数,所以φ=φ>φ, 即f·sin>f·sin, 即-f>f, 即f<-f,所以a<b. 题型二　通过变量构造具体函数 例4 若实数a,b,c∈[0,1],且满足ae=ea,be1.2=1.2eb,ce1.6=1.6ec,则a,b,c的大小关系是(　　) A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a 解析　C　由ae=ea,be1.2=1.2eb,ce1.6=1.6ec,得=,=,=. 令f(x)=,则f'(x)=, 当x<1时,f'(x)>0, 当x>1时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 于是f(1)>f(1.2)>f(1.6),即f(a)>f(b)>f(c), 又a,b,c∈[0,1],所以a>b>c. 若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解. 4.(多选)已知x,y∈R,若2(e2y-ex)=(y-x)(y+x+2),则下列关系式能成立的是(　　) A.y>x>0 B.x>y>0 C.x<y<0 D.x=y=0 解析　BCD　当x=y=0时,等式成立,故D成立. 若2(e2y-ex)=(y-x)(y+x+2),则e2y--y=ex--x. 设f(x)=ex--x,则f'(x)=ex-x-1, 令g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1, 当x<0时,g'(x)<0; 当x>0时,g'(x)>0. 所以g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, 所以g(x)≥g(0)=0,即f'(x)≥0恒成立,所以f(x)单调递增. 当y>0时,ex--x=e2y--y>ey--y,即f(x)>f(y),所以x>y>0, 故B正确,A错误. 当y<0时,ex--x=e2y--y<ey--y,即f(x)<f(y),所以x<y<0,故C正确. 1.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R满足f(x)+f'(x)<0,则下列结论正确的是(　　) A.f(2)>ef(3) B.f(2)<ef(3) C.f(2)≥ef(3) D.f(2)≤ef(3) 解析　A　令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]<0, 因此函数g(x)在R上单调递减,所以g(2)>g(3), 即e2f(2)>e3f(3),故f(2)>ef(3). 2.已知f(x)是定义在R上的偶函数,f'(x)是f(x)的导函数,当x≥0时,f'(x)-2x>0,且f(1)=3,则f(x)>x2+2的解集是(　　) A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(0,1) 解析　B　令g(x)=f(x)-x2,因为f(x)是偶函数,则g(-x)=f(-x)-(-x)2=g(x), 所以函数g(x)也是偶函数,g'(x)=f'(x)-2x, 因为当x≥0时,g'(x)=f'(x)-2x>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增, 不等式f(x)>x2+2即为不等式g(x)>2, 由f(1)=3,得g(1)=2,所以g(x)>g(1),所以|x|>1,解得x>1或x<-1, 所以f(x)>x2+2的解集是(-∞,-1)∪(1,+∞). 3.已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f'(x),当x>0时,f'(x)->0,若a=2f(1),b=f(2),c=4f,则a,b,c的大小关系是(　　) A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<b<c 解析　B　构造函数g(x)=(x>0),得g'(x)==, 由题知当x>0时,f'(x)->0,所以g'(x)>0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以>>,即f(2)>2f(1)>4f,即b>a>c. 4.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意实数x,有f(x)>f'(x),且y=f(x)+2 024为奇函数,则不等式f(x)+2 024ex<0的解集是(　　) A.(-∞,0) B.(-∞,ln 2 024) C.(0,+∞) D.(2 024,+∞) 解析　C　设g(x)=,则g'(x)=, 因为f(x)>f'(x),所以g'(x)<0,所以g(x)为定义在R上的减函数. 因为y=f(x)+2 024为奇函数,所以f(0)+2 024=0,f(0)=-2 024,g(0)==-2 024, f(x)+2 024ex<0,即<-2 024, 即g(x)<g(0),故x>0. 5.已知α,β均为锐角,且α+β->sin β-cos α,则(　　) A.sin α>sin β B.cos α>cos β C.cos α>sin β D.sin α>cos β 解析　D　因为α+β->sin β-cos α,所以β-sin β>-α-sin, 令f(x)=x-sin x,x∈,则f'(x)=1-cos x>0, 所以f(x)在上单调递增,所以β>-α, 因为α,β均为锐角,所以cos β<cos,sin β>sin,所以sin α>cos β,cos α<sin β. 6.已知函数y=f(x)对任意的x∈满足f'(x)cos x-f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是(　　) A.f>f B.f<f C.2f(0)<f D.f(0)>f 解析　C　构造函数g(x)=f(x)cos x,x∈,则g'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x>0, 所以g(x)在上单调递增,则g<g,所以fcos<fcos, 即f<f,故A错误; 因为g>g, 所以fcos>fcos, 即f>f,故B错误; 因为g(0)<g,所以f(0)cos 0<fcos,即2f(0)<f,故C正确; 因为g(0)<g,所以f(0)cos 0<fcos,即f(0)<f,故D错误. 7.已知a=e-0.02,b=0.01,c=ln 1.01,则(　　) A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a 解析　C　由指数函数的性质得a=e-0.02> =>=0.01=b, 设f(x)=ex-1-x,则f'(x)=ex-1≥0在[0,+∞)上恒成立, 因此f(x)在[0,+∞)上单调递增, ∴f(0.01)>f(0),即e0.01-1-0.01>0,即e0.01>1.01, ∴b=0.01>ln 1.01=c,∴a>b>c. 8.(多选)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0,则下列结论正确的是(　　) A.f(2)-ln 2>f(1) B.f(4)-f(2)>ln 2 C.f(2)+ln 2>f(e)+1 D.f(e2)-f(e)>1 解析　ABD　构造函数g(x)=f(x)-ln x,x>0,则g'(x)=f'(x)-=, 因为xf'(x)-1>0,所以g'(x)>0,故g(x)是增函数, 由g(2)>g(1)得,f(2)-ln 2>f(1)-ln 1,即f(2)-ln 2>f(1),故A正确; 由g(4)>g(2)得,f(4)-ln 4>f(2)-ln 2,即f(4)-f(2)>ln 4-ln 2=ln 2,故B正确; 由g(e)>g(2)得,f(e)-ln e>f(2)-ln 2,即f(e)+ln 2>f(2)+1,故C错误; 由g(e2)>g(e)得,f(e2)-ln e2>f(e)-ln e,即f(e2)-2>f(e)-1,即f(e2)-f(e)>1,故D正确. 9.(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,xf'(x)+2f(x)>0恒成立,则(　　) A.f(1)<4f(2) B.f(-1)<4f(-2) C.16f(4)<9f(3) D.4f(-2)>9f(-3) 解析　AD　令g(x)=x2f(x), 因为当x>0时,xf'(x)+2f(x)>0,所以当x>0时,g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[xf'(x)+2f(x)]>0, 所以g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上单调递增. 又f(x)为定义在R上的奇函数,y=x2为定义在R上的偶函数, 所以g(x)=x2f(x)为定义在R上的奇函数,且g(0)=0,所以g(x)是R上的增函数. 由g(2)>g(1),可得4f(2)>f(1),故A正确; 由g(-1)>g(-2),可得f(-1)>4f(-2),故B错误; 由g(4)>g(3),可得16f(4)>9f(3),故C错误; 由g(-2)>g(-3),可得4f(-2)>9f(-3),故D正确. 10.(多选)已知a>b>0,且 = ,则(　　) A.0<b<1 B.0<a<1 C.1<b<e D.a>e 解析　CD　 = 两边同取自然对数得=, 设f(x)=,由f'(x)=, 令f'(x)>0,解得0<x<e, 令f'(x)<0,解得x>e, ∴f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, ∴f(x)在x=e处取得最大值f(e)=, 在(0,e)内,函数f(x)有唯一的零点x=1,在(e,+∞)内,f(x)>0, 又∵a>b>0且f(a)=f(b)>0, ∴1<b<e,a>e. 11.已知定义在R上的函数f(x)满足xf'(x)+f(x)>0,且f(1)=1,则xf(x)>1的解集为　　　　.  答案　(1,+∞) 解析　令g(x)=xf(x),则g'(x)=xf'(x)+f(x)>0,则g(x)在R上单调递增, 因为f(1)=1,则g(1)=1,则原不等式为g(x)>g(1),故x>1. 12.已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f'(x),且满足f(-1)=0,当x>0时,2f(x)>xf'(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围是　　　　.  答案　(-1,0)∪(0,1) 解析　构造F(x)=,则F'(x)=, 当x>0时,xf'(x)-2f(x)<0,可以推出当x>0时,F'(x)<0,F(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(x)为偶函数,y=x2为偶函数,所以F(x)为偶函数,所以F(x)在(-∞,0)上单调递增.根据f(-1)=0可得F(-1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数的大致图象(图略),根据图象可知f(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1). 13.已知实数a,b,c∈(0,1),且ae2=2ea,be3=2eb,ce3=3ec,则(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 解析　C　由ae2=2ea,可得=, 由be3=2eb,可得=, 由ce3=3ec,可得=. 记f(x)=,则f'(x)='==, 当x∈(0,1)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递减. 因为=>1,所以>, 显然>,所以>>,即>>,所以b<c<a. 14.已知x∈,则不等式esin x-cos x-tan x≥0的解集为　　　　　　　　.  答案　 解析　不等式esin x-cos x-tan x≥0可化为≥, 当x∈时,cos x>0, 又esin x>0,∴≥, 令f(x)=,则f(cos x)≥f(sin x), ∵f'(x)=, ∴当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0, ∴f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 当x∈时,cos x∈(0,1],sin x∈(-1,1), ∴cos x≥sin x,即当x∈时,tan x≤1,∴x∈, 即不等式esin x-cos x-tan x≥0的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $