4.5 导数中的函数构造问题讲义-2027届高三数学一轮复习

§4.5 导数中的函数构造问题 目录 题型1：构造和差型函数 2 题型2：利用与构造 5 题型3：利用与构造 8 题型4：利用与构造 13 题型5：通过变量构造具体函数 18 题型6：通过数值构造具体函数 23 题型1：构造和差型函数 方法提炼 此类问题一般将不等式的两端转化为相同形式，然后利用单调性求解. 【例1.1.】 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，结合条件判断其单调性，利用单调性解不等式可得结论. 【详解】不等式可化为， 设，则原不等式可化为， 对函数求导，得， 因为，所以， 所以函数是实数集上的增函数， 所以． 故不等式的解集为. 故选：B. 【例1.2.】 定义在上的函数为奇函数，其导数为，且当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】令，由奇函数的性质结合题意可得出函数在上单调递减，不等式可变为，由的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】令，当时，， 所以在上单调递减，又因为函数为定义在上奇函数， 为定义在上奇函数，所以为定义在上的奇函数， 则在上单调递减，即函数在上单调递减， 所以由可得：， 即，所以， 故选：C. 【例1.3.】 定义在上的函数满足，当时，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，然后判断的单调性和奇偶性，然后将不等式变形并求出不等式的解集即可. 【详解】令，则. 所以，所以是偶函数. 当时，，所以在上单调递增. 因为，所以. 即. 因为是偶函数，所以. 又在上单调递增，所以. 两边平方得，解得. 故选：A. 【例1.4.】 （多选）定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】由构造函数，判断的单调性，结合选项和函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】构造函数，则， 因为，所以，故是增函数. 由得，， 即，故A正确； 由得，， 即，故B正确； 由得，， 即，故C错误； 由得，， 即，即，故D正确. 故选：ABD． 【例1.5.】 已知函数的定义域为，设的导数是，且恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】设，得到，得到为增函数，得到，即可求解. 【详解】设，则， 故在定义域上是增函数，所以， 即，所以. 故选：D. 题型2：利用与构造 方法提炼 (1) 出现形式，构造函数. (2) 出现形式，构造函数. 【例2.1.】 已知定义在上的函数满足，则下列各式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，求导，分析函数的单调性，进而即可得到答案． 【详解】令，， 则， 又， 则，即在上单调递增， 所以，即，即． 【例2.2.】 已知定义在R上的函数，其导函数为，当时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.6 【知识点】比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，利用所给不等式判断的单调性，即可得出大小关系. 【详解】构造函数，， 当时，由题中不等式得， 所以，所以，单调递增， ，所以，即， 故. 【例2.3.】 定义在上的奇函数可导，其导函数为，且满足时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，结合函数单调性，奇偶性和特殊点的函数值得到不等式，求出解集 【详解】为定义在上的奇函数，故，此时，不合要求， 当时，设，， 所以为偶函数，， 时，，， 故在上单调递增， 当时，， 又，故，所以，故， 为偶函数，故在上单调递减， 时，， 又，所以，故， 所以不等式的解集为 【例2.4.】 已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据题干不等式形式，构造新的函数，通过导数判断函数的单调性，即可求出不等式的解集. 【详解】解：设，，则， 因为，，所以，则在上单调递减， 由，则， 两边同除以得， 又因为在上单调递减，所以，解得， 因此，不等式的解集为. 题型3：利用与构造 方法提炼 (1) 出现形式，构造函数. (2) 出现形式，构造函数. 【例3.1.】 已知函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】由构造函数，求导可得在上单调递增。利用，通过比较在不同自变量处的函数值，即可判断各选项不等式的正误. 【详解】已知，构造辅助函数，对求导得， 因为恒成立，且，因此，即是上的单调递增函数. 由，得. 选项A： 因为单调递增，故，即，整理得，A错误； 选项B： 因为单调递增，故，即，得，B错误； 选项C： 因为单调递增，故，即，整理得，C错误； 选项D： 因为单调递增，得，即. 因为，所以成立，故 D 正确. 【例3.2.】 设函数在上的导函数为，且，则当时，必有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，求导判断函数单调递减，利用比较函数值即可. 【详解】构造函数，则， 因为，所以，又，所以， 所以在上单调递减. 因为，所以，即. 由，得；由，得； 对于与的大小关系无法判断. 【例3.3.】 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】令，由，得到单调递减，再根据为偶函数，得到的图象关于对称，进而得到，然后将不等式化为求解. 【详解】解：令， 因为， 所以， 所以单调递减， 因为为偶函数， 所以， 所以的图象关于对称， 则， 所以， 又不等式可化为， 即， 所以， 故选：D 【例3.4.】 已知函数与其导函数的定义域均为，且，则，不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.57 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，通过求导结合条件分析的单调性，由推出，将不等式转化为，利用单调性可得答案. 【详解】令，则， 因为， 所以当时，，，在上为增函数， 当时，，，在上为减函数， 因为，所以， 所以，故关于对称， 因为等价于，等价于， 所以，即， 故，即不等式的解集是. 【例3.5.】 已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.49 【知识点】利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据题干条件，构造辅助函数转化不等式，利用函数的单调性解不等式，从而求出不等式的解集. 【详解】解：设，则， 由，可得，又，所以， 则在上单调递增. 将原不等式两边同时除以得：，即，所以， 由在上单调递增，所以，即， 又因为且，所以， 综上，不等式的解集为. 【例3.6.】 （多选）已知函数的定义域、值域都是，且满足，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，进而可判断各选项的正误. 【详解】函数，则函数的定义域为，， 所以，函数在上单调递增， 对于A选项，，即，则，A对； 对于B选项，，即，故，B对； 对于C选项，，则，所以，， 故，C错； 对于D选项，构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递增，故，即当时，， 因为，即， 由可得，则， 所以，，故，D对. 故选：ABD. 题型4：利用与构造 方法提炼 函数与，相结合构造可导函数的几种常见形式 (1) 构造，则. (2) 构造，则. (3) 构造，则. (4) 构造，则. 【例4.1.】 已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】 根据条件构造函数，，求函数的导数，确定函数的单调性，利用单调性比较函数值大小即可逐项判断，即可得到结论． 【详解】构造函数，，则，所以在上单调递增， 则，所以，即，故A不正确； 则，所以，即，故B不正确； 则，所以，即，故C正确； 则，所以，即，故D不正确. 故选：C. 【例4.2.】 （多选）定义在上的函数满足恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，求导，判断函数的单调性，再根据单调性比较大小，逐项判断即可． 【详解】∵，∴， 而，即， 等价于， 构造函数，则， 即在上单调递减， ，，即， 化简得，故A选项正确，B选项错误； ，，即， 化简得，故C选项正确，D选项错误． 故选：AC． 【例4.3.】 定义在上的奇函数的导函数为，且．当时，，则不等式的解集为________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数奇偶性解不等式 【分析】引入新函数，它是偶函数，由导数可确定它的单调性，通过解不等式或求得的解． 【详解】设，是奇函数，则是偶函数， 时， 单调递增，∴时，单调递减， 又，， 时，，则， 时，，则， 综上，原不等式的解集为． 【例4.4.】 已知为偶函数，为的导函数，当时，满足，则当时，不等式的解集是___________． 【答案】 【难度】0.28 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、辅助角公式、由函数奇偶性解不等式、余弦函数图象的应用 【分析】先构造函数，进而可判断在上单调递增，再根据辅助角公式将不等式转化为，再进一步转化为不等式组①或②,在上解不等式组①②可得不等式的解集. 【详解】令函数，则， 所以函数在上单调递减， 又因为函数为偶函数，也是偶函数，所以函数为偶函数， 根据偶函数的性质得函数在上单调递增. 而 ， ，因为， 所以， ， 所以不等式等价于或， 因为函数为偶函数， 所以不等式等价于①或②， 先解不等式组①，由及函数在上单调递增. 所以，得，解得， 所以不等式的解集为. 再解不等式，所以或， 在上，则，在上，则； 同理在上，则；在上，则. 所以不等式组在上的解集为； 不等式组在上的解集为. 不等式在上的解集为③. 所以不等式组①的解集为. 再解不等式组②，由及函数在上单调递增. 所以，得，解得， 由③可得不等式在上的解集为. 所以不等式组②的解集为. 综合不等式组①②解集可得原不等式的解集为：. 故原不等式的解集为. 题型5：通过变量构造具体函数 方法提炼 含有地位同等的两个变量或或的等式或不等式，如果进行整理后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数单调性解决. 【例5.1.】 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、对数函数单调性的应用 【分析】先构造函数，通过导函数得到单调性，从而得到，故可通过函数单调性判断出，而可能比1大，可能等于1，也可能，故CD均错误. 【详解】令，则恒成立，故单调递增，由可得：，故，A错误，B正确； 可能比1大，可能等于1，也可能，故不能确定与0的大小关系，CD错误. 故选：B 【例5.2.】 已知对任意，且当时，都有，则的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、基本不等式求和的最小值、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据已知条件计算化简，再构造函数，再求出导函数得出单调性即可计算求参. 【详解】由题知，对任意，且当时，恒成立， 即恒成立， 整理得恒成立①， 令，由①式可得，所以在上单调递减， 知在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号，． 故答案为： 【例5.3.】 已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、辅助角公式、解正弦不等式 【分析】令，利用导数分析函数在上的单调性，由已知不等式变形得出，可得出，求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】令，则，当时，， 所以，函数在上单调递减， 因为，所以， 即， 因为、，所以， 即， 因为，则， 所以，或，解得或. 因此，的取值范围是. 故选：C. 【例5.4.】 若实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】构造函数，再结合函数的导数得出函数的单调性得出选项即可. 【详解】实数，满足，所以， 设，则， 实数关于原点对称，，所以为偶函数， 所以， 单调递增， 所以. 故选：A. 【例5.5.】 （多选）已知，，若，则下列关系式能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】代入法判断D；对于其他选项，先对式子进行变形，然后构造函数，求导，讨论函数单调性，即可判断ABC. 【详解】当时，等式成立，故D成立. 若，则. 设，则，令，则， 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 即恒成立，所以单调递增. 当时，， 即，所以，故A成立，B不成立. 当时，，即，所以，故C成立. 故选：ACD 【例5.6.】 已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系、利用导数研究双变量问题、利用导数研究函数图象及性质 【分析】构造，，求导研究其单调性，判断出D选项，利用同角三角函数关系得到AB选项，构造差函数，得到，从而判断出C选项. 【详解】构造，，则恒成立， 则， 当时，，， 当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 因为，所以，， 又，所以，D错误， 因为，所以，， 所以，所以，A错误，B正确. 令，则， 当时，恒成立， 所以在上单调递增， 当时，，即， 因为， 所以 因为， 所以， 因为在单调递减， 所以，即 因为在上单调递减， 所以，C错误 故选：B 题型6：通过数值构造具体函数 方法提炼 当要比较的各数为某些函数的函数值时,要仔细观察这些数值的共同之处,构造一个或两个函数,使要比较的数成为该函数的函数值,然后利用函数的单调性比较大小. 常用的不等式：，，，，. 【例6.1.】 已知，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.45 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系、比较指数幂的大小 【分析】构造且，则，再构造并应用导数研究其单调性比较对应函数值的大小，即可得. 【详解】由，，， 令，，则， 令，，则， 令，，则在上恒成立， 故在上单调递增，又，则在上恒成立， 将中换为可得，， 故在上恒成立，所以在上单调递增， 由复合函数单调性可知在上单调递增， 故，即. 【例6.2.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.5 【知识点】利用导数证明不等式、比较正弦值的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】由对数运算化简，构造函数，求导判断单调性，比较与，再由指数不等式得的近似值，并利用正弦单调性估计的范围，综合得到三者大小关系. 【详解】， 令，则， 所以在上单调递减，所以，即， 构造函数，所以 令，得， 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增. 因此在处取得最小值： 所以对任意，都有,当且仅当时取等号. 所以，即， 综上可知，. 【例6.3.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式 【分析】先证明、，然后利用这两个不等式可比较三者的大小. 【详解】现在证明一个不等式：， 设,则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故当时，，即. 令，由可得， 而， 故. 故选：D. 【例6.4.】 已知，，，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】比较正弦值的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、作差法比较代数式的大小、比较函数值的大小关系、由导数求函数的最值（不含参）、比较对数式的大小 【分析】先构造函数，求导，分析单调性即可判断与的大小；再构造函数，求导，分析单调性即可判断与的大小；再构造函数，求导，分析单调性即可判断与的大小，进而即可得到答案． 【详解】令，， 则，所以在上单调递减， 又，则，即，所以，即； 令，， 则，所以在上单调递减， 又，则，即，即，即， 令，， 则，所以在上单调递减， 又，则，即，即，即， 所以，即， 综上，． 【例6.5.】 已知且，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】由已知条件变形可得，，，构造函数，，求导判断单调性，利用单调性求解判断. 【详解】由，可得，， 同理，可得，，，， 令，，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， ，又，则， ，则，，则， 即，且，，， 由在上单调递增，所以. 故选：D. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.5 导数中的函数构造问题 目录 题型1：构造和差型函数 2 题型2：利用与构造 3 题型3：利用与构造 3 题型4：利用与构造 5 题型5：通过变量构造具体函数 6 题型6：通过数值构造具体函数 7 题型1：构造和差型函数 方法提炼 此类问题一般将不等式的两端转化为相同形式，然后利用单调性求解. 【例1.1.】 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 定义在上的函数为奇函数，其导数为，且当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 定义在上的函数满足，当时，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例1.4.】 （多选）定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 已知函数的定义域为，设的导数是，且恒成立，则（    ） A． B． C． D． 题型2：利用与构造 方法提炼 (1) 出现形式，构造函数. (2) 出现形式，构造函数. 【例2.1.】 已知定义在上的函数满足，则下列各式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知定义在R上的函数，其导函数为，当时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 定义在上的奇函数可导，其导函数为，且满足时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型3：利用与构造 方法提炼 (1) 出现形式，构造函数. (2) 出现形式，构造函数. 【例3.1.】 已知函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 设函数在上的导函数为，且，则当时，必有（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 已知函数与其导函数的定义域均为，且，则，不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例3.6.】 （多选）已知函数的定义域、值域都是，且满足，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 题型4：利用与构造 方法提炼 函数与，相结合构造可导函数的几种常见形式 (1) 构造，则. (2) 构造，则. (3) 构造，则. (4) 构造，则. 【例4.1.】 已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（        ） A． B． C． D． 【例4.2.】 （多选）定义在上的函数满足恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 定义在上的奇函数的导函数为，且．当时，，则不等式的解集为________ 【例4.4.】 已知为偶函数，为的导函数，当时，满足，则当时，不等式的解集是___________． 题型5：通过变量构造具体函数 方法提炼 含有地位同等的两个变量或或的等式或不等式，如果进行整理后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数单调性解决. 【例5.1.】 若，则（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 已知对任意，且当时，都有，则的取值范围是______． 【例5.3.】 已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例5.4.】 若实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例5.5.】 （多选）已知，，若，则下列关系式能成立的是（   ） A． B． C． D． 【例5.6.】 已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型6：通过数值构造具体函数 方法提炼 当要比较的各数为某些函数的函数值时,要仔细观察这些数值的共同之处,构造一个或两个函数,使要比较的数成为该函数的函数值,然后利用函数的单调性比较大小. 常用的不等式：，，，，. 【例6.1.】 已知，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【例6.2.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【例6.3.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【例6.4.】 已知，，，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例6.5.】 已知且，且，且，则（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $