上海市南洋模范中学2026-2027学年第一学期高三年级期中考试数学试题

2026学年第一学期南模中学高三年级期中考试

数学学科

（本次考试时间120分钟，满分150分）

一、填空题（本大题共有12题，4'*6+5'*6=54'）

1．已知集合，，则________．（用描述法表示）

2．不等式的解集为________．

3．直线的倾斜角________．

4．在正方体中，点为棱的中点，则异面直线与所成角的大小为________．

5．已知为常数，若（其中e是自然对数的底数）在区间上是严格减函数，则的取值范围是________．

6．我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是：二十四个节气可以通过特定标记的日影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分．则“立秋”时日影长度为________分．

附：二十四节气表

立春	雨水	惊蛰	春分	清明	谷雨	立夏	小满	芒种	夏至	小暑	大暑
立秋	处暑	白露	秋分	寒露	霜降	立冬	小雪	大雪	冬至	小寒	大寒

7．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．下图给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示（线段长度代表速度大小，单位：），则该时刻的真风的名称为________．

8．如图所示，容器的底部是的正方形，顶部是的开放正方形，还有四个全等的梯形侧面．开始时容器是空的，用一根水管以恒定速率向容器中注水，需要35分钟才能将水注满至梯形侧面中线的高度．问还需要________分钟才能将容器的剩余部分注满．

9．函数的图像记为曲线，如图所示．，，是曲线与坐标轴相交的三个点，直线与曲线的图像交于点，若直线的斜率为，直线的斜率为，，则直线的斜率为________．（用，表示）

10．已知随机变量，均服从伯努利分布，且，的取值为0或1．若，且，则________．

11．古语云：“积善之家，必有余庆”．扇是扇风的，有“风生水起”走好运之意，“扇”与“善”字谐音，佩戴扇形玉佩，有行善积德之意．一支考古队在对某古墓进行科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此扇形玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图1所示，通过测量得到数据，，．（图1中破碎边缘呈锯齿形状），另一块玉佩碎片如图2所示，其

三边长分别为，，1，且该三角形碎片有两边是原扇形边界的一部分，考古队员通过复原该扇形玉佩求得其面积为________．

12．已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与轴、轴、轴重合，顶点与坐标原点重合，点是正方体底面中与相对的对角顶点，点在点的正上方，点在线段上（不含端点）．当正方体绕直线旋转一周时，点运动轨迹会经过个空间卦限，则的所有可能的值为________．

二、选择题（本大题共有4题，4'*2+5'*2=18'）

13．为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ）

A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数

B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数

C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数

D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数

14．已知，，，则事件A与B的关系是（     ）

A．A与B互斥但不对立 B．A与B对立

C．A与B相互独立 D．A与B既互斥又相互独立

15．已知函数的定义域为，对任意，定义，则“是偶函数”是“任意的，对，都有”的（     ）