精品解析：上海市闵行区上海师范大学附属中学闵行分校2026-2027学年高三上学期期中考试数学试卷

2026学年第一学期上师闵行分校期中考试 高三数学试卷 一、填空题（共12小题） 1. 已知集合，，则________． 2. 不等式的解集为______． 3. 若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为______． 4. 若（是虚数单位），则复数的虚部是______． 5. 二项式的展开式中常数项为第__________项． 6. 已知两个正数，的几何平均值为2，则的最小值为______． 7. 将个数据按照从小到大的顺序排列如下:，若该组数据的分位数为22，则______________． 8. 若是一个三角形的内角，且函数在区间上是单调函数，则的取值范围是__________． 9. 已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是_________． 10. 已知四棱柱的底面是矩形，，为棱的中点，则___________． 11. 草坪上有一个带有围栏的边长为6m的正三角形活动区域，点在边上，且，小王同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为60°，则手电筒在内部所能照射到的地面的最大面积为________ 12. 已知椭圆：（）的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，是椭圆的左焦点，是与的公共点，若，则椭圆的离心率的取值范围为_______． 二、选择题（共4小题） 13. 已知，为非零实数，且，则下列命题一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 若是空间中的一条直线，，是空间中两个相互垂直的平面，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 16. 若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（ ） A. 存在等差数列，使得是的“M数列” B. 存在等比数列，使得是的“M数列” C. 存在等差数列，使得是的“M数列” D. 存在等比数列，使得是的“M数列” 三、解答题（共5小题） 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形,,,,且底面. （1）证明：平面； （2）若为的中点，求三棱锥的体积. 18. 已知函数（，且）． （1）讨论的奇偶性； （2）若，不等式恒成立，求t的取值范围． 19. 某调研机构为了了解人们对航天知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“我爱星辰大海”航天知识竞赛，满分分（分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计这个人的平均年龄； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的“奥运会”宣传使者．若有甲（年龄）、乙（年龄）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选中的概率； （3）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 20. 已知椭圆：的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点. （1）求椭圆方程； （2）点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）当最大时，求直线方程. 21. 若函数满足：对任意，，都有，则称函数具有性质． （1）设，分别判断与是否具有性质？并说明理由； （2）已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解； （3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期上师闵行分校期中考试 高三数学试卷 一、填空题（共12小题） 1. 已知集合，，则________． 【答案】 {4,5} 【解析】 【详解】由题意，. 2. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】原不等式等价于，即，解得，所求解集为． 3. 若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角. 【详解】因为是直线的一个法向量，故直线的斜率为，则该直线的倾斜角为． 故答案为：. 4. 若（是虚数单位），则复数的虚部是______． 【答案】2 【解析】 【详解】因为复数，则.所以复数的虚部是. 5. 二项式的展开式中常数项为第__________项． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，令的指数为0求出r，即可得到常数项对应的项数. 【详解】展开式的第项为：，其中 令，得到，故展开式中常数项为第项. 6. 已知两个正数，的几何平均值为2，则的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【详解】由题意得，则， 则，当且仅当时等号成立. 7. 将个数据按照从小到大的顺序排列如下:，若该组数据的分位数为22，则______________． 【答案】21 【解析】 【分析】根据百分位的计算求解即可. 【详解】因为， 所以分位数是第4、5个数据的平均数， 所以，解得. 故答案为： 8. 若是一个三角形的内角，且函数在区间上是单调函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式求出含参单调区间，根据，结合角的范围确定是那个单调区间的子区间，即可列不等式解除答案. 【详解】函数， 令，解得：， 令，解得： 则的单调递增区间为，单调递减区间为， 若函数在区间上是单调递增函数， 则， 是一个三角形的内角， ，， ， 要使， 只能令，得，且， 此时， 则， 则，解得， 是一个三角形的内角， ， 若函数在区间上是单调递减函数， 则， ，， 要使， 只能令，得，且， 此时， 则， 则，解得，与矛盾， 函数在区间上是不能是单调递减函数， 综上所述，， 故答案为：. 9. 已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意转化为 ，求导函数，分别求出函数的最大值，的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围． 【详解】由，可得， 当，，所以在单调递减， ， ，在上单调递增， ， 对任意的，都有成立， ， ， 故答案为：． 10. 已知四棱柱的底面是矩形，，为棱的中点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积和向量的基本定理求解. 【详解】由题意可得， ， ， . 故答案为： 11. 草坪上有一个带有围栏的边长为6m的正三角形活动区域，点在边上，且，小王同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为60°，则手电筒在内部所能照射到的地面的最大面积为________ 【答案】 【解析】 【分析】通过正弦定理、割补法计算平面几何图形面积，基本不等式求解. 【详解】依题意，要使手电筒在内部所能照射到的地面的面积最大，则光线必须经过边，如图，在正中，，，，设， 由正弦定理得：，则， ，则， ， ， 当且仅当，即时取等号， 所以，最大值为． 若，，， 若，，， 所以，最大值为． 12. 已知椭圆：（）的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，是椭圆的左焦点，是与的公共点，若，则椭圆的离心率的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线和椭圆的性质求出抛物线方程，利用大角对大边，结合椭圆的定义和抛物线焦半径公式构造不等式，联立椭圆与抛物线方程求出，进而解关于的不等式求出离心率的取值范围． 【详解】 椭圆右焦点与抛物线的焦点重合且的中心与的顶点重合， 则抛物线的方程为， 在中，的对边，的对边， 由可得， 由椭圆的定义可得，则，解得， 由抛物线焦半径公式：，则，则， 联立椭圆与抛物线方程可得：， 由求根公式得，由得，， 故，则，故， ， ． 二、选择题（共4小题） 13. 已知，为非零实数，且，则下列命题一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，满足，此时，故A选项不成立； 当时，满足，此时，故B选项不成立； ， 为非零实数，则，由 ，有，即，C选项成立； 当时，满足，此时，故D选项不成立． 14. 若是空间中的一条直线，，是空间中两个相互垂直的平面，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用面面垂直，线面垂直的性质判断充分性和必要性即可. 【详解】对于充分性，当时，因为， 所以或，故充分性不成立， 对于必要性，当时，因为， 所以或或，故必要性不成立， 则“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 故选：D 15. 某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 16. 若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（ ） A. 存在等差数列，使得是的“M数列” B. 存在等比数列，使得是的“M数列” C. 存在等差数列，使得是的“M数列” D. 存在等比数列，使得是的“M数列” 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：取，分析判断；对于B、D：取，分析判断；对于C：根据题意结合等差数列的性质分析判断. 【详解】对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故A为真命题； 对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故B为真命题； 对于C：若存在等差数列，使得是的“M数列”， 设等差数列的公差为， ∵、均为严格增数列，则，故， 取满足，可知必存在，使得成立， 当时，对任意正整数，则有； 对任意正整数，则有； 故不存在正整数，使得，故C为假命题； 对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故D为真命题； 故选：C. 【点睛】关键点睛：在说明选项C时，只需说明，故取即可. 三、解答题（共5小题） 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形,,,,且底面. （1）证明：平面； （2）若为的中点，求三棱锥的体积. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得，证得，则，由底面，平面，证得，可证平面； （2）为的中点，利用体积转化法 ，可求出结果 【小问1详解】 在中，由余弦定理得 ， ，∴， ∵，∴. 又∵底面，平面 ∴. ∵，平面 ∴平面. 【小问2详解】 因为为的中点， 所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等， 而 . 所以三棱锥的体积. 18. 已知函数（，且）． （1）讨论的奇偶性； （2）若，不等式恒成立，求t的取值范围． 【答案】（1） 当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数； 当且时，既不是奇函数也不是偶函数； （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性定义，分类讨论即可； （2）确定函数的单调性，结合奇函数的性质求解不等式即可. 【小问1详解】 函数（，且）的定义域为R，且 当时，，即恒成立， 所以，即，此时，定义域为R，， 所以是R上的奇函数； 当时，，即恒成立，所以，即， 此时，定义域为R，， 所以是R上的偶函数； 当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数； 综上，当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数； 当且时，既不是奇函数也不是偶函数； 【小问2详解】 函数中，由，得，而， 所以，则，由（1）知是R上的奇函数； 因为函数都是R上的增函数，则是R上的增函数， 不等式， 因此，则， 解，得或； 解，即，得.于是， 所以t的取值范围是. 19. 某调研机构为了了解人们对航天知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“我爱星辰大海”航天知识竞赛，满分分（分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计这个人的平均年龄； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的“奥运会”宣传使者．若有甲（年龄）、乙（年龄）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选中的概率； （3）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 【答案】（1）（岁） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再把所得结果全部相加，可得出这个人的平均年龄； （2）求出第四组、第五组抽取的人数，再利用组合计数原理、古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式可求得结果； （3）利用分层抽样的平均数和方差公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，估计这个人的平均年龄为 （岁）. 【小问2详解】 第四组抽取的人数为人，第五组抽取的人数为人 共人（含甲、乙），从人中任选名，抽法种数为种， “甲、乙都未选中”即从其余人中选名，抽法种数为种， 故所求概率为. 【小问3详解】 、岁两组的频率之比为， 总平均数， 由分层抽样方差公式得． 所以估计这人中岁所有人的年龄的方差为. 20. 已知椭圆：的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点. （1）求椭圆方程； （2）点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）当最大时，求直线方程. 【答案】（1） （2）（ⅰ）为定值（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组求出得解； （2）（ⅰ）列出两个斜率，再利用点在椭圆上，将转化为关于的式子，通过化简运算得出定值； （ⅱ）利用直线斜率之积为常数，转化为斜率之间的关系，再由两角差的正切公式及基本不等式求解即可． 【小问1详解】 由题意短轴长为2，，即，因为椭圆经过点， 所以，则.所以椭圆方程为 【小问2详解】 （ⅰ）证明：由题意可得，因为点关于原点的对称点为，所以,点，点为中点，即，设. 直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以①， 因为在椭圆上，所以，解得②， 同理因为点在椭圆上，所以③， 将②③代入①式，得（为定值）. 综上，为定值. （ⅱ）又因为既在椭圆上又在的延长线上， 所以， 又因为 所以，则， 设，直线倾斜角为，直线倾斜角为， ，， 所以， 则， 当且仅当，即，解得（因为）时等号成立，即此时最大. 所以直线方程为． 21. 若函数满足：对任意，，都有，则称函数具有性质． （1）设，分别判断与是否具有性质？并说明理由； （2）已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解； （3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 【答案】（1）不具有性质，具有性质，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取特殊值判断，利用所给定义判断； （2）利用奇函数的性质可将不等式化为，利用具有性质和奇函数性质可得是上的增函数，从而利用增函数的性质即可求解； （3）先由具有性质且函数的图像是一条连续曲线求得，然后利用反证法证明是奇函数. 【小问1详解】 不具有性质， 理由：取，，，所以不具有性质. 具有性质， 理由：对任意，， 当时，，因为为上的增函数， 所以，即，所以， 当时，，所以，即， 所以， 综上，对任意，，有， 所以具有性质. 【小问2详解】 因为是奇函数，所以可化为， 因为具有性质，所以对任意，，都有， 因为是奇函数，所以， 所以，即是上的增函数， 故，解得，所以不等式的解集为. 【小问3详解】 由具有性质知：当时，当时， 因为函数的图象是一条连续曲线，所以，即. 下面用反证法证明是奇函数， 假设存在使得，不妨设，则由在上是严格增函数有， 若，则构造函数， ， ， 由零点存在定理知，存在，使得，即； 因为在上是严格增函数，所以， 从而有， 与具有性质矛盾． 若，构造函数，同理也可推出与具有性质矛盾． 综合上述，存在使得的假设不能成立，即对任意都有，故是奇函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $