第24章 随机事件及其概率（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材华东师大版九年级上册

第24章 随机事件及其概率·拔尖卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）中国古诗词意蕴悠长，从数学的观点看，下列诗句中描述的事件属于不可能事件的是（     ） A．李白《夜宿山寺》中“手可摘星辰” B．杜牧《清明》中“清明时节雨纷纷” C．王安石《登飞来峰》中“闻说鸡鸣见日升” D．杜甫《江南逢李龟年》中“落花时节又逢君” 【答案】A 【分析】本题考查不可能事件的定义，只需根据定义判断各选项描述的事件，选出一定不发生的事件即可. 【详解】不可能事件是指在一定条件下，一定不会发生的事件. ∵“手可摘星辰”不符合现实规律，一定不会发生，是不可能事件；其余选项描述的事件都可能发生，也可能不发生，属于随机事件， ∴ 答案选A. 2．（2026·山东临沂·一模）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据概率公式分别求出数字1，2，3的面数，再结合选项判断，概率公式：某数字的面数=总面数该数字出现的概率． 【详解】解：正方体共有6个面， 数字1的面数：； 数字2的面数：； 数字3的面数：， 即木块上有2个面标1，3个面标2，1个面标3，只有D选项符合． 3．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用能获得购物券的区域数除以区域总数即可得到答案． 【详解】解：， 故她获得购物券的概率是． 4．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 5．（26-27九年级下·全国·课后作业）小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 B．任意买一张电影票，座位号是的倍数 C．从一个装有个黑球和个白球的不透明袋子中任意摸出一个球（小球除颜色外，完全相同），摸到白球 D．从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃 【答案】D 【分析】先从折线图中得到试验频率的稳定值，再分别计算各选项对应随机事件的理论概率，选出和稳定频率最吻合的选项． 【详解】解：观察折线图发现，随着试验总次数不断增加，事件发生的频率逐渐稳定在附近，整体波动范围在到之间，因此可以估计该事件发生的理论概率约为． 选项，掷一枚质地均匀的硬币，只有正反两种等可能结果，反面朝上的概率为，远大于，不符合频率稳定的区间，故不符合题意； 选项，任意买一张电影票，座位号为奇数和偶数的可能性大致相等，座位号是的倍数的概率约为，不符合频率稳定的区间，故不符合题意； 选项，袋子中一共有个完全相同的小球，其中白球有个，任意摸出一球是白球的概率为，该数值大于，和统计图中频率最高不超过的特征不符，故不符合题意； 选项，一副去掉大小王的扑克牌总共有张，四种花色各有张，任意抽取一张抽到黑桃的概率为，多次重复试验时，频率会在附近小幅波动，和统计图呈现的特征完全吻合，故符合题意． 6．（2026九年级上·全国·专题练习）甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用树状图求概率，解题关键是正确画出树状图，熟练运用概率公式进行计算．用树状图列出所有可能，再用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如图： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中个小球上恰好有个元音字母的结果有种， 则个小球上恰好有个元音字母的概率是． 7．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每块小方砖的边长为1，先求出整个地砖的面积、黑色方砖的面积，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：设每块小方砖的边长为1， 由图可知，整个地砖的面积为，黑色方砖的面积为， 所以最终停在黑色方砖上的概率为． 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意列表列举所有等可能结果，再根据事件概率的计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： E F G H A B C D 共有16种等可能结果，其中两人恰好选中同一根绳子的等可能结果分别是，，，，共4种，所以两人恰好选中同一根绳子的概率是． 9．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子．若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的几率为（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设三条绳子分别用A，B，C表示，画树状图如下： 由树状图可得，共有种等可能的结果，其中两人选到同一条绳子的结果有种， ∴两人选到同一条绳子的概率为． 10．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了树状图或者列表法求概率．要使棋子回到点A处，前两次掷得的点数之和必须为4，8或12．因此，所求事件中可能出现的结果数应该等于两次掷得的点数之和为4的结果数+两次掷得的点数之和为8的结果数+两次掷得的点数之和为12的结果数． 【详解】解：随机地掷一枚质地均匀的骰子两次，所有可能出现的结果如下：       第二次 第一次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 总共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4，8或12． 两次掷得的点数之和4的结果有3种：，，； 两次掷得的点数之和为8的结果有5种：，，，，； 两次掷得的点数之和为12的结果有1种：， 所以，使棋子回到点A处的可能结果总共有（种）． 因此，棋子回到点A处的概率为． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）在一个不透明的袋子中装有若干个白球和10个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验．然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出白球的次数 55 618 3032 5957 30104 59995 摸出白球的频率 0.550 0.618 0.606 0.596 0.602 0.600 根据试验所得数据，估计白球有_______个． 【答案】15 【分析】根据大量重复试验中频率的稳定值估计概率，结合球的总数关系列方程求解即可。 【详解】解：观察表格可知，随着摸球试验次数增加，摸出白球的频率逐渐稳定在附近，因此估计摸出白球的概率为； 设袋子中白球有个，根据题意可得：， 解方程得，经检验，是原方程的解，且符合题意； 因此估计袋子中白球有个． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）从三个写有数字“，，1”的相同硬纸片中随机抽取一张记为x，记下硬纸片上的数字，放回后洗匀，再抽取一张记为y，则点在二次函数的图象上的概率为______． 【答案】 【分析】先计算所有等可能的结果总数，再逐个验证点是否在二次函数图象上，统计符合条件的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：点用列表表示如下： 由表格可知，所有等可能的结果总数为9． 分别代入不同的计算二次函数对应的值， 当时，，可选值中没有，不符合要求； 当时，，可选值中有，点符合要求； 当时，，可选值中有，点符合要求， ∴符合条件的点共有个， ∴所求概率为． 13．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 【答案】② 【分析】获胜概率大即为方案发生的概率大，因此需要分别计算三种方案发生的概率，这10个数字中有5个奇数，3的倍数为3，6，9，不小于5的数为5，6，7，8，9，10，据此计算概率即可． 【详解】解：分别计算三种方案发生的概率： ①奇数的概率为； ②3，6，9是3的倍数，故不是3的倍数的概率为， ③大于等于5的数共有6个，故不小于5的概率为， ， 获胜概率最大的方案为方案②． 14．（24-25九年级上·广东江门·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查利用概率判断游戏公平性，熟练掌握列举法求概率是解题的关键，利用列表法表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可． 【详解】解：由题可列表如下： 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 由表知，共有9种等可能结结果，其中和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 15．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________________________． 【答案】 【分析】利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： 共有6种等可能结果，其中符合条件的有4种， ∴能让灯泡发光的概率为． 16．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）有三张正面分别标有数字，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为__________． 【答案】 【分析】首先根据题意可求得，所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的坐标，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 解不等式①得． a、b取值： 1 2 1 2 共6种情况： ，时，解不等式②得，非负整数解只有0个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有0个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有5个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有2个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有5个． ，时，解不等式②得，负整数解只有4个． 综上所述，关于x的不等式组的解集中有且只2个非负整数的概率为． 故答案为： 【点睛】此题考查了概率公式的应用与不等式组的解法，注意概率=所求情况数与总情况数之比，求出符合要求的点是解题关键. 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（26-27九年级上·全国·课后作业）下面是两位同学对抛掷硬币问题的不同说法，你同意吗？为什么？ (1)抛掷一枚质量分布均匀的硬币，是“出现正面”还是“出现反面”无法预测，全凭运气．因此，抛掷1000次的话也许只有200次“出现正面”，也许会有700次“出现正面”，没有什么规律． (2)抛掷一枚质量分布均匀的硬币，“出现正面”和“出现反面”的机会均等．因此，抛掷1000次的话，一定会有500次“出现正面”，500次“出现反面”． 【答案】(1) 解：不同意，理由如下： ∵抛掷一枚质量分布均匀的硬币，单次试验的结果具有随机性， 又∵大量重复试验时，“出现正面”的频率会稳定在附近，存在统计规律， ∴该说法错误． (2) 解：不同意，理由如下： ∵抛掷一枚质量分布均匀的硬币，“出现正面”和“出现反面”的概率均为，二者机会均等， 又∵频率是实际试验的结果，不一定与概率相等， ∴ 抛掷次不一定恰好有次“出现正面”，该说法错误． 【分析】结合频率的稳定性及概率与频率的区别，分别判断两种说法的正误． 【详解】（1）略 （2）略 18．（8分）（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）暑假期间，小东和爸爸妈妈准备前往云南旅游．云南景点众多，但由于时间有限，所以小东一家计划先乘机到昆明，再考虑从以下四个地点中选择两个前往：丽江、大理、红河、西双版纳．由于意见难以统一，小东爸爸在外观相同的4个小球表面写上“”，“”，“”，“”，分别代表丽江、大理、红河、西双版纳，并将小球装入不透明袋子里面，让小东从中同时抽取两个小球，用以决定前往旅游的地点． (1)判断：小东一家前往大理旅游与前往丽江旅游的概率________（填“相等”或“不相等”）； (2)丽江、大理在昆明以西，红河、西双版纳在昆明以南，求小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率． 【答案】(1)相等 (2) 【分析】本题考查概率定义，列表法求概率等． （1）根据题意利用等可能性可得答案； （2）先根据题意列表列出可能出现的情况，再找出符合题意得情况，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：根据题意可知：小东一家前往大理旅游与前往丽江旅游的概率相等， 故答案为：相等； （2）解：列表如下： 第二个第一个 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的结果有4种，即，，，， 所以小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率． 答：小东一家人前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率为． 19．（10分）（吉林长春净月高新技术产业开发区华岳学校等四校2026-2027学年上学期九年级数学学科第一次学情自测（五四制））为全面落实“五育并举”教育方针，学校开展了丰富多彩的课后服务活动，其中有“A．红色故事分享会”“B．校园绿植养护”“C．篮球友谊赛”三项活动，小长和小春分别从中随机选择一项活动参加（小长和小春选择每项活动的可能性相同，且他们互相之间选择不受影响）． (1)小长选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为 ； (2)请用列表法或画树状图法，求小长和小春选择的活动不同的概率． 【答案】(1) (2)列表如下： 小春小长 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得出所有等可能的结果，再得出小长和小春选择的活动不同的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有3个活动，且小长选择每项活动的可能性相同， ∴小长选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为； （2）解：由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中小长和小春选择的活动不同的结果有6种， ∴小长和小春选择的活动不同的概率． 20．（10分）（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示是一枚正四面体的骰子，其四个顶点上分别标注了数字1、2、3、4，骰子落地时朝上的顶点所标注的数字表示投掷骰子所得的点数．以下是投掷这枚骰子200次所得点数的记录（5个数据为一组）：    12314，13231，32211，34223，12123， 24143，23211，13141，32324，43314， 34442，34112，11424，21123，22244， 32342，14434，33433，22141，21441， 33311，21421，31221，32244，44344， 41434，14231，24231，11124，41342， 22431，23442，33414，13114，12312， 11322，41123，42324，31144，11131． (1)将数据整理后填入下表： 投掷次数 1 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 出现1点的频数 出现1点的频率 投掷次数 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 出现1点的频数 出现1点的频率 (2)根据表中所填数据绘制“出现1点的频率”随投掷次数变化趋势折线图．从中你发现了什么？ (3)仿照上面的方法对其他点数出现的频率进行观察，你又发现了什么？ (4)你能根据以上数据对某一点数出现的机会大小进行估计吗？ 【答案】(1)如下表： 投掷次数 1 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 出现1点的频数 1 2 4 6 6 8 9 14 15 17 20 20 出现1点的频率 投掷次数 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 出现1点的频数 21 25 28 30 31 34 38 39 43 46 47 49 出现1点的频率 (2)如图所示：    “出现1点”的频率在常数附近摆动； (3)各点数出现的频率都会逐渐稳定在附近； (4)估计任意一个点数出现的机会是（即）． 【分析】（1）通过仔细统计投掷记录中出现1点的个数，来确定对应投掷次数下出现1点的频数．依据频率计算公式即可解答． （2）建立平面直角坐标系，横坐标表示投掷次数，纵坐标表示出现1点的频率．根据表格中的数据，在坐标系中描出对应的点，例如， ， ， ，，用线段依次将这些点连接起来，就得到了“出现1点”的频率折线统计图．根据频率的稳定性，从表格数据及频率的变化趋势分析即可得出答案； （3）其余点数的频率变化规律相同，大量试验后频率也稳定在附近； （4）可以估计．大量重复试验，频率稳定值就是事件发生的机会，估计概率为． 【详解】（1）解：从记录数据中数出170次投掷时，出现1点的频数为43， 计算180次投掷时出现1点的频数：继续从记录数据中数，得到频数为46， 计算190次投掷时出现1点的频数：继续数，得到频数为47， 计算200次投掷时出现1点的频数：继续数，得到频数为49， 计算170次投掷时出现1点的频率：频率 = 频数÷投掷次数，即， 计算180次投掷时出现1点的频率：， 计算190次投掷时出现1点的频率：， 计算200次投掷时出现1点的频率：； （2）略 （3）解：点数 2、3、4的频率变化规律和点数1相同：试验次数较少时，频率起伏波动大；当试验次数越来越大时，各点数出现的频率都会逐渐稳定在附近； （4）解：可以．正四面体骰子有 4 个等可能结果（1、2、3、4），根据大量重复试验，频率稳定在附近，因此估计任意一个点数出现的机会是（即）． 21．（12分）（2026九年级·广东·专题练习）2026年，我国“双碳”目标推进取得阶段性成果，新能源汽车渗透率持续提升．某校为普及新能源汽车与低碳出行知识，举办了“新能源汽车与绿色未来”知识竞赛．现从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均高于60分，用x表示，共分四组：A、 ，B、 ，C、 ，D、），下面给出了部分信息： 七年级10名学生竞赛成绩是：62、72、74、80、81、82、82、90、91、96． 八年级10名学生竞赛成绩是：67、68、70、74、75、85、90、90、95、96． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81 81 中位数 80 众数 82 90 方差 90 117 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________． (2)结合上述信息和所学的数学知识，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由． (3)现要将八年级的甲、乙、丙、丁四位同学分成两组，每组两人一起合作进行比赛，并随机抽签决定分组．请用树状图或列表法来说明甲、乙两位同学分到同一组的概率． 【答案】(1)，； (2)七年级更好；理由：七年级和八年级平均数都是81分，但七年级的竞赛成绩的中位数比八年级高，且七年级的方差小于八年级的方差，则七年级的竞赛成绩稳定性高于八年级竞赛成绩的稳定性． (3) 【分析】（1）根据中位数的定义求出a的值，得出位于七年级A组的人数，用A组的人数除以总人数即可求出m的值． （2）利用中位数和方差作决策即可． （3）列出表格求解即可． 【详解】（1）解：七年级10名学生竞赛成绩从小到大排列为：62、72、74、80、81、82、82、90、91、96． ∴中位数为， 在A组之间的人数有3人， ∴， ∴； （2）略 （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ∴共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学分到同一组有2种结果，丙、丁两位同学分到一组时甲、乙也在一组的情况有2种结果， ∴甲、乙两位同学分到同一组的概率为：． 22．（12分）（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1)①获得150元、75元、30元的购物券的概率是：，，；②获得购物券的概率是 (2)还需要将2个无色扇形涂成绿色 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；     （2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：①转盘被等分成18个扇形，其中红色扇形有1个，黄色扇形有2个，绿色扇形有4个， 指针对准红、黄、绿色区域，顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券， 小刚妈妈获得150元购物券的概率是， 小刚妈妈获得75元购物券的概率是， 小刚妈妈获得30元购物券的概率是；     ②转盘被等分成18个扇形，其中能够获得购物券的有：红色扇形1个，黄色扇形2个，绿色扇形4个，共7个扇形， 小刚妈妈获得购物券的概率是； （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 则，     解得：， 若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将2个无色扇形涂成绿色． 23．（14分）（25-26九年级上·江苏泰州·期末）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 【答案】任务一：不要争着去抽签，因为谁先踢的概率相等．任务二： 【分析】本题考查了概率的应用，抽签的公平性；用列举法求事件的概率，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签； （2）设进球为1，未进为0，第四轮的甲、乙比分情况为：，，，，所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，， ，，再得出第五轮的比赛得分可能，共12种比分可能，按比赛的规则，乙有7种获胜的可能性，结合两种上述情况即可得到结果． 【详解】解：任务一、甲、乙两队不需要争着去抽签， 原因：点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签． 任务二：设进球为1，未进球为0，则第四轮进球情况用列表分析为： 乙 甲 0 1 1 0 所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，，，， 第五轮过后的比分情况用列表分析为： 第四轮过后甲乙的比分 第五轮甲乙比分 由表中比分情况，按比赛的规则可知，乙有7种获胜的可能性， 结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章 随机事件及其概率·拔尖卷 【新教材华东师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）中国古诗词意蕴悠长，从数学的观点看，下列诗句中描述的事件属于不可能事件的是（     ） A．李白《夜宿山寺》中“手可摘星辰” B．杜牧《清明》中“清明时节雨纷纷” C．王安石《登飞来峰》中“闻说鸡鸣见日升” D．杜甫《江南逢李龟年》中“落花时节又逢君” 2．（2026·山东临沂·一模）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块可能是（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（     ） A． B． C． D． 4．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 5．（26-27九年级下·全国·课后作业）小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 B．任意买一张电影票，座位号是的倍数 C．从一个装有个黑球和个白球的不透明袋子中任意摸出一个球（小球除颜色外，完全相同），摸到白球 D．从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃 6．（2026九年级上·全国·专题练习）甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（     ） A． B． C． D． 9．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子．若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的几率为（　 　） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）在一个不透明的袋子中装有若干个白球和10个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验．然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出白球的次数 55 618 3032 5957 30104 59995 摸出白球的频率 0.550 0.618 0.606 0.596 0.602 0.600 根据试验所得数据，估计白球有_______个． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）从三个写有数字“，，1”的相同硬纸片中随机抽取一张记为x，记下硬纸片上的数字，放回后洗匀，再抽取一张记为y，则点在二次函数的图象上的概率为______． 13．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 14．（24-25九年级上·广东江门·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏________．（填“公平”或“不公平”） 15．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________________________． 16．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）有三张正面分别标有数字，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为__________． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（26-27九年级上·全国·课后作业）下面是两位同学对抛掷硬币问题的不同说法，你同意吗？为什么？ (1)抛掷一枚质量分布均匀的硬币，是“出现正面”还是“出现反面”无法预测，全凭运气．因此，抛掷1000次的话也许只有200次“出现正面”，也许会有700次“出现正面”，没有什么规律． (2)抛掷一枚质量分布均匀的硬币，“出现正面”和“出现反面”的机会均等．因此，抛掷1000次的话，一定会有500次“出现正面”，500次“出现反面”． 18．（8分）（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）暑假期间，小东和爸爸妈妈准备前往云南旅游．云南景点众多，但由于时间有限，所以小东一家计划先乘机到昆明，再考虑从以下四个地点中选择两个前往：丽江、大理、红河、西双版纳．由于意见难以统一，小东爸爸在外观相同的4个小球表面写上“”，“”，“”，“”，分别代表丽江、大理、红河、西双版纳，并将小球装入不透明袋子里面，让小东从中同时抽取两个小球，用以决定前往旅游的地点． (1)判断：小东一家前往大理旅游与前往丽江旅游的概率________（填“相等”或“不相等”）； (2)丽江、大理在昆明以西，红河、西双版纳在昆明以南，求小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率． 19．（10分）（吉林长春净月高新技术产业开发区华岳学校等四校2026-2027学年上学期九年级数学学科第一次学情自测（五四制））为全面落实“五育并举”教育方针，学校开展了丰富多彩的课后服务活动，其中有“A．红色故事分享会”“B．校园绿植养护”“C．篮球友谊赛”三项活动，小长和小春分别从中随机选择一项活动参加（小长和小春选择每项活动的可能性相同，且他们互相之间选择不受影响）． (1)小长选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为 ； (2)请用列表法或画树状图法，求小长和小春选择的活动不同的概率． 20．（10分）（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示是一枚正四面体的骰子，其四个顶点上分别标注了数字1、2、3、4，骰子落地时朝上的顶点所标注的数字表示投掷骰子所得的点数．以下是投掷这枚骰子200次所得点数的记录（5个数据为一组）：    12314，13231，32211，34223，12123， 24143，23211，13141，32324，43314， 34442，34112，11424，21123，22244， 32342，14434，33433，22141，21441， 33311，21421，31221，32244，44344， 41434，14231，24231，11124，41342， 22431，23442，33414，13114，12312， 11322，41123，42324，31144，11131． (1)将数据整理后填入下表： 投掷次数 1 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 出现1点的频数 出现1点的频率 投掷次数 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 出现1点的频数 出现1点的频率 (2)根据表中所填数据绘制“出现1点的频率”随投掷次数变化趋势折线图．从中你发现了什么？ (3)仿照上面的方法对其他点数出现的频率进行观察，你又发现了什么？ (4)你能根据以上数据对某一点数出现的机会大小进行估计吗？ 21．（12分）（2026九年级·广东·专题练习）2026年，我国“双碳”目标推进取得阶段性成果，新能源汽车渗透率持续提升．某校为普及新能源汽车与低碳出行知识，举办了“新能源汽车与绿色未来”知识竞赛．现从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均高于60分，用x表示，共分四组：A、 ，B、 ，C、 ，D、），下面给出了部分信息： 七年级10名学生竞赛成绩是：62、72、74、80、81、82、82、90、91、96． 八年级10名学生竞赛成绩是：67、68、70、74、75、85、90、90、95、96． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81 81 中位数 80 众数 82 90 方差 90 117 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________． (2)结合上述信息和所学的数学知识，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由． (3)现要将八年级的甲、乙、丙、丁四位同学分成两组，每组两人一起合作进行比赛，并随机抽签决定分组．请用树状图或列表法来说明甲、乙两位同学分到同一组的概率． 22．（12分）（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 23．（14分）（25-26九年级上·江苏泰州·期末）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $