第24章 随机事件及其概率（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版九年级上册

第24章 随机事件及其概率（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．甘肃是中国简牍大省，河西走廊乃汉简之都，部分简牍上的文字用篆体书写．小宇参观甘肃简牍博物馆后，在四张材质、大小完全相同的卡片正面用篆体分别写上“”“”“”“”（我爱兰州），将这四张卡片背面朝上洗匀放好．小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“”一词的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设四张卡片分别为（我）、（爱）、（兰）、（州）， 画树状图如下： 从四张卡片中随机抽取两张，所有可能的结果共种，其中恰好能组成“兰州”的结果有种， 恰好能组成“兰州”一词的概率是． 2．1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（     ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 【答案】B 【分析】先计算各次试验“针与直线相交”的频率，确定出随着抛掷次数的增加，频率趋于稳定的值的大小，最后将这一数值乘以8000，即可求解． 【详解】解：各次试验“针与直线相交”的频率，依次为： ，，， ，， 随着抛掷次数增加，频率稳定在附近， 即投掷次时，频数约为， 该数值最接近． 3．篮球是陕西省中考体育统一考试（现场测试）中“项目四·球类技能”的选项之一、如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图知小强投篮命中的频率是，得到现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为． 【详解】解：由图知小强投篮命中的频率是， ∴现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为． 4．为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子最适当的位置是在的（     ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条垂直平分线的交点 D．三条高的交点 【答案】C 【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的性质进行分析即可作答． 【详解】解：要使游戏公平，需凳子到三个顶点的距离相等． ∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， ∴凳子应放在三边垂直平分线的交点处． 5．色光三原色（）是指红、绿、蓝三色．将这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色），现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正确地画出树状图，利用概率公式进行求解即可． 【详解】 由树状图可得，共有9种等可能的结果，其中可以呈现青色的结果有2种， ∴将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为． 6．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 2 0 3 2 由表可知，共有12种等可能的结果，其中点落在直角坐标系第二象限的有2种，所以点落在直角坐标系第二象限的概率是． 7．如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意列表列举所有等可能结果，再根据事件概率的计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： E F G H A B C D 共有16种等可能结果，其中两人恰好选中同一根绳子的等可能结果分别是，，，，共4种，所以两人恰好选中同一根绳子的概率是． 8．林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率（精确到） 下列说法正确的是（    ） A． 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B． 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C． 移植的幼树越多，成活率越高 D． 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 【答案】B 【详解】解：A、成活数不一定为90棵，频率具有随机性，说法错误，不符合题意； B、从统计数据看，当移植总数较大时（如1500、3500、7000、14000），成活频率分别为 ，均在左右摆动，显示出稳定性，可以用频率估计该幼树移植成活的概率为，说法正确，符合题意； C、随着移植的幼树总数的增加，成活率逐渐趋于并稳定于一个数值，说法错误，不符合题意； D、基于概率估计，移植270棵时成活数可能超过235棵（如 ），说法错误，不符合题意． 9．如图，电路图上有3个开关A，B，C和1个小灯泡．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（     ） A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．闭合3个开关 D．不闭合开关 【答案】B 【分析】观察电路发现，闭合或闭合或闭合三个，则小灯泡一定发光，从而可得答案． 【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路， 只闭合个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意； 只闭合个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意； 只闭合个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意； 不闭合开关，小灯泡发光是不可能事件，所以D不符合题意． 10．每年一到3月和4月，苏州不少马路边的树上就会落满黑色果子．行人走过，踩上去“噗噗噗”地在地上留下一个个小黑点，这是香樟树的果实．某汽车车顶面积为平方米，该车天窗尺寸是一矩形，长为，宽为，全部打开天窗后，汽车正好经过香樟树，果实此时正好掉落下来，通过天窗掉进车内的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先统一单位，求出该车天窗的面积，再利用概率等于天窗的面积与车顶面积的比，计算即可． 【详解】解： ，， 该车天窗的面积为， 汽车车顶面积为平方米， 通过天窗掉进车内的概率是． 11．现有编号为①、②、③、④的四种化学试剂，分别是：、、溶液、溶液，装在了4个不透明的化学试剂瓶中．某同学从这四种化学试剂中随机不放回地先后抽取两种，规定：若两种物质之间能发生化学反应，则称为“有效反应组合”，则该同学抽到有效反应组合的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列表求出所有等可能的抽取结果数，再求出有效反应组合的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表：   第一次 第二次 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即总共有12种不同组合，每种组合出现的可能性相同，能发生反应的组合为与、与、与，共6种有效反应组合。 根据概率公式可得： 因此抽到有效反应组合的概率为． 12．一个口袋里有除颜色外其他都相同的个红球和个白球，先从袋子里取出个白球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，则，可能的组合种类数为(   ) A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【分析】先根据概率公式列出等式，整理得到关于的不定方程，根据为非负整数、不超过原有白球数，找出所有符合条件的组合，计算组合数即可． 【详解】解：∵ 原有红球个，白球个，取出个白球，放入个红球后， 红球数量为 ，总球数量为 ， 由题意得 ， 整理得 ， ∵ ，，且(原有白球仅个)，均为整数， ∴ ，得 ，且 为偶数，故必为偶数， ∴ 的可取值为 ，对应均为非负整数，共种组合． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13.同图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是________． 【答案】 【分析】根据题意和图形可知，第一个图形转到红色，同时第二个图形转到蓝色或第一个图形转到蓝色，同时第二个图形转到红色，可配成紫色，画出树状图，从而可以求得可配成紫色的概率． 【详解】解：∵第一个转盘红色占， ∴第一个转盘可以分为1份红色，3份蓝色， ∵第二个转盘红色的圆心角为，占， ∴第二个转盘可以分为1份红色，2份蓝色， ∴画树状图为 由图可知，共有12种等可能的结果数，其中一个转出红色，另一个转出蓝色的占5种， ∴可配成紫色的概率是． 14．如图，小球从口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球最终从口落出的概率为______． 【答案】 【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点处都是等可能情况，从而得到在四个出口也都是等可能情况，然后直接利用概率公式即可得解． 【详解】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有四个，小球最终从点落出的情况只有种情况， 所以小球最终从口落出的概率为． 15．如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的概率为_______． 【答案】 【分析】首先确定空白小正方形的总个数，作为所有等可能结果的总数；然后根据正方体展开图的结构特征，找出能与阴影部分组成正方体展开图的空白小正方形的个数；最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：网格中共有个小正方形，阴影部分有个小正方形， 则空白小正方形共有个， 即共有种等可能的结果， 根据正方体展开图的特征， 若选择第一行第列的空白小正方形，与阴影部分组成“”型正方体展开图，符合题意； 若选择第二行第列的空白小正方形，与阴影部分组成“”型正方体展开图，符合题意； 若选择第一行第列、第二行第列、第三行第列的空白小正方形，均会出现“田”字型结构，不能组成正方体展开图； 若选择第一行第列、第三行第列的空白小正方形，图形不连通，不能组成正方体展开图； ∴能与阴影部分组成正方体展开图的空白小正方形有个， 则所求概率 16．如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉“钉尖向上”频率实验结果（注：），下面四个推断： ①钉尖向上与钉尖不向上各占一半，所以“钉尖向上”的概率是0.5； ②当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数一定是3090； ③随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620．其中关于随机投掷一枚图钉，图钉“钉尖向上”的说法正确的是________．（填序号） 【答案】③④ 【分析】根据频率估计概率，逐一进行判断即可. 【详解】解：由图象可知，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；故③正确，①错误； 当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数可能是；故②错误； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620；故④正确； 综上正确的是③④. 17．有4个球和写有1、2、3号的盒子，进行如下游戏：①从装有3张卡片（分别写着1、2、3）的盒子里随机抽取一张，记数字为k；②若，则在1号和3号盒子中各放入1个球；若，则在1号和2号盒子中各放入1个球；若，则在2号和3号盒子中各放入1个球；③将卡片放回，重复以上操作两次．则3号盒子恰好比2号盒子多1个球的概率为_________． 【答案】 【分析】先确定两次操作的所有等可能基本事件总数，再根据题意推导3号盒子恰好比2号盒子多1个球的条件，求出符合条件的基本事件个数，最后利用古典概型概率公式计算概率． 【详解】解：由题意，每次抽取卡片有种等可能结果，重复操作两次， 1 2 3 1 2 3 ∴共有种等可能的结果， 对单次操作，设抽取数字为时，2号盒子球的增量为，3号盒子球的增量为， 当时，，；当时，，；当时，，. ∵两次操作后，3号盒子恰好比2号盒子多个球，即满足. ∴设两次抽取中，抽的次数为，抽的次数为，抽的次数为， ∴，且：，， 代入条件得：. 联立方程， 其中为非负整数， ∴，，， 即符合条件的事件结果为和， ∴所求概率为． 18．如图，矩形的长为，宽为，将长为的线段的两端放在矩形的相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点停止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点停止．点是矩形内的任意一点，把点落在线段的中点所经过的路线围成的图形区域内的概率记为，则_____． 【答案】 【分析】中点M的运动经过的中点，上两段线段，以矩形的四个顶点为圆心的4段弧．两个点和两条线段没有面积，4条弧围成的扇形有面积．线段与矩形的四个直角围成的直角三角形里，点M到直角顶点的距离恒为长度的一半，据此求出扇形面积，即可计算M的运动路线围成的区域的面积，再计算矩形的面积，根据几何概型的概率公式，用区域面积除以矩形面积得到概率P． 【详解】如图，矩形的长为，宽为，将长为的线段的两端放在矩形的边上滑动，点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点停止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点停止．线段的中点为M． 当线段在边上时，M在的中点G； 当线段在和上滑动时， ∵， ∴， ∴点M运动的路线是； 当线段在边上滑动时，点M运动的路线是线段； 当线段在和上滑动时， ∵， ∴， ∴点M运动的路线是； 当线段在边上时，M在的中点J； 当线段在和上滑动时， ∵， ∴， ∴点M运动的路线是； 当线段在边上滑动时，点M运动的路线是线段； 当线段在和上滑动时， ∵， ∴， ∴点M运动的路线是； ∴点M运动的路线围成的图形的面积为, ∴点落在点所经过的路线围成的图形区域内的概率为． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）小明在阅读了《少年中国说》后，制作了如图所示的三张卡片（这三张卡片分别用字母表示．正面文字依次是少、年、强，这三张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将三张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片．请用列表法或树状图法．求两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的概率． 【答案】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的结果数有种， ∴两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的概率是． 20．（6分）在一个布袋里装着白、红、黑三种颜色的小球，它们除了颜色以外没有任何其他区别，其中有白球个、红球个、黑球个．袋中的球已经被搅匀． (1)闭上眼睛随机地从袋中取出个球，分别求取出的球是白球、红球、黑球的概率； (2)若取出的第个球是红球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再随机地取出个球，这时，取出白球、红球、黑球的概率分别是多少？ (3)若取出的第个球是黑球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再随机地取出个球，这时，取出白球、红球、黑球的概率又分别是多少？ 【答案】(1)取出白球的概率为，取出红球的概率为，取出黑球的概率为 (2)取出白球的概率为，取出红球的概率为，取出黑球的概率为 (3)取出白球的概率为，取出红球的概率为，取出黑球的概率为 【分析】（1）根据简单随机事件的概率计算公式，先计算出球的总数，再分别计算取出每一种球的概率即可． （2）根据取出个球，还剩个球，按照（1）中计算步骤重新计算即可． （3）同（2）中计算步骤计算即可． 【详解】（1）解：∵口袋中共有只球， ∴从中随机地抽取一只球共有种等可能的结果，其中可能出现白球、红球、黑球的结果分别有种、种和种， ∴取出的球是白球的概率为，取出的球是红球的概率为，取出的球是黑球的概率为， ∴取出白球的概率为，取出红球的概率为，取出黑球的概率为； （2）解：∵若取出只红球后，再从袋中余下的球中随机地取出只球，共有种等可能的结果，其中白球、红球、黑球可能出现的结果分别是种、种和种， ∴取出的球是白球的概率为，取出的球是红球的概率为，取出的球是黑球的概率为， ∴取出白球的概率为，取出红球的概率为，取出黑球的概率为； （3）解：∵若取出只黑球后，再从余下的球中随机地取出只球，共有种等可能的结果，其中白球、红球、黑球可能出现的结果分别是种、种和种， ∴取出的球是白球的概率为，取出的球是红球的概率为，取出的球是黑球的概率为， ∴取出白球的概率为，取出红球的概率为，取出黑球的概率为． 21．（8分）用力旋转如图所示的转盘甲和转盘乙的指针，试用理论分析和重复试验这两种方法，求两个指针都停在白色区域的概率．建议动手解题之前，先预估一下答案，解答完毕后再回顾一下，逐渐提升你预估的准确程度． 【答案】理论分析：概率为， 重复试验：动手操作，用频率估计该事件的概率为． 【分析】进行重复试验时，次数越多，结果越稳定，所以进行重复试验时，次数尽可能地多． 【详解】解：理论分析：转盘甲共有3种等可能的结果，指针停在白色区域的概率为； 转盘乙共有2种等可能的结果，指针停在白色区域的概率为； 两个指针都停在白色区域的所有等可能结果有6种，符合要求的结果只有1种，概率为； 重复试验：同时转动两个转盘，重复进行次试验，记录两个指针都停在白色区域的次数为次，频率稳定在附近，估计该事件的概率为． 22．（8分）河南省地处中原，风景秀丽，有很多自然景观和人文景观．某校为普及河南本土文化，制作了除图片外一模一样的两组卡片：甲组卡片共三张，代表自然景观，分别是嵩山（A）、白云山（B）、云台山（C）；乙组卡片共两张，代表人文景观，分别是清明上河园（D）、红旗渠（E）． (1)若从两组卡片中随机抽取1张，抽到自然景观的概率是多少？ (2)从甲、乙两组卡片中分别随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求取出的两张卡片恰好为嵩山和红旗渠的概率． 【答案】(1) 抽到自然景观的概率为； (2) 取出的两张卡片恰好为嵩山和红旗渠的概率为． 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）先列出表格，得到所有等可能的结果有6种，其中恰好为嵩山和红旗渠的结果有1种，进而即可求解． 【详解】（1）解：（张）， ； （2）解：列表格如下：            D            E       A       B       C 所有等可能的结果有6种，其中恰好为嵩山和红旗渠的结果有1种， ∴． 23．（10分）在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． 【答案】这个游戏规则对甲乙双方不公平． 理由如下： 树状图如下： 一共有16种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为4的结果数有3种， 其中两球上的数字之和为5的结果数有4种， ∴，， ∵ ， ∴ 该游戏规则对甲乙双方不公平． 【详解】略 24．（10分）宁波轨道交通号线已开工建设，计划年通车试运营．为了了解镇民对号线地铁票的定价意向，某镇某校数学兴趣小组开展了“你认为宁波号线地铁起步价定为多少合适”的问卷调查，并将调查结果整理后制成了如下统计图，根据图中所给出的信息解答下列问题： (1)本次调查中该兴趣小组随机调查的人数为________； (2)请你把条形统计图补充完整； (3)现从支持“起步价为元”的居民中选出一男一女，支持“起步价为元”的居民中选出一男两女，然后从选出的两组居民中各选一名随机咨询，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位居民恰为“一男一女”的概率． (4)假设该镇有万人，请估计该镇支持“起步价为元”的居民大约有多少人？ 【答案】(1) (2) (3) (4)估计该镇支持“起步价为3元”的居民大约有人 【分析】（1）根据元在扇形统计图中的圆心角和人数计算即可； （2）根据（1）中的答案和统计图中的数据可以求得条形统计图中的未知数据，从而可以将条形统计图补种完整； （3）画树状图，得到共有种等可能的结果，其中两位居民恰为“一男一女”的情况有种，根据概率公式计算即可； （4）根据前面求得的数据可以估计该镇支持“起步价为元”的居民人数． 【详解】（1）解：本次调查中该兴趣小组随机调查的人数为（人）； （2）解：支持“起步价为2元”居民人数为（人）， 支持“起步价为3元”居民人数为（人）， 补全条形统计图略 （3）解：根据题意画树状图如下， 由树状图得共有种等可能的结果，其中两位居民恰为“一男一女”的情况有种， 所选的两位居民恰为“一男一女”的概率为； （4）解：（人）； 答：估计该镇支持“起步价为3元”的居民大约有人． 25．（12分）如图，反比例函数的图象经过点． (1)求t的值． (2)若直线l：也经过点P，求直线l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l． (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取2个不同的格点（横、纵坐标都是整数的点），求这2个格点都在反比例函数图象上的概率． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）把代入反比例函数解析式即可求出答案； （2）求出．得到．令，得．即可得到直线l与y轴交点的坐标为．再画出一次函数的图象即可； （3）求出直线l与两坐标轴围成的三角形内部（不包括边界）的格点共有3个，分别记为点，，，其中点，在反比例函数图象上．再利用列表法求出概率即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入， 得． （2）由（1），得， ∴点P的坐标为． 将代入， 得， 解得． ∴． 令，得． ∴直线l与y轴交点的坐标为． 图见解析 （3）根据题意，直线l与两坐标轴围成的三角形内部（不包括边界）的格点共有3个，分别记为点，，，其中点，在反比例函数图象上． 根据题意，列表如下： A B C A - B - C - 由表，可知共有6种等可能的结果，其中2个格点都在反比例函数图象上的结果有2种， ∴这2个格点都在反比例函数图象上的概率． 26．（12分）为了解2025年前三季度“长三角”41市经济运行情况，兴趣小组通过网络查询得知，经济增速最高为，最低为．他们将经济增速按照查询的结果进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．2025年前三季度“长三角”各市经济增速分布表： 分类 城市数量 增长率（精确到） A 7 B 14 C 11 D 9 b．B组具体数据如下表： 城市 南京 常州 嘉兴 六安 泰州 安庆 滁州 杭州 南通 扬州 蚌埠 池州 苏州 上海 增速 c．2025年前三季度，全国经济平均增速为． (1)本次调查中，经济增速的中位数落在___________组（填“A”“B”“C”或“D”）． (2)从表中数据可知，长三角41市中，前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为___________（精确到）； (3)现从B组增长率为的四个城市中，任选两个进行调查研究，通过画树状图或列表法求选中的两个城市是南京和六安的概率． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）得出前三季度经济增速超过全国平均水平的城市数，除以被调查的城市数可得结论； （3）分别用A、B、C、D表示南京、常州、嘉兴和六安，画出树状图，得出所有等可能的结果数，和选中的两个城市是南京和六安的结果数，再用概率公式计算出概率即可． 【详解】（1）解：把41个数据按从小到大的顺序排列，最中间的是第21个数据， 而A类与B类数量和， 所以，在本次调查中，经济增速的中位数落在B组； （2）解：前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为：； （3）解：分别用A、B、C、D表示南京、常州、嘉兴和六安，画树状图如下： 由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中选中的两个城市是南京和六安的结果数有2种， 所以，选中的两个城市是南京和六安的概率为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章 随机事件及其概率（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B B C D C C B B C A C 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13． 14． 15． 16．③④ 17． 18．18． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．【答案】 【解析】解：画树状图为： 由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的结果数有种， ∴两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的概率是． 20．【答案】(1)取出白球的概率为，取出红球的概率为，取出黑球的概率为 (2)取出白球的概率为，取出红球的概率为，取出黑球的概率为 (3)取出白球的概率为，取出红球的概率为，取出黑球的概率为 【解析】（1）解：∵口袋中共有只球， ∴从中随机地抽取一只球共有种等可能的结果，其中可能出现白球、红球、黑球的结果分别有种、种和种， ∴取出的球是白球的概率为，取出的球是红球的概率为，取出的球是黑球的概率为， ∴取出白球的概率为，取出红球的概率为，取出黑球的概率为； （2）解：∵若取出只红球后，再从袋中余下的球中随机地取出只球，共有种等可能的结果，其中白球、红球、黑球可能出现的结果分别是种、种和种， ∴取出的球是白球的概率为，取出的球是红球的概率为，取出的球是黑球的概率为， ∴取出白球的概率为，取出红球的概率为，取出黑球的概率为； （3）解：∵若取出只黑球后，再从余下的球中随机地取出只球，共有种等可能的结果，其中白球、红球、黑球可能出现的结果分别是种、种和种， ∴取出的球是白球的概率为，取出的球是红球的概率为，取出的球是黑球的概率为， ∴取出白球的概率为，取出红球的概率为，取出黑球的概率为． 21．【答案】理论分析：概率为， 重复试验：动手操作，用频率估计该事件的概率为． 【解析】解：理论分析：转盘甲共有3种等可能的结果，指针停在白色区域的概率为； 转盘乙共有2种等可能的结果，指针停在白色区域的概率为； 两个指针都停在白色区域的所有等可能结果有6种，符合要求的结果只有1种，概率为； 重复试验：同时转动两个转盘，重复进行次试验，记录两个指针都停在白色区域的次数为次，频率稳定在附近，估计该事件的概率为． 22．【答案】(1) 抽到自然景观的概率为； (2) 取出的两张卡片恰好为嵩山和红旗渠的概率为． （2）先列出表格，得到所有等可能的结果有6种，其中恰好为嵩山和红旗渠的结果有1种，进而即可求解． 【解析】（1）解：（张）， ； （2）解：列表格如下：            D            E       A       B       C 所有等可能的结果有6种，其中恰好为嵩山和红旗渠的结果有1种， ∴． 23．【答案】详见解析 【解析】这个游戏规则对甲乙双方不公平． 理由如下： 树状图如下： 一共有16种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为4的结果数有3种， 其中两球上的数字之和为5的结果数有4种， ∴，， ∵ ， ∴ 该游戏规则对甲乙双方不公平． 24．【答案】(1) (2) (3) (4)估计该镇支持“起步价为3元”的居民大约有人 【解析】（1）解：本次调查中该兴趣小组随机调查的人数为（人）； （2）解：支持“起步价为2元”居民人数为（人）， 支持“起步价为3元”居民人数为（人）， 补全条形统计图 （3）解：根据题意画树状图如下， 由树状图得共有种等可能的结果，其中两位居民恰为“一男一女”的情况有种， 所选的两位居民恰为“一男一女”的概率为； （4）解：（人）； 答：估计该镇支持“起步价为3元”的居民大约有人． 25．【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）把代入反比例函数解析式即可求出答案； （2）求出．得到．令，得．即可得到直线l与y轴交点的坐标为．再画出一次函数的图象即可； （3）求出直线l与两坐标轴围成的三角形内部（不包括边界）的格点共有3个，分别记为点，，，其中点，在反比例函数图象上．再利用列表法求出概率即可． 【解析】（1）解：由题意，将代入， 得． （2）由（1），得， ∴点P的坐标为． 将代入， 得， 解得． ∴． 令，得． ∴直线l与y轴交点的坐标为． 图见解析 （3）根据题意，直线l与两坐标轴围成的三角形内部（不包括边界）的格点共有3个，分别记为点，，，其中点，在反比例函数图象上． 根据题意，列表如下： A B C A - B - C - 由表，可知共有6种等可能的结果，其中2个格点都在反比例函数图象上的结果有2种， ∴这2个格点都在反比例函数图象上的概率． 26．【答案】(1)B (2) (3) 【解析】（1）解：把41个数据按从小到大的顺序排列，最中间的是第21个数据， 而A类与B类数量和， 所以，在本次调查中，经济增速的中位数落在B组； （2）解：前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为：； （3）解：分别用A、B、C、D表示南京、常州、嘉兴和六安，画树状图如下： 由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中选中的两个城市是南京和六安的结果数有2种， 所以，选中的两个城市是南京和六安的概率为． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章 随机事件及其概率（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．甘肃是中国简牍大省，河西走廊乃汉简之都，部分简牍上的文字用篆体书写．小宇参观甘肃简牍博物馆后，在四张材质、大小完全相同的卡片正面用篆体分别写上“”“”“”“”（我爱兰州），将这四张卡片背面朝上洗匀放好．小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“”一词的概率是（     ） A． B． C． D． 2．1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（     ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 3．篮球是陕西省中考体育统一考试（现场测试）中“项目四·球类技能”的选项之一、如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率为（     ） A． B． C． D． 4．为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子最适当的位置是在的（     ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条垂直平分线的交点 D．三条高的交点 5．色光三原色（）是指红、绿、蓝三色．将这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色），现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为（     ） A． B． C． D． 6．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（     ） A． B． C． D． 7．如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（     ） A． B． C． D． 8．林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率（精确到） 下列说法正确的是（    ） A． 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B． 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C． 移植的幼树越多，成活率越高 D． 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 9．如图，电路图上有3个开关A，B，C和1个小灯泡．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（     ） A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．闭合3个开关 D．不闭合开关 10．每年一到3月和4月，苏州不少马路边的树上就会落满黑色果子．行人走过，踩上去“噗噗噗”地在地上留下一个个小黑点，这是香樟树的果实．某汽车车顶面积为平方米，该车天窗尺寸是一矩形，长为，宽为，全部打开天窗后，汽车正好经过香樟树，果实此时正好掉落下来，通过天窗掉进车内的概率是（     ） A． B． C． D． 11．现有编号为①、②、③、④的四种化学试剂，分别是：、、溶液、溶液，装在了4个不透明的化学试剂瓶中．某同学从这四种化学试剂中随机不放回地先后抽取两种，规定：若两种物质之间能发生化学反应，则称为“有效反应组合”，则该同学抽到有效反应组合的概率是（   ） A． B． C． D． 12．一个口袋里有除颜色外其他都相同的个红球和个白球，先从袋子里取出个白球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，则，可能的组合种类数为(   ) A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13.同图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是________． 14．如图，小球从口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球最终从口落出的概率为______． 15．如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的概率为_______． 16．如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉“钉尖向上”频率实验结果（注：），下面四个推断： ①钉尖向上与钉尖不向上各占一半，所以“钉尖向上”的概率是0.5； ②当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数一定是3090； ③随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620．其中关于随机投掷一枚图钉，图钉“钉尖向上”的说法正确的是________．（填序号） 17．有4个球和写有1、2、3号的盒子，进行如下游戏：①从装有3张卡片（分别写着1、2、3）的盒子里随机抽取一张，记数字为k；②若，则在1号和3号盒子中各放入1个球；若，则在1号和2号盒子中各放入1个球；若，则在2号和3号盒子中各放入1个球；③将卡片放回，重复以上操作两次．则3号盒子恰好比2号盒子多1个球的概率为_________． 18．如图，矩形的长为，宽为，将长为的线段的两端放在矩形的相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点停止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点停止．点是矩形内的任意一点，把点落在线段的中点所经过的路线围成的图形区域内的概率记为，则_____． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）小明在阅读了《少年中国说》后，制作了如图所示的三张卡片（这三张卡片分别用字母表示．正面文字依次是少、年、强，这三张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将三张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片．请用列表法或树状图法．求两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的概率． 20．（6分）在一个布袋里装着白、红、黑三种颜色的小球，它们除了颜色以外没有任何其他区别，其中有白球个、红球个、黑球个．袋中的球已经被搅匀． (1)闭上眼睛随机地从袋中取出个球，分别求取出的球是白球、红球、黑球的概率； (2)若取出的第个球是红球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再随机地取出个球，这时，取出白球、红球、黑球的概率分别是多少？ (3)若取出的第个球是黑球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再随机地取出个球，这时，取出白球、红球、黑球的概率又分别是多少？ 21．（8分）用力旋转如图所示的转盘甲和转盘乙的指针，试用理论分析和重复试验这两种方法，求两个指针都停在白色区域的概率．建议动手解题之前，先预估一下答案，解答完毕后再回顾一下，逐渐提升你预估的准确程度． 22．（8分）河南省地处中原，风景秀丽，有很多自然景观和人文景观．某校为普及河南本土文化，制作了除图片外一模一样的两组卡片：甲组卡片共三张，代表自然景观，分别是嵩山（A）、白云山（B）、云台山（C）；乙组卡片共两张，代表人文景观，分别是清明上河园（D）、红旗渠（E）． (1)若从两组卡片中随机抽取1张，抽到自然景观的概率是多少？ (2)从甲、乙两组卡片中分别随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求取出的两张卡片恰好为嵩山和红旗渠的概率． 23．（10分）在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． 24．（10分）宁波轨道交通号线已开工建设，计划年通车试运营．为了了解镇民对号线地铁票的定价意向，某镇某校数学兴趣小组开展了“你认为宁波号线地铁起步价定为多少合适”的问卷调查，并将调查结果整理后制成了如下统计图，根据图中所给出的信息解答下列问题： (1)本次调查中该兴趣小组随机调查的人数为________； (2)请你把条形统计图补充完整； (3)现从支持“起步价为元”的居民中选出一男一女，支持“起步价为元”的居民中选出一男两女，然后从选出的两组居民中各选一名随机咨询，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位居民恰为“一男一女”的概率． (4)假设该镇有万人，请估计该镇支持“起步价为元”的居民大约有多少人？ 25．（12分）如图，反比例函数的图象经过点． (1)求t的值． (2)若直线l：也经过点P，求直线l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l． (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取2个不同的格点（横、纵坐标都是整数的点），求这2个格点都在反比例函数图象上的概率． 26．（12分）为了解2025年前三季度“长三角”41市经济运行情况，兴趣小组通过网络查询得知，经济增速最高为，最低为．他们将经济增速按照查询的结果进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．2025年前三季度“长三角”各市经济增速分布表： 分类 城市数量 增长率（精确到） A 7 B 14 C 11 D 9 b．B组具体数据如下表： 城市 南京 常州 嘉兴 六安 泰州 安庆 滁州 杭州 南通 扬州 蚌埠 池州 苏州 上海 增速 c．2025年前三季度，全国经济平均增速为． (1)本次调查中，经济增速的中位数落在___________组（填“A”“B”“C”或“D”）． (2)从表中数据可知，长三角41市中，前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为___________（精确到）； (3)现从B组增长率为的四个城市中，任选两个进行调查研究，通过画树状图或列表法求选中的两个城市是南京和六安的概率． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $