第5章 等可能条件下的概率（举一反三单元测试·拔尖卷）数学新教材苏科版九年级上册

第5章 等可能条件下的概率·拔尖卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026九年级上·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁四位同学参加校乒乓球单打比赛，通过抽签来确定对手，甲、乙两位同学恰好抽到同一组对打的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可从甲的对手的所有等可能情况入手分析，避免重复计数分组结果，简化计算． 【详解】解：甲的对手有乙、丙、丁共3种等可能的结果，其中甲与乙同组的结果有1种，故甲、乙恰好同组对打的概率为． 2．（2026·山东临沂·一模）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据概率公式分别求出数字1，2，3的面数，再结合选项判断，概率公式：某数字的面数=总面数该数字出现的概率． 【详解】解：正方体共有6个面， 数字1的面数：； 数字2的面数：； 数字3的面数：， 即木块上有2个面标1，3个面标2，1个面标3，只有D选项符合． 3．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用能获得购物券的区域数除以区域总数即可得到答案． 【详解】解：， 故她获得购物券的概率是． 4．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 5．（2025·湖北随州·模拟预测）取一根长为米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于米的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不少于1米，从而找出中间1m处的两个界点，即可得出答案． 【详解】解：记“剪得两段的长都不少于1米”为事件A， 则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不少于1米， ∴事件A发生的概率为P（A）=； 故选：A． 【点睛】本题考查了概率公式；找出中间1m处的两个界点是解题的关键． 6．（2026九年级上·全国·专题练习）甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用树状图求概率，解题关键是正确画出树状图，熟练运用概率公式进行计算．用树状图列出所有可能，再用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如图： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中个小球上恰好有个元音字母的结果有种， 则个小球上恰好有个元音字母的概率是． 7．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每块小方砖的边长为1，先求出整个地砖的面积、黑色方砖的面积，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：设每块小方砖的边长为1， 由图可知，整个地砖的面积为，黑色方砖的面积为， 所以最终停在黑色方砖上的概率为． 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意列表列举所有等可能结果，再根据事件概率的计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： E F G H A B C D 共有16种等可能结果，其中两人恰好选中同一根绳子的等可能结果分别是，，，，共4种，所以两人恰好选中同一根绳子的概率是． 9．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子．若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的几率为（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设三条绳子分别用A，B，C表示，画树状图如下： 由树状图可得，共有种等可能的结果，其中两人选到同一条绳子的结果有种， ∴两人选到同一条绳子的概率为． 10．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了树状图或者列表法求概率．要使棋子回到点A处，前两次掷得的点数之和必须为4，8或12．因此，所求事件中可能出现的结果数应该等于两次掷得的点数之和为4的结果数+两次掷得的点数之和为8的结果数+两次掷得的点数之和为12的结果数． 【详解】解：随机地掷一枚质地均匀的骰子两次，所有可能出现的结果如下：       第二次 第一次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 总共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4，8或12． 两次掷得的点数之和4的结果有3种：，，； 两次掷得的点数之和为8的结果有5种：，，，，； 两次掷得的点数之和为12的结果有1种：， 所以，使棋子回到点A处的可能结果总共有（种）． 因此，棋子回到点A处的概率为． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并分别标上，2和，，8这5个数字，同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上时重转），转动停止后，两个指针指向的数字之和为正数的概率是___________． 【答案】 【分析】先根据题意画出树状图，再根据概率的计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能性结果，其中两个指针指向的数字之和为正数的等可能结果共有2种，所以两个指针指向的数字之和为正数的概率是． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）从三个写有数字“，，1”的相同硬纸片中随机抽取一张记为x，记下硬纸片上的数字，放回后洗匀，再抽取一张记为y，则点在二次函数的图象上的概率为______． 【答案】 【分析】先计算所有等可能的结果总数，再逐个验证点是否在二次函数图象上，统计符合条件的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：点用列表表示如下： 由表格可知，所有等可能的结果总数为9． 分别代入不同的计算二次函数对应的值， 当时，，可选值中没有，不符合要求； 当时，，可选值中有，点符合要求； 当时，，可选值中有，点符合要求， ∴符合条件的点共有个， ∴所求概率为． 13．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 【答案】② 【分析】获胜概率大即为方案发生的概率大，因此需要分别计算三种方案发生的概率，这10个数字中有5个奇数，3的倍数为3，6，9，不小于5的数为5，6，7，8，9，10，据此计算概率即可． 【详解】解：分别计算三种方案发生的概率： ①奇数的概率为； ②3，6，9是3的倍数，故不是3的倍数的概率为， ③大于等于5的数共有6个，故不小于5的概率为， ， 获胜概率最大的方案为方案②． 14．（24-25九年级上·广东江门·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查利用概率判断游戏公平性，熟练掌握列举法求概率是解题的关键，利用列表法表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可． 【详解】解：由题可列表如下： 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 由表知，共有9种等可能结结果，其中和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 15．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________________________． 【答案】 【分析】利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： 共有6种等可能结果，其中符合条件的有4种， ∴能让灯泡发光的概率为． 16．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）有三张正面分别标有数字，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为__________． 【答案】 【分析】首先根据题意可求得，所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的坐标，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 解不等式①得． a、b取值： 1 2 1 2 共6种情况： ，时，解不等式②得，非负整数解只有0个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有0个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有5个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有2个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有5个． ，时，解不等式②得，负整数解只有4个． 综上所述，关于x的不等式组的解集中有且只2个非负整数的概率为． 故答案为： 【点睛】此题考查了概率公式的应用与不等式组的解法，注意概率=所求情况数与总情况数之比，求出符合要求的点是解题关键. 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（2026·云南楚雄·二模）学校围绕滇池绿道生态文化主题开展综合实践活动，七年级组准备从环草海段、海晏村两个地点中，随机选择一个地点开展实践活动，且每个地点被选到的可能性相等；八年级组准备从环草海段、海晏村、宝丰湿地、海埂大坝四个地点中，随机选择一个地点开展实践活动，且每个地点被选到的可能性相等．记选择“环草海段”为A，选择“海晏村”为B，选择“宝丰湿地”为C，选择“海埂大坝”为D，七年级组的选择为x，八年级组的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果数． (2)求该校七年级组，八年级组选择的地点互不相同的概率． 【答案】(1)8种 (2) 【分析】（1）根据列表法列出所有情况即可； （2）根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： A B C D A B 由上表可知，所有可能出现的结果数为8种． （2）解：由（1）可知，所有等可能出现的结果数为8种，七年级组、八年级组选择的地点互不相同的情况有6种． ∴该校七年级组、八年级组选择的地点互不相同的概率． 18．（8分）（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）暑假期间，小东和爸爸妈妈准备前往云南旅游．云南景点众多，但由于时间有限，所以小东一家计划先乘机到昆明，再考虑从以下四个地点中选择两个前往：丽江、大理、红河、西双版纳．由于意见难以统一，小东爸爸在外观相同的4个小球表面写上“”，“”，“”，“”，分别代表丽江、大理、红河、西双版纳，并将小球装入不透明袋子里面，让小东从中同时抽取两个小球，用以决定前往旅游的地点． (1)判断：小东一家前往大理旅游与前往丽江旅游的概率________（填“相等”或“不相等”）； (2)丽江、大理在昆明以西，红河、西双版纳在昆明以南，求小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率． 【答案】(1)相等 (2) 【分析】本题考查概率定义，列表法求概率等． （1）根据题意利用等可能性可得答案； （2）先根据题意列表列出可能出现的情况，再找出符合题意得情况，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：根据题意可知：小东一家前往大理旅游与前往丽江旅游的概率相等， 故答案为：相等； （2）解：列表如下： 第二个第一个 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的结果有4种，即，，，， 所以小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率． 答：小东一家人前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率为． 19．（10分）（吉林长春净月高新技术产业开发区华岳学校等四校2026-2027学年上学期九年级数学学科第一次学情自测（五四制））为全面落实“五育并举”教育方针，学校开展了丰富多彩的课后服务活动，其中有“A．红色故事分享会”“B．校园绿植养护”“C．篮球友谊赛”三项活动，小长和小春分别从中随机选择一项活动参加（小长和小春选择每项活动的可能性相同，且他们互相之间选择不受影响）． (1)小长选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为 ； (2)请用列表法或画树状图法，求小长和小春选择的活动不同的概率． 【答案】(1) (2)列表如下： 小春小长 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得出所有等可能的结果，再得出小长和小春选择的活动不同的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有3个活动，且小长选择每项活动的可能性相同， ∴小长选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为； （2）解：由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中小长和小春选择的活动不同的结果有6种， ∴小长和小春选择的活动不同的概率． 20．（10分）（25-26九年级上·江西南昌·期末）3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3位同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励．甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小．”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙小，但要比甲大．”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的．” (1)哪位同学说的对？请说明理由； (2)把“甲、乙、丙3位同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3位同学重复该试验2700次，估算甲抽到黑桃大约多少次？ 【答案】(1)丙说的对 (2)900 【分析】本题考查的是树状图法求概率的知识，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙、丙三人抽中的情况，然后利用概率公式求得他们抽中的概率，即可得出结论； （2）根据甲抽到黑桃的次数试验总次数甲抽到黑桃的概率，即可得出答案 【详解】（1）解：丙说的对，理由如下： 设3张扑克牌为A、B、C，A为黑桃， 画树状图得： 则所有可能出现的结果有：，，，，，共6种． 甲得到奖励的结果有2种，P（甲中签）； 乙得到奖励的结果有2种，P（乙中签）； 丙得到奖励的结果有2种，P（丙中签）． 因此先抽的人与后抽的人得到奖励的概率相同； （2）解：根据题意得（次）， 答：估算甲抽到黑桃大约900次． 21．（12分）（2026九年级·广东·专题练习）2026年，我国“双碳”目标推进取得阶段性成果，新能源汽车渗透率持续提升．某校为普及新能源汽车与低碳出行知识，举办了“新能源汽车与绿色未来”知识竞赛．现从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均高于60分，用x表示，共分四组：A、 ，B、 ，C、 ，D、），下面给出了部分信息： 七年级10名学生竞赛成绩是：62、72、74、80、81、82、82、90、91、96． 八年级10名学生竞赛成绩是：67、68、70、74、75、85、90、90、95、96． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81 81 中位数 80 众数 82 90 方差 90 117 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________． (2)结合上述信息和所学的数学知识，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由． (3)现要将八年级的甲、乙、丙、丁四位同学分成两组，每组两人一起合作进行比赛，并随机抽签决定分组．请用树状图或列表法来说明甲、乙两位同学分到同一组的概率． 【答案】(1)，； (2)七年级更好；理由：七年级和八年级平均数都是81分，但七年级的竞赛成绩的中位数比八年级高，且七年级的方差小于八年级的方差，则七年级的竞赛成绩稳定性高于八年级竞赛成绩的稳定性． (3) 【分析】（1）根据中位数的定义求出a的值，得出位于七年级A组的人数，用A组的人数除以总人数即可求出m的值． （2）利用中位数和方差作决策即可． （3）列出表格求解即可． 【详解】（1）解：七年级10名学生竞赛成绩从小到大排列为：62、72、74、80、81、82、82、90、91、96． ∴中位数为， 在A组之间的人数有3人， ∴， ∴； （2）略 （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ∴共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学分到同一组有2种结果，丙、丁两位同学分到一组时甲、乙也在一组的情况有2种结果， ∴甲、乙两位同学分到同一组的概率为：． 22．（12分）（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1)①获得150元、75元、30元的购物券的概率是：，，；②获得购物券的概率是 (2)还需要将2个无色扇形涂成绿色 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；     （2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：①转盘被等分成18个扇形，其中红色扇形有1个，黄色扇形有2个，绿色扇形有4个， 指针对准红、黄、绿色区域，顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券， 小刚妈妈获得150元购物券的概率是， 小刚妈妈获得75元购物券的概率是， 小刚妈妈获得30元购物券的概率是；     ②转盘被等分成18个扇形，其中能够获得购物券的有：红色扇形1个，黄色扇形2个，绿色扇形4个，共7个扇形， 小刚妈妈获得购物券的概率是； （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 则，     解得：， 若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将2个无色扇形涂成绿色． 23．（14分）（25-26九年级上·江苏泰州·期末）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 【答案】任务一：不要争着去抽签，因为谁先踢的概率相等．任务二： 【分析】本题考查了概率的应用，抽签的公平性；用列举法求事件的概率，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签； （2）设进球为1，未进为0，第四轮的甲、乙比分情况为：，，，，所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，， ，，再得出第五轮的比赛得分可能，共12种比分可能，按比赛的规则，乙有7种获胜的可能性，结合两种上述情况即可得到结果． 【详解】解：任务一、甲、乙两队不需要争着去抽签， 原因：点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签． 任务二：设进球为1，未进球为0，则第四轮进球情况用列表分析为： 乙 甲 0 1 1 0 所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，，，， 第五轮过后的比分情况用列表分析为： 第四轮过后甲乙的比分 第五轮甲乙比分 由表中比分情况，按比赛的规则可知，乙有7种获胜的可能性， 结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 等可能条件下的概率·拔尖卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026九年级上·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁四位同学参加校乒乓球单打比赛，通过抽签来确定对手，甲、乙两位同学恰好抽到同一组对打的概率是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东临沂·一模）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块可能是（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（     ） A． B． C． D． 4．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 5．（2025·湖北随州·模拟预测）取一根长为米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于米的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（2026九年级上·全国·专题练习）甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（     ） A． B． C． D． 9．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子．若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的几率为（　 　） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并分别标上，2和，，8这5个数字，同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上时重转），转动停止后，两个指针指向的数字之和为正数的概率是___________． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）从三个写有数字“，，1”的相同硬纸片中随机抽取一张记为x，记下硬纸片上的数字，放回后洗匀，再抽取一张记为y，则点在二次函数的图象上的概率为______． 13．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 14．（24-25九年级上·广东江门·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏________．（填“公平”或“不公平”） 15．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________________________． 16．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）有三张正面分别标有数字，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为__________． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（2026·云南楚雄·二模）学校围绕滇池绿道生态文化主题开展综合实践活动，七年级组准备从环草海段、海晏村两个地点中，随机选择一个地点开展实践活动，且每个地点被选到的可能性相等；八年级组准备从环草海段、海晏村、宝丰湿地、海埂大坝四个地点中，随机选择一个地点开展实践活动，且每个地点被选到的可能性相等．记选择“环草海段”为A，选择“海晏村”为B，选择“宝丰湿地”为C，选择“海埂大坝”为D，七年级组的选择为x，八年级组的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果数． (2)求该校七年级组，八年级组选择的地点互不相同的概率． 18．（8分）（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）暑假期间，小东和爸爸妈妈准备前往云南旅游．云南景点众多，但由于时间有限，所以小东一家计划先乘机到昆明，再考虑从以下四个地点中选择两个前往：丽江、大理、红河、西双版纳．由于意见难以统一，小东爸爸在外观相同的4个小球表面写上“”，“”，“”，“”，分别代表丽江、大理、红河、西双版纳，并将小球装入不透明袋子里面，让小东从中同时抽取两个小球，用以决定前往旅游的地点． (1)判断：小东一家前往大理旅游与前往丽江旅游的概率________（填“相等”或“不相等”）； (2)丽江、大理在昆明以西，红河、西双版纳在昆明以南，求小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率． 19．（10分）（吉林长春净月高新技术产业开发区华岳学校等四校2026-2027学年上学期九年级数学学科第一次学情自测（五四制））为全面落实“五育并举”教育方针，学校开展了丰富多彩的课后服务活动，其中有“A．红色故事分享会”“B．校园绿植养护”“C．篮球友谊赛”三项活动，小长和小春分别从中随机选择一项活动参加（小长和小春选择每项活动的可能性相同，且他们互相之间选择不受影响）． (1)小长选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为 ； (2)请用列表法或画树状图法，求小长和小春选择的活动不同的概率． 20．（10分）（25-26九年级上·江西南昌·期末）3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3位同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励．甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小．”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙小，但要比甲大．”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的．” (1)哪位同学说的对？请说明理由； (2)把“甲、乙、丙3位同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3位同学重复该试验2700次，估算甲抽到黑桃大约多少次？ 21．（12分）（2026九年级·广东·专题练习）2026年，我国“双碳”目标推进取得阶段性成果，新能源汽车渗透率持续提升．某校为普及新能源汽车与低碳出行知识，举办了“新能源汽车与绿色未来”知识竞赛．现从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均高于60分，用x表示，共分四组：A、 ，B、 ，C、 ，D、），下面给出了部分信息： 七年级10名学生竞赛成绩是：62、72、74、80、81、82、82、90、91、96． 八年级10名学生竞赛成绩是：67、68、70、74、75、85、90、90、95、96． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81 81 中位数 80 众数 82 90 方差 90 117 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________． (2)结合上述信息和所学的数学知识，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由． (3)现要将八年级的甲、乙、丙、丁四位同学分成两组，每组两人一起合作进行比赛，并随机抽签决定分组．请用树状图或列表法来说明甲、乙两位同学分到同一组的概率． 22．（12分）（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 23．（14分）（25-26九年级上·江苏泰州·期末）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $