期中（第1章-4章）阶段复习拔高卷（考前押题卷一）-2026-2027学年北师大版八年级上册数学《典例全解·题型通关》

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第1章-4章）阶段复习拔高卷（考前押题卷一） （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（共30分） 1．中国象棋是中华民族的文化瑰宝．象棋的玩法口诀：马走日，象走田，卒子一去不回还；车是一杆枪，炮是隔山箭，老将老士不出院．“象”在棋盘上只能走“田”字，“象”不可能走到（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定象的初始坐标，作为推导的起点，依据象走“田”字的规则，推导象移动后横、纵坐标的变化规律，得出象能到达的点的坐标满足的特征，再逐一判断即可． 【详解】由图可知“象”当前位置是，根据象棋规则“象走田字”，走一步后坐标的横、纵坐标变化量一定是2和2，因此新坐标横、纵坐标的和的奇偶性和起点一致：起点横纵坐标和为，是偶数； A选项：，是偶数，符合象走后的坐标特征，可以走到； B选项：，是奇数，不符合特征，象不可能走到； C选项：，是偶数，可以走到； D选项：，是偶数，可以走到． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征（纵坐标相同，横坐标互为相反数）确定、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， ∴． 3．如图所示是某地一天的温度随时间的变化图象，在这一天中，该地温度最高的时刻是（     ） A．时 B．时 C．时 D．时 【答案】C 【分析】读变化图象，纵轴看大小，横轴看对应时刻；图象的最高点对应最大值，最低点对应最小值． 【详解】横轴代表时间，纵轴代表温度．图象上最高点对应的横坐标，就是温度最高的时刻． 观察图象，最高点横坐标为 ，也就是时． 4．在中，，，则（    ） A．28 B．28或10 C．28或100 D．10 【答案】C 【详解】解：在中，，， ①若为斜边，则； ②若为斜边，则； ∴或． 【点睛】运用勾股定理时，一定要先弄清哪个角是直角，再分别确定哪条边是直角边，哪条边是斜边． 5．甲、乙两位同学利用如图构建了如下的问题情境： 甲：圆的周长y与它的半径x； 乙：汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x． 下列说法正确的是（     ） A．甲对，乙不对 B．乙对，甲不对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象与性质并结合实际情况分析即可得出结果． 【详解】解：由题意可得圆的周长，由可得，随着圆的半径的增大，圆的周长y也不断增大，故甲错误； 设、两地的总路程为，汽车的行驶速度为，则汽车的剩余路程，由可得，从而可得随着的增大而减小，故乙正确． 6．有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左、右肩上各“生长”出一个小正方形，这三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图2所示．“生长”了2026次后，形成的图形中所有正方形的面积之和是（     ） A．2027 B．2026 C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理和正方形的面积找到规律即可求出答案． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=正方形A的面积， 所以“生长”了1次后形成的图形中所有正方形的面积之和为． 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有正方形的面积之和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积之和为4， ……依此类推，“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积之和为， ∴“生长”了2026次后形成的图形中所有正方形的面积之和为． 7．如图，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而发生变形，中间形成一个半圆柱的凸起．已知半圆柱的底面半圆直径为，，，一只蚂蚁从点爬行到点，且必须爬过半圆柱凸起，则它至少要爬行（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将中间半圆柱的凸起展平，此时的长为半圆周长，根据圆的周长可求出的长，进而得到，连接，在中根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】如图，将中间半圆柱的凸起展平，此时的长为半圆周长． 则， ∴． 连接， ∵四边形是长方形， ∴， ∵中，，， ∴， 即蚂蚁从点爬到点，它至少要爬行． 8．如图，在数轴上找到表示数3的点，然后过点作，使．以为圆心，长为半径作弧，与数轴交于原点左侧点，则点所表示的数介于（     ） A．和之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．和之间 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与无理数，无理数的估算，利用勾股定理求出的长，从而得到点A所表示的数，再根据无理数的估算即可求得答案． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴A点所表示的数就是， ∵， ∴， ∴ 即点A所表示的数介于和之间． 9．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且点表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形面积公式求出边长，由得出长，结合点位置及点方向求解． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为，且点在点的右侧， ∴点表示的数为，即． 10．如图，点A，B，C是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 【答案】B 【分析】先求出三条直线与轴交点坐标，再根据判断即可． 【详解】解：令，解得，即与轴交点坐标为； 同理可得与轴交点坐标为；与轴交点坐标为； ∵， ∴点在最右边， ∴一次函数的图象应为直线． 二、填空题（共24分） 11．如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻烛焰点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为______． 【答案】 【分析】根据物体与像关于平面镜对称，求出、的值，再求代数式的值即可． 【详解】解：物体与像关于平面镜对称， 可得：， 解得：， ． 12．点在直线上，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】点在直线上则坐标满足直线解析式，通过整体代换计算代数式的值． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 整理得， 将所求代数式变形为， 把代入上式，计算得． 13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在网格格点上，以点B为圆心，长为半径画弧交于点F，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】先根据网格和作图可知，，，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由网格可知，，， 由作图可知，， 则． 14．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】对根号内的二次三项式配方，结合已知的取值凑出可直接计算的完全平方式，简化运算过程． 【详解】解：， ∵ ∴， 将代入得， ∴原式． 15．如图，在中，，，，将沿斜边翻折得到，点、分别是边、上的动点，连接、，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】利用轴对称性质将转化为，从而将转化为；根据垂线段最短，当三点共线且时，取得最小值，即点C到直线的距离；连接交于点M，利用等腰三角形的面积法即可求出的长． 【详解】解：如下图，连接， 由翻折性质可知，点C与点D关于直线对称，， ∴，， ∴， 要使最小，即求的最小值，当三点共线且时，取最小值，最小值为点C到直线的距离，如下图，连接交于点M， ∵点关于对称， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， 又∵， ∴， ∴，即的最小值为3.84． 16．如图，利用图形的分、合、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法． 如图1，正方形是由四个相同的小长方形、四个相同的小正方形和一个较大的正方形组成．去掉四个小正方形后，按图2重新排列组成一个长方形，当正方形面积为10时，则长方形的周长为_______． 【答案】 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，根据图1得出大正方形的边长为，结合面积求出的值；根据图2得出长方形的长和宽，利用周长公式计算即可 ． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b，根据图1得出大正方形的边长为， ， ， ， 由图2可知，长方形的宽，长， 长方形的周长为， 长方形的周长为． 17．设一次函数为常数，当时，该一次函数的最大值是7，则的值为_____ 【答案】2 【分析】一次函数的增减性由的符号决定，因此需要对的取值分情况讨论．如果，那么一次函数在自变量取值范围内随自变量的增大而增大，所以在区间的右端点处取得最大值，代入函数表达式建立关于的方程求解．如果，那么一次函数在自变量取值范围内随自变量的增大而减小，所以在区间的左端点处取得最大值，代入函数表达式建立关于的方程求解并判断． 【详解】一次函数的增减性由的符号决定，分两种情况讨论： 当时：随的增大而增大， 因此在范围内，取最大值4时，取得最大值7． 代入得：， 解得，符合的前提． 当时：随的增大而减小， 因此在范围内，取最小值2时，取得最大值7． 代入得， 解得，不符合的前提． 仅时的情况成立， 因此的值为2． 18．如图，在平面直角坐标系中，将沿x轴向右无滑动地滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去，若已知点，，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长，进而得出三角形的周长，根据图形滚动方式可知，每滚动次为一个循环，点的下标每增加，横坐标增加，纵坐标不变，据此规律求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴的周长为， 由图形滚动规律可知，每滚动3次，三角形回到初始的直立状态，向右平移一个周长的距离， ∴， …… ∴， ∵， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 三、解答题（共66分） 19．求下列各式中的的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 或； （2）解： ． 20．如果一个三角形三条边的长分别为（为整数，且），那么人们把这样的三个数称为一组“勾股数通式”． (1)请说明以a、b、c为三边的三角形一定是直角三角形； (2)当时，求这个三角形的周长和面积． 【答案】(1)证明： ． 由勾股定理的逆定理可知，以a、b、c为三边的三角形是直角三角形，且c边所对的角是直角． (2)周长：30；面积：30 【分析】（1）因为要判断三角形为直角三角形，所以先计算三条边长的平方，验证较小两边的平方和是否等于最大边的平方，用到完全平方公式展开计算． （2）因为已知m、n的取值，所以先将数值代入三个边长的表达式求出a、b、c的具体值，再将三边相加得到周长，根据直角三角形直角边乘积的一半计算面积． 【详解】（1）略 （2）解：当时， ． ∴ 周长． ∵ 该三角形是直角三角形，两条直角边分别为5和12， ∴ 面积． 21．已知关于，的一次函数． (1)为何值时，它的图象经过原点？ (2)为何值时，它的图象与直线平行？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次函数中，当，函数图象经过原点，进行解答，即可； （2）由图象平行于直线，得两个函数的一次项系数相等，即，解出，即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过原点， ∴，且， ∴． （2）解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴且， 且 ∴． 22．在中，，，． (1)如图1，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，连接．当点运动 ____________ 秒时，； (2)如图2，当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动的时间为．当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）运动秒时，，利用勾股定理进行列式计算即可求解； （2）当为直角三角形时，分和两种情况进行讨论，根据勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，， 设运动秒时，， 此时，， ∵， ∴在中，， 即， 解之得， 即运动秒时，； （2）解：由题可知，， 当时，，即，解得； 当时，如图，， 在中，，在中，， 则， 即， 解之得， 综上，当为直角三角形时，的值为或． 23．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米． (1)求梯子的顶端到地面的距离的长． (2)如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么B将向外移动多少米？ 【答案】(1) (2)B向外移动米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用及勾股定理在直角三角形中的正确运用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）在中，利用勾股定理即可求出的长． （2）根据题意有米，再利用勾股定理得到米，最后根据即可获得答案． 【详解】（1）解：在中，米，米， ∴米． （2）解：∵米，米， ∴米， 在中，米，米， ∴米． ∴米． 故B向外移动米． 24．已知直线． (1)当时，求该直线与y轴的交点坐标． (2)若点，均在该直线上． ①令，求的值． ②若为整数，且，，三角形AOB的内部（不含边界）的整数点（横、纵坐标均为整数）的个数记为m，试说明m与a的数量关系． 【答案】(1)； (2)①2；②（a为正整数）；（a为负整数） 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）①求得，，据此求解即可； ②求得点B坐标为，再分两种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴该直线与y轴的交点坐标为； （2）解：①∵点在该直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由，代入直线解析式得点A的纵坐标： ， 即点A坐标为， 由，代入直线解析式得点B的横坐标： ， 整理得，即点B坐标为， 当a是不为0的正整数时， ∴， ∴， ∴三角形内部的整数点横坐标只能取， 将代入直线解析式，得对应y值： ， 在三角形内部，y的取值范围满足， y为整数时可取1，2，...， ， 总共有个整数点． 因此m与a的数量关系为． 当a是负整数时， 令，k为正整数，则 ∴， ∴内部的整数点横坐标可取、， 当时，代入直线解析式，得， 三角形内部y的取值范围满足，此区间无整数y，舍去； 当时，代入直线解析式，得， 三角形内部y的取值范围满足， y为整数时，可取，，...，，一共个整数点， 此时， 答：三角形内部的整数点个数m满足（a为正整数）；（a为负整数）． 25．如图，平面直角坐标系中，点A的坐标，B为y轴正半轴上一点，连接，． (1)求点B坐标： (2)如图2，P为x轴负半轴上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，用含的式子表示S（不用写出t的取值范围）： (3)如图3，在（2）的条件下，C为x轴负半轴上P左侧一点，连接，过C作，且，连接，求点P的坐标． 【答案】(1)点B坐标为 (2) (3)点P的坐标为 【分析】（1）由题意可得，再结合三角形面积公式计算得出，即可得出结果； （2）表示出，进而可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果； （3）在y轴的负半轴上取一点E，使得，连接，证明，得出，，再证明，得出，从而得解． 【详解】（1）解：点A的坐标为， ， ， ， ， 为y轴正半轴上一点， ； （2）解：为x轴负半轴上一点，点P的横坐标为t， ， ∴， ， ； （3）解：如图，在y轴的负半轴上取一点E，使得，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点P的坐标为． 26．阅读资料：“问题：已知在实数范围内成立，求、的值”．这类问题可通过配方解决： ， 已知等式可变为， 由非负性可得：，． 利用上述方法解决下面问题： (1)解方程：； (2)已知在实数范围内成立，求的值； (3)已知在实数范围内成立，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，配方后，解方程即可； （2）根据文中给出的解题方法，解答即可； （3）根据文中给出的解题方法，解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， 已知等式可变为， ∴， ∴， ∴，， ． （3）解：在实数范围内成立， ， ， ， 根据非负性，得， 解得， ． 27．我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导： (1)问题解析：如图1，作线段为线段上一动点，设，则，以为边作直角三角形，，再构造，求出得长度即可求出的最小值=__________； (2)类比迁移：已知均为正数，且，，求的最小值； (3)方法应用：如图2，在中，，已知．过点作垂足为，若，求的最小值． 【答案】(1)10 (2)25 (3) 【分析】（1）作，交的延长线于点F，连接交于点，再求出，，然后根据勾股定理求出答案； （2）仿照（1）解答即可； （3）先根据“角边角”证明，可求出．再设，则，根据勾股定理得，然后仿照（1）解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作，交的延长线于点F，连接交于点， ∴， ∴． ∵， ∴当三点共线时最小，即的最小值为； （2）解：如图所示，令，， 则，，，，． ∵， ∴当三点共线时最小，即的最小值为； （3）解：如图所示，记与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则， 根据勾股定理，得， 则． 如图所示，令，设，则， 则， ∴． ∵， ∴当三点共线时最小，即的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第1章-4章）阶段复习拔高卷（考前押题卷一） （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（共30分） 1．中国象棋是中华民族的文化瑰宝．象棋的玩法口诀：马走日，象走田，卒子一去不回还；车是一杆枪，炮是隔山箭，老将老士不出院．“象”在棋盘上只能走“田”字，“象”不可能走到（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图所示是某地一天的温度随时间的变化图象，在这一天中，该地温度最高的时刻是（     ） A．时 B．时 C．时 D．时 4．在中，，，则（    ） A．28 B．28或10 C．28或100 D．10 5．甲、乙两位同学利用如图构建了如下的问题情境： 甲：圆的周长y与它的半径x； 乙：汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x． 下列说法正确的是（     ） A．甲对，乙不对 B．乙对，甲不对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 6．有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左、右肩上各“生长”出一个小正方形，这三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图2所示．“生长”了2026次后，形成的图形中所有正方形的面积之和是（     ） A．2027 B．2026 C． D． 7．如图，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而发生变形，中间形成一个半圆柱的凸起．已知半圆柱的底面半圆直径为，，，一只蚂蚁从点爬行到点，且必须爬过半圆柱凸起，则它至少要爬行（     ） A． B． C． D． 8．如图，在数轴上找到表示数3的点，然后过点作，使．以为圆心，长为半径作弧，与数轴交于原点左侧点，则点所表示的数介于（     ） A．和之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．和之间 9．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且点表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数（     ） A． B． C． D． 10．如图，点A，B，C是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 二、填空题（共24分） 11．如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻烛焰点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为______． 12．点在直线上，则代数式的值为________． 13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在网格格点上，以点B为圆心，长为半径画弧交于点F，连接，则的长为______． 14．已知，则的值为________． 15．如图，在中，，，，将沿斜边翻折得到，点、分别是边、上的动点，连接、，则的最小值为_____________． 16．如图，利用图形的分、合、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法． 如图1，正方形是由四个相同的小长方形、四个相同的小正方形和一个较大的正方形组成．去掉四个小正方形后，按图2重新排列组成一个长方形，当正方形面积为10时，则长方形的周长为_______． 17．设一次函数为常数，当时，该一次函数的最大值是7，则的值为_____ 18．如图，在平面直角坐标系中，将沿x轴向右无滑动地滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去，若已知点，，则点的坐标是_______． 三、解答题（共66分） 19．求下列各式中的的值： (1)； (2)． 20．如果一个三角形三条边的长分别为（为整数，且），那么人们把这样的三个数称为一组“勾股数通式”． (1)请说明以a、b、c为三边的三角形一定是直角三角形； (2)当时，求这个三角形的周长和面积． 21．已知关于，的一次函数． (1)为何值时，它的图象经过原点？ (2)为何值时，它的图象与直线平行？ 22．在中，，，． (1)如图1，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，连接．当点运动 ____________ 秒时，； (2)如图2，当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动的时间为．当为直角三角形时，求的值． 23．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米． (1)求梯子的顶端到地面的距离的长． (2)如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么B将向外移动多少米？ 24．已知直线． (1)当时，求该直线与y轴的交点坐标． (2)若点，均在该直线上． ①令，求的值． ②若为整数，且，，三角形AOB的内部（不含边界）的整数点（横、纵坐标均为整数）的个数记为m，试说明m与a的数量关系． 25．如图，平面直角坐标系中，点A的坐标，B为y轴正半轴上一点，连接，． (1)求点B坐标： (2)如图2，P为x轴负半轴上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，用含的式子表示S（不用写出t的取值范围）： (3)如图3，在（2）的条件下，C为x轴负半轴上P左侧一点，连接，过C作，且，连接，求点P的坐标． 26．阅读资料：“问题：已知在实数范围内成立，求、的值”．这类问题可通过配方解决： ， 已知等式可变为， 由非负性可得：，． 利用上述方法解决下面问题： (1)解方程：； (2)已知在实数范围内成立，求的值； (3)已知在实数范围内成立，求的值． 27．我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导： (1)问题解析：如图1，作线段为线段上一动点，设，则，以为边作直角三角形，，再构造，求出得长度即可求出的最小值=__________； (2)类比迁移：已知均为正数，且，，求的最小值； (3)方法应用：如图2，在中，，已知．过点作垂足为，若，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $