期中（第1章-4章）阶段复习拔高卷-2026-2027学年北师大版九年级上册数学

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第1章-4章）阶段复习拔高卷（考前押题卷一） （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（共30分） 1．如图所示的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，某农场计划搭建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边紧靠墙体（墙长），其余边界全部用木栏围建．若使用木栏的总长度为，鸡舍的面积为，设的长为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．如图，两个正方形、两个等边三角形、两个等腰直角三角形、两个矩形各成一组，同组的两个图形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 5．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 6．已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 8．太阳光下，身高165 cm的小亮竖直站立在水平地面上，其影长为；同一时刻，他把手臂竖直举起，身体保持直立，此时影长为，由此可得小亮手臂竖直举起时，指尖超出头顶的高度为（     ） A． B． C． D． 9．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接，连接，交于点F．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形的外侧作等边，则为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 11．已知点P是线段的黄金分割点，，已知，则____________． 12．已知，都是方程的根，代数式的值是________． 13．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，O为坐标原点，与y轴重合，与x轴重合，M为上点，沿折叠矩形使得点落在上，且知，，则点M坐标是________． 14．如图，直线，另外两条直线分别与这三条直线相交于点，，与点，，．若，，，则的长为________． 15．如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，则的长为_______． 16．某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园内开辟一块劳动教育基地．一面利用学校的墙（墙的长度为），用长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地，供同学们进行劳动实践．若围成的菜地面积为，求此时的长为_________． 17．如图，在时测得旗杆的影长是4米，时测得旗杆的影长是米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是_________米． 18．某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位cm）．则制作一个茶叶罐所需铁皮的面积是___________（结果保留π）． 三、解答题（共66分） 19．解方程： (1)； (2)． 20．已知线段满足，且． (1)求 a 、b 、c 的值； (2)若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值； (3)将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度； 21．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形． (1)该几何体的形状是什么？ (2)求该几何体的表面积． 22．某居民小区为贯彻关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的理念．小区内有一块形状为矩形的绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)矩形的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 23．如果关于的一元二次方程（） 有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． 24．大泽山葡萄是中国国家地理标志产品，有“西有吐鲁番，东有大泽山”的美誉．随着电商助农不断推进，大泽山葡萄借助线上渠道销往全国各地．某助农服务站点8月份葡萄礼盒的销售量为6400盒，10月份的销量为10000盒． (1)求该助农服务站点8月份至10月份葡萄礼盒销售量的月平均增长率； (2)已知每盒葡萄礼盒的成本为55元，经市场调研：当每盒礼盒的售价定为65元时，每日可以销售320盒．售价每上调1元，平均每日的销售量就会减少4盒．若要使葡萄礼盒每日销售的利润达到4500元，且尽可能让利于顾客，每盒葡萄的售价应定为多少元？ 25．阜新西山水塔公园的核心景观是始建于1937年的西山水塔，该塔是阜新市历史上的第一座水塔．在一个阳光灿烂的午后，小明来水塔公园游玩，萌生了测量该塔高度的想法．他观察到水塔垂直于水平地面，阳光下水塔的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长是米，坡面上的影长是20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高米的小明在水平地面上的影长是米（参考数据） (1)求点C到水平地面的距离； (2)求小明测得的水塔的高度（结果精确到1米） 26．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿的方向匀速运动，速度为；同时点M由点C出发，沿的方向匀速运动，速度为，过点M作交于点N．设运动时间为 (1)用含的代数式表示线段__________，__________； (2)连接，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在说明理由； (3)连接、，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 27．如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为．过点作于，连接交于点．以、为边作平行四边形． (1)______（用含的代数式表示）； (2)当为菱形时，求的值； (3)是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第1章-4章）阶段复习拔高卷（考前押题卷一） （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（共30分） 1．如图所示的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主视图是从正面看到的图形，据此解答． 【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形． 2．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 将，代入得， 即，解得． 3．如图，某农场计划搭建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边紧靠墙体（墙长），其余边界全部用木栏围建．若使用木栏的总长度为，鸡舍的面积为，设的长为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的长为，则的长为，根据“鸡舍的面积为”列出方程即可． 【详解】解：设的长为，则的长为，根据题意，得 ． 4．如图，两个正方形、两个等边三角形、两个等腰直角三角形、两个矩形各成一组，同组的两个图形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例，对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．两个正方形对应角相等，对应边成比例，一定相似； B．两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，一定相似； C．两个等腰直角三角形对应角相等，对应边成比例，一定相似； D．两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似． 5．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程，进行解答，即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、未说明，不一定是一元二次方程，不符合题意； D、整理为，是只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，是一元二次方程，符合题意． 6．已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点，是线段的两个黄金分割点，则，即可解答． 【详解】解：∵线段，点，是线段的两个黄金分割点， ∴． 7．如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过B作交延长线于H，作交延长线于P，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式可得，则四边形是菱形，利用等腰三角形的判定和勾股定理，结合菱形性质求得，进而可求解． 【详解】解：过B作交延长线于H，作交延长线于P，则， 由题意，，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴阴影部分的面积是． 8．太阳光下，身高165 cm的小亮竖直站立在水平地面上，其影长为；同一时刻，他把手臂竖直举起，身体保持直立，此时影长为，由此可得小亮手臂竖直举起时，指尖超出头顶的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小亮手臂竖直举起时指尖超出头顶的高度为，根据同一时刻竖直物体的高度与影长的比值相等列式求解即可． 【详解】解：设小亮手臂竖直举起时指尖超出头顶的高度为， ∵同一时刻竖直物体的高度与影长的比值相等， ∴， 化简得，， 解得． 9．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接，连接，交于点F．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明为等边三角形，可得，再由勾股定理求出，然后证明四边形为矩形，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 10．如图，在正方形的外侧作等边，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正方形、等边三角形的性质、角的和差以及等量代换可得、， ，，再利用等边对等角以及三角形的内角和定理可得、，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ，， 在中，， ∴， 同理可得：， ∴． 二、填空题（共24分） 11．已知点P是线段的黄金分割点，，已知，则____________． 【答案】/ 【分析】结合的条件确定黄金分割点对应的较长线段为，利用黄金分割的比例关系求出的长度，再通过线段和差关系计算的长度． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ， ． 12．已知，都是方程的根，代数式的值是________． 【答案】 【分析】已知、为指定一元二次方程的根，待求代数式中含、的二次项与一次项组合可通过方程根的定义替换为常数，简化后即可计算出代数式的值． 【详解】解：∵，都是方程的根． ∴将代入方程可得，将代入方程可得． ∴，． ∴ ． 13．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，O为坐标原点，与y轴重合，与x轴重合，M为上点，沿折叠矩形使得点落在上，且知，，则点M坐标是________． 【答案】/ 【分析】利用勾股定理求出长，根据折叠性质得到长，从而确定矩形边长及点横坐标；设，在中利用勾股定理列方程求解点纵坐标. 【详解】解：在中，，. 由勾股定理得. 由折叠性质可知. 四边形是矩形 ， 点的横坐标为 设，则 由折叠性质可知 ， 在中， 即 解得 点的坐标是． 14．如图，直线，另外两条直线分别与这三条直线相交于点，，与点，，．若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】由题意得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵直线， ， ∵，，， ， ． 15．如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，则的长为_______． 【答案】 【分析】连接、，根据正方形的性质和勾股定理，得出，，、、三点共线，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求解． 【详解】解：如图，连接、， 在正方形和正方形中，点在上，，， ，，，， ，，， 、、三点共线， ， ， 是的中点， ． 16．某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园内开辟一块劳动教育基地．一面利用学校的墙（墙的长度为），用长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地，供同学们进行劳动实践．若围成的菜地面积为，求此时的长为_________． 【答案】 /15米 【分析】设长为，表示出长，根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解后结合墙长的限制条件进行取舍． 【详解】解：设的长为，则的长为， 根据题意得， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：的长为． 17．如图，在时测得旗杆的影长是4米，时测得旗杆的影长是米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是_________米． 【答案】8 【分析】设旗杆高为x，在两个小直角三角形里用勾股定理表示、，再在中利用勾股定理列方程，求出旗杆高度． 【详解】解：如图， 由题意得米，米，， 米， 设米， ，， ， ， ， ， ， ， 米，即旗杆的高度是米． 18．某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位cm）．则制作一个茶叶罐所需铁皮的面积是___________（结果保留π）． 【答案】 【分析】主视图以及左视图都是一个矩形，俯视图为一个圆形，则可得出该几何体是一个圆柱，再计算出面积即可． 【详解】解：由三视图可知茶叶罐的形状为圆柱体，并且茶叶罐的底面直径为，高h为， 则底面半径， ∵每个茶叶罐所需铁皮的面积即为该圆柱体的表面积， ∴ ， 故制作每个茶叶罐所需铁皮的面积为． 三、解答题（共66分） 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）提取公因式将方程因式分解后求解； （2）确定方程系数后代入求根公式求解． 【详解】（1）解：对 提取公因式得 因此或 解得，． （2）解：对于， 得，，． 计算判别式 代入求根公式 得 因此，． 20．已知线段满足，且． (1)求 a 、b 、c 的值； (2)若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值； (3)将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度； 【答案】(1)9，6，12 (2) (3) 【分析】（1）设比值为，然后用表示出再代入等式进行计算即可得； （2）根据比例中项的定义列式求解即可得 （3）根据黄金分割比的结论列式求解即可得 【详解】（1）解：设， 则， 解得：， 则：； （2）∵线段 x 是线段 a 、b 的比例中项， ∴， ∴， ∴； （3）∵线段b按黄金分割比例分为两条线段， ∴长边长度为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，黄金分割比，熟记比例中项的概念、黄金分割比的比值结论是解决问题的关键，同时利用“设法”用表示出可以使计算更加简便． 21．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形． (1)该几何体的形状是什么？ (2)求该几何体的表面积． 【答案】(1)三棱柱 (2) 【分析】（1）首先，应分别根据主视图、左视图和俯视图想象几何体的前面、左侧面和上面的形状，然后综合起来考虑整体形状； （2）根据形状求表面积即可． 【详解】（1）解：该几何体是一个三棱柱， （2）解：如图，底面等边三角形边长为，过点作于点， ， ， 底面三角形的面积为， 该几何体的表面积为． 22．某居民小区为贯彻关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的理念．小区内有一块形状为矩形的绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)矩形的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)660元 【分析】（1）因为矩形周长公式为，所以先将和代入公式化为最简二次根式，再计算即可． （2）首先需要计算矩形的面积，利用矩形面积公式，代入长和宽化简后计算．因为花坛的长和宽符合平方差公式的形式，所以利用平方差公式计算面积更简便．因为通道面积等于大矩形面积减去花坛面积，所以先求出通道面积，再乘以每平方米地砖的造价，即可得到总花费． 【详解】（1）解：， 即矩形的周长是．                 （2）解：由题意，知（元）． 答：购买地砖需要花费660元． 23．如果关于的一元二次方程（） 有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． 【答案】(1)是“倍根方程” (2)0或3 【分析】（1）求出一元二次方程的解，根据“倍根方程”的定义，进行解答，即可； （2）设关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，根据根与系数的关系，可得，则①；②；解出，即可． 【详解】（1）解：解方程得：，， ∴， ∴是“倍根方程”． （2）解：设关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且， 根据题意得： ，则①； ②； 由①②得：， 整理得：， 解得： ，， 经检验，和均满足，符合题意． 24．大泽山葡萄是中国国家地理标志产品，有“西有吐鲁番，东有大泽山”的美誉．随着电商助农不断推进，大泽山葡萄借助线上渠道销往全国各地．某助农服务站点8月份葡萄礼盒的销售量为6400盒，10月份的销量为10000盒． (1)求该助农服务站点8月份至10月份葡萄礼盒销售量的月平均增长率； (2)已知每盒葡萄礼盒的成本为55元，经市场调研：当每盒礼盒的售价定为65元时，每日可以销售320盒．售价每上调1元，平均每日的销售量就会减少4盒．若要使葡萄礼盒每日销售的利润达到4500元，且尽可能让利于顾客，每盒葡萄的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)70元 【分析】（1）设该助农服务站点8月份至10月份葡萄礼盒销售量的月平均增长率为，根据8月份葡萄礼盒的销售量为6400盒，10月份的销量为10000盒，列出方程，解方程即可； （2）设每盒葡萄应涨价元，根据葡萄礼盒每日销售的利润达到4500元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该助农服务站点8月份至10月份葡萄礼盒销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：，（舍）， 该助农服务站点8月份至10月份葡萄礼盒销售量的月平均增长率为． （2）解：设每盒葡萄应涨价元，由题意得： ， 解得，， 因为尽可能让利于顾客，所以售价应最低，故舍去， （元）， 每盒葡萄的售价应定为70元． 25．阜新西山水塔公园的核心景观是始建于1937年的西山水塔，该塔是阜新市历史上的第一座水塔．在一个阳光灿烂的午后，小明来水塔公园游玩，萌生了测量该塔高度的想法．他观察到水塔垂直于水平地面，阳光下水塔的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长是米，坡面上的影长是20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高米的小明在水平地面上的影长是米（参考数据） (1)求点C到水平地面的距离； (2)求小明测得的水塔的高度（结果精确到1米） 【答案】(1)10米 (2)47米 【分析】此题考查了平行投影，平行四边形的性质和判定，解直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过C作交延长线于H，利用30度角所对的直角三角形等于斜边一半求解即可； （2）过H作交于E，则四边形为平行四边形，在中，米，则米，再根据平行投影求解即可． 【详解】（1）解：如图，过C作交延长线于H， 在中，，， （米）； 答：点C到水平地面的距离为10米； （2）解：如图，过H作交于E， ，， ， 四边形为平行四边形， 米， 在中，（米）， （米）， 身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米， ，即， 解得， （米）． 答：小明测得的水塔高度约为47米． 26．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿的方向匀速运动，速度为；同时点M由点C出发，沿的方向匀速运动，速度为，过点M作交于点N．设运动时间为 (1)用含的代数式表示线段__________，__________； (2)连接，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在说明理由； (3)连接、，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在；或 (3)存在； 【分析】（1）证明，列出比例式进行求解即可； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式，列出一元二次方程进行求解即可； （3）作于点，证明，求出的长，根据中垂线的性质得到，由（2）可知，进而得到，三线合一，得到，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； （2）解：存在； 由（1）知：，， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得或； 故当或时，； （3）解：存在； 作于点，则：， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 当点P在线段的垂直平分线上时，则：， 由（2）可知四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 27．如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为．过点作于，连接交于点．以、为边作平行四边形． (1)______（用含的代数式表示）； (2)当为菱形时，求的值； (3)是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，由可知，故； （2）由是菱形得到，进而可求解； （3）如图1中，连接交于M，证明，由此构建方程即可解决问题. 【详解】（1）解：在等边中，， ， ， ， ， ， ． （2）解：由题意可知， 在等边中，， ， 当是菱形时，， ， 解得， 即当为菱形时，的值为． （3）解：存在． 理由：如图1中，连接交于M， 平分，， ，， ， ， ， ，， ， 解得． 故存在某一时刻，使点在的平分线上，． 学科网（北京）股份有限公司 $