第3章 一次方程与方程组（举一反三单元测试·培优卷）数学新教材沪科版七年级上册

第3章 一次方程与方程组·培优卷 【新教材沪科版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·云南西双版纳·阶段检测）下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26七年级下·湖北荆州·期末）用代入消元法解方程组较为简便的方法是（     ） A．先把变形 B．先把变形 C．可先把变形，也可先把变形 D．把同时变形 5．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知方程组的解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 6．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）小马虎在做作业，不小心将方程■中的一个常数污染了．怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是，请问这个被污染的常数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·四川南充·期末）已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）将正整数1至1000按一定规律排列如表： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（     ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2030 10．（25-26八年级上·安徽·阶段检测）规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·河南开封·阶段检测）已知是关于的方程的解，则式子的值为______． 12．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）将方程改写成用含的式子表示的形式为________． 13．（25-26七年级上·全国·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．如图就是一个三阶幻方，正方形的每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，在这个三阶幻方中，m的值为____． 2 5 7 m 6 14．（2026七年级下·江苏·专题练习）形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：，例如．若，，则_________． 15．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）汽车从市到市有一天的路程，某摄制组计划上午比下午多走到沿途的市吃午饭，由于堵车，只行驶了上午原计划的三分之一，中午才到途中的一个小镇，过了小镇，汽车赶了，傍晚才停下来休息，司机说，再走市到这里路程的一半就到达目的地，则，两市相距______． 16．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的值为____________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）解一元一次方程： (1)； (2)． 18．（6分）（24-25六年级下·上海崇明·期末）解方程组： (1) (2) 19．（6分）（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知关于x的方程与方程的解相同； (1)求m的值； (2)求代数式的值． 20．（8分）（24-25七年级下·山西吕梁·期中）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则该方程为“和解方程”． 例如：的解为，且，则方程是“和解方程”． (1)判断方程是否是“和解方程”，并说明理由． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 21．（8分）（25-26七年级下·云南昆明·期中）某商场计划花9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助该商场设计进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？ 22．（9分）（25-26七年级下·吉林长春·期末）小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：，最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为________； (2)利用轮换对称解法解方程组 23．（9分）（25-26七年级上·江苏南通·期末）数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 24．（10分）（25-26七年级下·重庆万州·期中）定义：关于，的二元一次方程（其中，，互不相同，且均不为）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为　　　； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 25．（10分）（25-26七年级上·湖北荆门·期末）在科技节的机器人编程活动中，若关于机器人的程序指令（）的运行结果与关于机器人的程序指令的运行结果满足，则称这两个程序指令是“智能匹配指令”．例如：机器人的程序指令运行后，机器人的程序指令运行后，因为，所以这两个程序指令是“智能匹配指令” (1)请判断机器人的程序指令与机器人的程序指令（填“是”或“不是”）___________“智能匹配指令”． (2)若关于机器人的程序指令与关于机器人的程序指令是“智能匹配指令”，请求出的值； (3)若无论取任何有理数，关于机器人的程序指令（a，b为常数）与关于机器人的程序指令都是“智能匹配指令”，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一次方程与方程组·培优卷 【新教材沪科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程， 得， 即， 解得． 2．（25-26七年级下·云南西双版纳·阶段检测）下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按整式方程、未知数个数、含未知数项的次数的顺序逐一筛选． 【详解】解：选项中， 的分母含未知数，不是整式方程，故不符合要求； 选项、中，与均只含1个未知数，且中含未知数的项的最高次数为2，故不符合要求； 选项中，是整式方程，含2个未知数，且含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程定义． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：等式的基本性质为：等式两边同时加（或减）同一个整式，结果仍相等；等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），结果仍相等； A．若，根据等式性质可得，故A变形错误，不符合要求； B．∵，等式两边同时减2，由等式基本性质可得，变形正确，符合要求； C．若，等式两边同时乘，可得，故C变形错误，不符合要求； D．若，当时，无论是否相等，等式都成立，因此无法推出，只有时才能得到，故D变形错误，不符合要求． 4．（25-26七年级下·湖北荆州·期末）用代入消元法解方程组较为简便的方法是（     ） A．先把变形 B．先把变形 C．可先把变形，也可先把变形 D．把同时变形 【答案】C 【分析】观察方程组未知数的系数，优先选择系数为的未知数所在方程变形． 【详解】解：方程中的系数为，可变形为，代入计算简便； 方程中的系数为，可变形为，代入计算简便， ∴先把变形或先把变形均较为简便． 5．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知方程组的解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程组的特殊解法，利用整体的思想解题是关键．将方程组中的三个等式相加求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 故选：B． 6．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）小马虎在做作业，不小心将方程■中的一个常数污染了．怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是，请问这个被污染的常数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，掌握方程的解的定义是解题的关键． 设被污染的常数为，将代入方程，得到关于的方程，从而可求得的值． 【详解】解：设被污染的常数为， ∵ 方程的解为， ∴ 代入方程得，， 解得， 故被污染的常数是2． 故选：B． 7．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程组，用含的代数式表示出，，根据方程组的解满足，得出关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】解： ①+②得，，即， ①②得，，即， ∵关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ∴， 解得：． 8．（25-26七年级上·四川南充·期末）已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程及根据解的性质反推参数的取值．关键在于正确解方程，理解“非负整数解”的含义，结合分数形式分析分母与分子的关系，找出满足条件的整数，并验证每个解是否符合条件．最终求和得出结果． 【详解】解： 题目要求是非负整数，即且为整数． ，且为整数． ∴是的负因数，即或或， 解得或或， 所以的可能取值为： 整数的所有可能的取值的和为： 故选：A 9．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）将正整数1至1000按一定规律排列如表： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（     ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2030 【答案】D 【分析】设表格中三个数下面的数为 则左上的数为 右上的数为 所以三个数的和为： 再分别列方程求解 再检验即可. 【详解】解：设表格中三个数下面的数为 则左上的数为 右上的数为 所以三个数的和为： 当 则 故A不符合题意； 当 则 故B不符合题意； 当 则 而680，是数列中最后一列的数，故C不符合题意 当 则 而，是数列中第86行第2列中的数，故D符合题意. 10．（25-26八年级上·安徽·阶段检测）规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，加减消元法解二元一次方程组．根据共轭方程组的定义，比较给定方程组与标准形式，构建关于和的方程组并求解． 【详解】解：∵ 方程组为共轭方程组， ∴， ∴， 联立方程： 解得： 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·河南开封·阶段检测）已知是关于的方程的解，则式子的值为______． 【答案】2022 【分析】把方程的解代入原方程，经过变形得到的整数值，再整体代入代数式求值． 【详解】解：将代入方程： ， ， 移项：， ． 12．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）将方程改写成用含的式子表示的形式为________． 【答案】 【分析】将看作已知数，移项整理即可求出； 【详解】解：移项得， 两边同除以，得． 13．（25-26七年级上·全国·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．如图就是一个三阶幻方，正方形的每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，在这个三阶幻方中，m的值为____． 2 5 7 m 6 【答案】8 【详解】解：根据题意得，， 解得． 14．（2026七年级下·江苏·专题练习）形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：，例如．若，，则_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，由新定义可得方程组，求解可得， 的值．再由新定义运算即可求得答案． 【详解】根据题意，可得 解得 所以． 故答案为：2 15．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）汽车从市到市有一天的路程，某摄制组计划上午比下午多走到沿途的市吃午饭，由于堵车，只行驶了上午原计划的三分之一，中午才到途中的一个小镇，过了小镇，汽车赶了，傍晚才停下来休息，司机说，再走市到这里路程的一半就到达目的地，则，两市相距______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设市到市相距千米，则、两市相距千米，根据题意列方程，求出，即可求解． 【详解】解：设市到市相距千米， 依题意、两市相距千米， 依题意得： ， 解得：， 、两市相距：， 故答案为：． 16．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的值为____________． 【答案】0或或 【分析】先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得，， ∴， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）解一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 18．（6分）（24-25六年级下·上海崇明·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：方程组整理得 得，解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得， ∴④， 得⑤， 得， 解得， 将代入④，得， 解得， 将，代入①， 得， 解得， ∴方程组的解为． 19．（6分）（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知关于x的方程与方程的解相同； (1)求m的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，灵活求含参数的一元一次方程的解是解题的关键． （1）求出两个方程的解，根据解相同可得关于m的一元一次方程，即可求出m值； （2）将m的值代入求解即可． 【详解】（1）解：解第一个方程，得， 解第二个方程，得， ∵两个方程的解相同， ∴， 解得：； （2）解：当时， ． 20．（8分）（24-25七年级下·山西吕梁·期中）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则该方程为“和解方程”． 例如：的解为，且，则方程是“和解方程”． (1)判断方程是否是“和解方程”，并说明理由． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 【答案】(1)是， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴是和解方程； (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解和解方程的意义是解此题的关键． （1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可； （2）由，得，解得，先解根据和解方程得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程是和解方程， ∴， 解得：． 21．（8分）（25-26七年级下·云南昆明·期中）某商场计划花9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助该商场设计进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？ 【答案】(1)共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． (2)应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案． 【分析】（1）根据等量关系“两种不同型号的电视机共50台”和“买两种电视花去的费用9万元”．然后分进的两种电视是甲乙，乙丙，甲丙三种情况分别列二元一次方程组求解即可； （2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后确定出获利最多的方案即可． 【详解】（1）解：①设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台． 则有： ，解得：， 所以购进甲种电视机25台，乙种电视机25台． ②设购进乙种电视机a台，丙种电视机b台． 则有： ，解得：，（不符合题意舍去）． ③设购进甲种电视机c台，丙种电视机d台． 则有： ，解得：． 所以购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． 综上，共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． （2）解：方案一获利为：（元）； 方案二获利为：（元）． 因为， 所以应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案，此时获利最多． 22．（9分）（25-26七年级下·吉林长春·期末）小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：，最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为________； (2)利用轮换对称解法解方程组 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入③得，解得， ∴方程组的解为； （2）解： 得， ∴， 得， 得，解得， 把代入⑦得，解得， ∴原方程组的解为． 23．（9分）（25-26七年级上·江苏南通·期末）数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 【答案】(1)， (2)的值为7时，可以制作9个盒子 【分析】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用， （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求出，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共领取了9张纸板，其中张用A方法裁剪，每张纸板裁成6个侧面，每张纸板裁成9个底面， ∴一共可裁剪出侧面个，底面个； （2）解：根据题意得， 解得 ∴ 答：的值为7时，可以制作9个盒子． 24．（10分）（25-26七年级下·重庆万州·期中）定义：关于，的二元一次方程（其中，，互不相同，且均不为）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为　　　； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先根据“变更方程”定义写出原方程的变更方程，再联立方程组，用加减消元法求解； （2）先利用条件得出，联立原方程与变更方程求出解，将解代入新方程得到代数式关系，最后化简求值． 【详解】（1）解：根据题意可得方程的“变更方程”为， 联立方程组，得， 解得； （2）解：根据题意可得的“变更方程”为， 联立方程组，得， 解得， ， ， ， 即， 是二元一次方程的一个解， ， 即， ． 25．（10分）（25-26七年级上·湖北荆门·期末）在科技节的机器人编程活动中，若关于机器人的程序指令（）的运行结果与关于机器人的程序指令的运行结果满足，则称这两个程序指令是“智能匹配指令”．例如：机器人的程序指令运行后，机器人的程序指令运行后，因为，所以这两个程序指令是“智能匹配指令” (1)请判断机器人的程序指令与机器人的程序指令（填“是”或“不是”）___________“智能匹配指令”． (2)若关于机器人的程序指令与关于机器人的程序指令是“智能匹配指令”，请求出的值； (3)若无论取任何有理数，关于机器人的程序指令（a，b为常数）与关于机器人的程序指令都是“智能匹配指令”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)或 【分析】本题考查一元一次方程的解，理解新定义并熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）分别求出方程的解，再判断，即可求解； （2）分别解出方程，再代入，求出k即可； （3）先解出方程，再代入，求出x的值，最后代入即可求出的值． 【详解】（1）的解为，的解为， ， 方程与方程不是“智能匹配指令”； 故答案为：不是； （2）∵的解为， 解为， ， 或； （3） 的解为， ∵关于x的方程（为常数）与关于y的方程都是“智能匹配指令”， ∴，即， ∴或， 的解为或， 即关于x的方程，无论为何值，方程的解恒为或， ①若方程的解恒为， 将代入得，，整理得， ，解得， ； ②若方程的解恒为， 将代入得，，整理得， ，解得， ； 综上，或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $