圆锥曲线的弦长问题专项练-2027届高三数学一轮复习

▣弱▣互薄 动弱 圆锥曲线的弦长问题-高考专题复习 讲诊 一、单选题 可城题断 1.(2026福建龙岩：三模)已知圆x+1P+y=16与抛物线y=2pxp>0交于 M,N两点.若MN=43则p的值为(） A.6 B.12 c.2V3 D.43 2.（25-26高三下·山东菏泽·阶段检测)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线交 于A,B两点，与抛物线的准线交于点P(点P在X轴上方).若PF=3FA,则|AB=() 号 B.6 C.8 p 64 3.(2026山东淄博一模)已知椭圆C: 月一头男日C可伴可头咕7早用三，A十) 直线！与C交于A,B两点，则AB=() A含 B.42 3 D.22 3 4.(2025广东·模拟预测)已知双曲线E:x2-y=1的右焦点为F,虚轴的上端点为A,线段AF与E交 于点B则BF=() AF A.2-9V3 B.2-V2 c D 5.(2025河南新乡三模)已知椭圆C:兰+兰=1a>b>0)的左、右焦点分别为F'F;上顶点为 a b2 P离心率为2过点F且垂直于PF,的直线与C交于M,N两点，MN=6,则PM+PN=(（） A.4 B.5 C.6 D.7 6.(2025湖北黄冈一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为V2的直线交抛物线于A,B 两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M,N两点，设线段AB的中点为H,则tan∠HMN的值为() A.25 B.2 c.5 D.6 5 试卷第1页（共3页） 7.(2024河北石家庄模拟预测已知双曲线C:Y-Y=1的左、右焦点分别为F、F2,过坐标原点的 48 直线与双曲线C交于A、B两点，若E1A=2F,B则1AB=（） A.4V7 B.2V7 c.43 D.4 8.(专题08椭圆中最值范围五种考法.【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版 2019选择性必修第一用)已知椭圆E:。+上=1的左焦点为F,过F的直线1与E交于A,B两点，则 95 下列说法正确的是() A.若直线垂直于x轴，则AB=15 4 B.AB∈ 10 3,6 C.若AB=5,则直线l的斜率为 3 3 D.若AF=2BF,则AB=10 3 二、多选题 9.(2026广东深圳模拟预测)设抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交C于A,B 两点，过点F且垂直于AB的直线交C的准线于点E.已知AB的最小值为4，则() A.p=2 B.EA⊥EB C.当AF=3BF时，EF=4 D.AEBE≥8 10.（2026山东日照：模拟预测)已知椭圆c:义+上 言+长=1‘a>b>0》的左、右焦点分别为F,-c,0 c.0.夹6率e=怎根迈上一店P嘴足PH1RF,质发PF,与C的男-个交有0，点M 为PQ的中点，则下列说法正确的有() A.若PR,=4 5,则0=G B.PQ)=3F2Q) c.tan∠PF,M=5tan∠MF1Q 试卷第2页（共3页） D.若c=V5,则△PFQ的外接圆截x轴所得的弦长为 19V5 5 1,(26-27高三上湖北武汉开学考试)记双曲线E:Y-上=1的左右焦点分别为F1,F2,过F,的直线 45 1与双曲线E交于A,B两点，则下列说法中正确的有() A.双曲线E的离心率是3 B.若AF,=2AF则△AF,F,的周长为18 C.存在四条不同直线l使得AB=5 D.线段AB的中点坐标可能是1,5 三、填空题 12.(26-27高三上·安徽·开学考试)已知在抛物线C:y=2pxp>0上存在两个不同的点M,N关于 直线：y=3x-2对称，则MN的最大值是 安深州三限)已双我c二1a>0.6>01的右焦点为p,过点度 的直线与C的右支交于A,B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线X=￠和AB于点P,Q.若 AB=2PQ,则C的离心率为 在24-25商颜段险D图所示，田半附C子+xc0和两个细 C2:x2+y-2=4x≥0C3:X2+y+2=4x≥01组成曲线C:FX,y=0其中点FF,分别是C, 的上、下焦点和C2、C3的圆心.若过点F1、F2作两条平行线l1、l2分别与C1、C2和C1、C3交于P、Q和 M、N,则MN+PQ的最小值为 试卷第3页（共3页） F 四、解答题 026河南郑别陵拟预测》已知椭圆C×+10>b>0的长轴长为4，点0,23： 3 (1)求C的方程： (2)点P是C上一动点，过点P作两条直线分别交C于M,N两点，直线PM,PW与圆x2+y=1都相切， 设直线PM,PN的斜率分别为k1,k2. ()证明：k1k2为定值，并求出该定值； (i)若直线MN的斜率为- S,求弦长MN. 9 16.(2026河南郑州·二模) 已知双曲线C:-兰=1(a>0,b>0的右焦点为F:点M2,2在c上， a7-b2 且MF⊥x轴. (1)求C的方程： (2)若过F的直线！与双曲线的右支交于P,Q两点，且PQ=4V2,求直线的方程. 试卷第4页（共3页） 圆锥曲线的弦长问题---高考专题复习 一、单选题 1．（2026·福建龙岩·三模）已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆以及抛物线的对称性得到，再求交点横坐标，进而得到. 【详解】圆和抛物线都关于轴对称，因此交点也关于轴对称. 设，由得，即. 则，解得或， 因为抛物线中，舍去，得交点横坐标. 将代入抛物线方程，得. 2．（25-26高三下·山东菏泽·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点 的直线与抛物线交于 两点，与抛物线的准线交于点（点 在轴上方）．若 ，则   （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线，由抛物线的标准形式，得，，故焦点，准线方程为． 设准线与轴的交点是，过点作垂直于直线于， 则，，由可得，所以，从而， 设直线的倾斜角为，由于点在 轴下方，则，所以． 所以，由抛物线的弦长公式， 故：． 3．（2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆：的右焦点， 过且倾斜角为的直线的方程为，即， 将代入，得到， 即， 设， 则， 则，故选项B正确. 4．（2025·广东·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，线段与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】合理作出辅助线，利用锐角三角函数的定义得到，再代入得到，最后利用相似三角形的性质求解即可. 【详解】由题意得的半焦距，如图，其中， 作于点，且设，    而由锐角三角函数的定义得，解得， 故，代入，得， 化简得，而，解得（其它根舍去） 由题意得，得到. 故选：A. 5．（2025·河南新乡·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由条件可得为正三角形，继而得出直线为线段的垂直平分线，写出直线的方程为并与椭圆方程联立，得到韦达定理，由利用弦长公式推出，结合图形将化简转化，利用椭圆的定义即可求得. 【详解】 如图，连接因为，即，， 因，则为正三角形. 又，则直线为线段的垂直平分线，故，，且， 故直线的方程为，代入椭圆的方程，得. 设，则，， 则， 解得，则， . 故选：D. 6．（2025·湖北黄冈·一模）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，以线段为直径的圆交y轴于两点，设线段的中点为H，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题写出直线的方程，与抛物线方程联立消元，写出韦达定理，继而求得点和，过点作轴，垂足为点，借助于，即可求得. 【详解】由题易得焦点，由直线l过点且斜率为，可得， 将其与联立，消元得，设， 则．设，则，即， 且(或运用抛物线焦点弦公式)， 故以为直径的圆的半径为， 过点作轴，垂足为点，则在中， ，故． 故答案为：A. 7．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据双曲线的对称性及定义，求出、长度，由直角三角形求解可得解. 【详解】如图， 因为双曲线，所以， 由双曲线的对称性知， 所以， 由双曲线定义可得， 所以，又， 所以，即， 所以, 故， 故选：A 8．（专题08椭圆中最值范围五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册））已知椭圆的左焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．若直线垂直于轴，则 B． C．若，则直线的斜率为 D．若，则 【答案】B 【分析】依题意设出直线方程，结合弦长公式分别判断ABC选项，再结合向量及焦半径长度公式可判断D选项. 【详解】依题意，椭圆的左焦点为，设，， 对于A选项，轴，直线，由，得：，则，A选项错误； 对于B选项，不垂直于轴时，设的方程为， 由，消去并整理可得：， 则，， ， 显然，， 于是得， 由选项A知，当轴时，，因此，B选项正确； 对于C，当时，由选项B得，解得，C选项错误； 对于D，因，有，则，即， 而，， 同理，则有，即， 于是得， 因此，D选项错误； 故选：B. 二、多选题 9．（2026·广东深圳·模拟预测）设抛物线：（）的焦点为，过点的直线交于，两点，过点且垂直于的直线交的准线于点．已知的最小值为4，则（    ） A． B． C．当时， D． 【答案】ABD 【分析】对于A，联立得到弦长的最小值为，再列方程即可求解；对于B，由得，进而得到，再利用向量证明即可；对于C，由可得，再求得，进而得到即可判断；对于D，由，得，再计算得到的表达式，并求出最值即可判断． 【详解】对于A，，设直线的方程为，， 联立得：，消去得， ， ， ，解得，故A正确； 对于B，由，得， 直线与垂直，故的斜率为，方程为， 代入准线得，即， ， 因此，即，故B正确； 对于C，当时，，结合， 解得， 点坐标为，由两点间距离公式： ，故C错误； 由，得， 由抛物线定义，， ， ， 当时，乘积取得最小值8，因此，故D正确． 10．（2026·山东日照·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆上一点满足，直线与椭圆的另一个交点为，点为的中点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B． C． D．若，则的外接圆截轴所得的弦长为 【答案】ABD 【分析】对于A，由离心率及得到，，结合求出点坐标，即可得到，进一步求解即可；对于B，求出直线方程，与椭圆方程联立，求出点坐标，结合两点间距离公式求解判断即可；对于C，根据直线斜率与倾斜角的关系，结合两角和差的正切公式求解判断即可；对于D，求出的外接圆方程，令，得到，结合韦达定理求解即可. 【详解】由，得，即，又，所以. 椭圆方程可写为. 因为，所以点的横坐标为，代入椭圆求得， 不妨取.    对于A，，若，则，所以，A正确. 对于B，直线方程为， 联立椭圆方程，整理得，解得或， 所以点的坐标为. 又， ， 所以，B正确. 对于C，因为点为的中点，所以， 则，， . ， 显然，，C错误. 对于D，若，则，，， 设的外接圆方程为， 则，即， 解得， 所以的外接圆方程为. 令，得，， 设与轴的交点坐标为，， 则，是方程的两根，所以，， 弦长， 故的外接圆截轴所得的弦长为，D正确. 11．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）记双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线交于两点，则下列说法中正确的有（    ） A．双曲线的离心率是 B．若，则的周长为 C．存在四条不同直线使得 D．线段的中点坐标可能是 【答案】ABD 【分析】根据双曲线方程可确定的取值，根据离心率定义、双曲线的定义可求得AB正确；分别讨论直线斜率不存在和斜率存在的情况，通过与双曲线方程联立，利用弦长公式和中点坐标公式，结合韦达定理可求得可能的取值，进而得到CD正误. 【详解】对于A，由双曲线方程知：，，则， 双曲线的离心率，A正确； 对于B，，， 的周长为，B正确； 对于C，当斜率不存在时，即时，； 当斜率存在时，设，，， 由得：， 且，则，， ，解得：，即， 方程为：； 综上所述：存在三条不同的直线使得，C错误； 对于D，当直线斜率不存在时，线段中点为； 当直线斜率存在时，由C知，若线段中点为， 则，，解得：， 当方程为时，线段的中点坐标为，D正确. 三、填空题 12．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知在抛物线： 上存在两个不同的点，关于直线：对称，则的最大值是_________． 【答案】/ 【分析】根据题意及直线垂直关系设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及对称关系求出的范围；根据弦长公式及二次函数性质求解即可. 【详解】由题意知，，则. 设直线：，，，中点. 联立，整理得. ， 因为，所以①. 所以，，所以. 因为中点在上， 则，即，所以. 又在上，则， 所以，整理得②. 将②代入①中，得，整理得，解得. . 因为在内，所以当时，取得最大值， 此时. 13．（2026·安徽滁州·二模）已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，．若，则的离心率为________． 【答案】 【分析】先根据题意得到直线的方程，并将其与双曲线的方程联立，利用根与系数的关系将用表示出来，再根据化简，即可得到双曲线的离心率. 【详解】设，易知直线的方程为，联立方程，得消去得， 故， 因为点且斜率为的直线与的右支交于，两点，则， 即，因为，所以 所以， 的中点的横坐标，， 所以，又， 即，所以. 14．（24-25高三下·江苏徐州·阶段检测）如图所示，由半椭圆和两个半圆，组成曲线，其中点、分别是的上、下焦点和、的圆心.若过点、作两条平行线、分别与、和、交于、和、，则的最小值为______. 【答案】 【分析】求出椭圆的方程，设直线与椭圆的另一个交点为，由对称性得出，进而得出，设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求得的最小值，进而得解. 【详解】半圆的圆心为，半径为， 半圆的圆心为，半径为， 对于椭圆的焦距为，则，可得， 所以，椭圆的方程为，如图所示， 设直线与椭圆的另一个交点为， 由椭圆的对称性可知，点与点关于原点对称， 即点为线段、的中点，所以，四边形为平行四边形， 所以，， ， 若的斜率不存在，则直线过点，不合乎题意，所以，直线的斜率存在， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以， ， 故当时，取最小值， 则的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用对称性得出，由此得出，将问题转化为椭圆的焦点弦长的最值问题. 四、解答题 15．（2026·河南郑州·模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，点在C上． (1)求C的方程； (2)点P是C上一动点，过点P作两条直线分别交C于M，N两点，直线PM，PN与圆都相切，设直线PM，PN的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值，并求出该定值； （ⅱ）若直线MN的斜率为，求弦长． 【答案】(1) (2) （ⅰ）设，直线PM的方程为，直线PN的方程为， 因为直线PM、PN均与圆相切，所以， 将上式两边同时平方后整理得，，， 为方程的两根， 所以，又，所以，所以． （ⅱ） 【分析】（1）根据题中条件求解即可； （2）（ⅰ）设出直线PM方程，根据相切构造同解方程即可求出； （ⅱ）设出直线MN方程，代入，再联立直线与椭圆的方程，求得，最后求解出． 【详解】（1）由题意得，，故， 将点代入椭圆方程，解得， 所以C的方程为. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）设，直线， 则， 化简得，．（*）． 由消去y，得， 由，可得， 则， 代入（*）式，得 ， 化简得，，所以m=0或， 若，则直线过点， 这意味着三点共线，那么直线与为同一条直线， 这与题设‘过点作两条（不同的）直线’矛盾，故舍去. 所以，所以． 16．（2026·河南郑州·二模）已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)若过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）将点坐标代入方程，又轴，得，联立即可. （2）由题可设直线的方程为，根据题意得，故，联立方程直线与曲线方程，消去后用韦达定理，将其代入弦长公式可解，从而得到直线的方程. 【详解】（1）因为点在上，所以， 又为的右焦点，轴，则，故， 所以，因此的方程为. （2）设直线的方程为，， 因为直线与的右支交于两点，双曲线的渐近线为， 所以，即，联立方程， 消去得，则，， 所以， 解得，即，故直线的方程为或. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $