圆锥曲线：弦长问题、面积问题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线弦长与面积问题，通过精选例题与变式构建从方程联立到公式应用的完整逻辑链，强化运算推理与模型应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |弦长问题|3例+3变式|涵盖椭圆/抛物线中过焦点、相切、参数关联的弦长计算|以韦达定理为核心，串联方程联立→根与系数关系→弦长公式的推导应用| |面积问题|3例+3变式|涉及三角形/四边形面积计算及最值，结合斜率、距离等条件|基于弦长公式与点到直线距离公式，构建面积表达式→参数范围分析→最值求解的逻辑链条|

圆锥曲线：弦长问题、面积问题专项训练 圆锥曲线：弦长问题、面积问题专项训练 考点目录 弦长问题 面积问题 考点一 弦长问题 例1．（25-26高三上·天津津南·阶段检测）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，椭圆的左，右顶点分别为、，是椭圆的右焦点，且. (1)求椭圆的方程； (2)直线过点且与椭圆相交于、两点，，点与关于轴对称，点与关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为. （ⅰ）求证：为定值，并求出这个定值； （ⅱ）若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（ⅰ）因为、，所以、， 又因为在椭圆上，所以，， 所以，， 则. （ⅱ） 【分析】（1）由待定系数法即可求得椭圆的标准方程； （2）（ⅰ）由点差法计算可求得为定值；（ⅱ）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，消去，由韦达定理结合弦长公式可得，求解即可求得直线的方程. 【详解】（1）由椭圆：，可得，右焦点， 所以，所以， 又，所以， 又椭圆的离心率为，所以，所以， 解得，所以椭圆的方程为； （2）（ⅰ）略. （ⅱ）显然直线与轴不重合，设直线的方程为，, 由,得， 所以，解得. 由根与系数的关系可得， 所以， ， 由，得， 所以，即， 解得或（舍去），所以， 所以直线的方程为. 例2．（25-26高二下·上海黄浦·期末）已知、分别为椭圆C：的左、右焦点，直线l交椭圆C于A、B两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆C的离心率e的值； (2)若直线l过点且与圆相切，求弦长的值； 【答案】(1) ，， (2) 【分析】（1） 利用椭圆标准方程直接求焦点、离心率； （2）结合直线与圆相切的条件求直线方程，最后用弦长公式计算弦长. 【详解】（1）椭圆为标准形式，得，， 因此，. 故焦点坐标为，，离心率. （2）当直线的斜率存在时， 设过的直线方程为，即. 因直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径1： ， 平方化简得，即. 将代入椭圆方程，代入整理得： 设，由韦达定理得，. 由弦长公式： 代入数值计算： 斜率不存在时直线到原点距离为，不满足相切，故舍去，最终.    例3．（2026·江西·模拟预测）已知椭圆：的焦距为，且离心率为．过点的直线与椭圆交于，两点，已知点为抛物线的焦点，为直线上的一点，且． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)求点的横坐标． 【答案】(1)，4 (2)． 【分析】（1）根据离心率及焦距列方程求解即可； （2）先设直线，再与椭圆联立得出韦达定理，再应用向量共线列式计算求解. 【详解】（1）依题意，椭圆的半焦距 由椭圆的离心率为， 得 椭圆的方程为． 长轴长． （2）当直线的斜率不为0时， 设其方程为， 由，得 得到，且． 点为抛物线的焦点， 如图，设，由点是直线上一点， 则存在实数，使得 则，即， 由，得 则，故， 因为，所以，即得， 代入可得 ． 当直线的斜率为0时，不妨取，，符合题意． 故点的横坐标为． 变式1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是抛物线：（）的焦点，点在上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线交于，两点，且，求的值． 【答案】(1) (2)2或． 【分析】（1）代入点的坐标，结合抛物线定义，联立方程求出即可求出抛物线的方程； （2）设直线方程，联立抛物线方程，表示出韦达定理，利用弦长公式求出和，化简求解对应方程的根即可求出的值. 【详解】（1）解：因为点在上，所以①， 根据抛物线的定义可知，②，由①②解得， 所以抛物线的方程为； （2）设直线的方程，，， 联立方程组，化简整理得， 则，，， 由弦长公式可得， 代入，解得， 因为，又因为， 所以， 令，则，解得或，即或， 所以或， 因此的值为2或． 变式2．（2026·河北衡水·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，直线与交于两点，且弦长的最大值为. (1)求C的标准方程； (2)若原点到直线的距离为，求弦长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据弦长的最大值为，得，结合椭圆的离心率求出半焦距，进而得到，求得椭圆的标准方程； （2）分斜率存在与否两种情况，设直线的方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、弦长公式及点到直线的距离公式，，结合基本不等式可得结果. 【详解】（1）设椭圆的焦距为. 由题意得，，， 所以，，， 故C的标准方程为.    （2）当直线的斜率不存在时，其方程为：， 由，得，所以弦长； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 由原点O到直线l的距离为，可得，即， 联立方程组， 消去得，. 设，， 则，， ， 设， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 因为， 故弦长的最大值为. 变式3．（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线的焦点为，以为圆心，以1为半径作圆，过点的直线与交于，两点，与圆交于，两点，其中，在第二象限. (1)若，求的斜率； (2)证明：为定值； (3)为坐标原点，若点，分别在直线，上，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）联立直线与抛物线方程求出韦达定理，代入焦点弦长公式即可求解； （2）利用焦半径公式来表示和计算即可求证； （3）由直线AO和BO的直线方程求出，再结合（1）中韦达定理求出，接着令进行换元得到关于k的表达式，利用一元二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）设，. 显然直线不与轴垂直，故设直线， 由得，，则，. ， 解得. （2）由抛物线的定义可知，， ， 即为定值. （3）由题意知点、在直线上. 由上面的过程可知. ，的方程为，由得. 同理的方程为，由得. ， 设，，则， ， ∴当，即，也即时，取得最小值为. 考点二 面积问题 例1．（25-26高二下·贵州黔南·期末）著名的古希腊数学家阿基米德首次利用“逼近法”得到了椭圆的面积公式为：（其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长）.已知椭圆C：的面积为，左、右焦点分别为，，A是椭圆C上的动点，且点A到点，的距离之和为. (1)求椭圆C的标准方程. (2)设椭圆C的右焦点为，过点作斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两点，设直线和的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）由（1）可知，所以，所以右焦点为， 设过点的直线方程为， 将直线代入椭圆方程得， 整理得，设， 由韦达定理得， 因为直线与椭圆有两个交点，所以，解得. ； （ⅱ） 【分析】（1）利用已知求得的关系式，进而求解即可； （2）（i）求得右焦点为，设过点的直线方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可得，进而计算可证得结论.（ⅱ）利用，结合根与系数的关系可得，进而利用换元法与基本不等式可求得面积的最大值. 【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆C的标准方程为. （2）（ⅱ） ， 令，所以， 所以， 当且仅当，即（此时）取等号. 所以面积的最大值为.    例2．（25-26高二下·河南平顶山·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆：，且点到C的上顶点以及右顶点的距离分别为和1. (1)求的标准方程. (2)过点T的直线与交于A，B两点，设M为线段的中点. （i）证明：点M在曲线上； （ii）若的面积为，求的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明：当直线不垂直于轴时，设其方程为. 代入，得，整理得. 设交点A，B的横坐标分别为，，则， 所以中点M的横坐标为. 因为点M在直线上，所以中点M的纵坐标为. 于是， 即点在曲线上. 当直线垂直于轴时，直线的方程为， 易得线段的中点也满足. 综上，点M在曲线上. （ii）或. 【分析】（1）利用椭圆顶点坐标与两点间的距离公式，直接求出的值，写出标准方程； （2）（i）分直线斜率存在与不存在两种情况，联立直线与椭圆方程，用韦达定理求中点坐标，代入曲线方程验证即可； （ii）排除直线垂直于轴的情况，利用中点纵坐标表示三角形面积，列方程求出斜率，进而得到直线方程. 【详解】（1）椭圆：的上顶点为，右顶点为. 由点到上顶点的距离为，得，所以，又，所以. 由点到右顶点的距离为1，得，即或，又，所以. 因此椭圆的标准方程为. （2）（i）略 （ii）若直线垂直于轴，则，点M，T重合，不合题意. 故由（2）（i），得，而，， 所以的面积为. 由题意，得，所以，即. 令，则，且，整理得，即，所以， 故或. 因此直线的方程为或，即或.    例3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：，点，其中．过点作抛物线的两条切线，切点分别为，． (1)求切点弦的方程； (2)若的面积为4，求点的坐标及两条切线的方程． 【答案】(1)切点弦的方程为 (2)，两条切线方程为和 【分析】（1）设切点为，求导得出抛物线的切线方程，利用切线经过，推得，求出点的坐标，即得切点弦的方程； （2）利用（1）的结论和的面积列方程求出，进而求出或，回代入切线方程即得答案. 【详解】（1）因抛物线方程为，可设切点为． 由求导得，则切线斜率为， 故该点处切线方程为，即． 因为切线经过，所以，则． 由于，则． 对应的两个切点分别为，． 所以切点弦的方程为． （2）由（1）可知． 又点到直线的距离为． 由题意，． 令，则，即．所以，从而，故． 当时， 或． 代入方程，即得两条切线分别为和． 变式1．（2026·江西南昌·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，离心率为，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)动直线过点且与椭圆的另一个交点为，若，求△面积的最大值. 【答案】(1) (2)最大值为 【分析】（1）根据椭圆性质与离心率即可求解； （2）讨论直线方程，通过求解点与点坐标，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）已知椭圆的上顶点为，所以， 因为离心率，且， 所以，， 则椭圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线过点，直线方程为，此时、、三点共线，不满足题意， 所以直线斜率必存在，设直线方程为， 联立得， ， 解得方程两根为，， 因此，所以点坐标为， 因为，所以设， 则，，即 ， 直线的方程为 ，所以点到直线的距离为， 而，所以， ， 所以， 当时，，当时，有， 所以，当且仅当时等号成立. 所以最大值为.    变式2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆过点，离心率，过椭圆E的右焦点F作相互垂直的直线AB，CD与椭圆E分别交于A，B，C，D四点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)求四边形ACBD面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆过点和离心率直接可得椭圆方程； （2）根据直线的斜率进行分类讨论，由弦长公式可得，再由直接计算四边形的面积，由基本不等式可得最小值. 【详解】（1）因为椭圆过点，离心率，且. 所以，，即，得， 代入，得，即，所以. 故椭圆的标准方程为. （2）当直线AB的斜率存在且不等于零时，设斜率为． 因为，所以直线CD的斜率为． 因为右焦点，所以直线AB的方程为，设，． 由，消去y得． 则， 可得，． 则， 同理可得． 因为，所以 ． 当且仅当，即时，等号成立，四边形ACBD面积有最小值； 当直线AB的斜率不存在时，或者斜率等于零时，AB与CD位置互换， 此时，，，或者，， 所以． 因为，所以四边形ACBD面积的最小值为． 变式3．（2026·北京西城·二模）已知椭圆（）的左焦点为，点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记和的面积分别为和，求证：. 【答案】(1) (2) 由题意，直线的斜率显然存在且不为0， 设直线的方程为，，， 联立，得， 则，即或， 且，则， 而 ， ，故. 【分析】（1）将点代入椭圆方程可得，结合焦点可得，进而结合的关系求解即可； （2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，进而求证即可. 【详解】（1）由点在椭圆C上，得， 而左焦点为，则，即，解得， 则椭圆C的方程为. （2）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：弦长问题、面积问题专项训练 圆锥曲线：弦长问题、面积问题专项训练 考点目录 弦长问题 面积问题 考点一 弦长问题 例1．（25-26高三上·天津津南·阶段检测）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，椭圆的左，右顶点分别为、，是椭圆的右焦点，且. (1)求椭圆的方程； (2)直线过点且与椭圆相交于、两点，，点与关于轴对称，点与关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为. （ⅰ）求证：为定值，并求出这个定值； （ⅱ）若，求直线的方程. 例2．（25-26高二下·上海黄浦·期末）已知、分别为椭圆C：的左、右焦点，直线l交椭圆C于A、B两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆C的离心率e的值； (2)若直线l过点且与圆相切，求弦长的值； 例3．（2026·江西·模拟预测）已知椭圆：的焦距为，且离心率为．过点的直线与椭圆交于，两点，已知点为抛物线的焦点，为直线上的一点，且． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)求点的横坐标． 变式1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是抛物线：（）的焦点，点在上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线交于，两点，且，求的值． 变式2．（2026·河北衡水·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，直线与交于两点，且弦长的最大值为. (1)求C的标准方程； (2)若原点到直线的距离为，求弦长的最大值. 变式3．（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线的焦点为，以为圆心，以1为半径作圆，过点的直线与交于，两点，与圆交于，两点，其中，在第二象限. (1)若，求的斜率； (2)证明：为定值； (3)为坐标原点，若点，分别在直线，上，求的最小值. 考点二 面积问题 例1．（25-26高二下·贵州黔南·期末）著名的古希腊数学家阿基米德首次利用“逼近法”得到了椭圆的面积公式为：（其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长）.已知椭圆C：的面积为，左、右焦点分别为，，A是椭圆C上的动点，且点A到点，的距离之和为. (1)求椭圆C的标准方程. (2)设椭圆C的右焦点为，过点作斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两点，设直线和的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ⅱ）求面积的最大值. 例2．（25-26高二下·河南平顶山·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆：，且点到C的上顶点以及右顶点的距离分别为和1. (1)求的标准方程. (2)过点T的直线与交于A，B两点，设M为线段的中点. （i）证明：点M在曲线上； （ii）若的面积为，求的方程. 例3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：，点，其中．过点作抛物线的两条切线，切点分别为，． (1)求切点弦的方程； (2)若的面积为4，求点的坐标及两条切线的方程． 变式1．（2026·江西南昌·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，离心率为，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)动直线过点且与椭圆的另一个交点为，若，求△面积的最大值. 变式2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆过点，离心率，过椭圆E的右焦点F作相互垂直的直线AB，CD与椭圆E分别交于A，B，C，D四点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)求四边形ACBD面积的最小值． 变式3．（2026·北京西城·二模）已知椭圆（）的左焦点为，点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记和的面积分别为和，求证：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $