第16讲 椭圆的简单几何性质（八大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第16讲 椭圆的简单几何性质 【人教A版】 模块二 椭圆的简单几何性质 【知识点1 椭圆的简单几何性质】 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 2．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a. 这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 【题型1 根据椭圆的有界性求范围或最值】 【例1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解题思路】设，确定，根据二次函数性质得到最值. 【解答过程】由题意可知：，设， 由可得，， 则， 因为，可知当时，最大为. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设点，其中，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【解答过程】对于椭圆， 则，，， 所以、， 设点，其中，且，故， 所以，， 故， 故当时，取最小值. 故选：A. 【变式1-2】（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知点P是椭圆 上的动点，则点P到直线的距离最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意设，利用点到直线的距离公式表示出点P到直线的距离，结合辅助角公式化简即可求得答案. 【解答过程】由题意点P是椭圆 上的动点，设， 则点P到直线的距离为 ，其中， 当时，取最小值， 故选：D. 【变式1-3】（25-26高二上·浙江温州·期中）已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，则，利用椭圆的焦半径公式求出的取值范围，再结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【解答过程】在椭圆中，，，则，即， 设点，则，且，可得， 所以， 所以， 当且仅当为椭圆的左端点，且为射线与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， ， 当且仅当为椭圆的右端点，且为线段与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 【题型2 椭圆的对称性及其应用】 【例2】（25-26高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【答案】C 【解题思路】设椭圆的左焦点为，连接，得到，结合椭圆的定义，即可求解. 【解答过程】因为若是椭圆的右焦点，且，可得， 设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性，可得， 所以. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高二上·浙江绍兴·期中）已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ） A．[51,76] B．[52,76] C．[64,80] D．[68,80] 【答案】C 【解题思路】由是左焦点，连接，利用椭圆对称性及定义，将目标式化为，结合及二次函数性质求范围. 【解答过程】若是左焦点，连接，又关于原点对称，    所以为平行四边形或为左右顶点，则， 由，则， 故，则 ，开口向上且对称轴为，又， 所以. 故选：C. 【变式2-2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，若过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于A，B两点，则___________. 【答案】6 【解题思路】根据给定条件，利用椭圆的对称性及定义求得答案. 【解答过程】依题意，点关于原点对称，而为线段中点，连接， 则四边形为平行四边形，， 所以. 故答案为：6. 【变式2-3】（25-26高三上·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的左焦点，，是椭圆上关于原点对称的两点，且，则________． 【答案】 【解题思路】求出的坐标，利用两点间的距离公式即可得 【解答过程】解法一：在椭圆中，，∴， 在椭圆上关于原点对称， 设，由对称性，不妨设点在第一象限， 所以， 因为，所以，， ，或， 所以， 所以. 解法二：，，是椭圆上关于原点对称的两点， 则. 故答案为：. 【题型3 利用椭圆的几何性质求标准方程】 【例3】（25-26高三上·江苏·期末）已知椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据离心率公式以及椭圆经过的点，结合椭圆中的关系即可求解. 【解答过程】由题意可得，解得， 故椭圆方程为， 故选：A. 【变式3-1】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出的值，结合离心率求出的值，即得椭圆方程. 【解答过程】 如图依题意，的周长为， 解得． 设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，解得． 所以． 故椭圆的标准方程为． 故选：D. 【变式3-2】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上； (2)过点，离心率； 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）分焦点在x轴，y轴两种情形，结合几何性质列式求解； （2）利用离心率并再分焦点在x轴，y轴两种情形求解. 【解答过程】（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上， 长轴长为4，短轴长为2，即，， 则有，， 故要求椭圆的标准方程为； （2）若椭圆的焦点在x轴上，设方程为. 则，所以，，， 即椭圆方程为. 若椭圆的焦点在y轴上，设方程为， 则，又，解得， 故椭圆方程为. 【变式3-3】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）根据下列条件求椭圆的标准方程. (1)焦点在轴上，过点，离心率； (2)一个焦点为，过点； (3)短轴长为2，离心率. 【答案】(1) (2). (3)或. 【解题思路】（1）由题意确定椭圆焦点位置，建立的方程组，求解即得椭圆的方程； （2）由题意确定椭圆焦点位置，建立的方程组，求解即得椭圆的方程； （3）先根据条件求出，再按焦点在轴和轴上分两种情况，即可求得椭圆方程. 【解答过程】（1）因为椭圆的焦点在轴上，可设其标准方程为， 因为椭圆过点，离心率， 则有， 解得， 故椭圆的标准方程为. （2）因椭圆的一个焦点在轴上，且， 可设椭圆的标准方程为， 由点在椭圆上，代入可得 又，联立解得， 故椭圆的标准方程为. （3）由题意知 ，联立解得 故当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为， 故椭圆的标准方程为或. 【题型4 求椭圆的焦点、焦距】 【例4】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据椭圆的标准方程，结合椭圆的焦点坐标进行求解即可. 【解答过程】因为椭圆的一个焦点坐标为， 所以该椭圆的焦点在纵轴上， 因此有，且， 故选：C. 【变式4-1】（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知A，B 分别为椭圆的右、上顶点，若的中点坐标为，则C的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由椭圆方程求出点的坐标，进而求得，代回椭圆方程并求得焦点坐标. 【解答过程】因为分别为椭圆的右顶点和上顶点，则， 令，得，故，令，得，故， 又的中点坐标为，所以，解得， 所以椭圆方程为，所以，则， 所以椭圆的焦点坐标为. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）若椭圆的焦距为，则实数的值为（    ） A．24 B．9 C．1 D．9或1 【答案】B 【解题思路】由椭圆定义可得范围，再利用焦距定义分类讨论即可得. 【解答过程】由题意可得，即或； 当时，有，解得； 当时，有，解得，不符，故舍去， 综上可得. 故选：B. 【变式4-3】（25-26高二下·广东深圳·期中）已知为椭圆上一点，则C的焦距为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将点代入C的方程得，故，再根据焦距概念得解. 【解答过程】因为点在C上，代入C的方程得，解得，故， 所以C的焦距为. 故选：C. 【题型5 求椭圆的长轴、短轴】 【例5】（25-26高二上·四川内江·阶段检测）已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的距离最大值为3，最小值为1，则椭圆的短轴长是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意得到，结合求解即可. 【解答过程】由题意可得：， 解得：， 所以，则， 所以椭圆的短轴长是， 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【解题思路】根据椭圆方程求得长轴长和短轴长，由题意列方程求解即可. 【解答过程】椭圆：的长轴长为，短轴长为， 由题意，平方化简得，又，解得． 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知椭圆的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为8，则椭圆的长轴长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，求出圆心坐标即得椭圆半焦距，进而求出长轴长. 【解答过程】将配方得，故圆心为， 即得椭圆的右焦点为， 而该椭圆的短轴长为8，则其长半轴长， 所以该椭圆的长轴长为10. 故选：B. 【变式5-3】（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知椭圆的两个焦点为，且.若在椭圆上，，三点不共线，且，则椭圆的长轴长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据正弦定理得到与的关系，再结合椭圆的定义得到与和的关系，进而求出关于的表达式，再由的范围得出结论. 【解答过程】因为，且三点不共线， 在中，由正弦定理得 ，所以，又， 所以.因为，即，又， 所以，又三点不共线， 所以，由，得， 所以，即椭圆长轴长的取值范围是. 故选：B. 【题型6 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例6】（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知椭圆的两个焦点分别为，，左顶点为，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆性质，可得，，，进而可得，，在中，结合余弦定理，可得，即可求得其离心率. 【解答过程】由题意，椭圆的焦点在轴上，所以，，， 所以在中，，， 又在椭圆中，，所以， 由余弦定理，可得， 即，化简得， 解得，即. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立a、c关系求解离心率． 【解答过程】设椭圆左焦点为，连接，    由A、B关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率． 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，根据椭圆的定义以及勾股定理分别表示出，再由离心率计算公式可求结果. 【解答过程】设，则，由椭圆的定义，得， 因为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，所以， 在中，，即， 所以离心率， 故选：A． 【变式6-3】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】取椭圆的上顶点，可根据求离心率的取值范围. 【解答过程】如图： 取椭圆的上顶点，因为存在，分别是上第二、四象限上的点，使得四边形为矩形，所以必有. 即 . 所以 . 所以，又椭圆的离心率， 所以. 故选：D. 【题型7 根据椭圆的离心率求参数】 【例7】（25-26高二上·天津静海·期中）椭圆的离心率为，则（    ） A．8 B．2或8 C．4或8 D．8或12 【答案】B 【解题思路】分焦点在轴与轴两种情况讨论，分别确定，，再由离心率公式得到方程，解得即可. 【解答过程】当焦点在轴时，，则，， 所以，解得. 当焦点在轴时，，则，， 所以，解得. 所以或, 故选：B． 【变式7-1】（25-26高二下·湖北·期中）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（   ） A． B．9 C． D．12 【答案】B 【解题思路】由离心率的定义即可求解. 【解答过程】由题意可知：， 所以， 解得：， 故选：B. 【变式7-2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数的取值范围. 【解答过程】由椭圆方程， 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得； 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 【变式7-3】（25-26高三下·云南昆明·开学考试）已知椭圆和椭圆有相同的离心率，则（   ） A． B． C．或4 D．或4 【答案】D 【解题思路】根据题意，求出椭圆离心率，分焦点在轴或轴上讨论列出方程，即可求解. 【解答过程】易知椭圆的离心率为， 对于椭圆， 当焦点在轴上时离心率为，解得； 当焦点在轴上时离心率为，解得， 所以或. 故选：D． 【题型8 椭圆的实际应用】 【例8】（25-26高二上·江苏泰州·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程，求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【解答过程】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，    则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为 ， 又，所以. 故选：A. 【变式8-1】（2026·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率. 【解答过程】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 【变式8-2】（2026·贵州毕节·模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答. 【解答过程】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点， 对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由，得，， 在中，，则，， 由正弦定理得，，解得，则， 所以该椭圆的离心率. 故选：A. 【变式8-3】（25-26高二上·上海·期末）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 【答案】C 【解题思路】建立平面直角坐标系，利用椭圆的标准方程及性质可判断各选项. 【解答过程】如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴， 以的方向为轴正方向建立直角坐标系， 则可设轨道所在的椭圆的标准方程为， 则由已知，， 所以，，故离心率为，故A正确； 以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为， 所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为， 故B正确，C错误， 因为近火星点与远火星点的距离为，故D正确. 故选：C． 模块三 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆的焦点在轴上，且其短轴长等于焦距，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的几何性质结合焦点在轴上求出，再利用短轴长等于焦距构造方程，解方程求． 【解答过程】椭圆的焦点在轴上， ，，， 其短轴长等于焦距， ，解得，故D正确． 故选：D． 2．（25-26高二上·甘肃陇南·期末）椭圆的短轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将椭圆的方程化成标准方程，写出其短半轴长即得. 【解答过程】由可得， 则椭圆的短半轴长为，短轴长为. 故选：A. 3．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据椭圆的定义判断即可. 【解答过程】将椭圆方程变形得，则. 所以，所以该椭圆焦点为. 对于A，，A错误； 对于B，椭圆焦点位于轴上，不位于轴上，B错误； 对于C，，且焦点位于轴上，，所以短轴长为2， 符合题意，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C. 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知点是椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于两点，满足，则该椭圆的离心率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设椭圆左焦点为，连接，由题设易得，设，可得，，，进而结合勾股定理及余弦定理建立方程得到，，进而求解即可. 【解答过程】设椭圆左焦点为，连接， 由，则为直角三角形，且， 设，由，得， 由椭圆定义可得，，， 在中，由， 则，即， 由，且， 在中，， 所以，则， 所以，则， 即，则，即， 所以椭圆的离心率为. 故选：C. 5．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的长轴长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先利用椭圆知识得到三边与的关系，然后将的面积用表示，从而得到的值，进而得到长轴长. 【解答过程】由椭圆的定义可知，又，可得，. 已知椭圆的离心率为，故. 在中，由余弦定理可得， 因为，所以. 则， 于是，解得， 故椭圆的长轴长为12. 故选：D. 6．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型（如图），其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的长轴长为20cm，则小椭圆的短轴长为（   ） A．30cm B．20cm C．cm D．10cm 【答案】D 【解题思路】根据两个椭圆的扁平程度相同，由两个椭圆的离心率相同求解. 【解答过程】因为两个椭圆的扁平程度相同， 所以两个椭圆的离心率相同， 所以两椭圆长轴长与短轴长的比例相同， 即，即， 解得， 所以小椭圆的短轴长为10cm， 故选：D. 7．（25-26高二上·河北·阶段检测）若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设是椭圆的左右焦点，进而根据题意，结合椭圆的定义得，再结合，即可得答案. 【解答过程】设是椭圆的左右焦点， 又椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为， ，又， ， ，解得，即， 又椭圆离心率的取值范围为，. 故选：C. 8．（25-26高三上·辽宁锦州·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则下列结论错误的是（ ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为6 C．椭圆上存在点，使得 D．若，则的面积为 【答案】C 【解题思路】根据椭圆上的点到焦点距离的最值列式计算得出，计算判断A，应用椭圆定义计算判断B，结合数量积坐标公式结合椭圆方程计算求解判断C，应用焦点三角形面积公式计算判断D. 【解答过程】由题意得，的最大值为3，最小值为1，，解得， 椭圆的离心率为，正确. 点在上，根据椭圆的定义有，又两焦点间距离为，故的周长为，正确 设，椭圆的左，右焦点分别为，，， 若，则，即， 点在上，，联立得，即，无实数解，因此椭圆上不存在这样的点，不正确. 设，因为，所以在中， 而，所以， 正确. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）若椭圆的焦距是2，离心率是，则其标准方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】由焦距和离心率求出，讨论焦点位置得到标准方程. 【解答过程】因为椭圆的焦距为，所以， 又离心率，所以，所以， 若椭圆焦点在轴，则标准方程为; 若椭圆焦点在轴，则标准方程为. 故选：BC. 10．（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知曲线，则（    ） A．当时，是焦距为的椭圆 B．当是焦点在轴上的椭圆时， C．若曲线为椭圆，的取值范围是 D．若椭圆的离心率为时， 【答案】AB 【解题思路】当时，求出椭圆的焦距，可判断A选项；根据方程所表示的曲线的形状求出的取值范围，可判断BC选项； 对椭圆焦点位置进行分类讨论，根据椭圆的离心率公式可得出关于的等式，求出的值，可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，当时，曲线的标准方程为，则，， 所以，此时椭圆是焦距为的椭圆，A对； 对于B选项，若是焦点在轴上的椭圆，则，解得，B对； 对于C选项，若曲线为椭圆，则，解得或，C错； 对于D选项，若椭圆的焦点在轴上时，，则，， 所以，解得，符合题意， 若椭圆的焦点在轴上，则，解得， 则，，所以，解得， 综上所述，若椭圆的离心率为时，或，D错. 故选：AB. 11．（25-26高二上·江西抚州·期中）已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（   ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为 C．不存在点Q，使得 D．的最小值为 【答案】CD 【解题思路】由题设，可得，， 对于A,由离心率公式可判断； 对于B，由即可判断； 对于C，由，即，即可判断； 对于D，由椭圆的定义有，然后利用基本不等式求解即可判断. 【解答过程】由题设，，则，又在椭圆内部，则，即， 对A：，故选项A错误； 对B：当时，有，则，故选项B错误； 对C：由，即，所以以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点， 所以椭圆上不存在点Q使得，故选项C正确； 对D：由椭圆的定义有， 所以 ，当且仅当时等号成立， 当时，,由于，则能取到，满足条件； 当时，,由于，则不能取到，此时, 综上选项D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．（25-26高二上·广西·阶段检测）已知椭圆的长轴长为6，且离心率为，则椭圆的标准方程为__________. 【答案】 【解题思路】由长轴长为6得到，从而得到，由离心率为得到，从而得到，由计算出，继而得到椭圆的方程. 【解答过程】长轴长为6，，， 离心率为，，，， ，，椭圆的方程为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】根据椭圆的方程和离心率公式可得到，结合椭圆的离心率的取值范围解不等式即可. 【解答过程】依题意，设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则，所以， 又椭圆的离心率为，所以， 即，即，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与椭圆相交于另一点，且，则椭圆的离心率为__________. 【答案】/ 【解题思路】设，结合已知求得，根据点在曲线上列方程，从而得到齐次方程，即可得. 【解答过程】设，由题，，且， 所以，则， 所以，则， 所以，即，解得， 故椭圆的离心率为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·天津宁河·期中）设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且. (1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率； (2)求的面积； 【答案】(1)椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点为，； 顶点为，，，；离心率. (2) 【解题思路】（1）由椭圆方程求得，由此可依次求得结果； （2）利用椭圆的定义和勾股定理可构造方程求得，由此可求得三角形面积. 【解答过程】（1）由椭圆方程得，，，， 所以椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点为，；顶点为，，，；离心率. （2）由椭圆的定义知：，， 因为，所以， 即，解得， 所以. 16．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)离心率是，长轴长是12； (2)过点和； (3)焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 【答案】(1)或； (2)； (3). 【解题思路】（1）由椭圆的性质分焦点在x轴上和在y轴上可求； （2）设椭圆的标准方程，代入点坐标可得； （3）设椭圆方程为，由可解. 【解答过程】（1）由题意可得，又，则， 当焦点在x轴上时，椭圆方程为， 当焦点在y轴上时，椭圆方程为. （2）设椭圆的标准方程， 由于椭圆过点和， 代入可得，解得， 所以椭圆的方程为：. （3）设椭圆方程为， 则，，解得， 所以椭圆方程为. 17．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，为坐标原点. (1)若为等边三角形，求的离心率； (2)如果存在点，使得，且的面积等于16，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先连结，由为等边三角形，得到，；再结合椭圆定义，即可求出的离心率； （2）利用勾股定理，结合椭圆的定义可得，可求得的值. 【解答过程】（1）连接，因为为等边三角形，所以，， 因为，所以，所以， 在中，因为，，所以， 于是， 故椭圆的离心率为； （2）因为为椭圆上一点，所以，又， 所以，， 即，所以， 又，所以，解得. 18．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，且面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合椭圆的离心率、的面积最大值及椭圆的基本关系（）列方程组，求解、、，得到椭圆的标准方程. （2）利用椭圆的定义（）和勾股定理（由得）联立方程，求解、，结合得出比值. 【解答过程】（1）设椭圆的焦距为， 由题意可得解得，，， 则椭圆的标准方程为. （2）由椭圆的定义可知.① 因为，所以.② 联立①②，得，或，. 因为，所以，则. 19．（25-26高二上·上海·期中）已知，椭圆． (1)若椭圆的两个焦点和一个短轴顶点构成面积为2的三角形，求椭圆的方程和离心率； (2)设点的坐标为 ，为椭圆上的动点，若为椭圆右顶点时，取到最小值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先由椭圆方程，得到，再利用三角形面积为2，列方程求出，则由，故可以写出椭圆方程和离心率； （2）设出，利用在椭圆上得到之间的关系，再表示出关于的表达式为，根据条件得到在当时有最小值得到，最后结合题目求解的取值范围. 【解答过程】（1）由椭圆方程，得， 设焦点为,短轴顶点为,则，即，所以 ，所以椭圆方程为，离心率 （2）设 则，即，； ， 令，， 因为，所以，所以为开口朝上的抛物线，对称轴为； 因为为椭圆右顶点时，取到最小值，所以当时，有最小值； 所以，即， 因为，所以，解得， 又因为，所以，所以的取值范围是. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 椭圆的简单几何性质 【人教A版】 模块二 椭圆的简单几何性质 【知识点1 椭圆的简单几何性质】 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 2．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a. 这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 【题型1 根据椭圆的有界性求范围或最值】 【例1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式1-1】（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知点P是椭圆 上的动点，则点P到直线的距离最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·浙江温州·期中）已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型2 椭圆的对称性及其应用】 【例2】（25-26高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【变式2-1】（25-26高二上·浙江绍兴·期中）已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ） A．[51,76] B．[52,76] C．[64,80] D．[68,80] 【变式2-2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，若过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于A，B两点，则___________. 【变式2-3】（25-26高三上·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的左焦点，，是椭圆上关于原点对称的两点，且，则________． 【题型3 利用椭圆的几何性质求标准方程】 【例3】（25-26高三上·江苏·期末）已知椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上； (2)过点，离心率； 【变式3-3】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）根据下列条件求椭圆的标准方程. (1)焦点在轴上，过点，离心率； (2)一个焦点为，过点； (3)短轴长为2，离心率. 【题型4 求椭圆的焦点、焦距】 【例4】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知A，B 分别为椭圆的右、上顶点，若的中点坐标为，则C的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）若椭圆的焦距为，则实数的值为（    ） A．24 B．9 C．1 D．9或1 【变式4-3】（25-26高二下·广东深圳·期中）已知为椭圆上一点，则C的焦距为（    ） A．1 B． C． D． 【题型5 求椭圆的长轴、短轴】 【例5】（25-26高二上·四川内江·阶段检测）已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的距离最大值为3，最小值为1，则椭圆的短轴长是（    ） A． B．2 C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式5-2】（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知椭圆的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为8，则椭圆的长轴长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式5-3】（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知椭圆的两个焦点为，且.若在椭圆上，，三点不共线，且，则椭圆的长轴长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例6】（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知椭圆的两个焦点分别为，，左顶点为，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 根据椭圆的离心率求参数】 【例7】（25-26高二上·天津静海·期中）椭圆的离心率为，则（    ） A．8 B．2或8 C．4或8 D．8或12 【变式7-1】（25-26高二下·湖北·期中）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（   ） A． B．9 C． D．12 【变式7-2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高三下·云南昆明·开学考试）已知椭圆和椭圆有相同的离心率，则（   ） A． B． C．或4 D．或4 【题型8 椭圆的实际应用】 【例8】（25-26高二上·江苏泰州·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·贵州毕节·模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高二上·上海·期末）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 模块三 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆的焦点在轴上，且其短轴长等于焦距，则（   ） A． B． C． D．2 2．（25-26高二上·甘肃陇南·期末）椭圆的短轴长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知点是椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于两点，满足，则该椭圆的离心率为（    ） A．1 B． C． D． 5．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的长轴长为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型（如图），其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的长轴长为20cm，则小椭圆的短轴长为（   ） A．30cm B．20cm C．cm D．10cm 7．（25-26高二上·河北·阶段检测）若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·辽宁锦州·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则下列结论错误的是（ ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为6 C．椭圆上存在点，使得 D．若，则的面积为 二、多选题 9．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）若椭圆的焦距是2，离心率是，则其标准方程可能是（   ） A． B． C． D． 10．（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知曲线，则（    ） A．当时，是焦距为的椭圆 B．当是焦点在轴上的椭圆时， C．若曲线为椭圆，的取值范围是 D．若椭圆的离心率为时， 11．（25-26高二上·江西抚州·期中）已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（   ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为 C．不存在点Q，使得 D．的最小值为 三、填空题 12．（25-26高二上·广西·阶段检测）已知椭圆的长轴长为6，且离心率为，则椭圆的标准方程为__________. 13．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是__________. 14．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与椭圆相交于另一点，且，则椭圆的离心率为__________. 四、解答题 15．（25-26高二上·天津宁河·期中）设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且. (1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率； (2)求的面积； 16．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)离心率是，长轴长是12； (2)过点和； (3)焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 17．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，为坐标原点. (1)若为等边三角形，求的离心率； (2)如果存在点，使得，且的面积等于16，求的值. 18．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，且面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若，且，求的值. 19．（25-26高二上·上海·期中）已知，椭圆． (1)若椭圆的两个焦点和一个短轴顶点构成面积为2的三角形，求椭圆的方程和离心率； (2)设点的坐标为 ，为椭圆上的动点，若为椭圆右顶点时，取到最小值，求的取值范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $