第15讲 椭圆及其标准方程（八大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第15讲 椭圆及其标准方程 【人教A版】 模块二 椭圆的标准方程 【知识点1 椭圆及其标准方程】 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【题型1 椭圆的定义及辨析】 【例1】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上一点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】由椭圆定义进行求解. 【解答过程】显然，，由椭圆定义可得 故选：B. 【变式1-1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【解题思路】首先求出，再根据椭圆的定义求解. 【解答过程】椭圆 ，其中， 是椭圆 上的动点， 根据椭圆的定义可得 到该椭圆的两个焦点的距离之和为. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如果椭圆上一点P与焦点的距离等于3，那么点P与另一个焦点的距离是（   ） A．5 B．13 C．1 D．3 【答案】A 【解题思路】由椭圆的定义，则即可求解. 【解答过程】由椭圆方程得，由椭圆的定义得， 则 故选：A. 【变式1-3】（25-26高二上·江西萍乡·期中）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．9 B．18 C．20 D．36 【答案】B 【解题思路】由得，设得，然后由勾股定理建立方程组，然后化简得到. 【解答过程】∵，∴， 设，则， ∵，∴，∴， 即. 故选：B. 【题型2 曲线方程与椭圆】 【例2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据椭圆的标准方程的类型列式可得结果. 【解答过程】方程表示焦点在轴上的椭圆， 则,解得：, 所以实数的取值范围是， 故选：C. 【变式2-1】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的标准方程，即可确定参数的范围. 【解答过程】由方程表示的曲线是椭圆，则且， 故选：D. 【变式2-2】（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解题思路】先求出方程表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件，再进行判断. 【解答过程】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得， 所以“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式2-3】（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测）已知方程表示焦点在轴的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据焦点在轴上的椭圆的标准方程特点列不等式，求解的取值范围即可. 【解答过程】因为方程表示焦点在轴的椭圆， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：A. 【题型3 椭圆标准方程的求解】 【例3】（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据过点，得出，结合，可得，即可得出椭圆方程. 【解答过程】因为椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以，， 则，所以椭圆方程为. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高二下·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件设出椭圆的标准方程，再代点列方程组求系数即可. 【解答过程】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的一个焦点为，且过点，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆经过，两点，求椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分析可知椭圆的焦点在轴上，且，，进而可得以及椭圆方程； （2）设椭圆方程为，代入点运算求解即可. 【解答过程】（1）根据题意可知：椭圆的焦点在轴上，且，， 则，所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆方程为， 代入点，可得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 【变式3-3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据焦点坐标得到，根据点坐标得到，然后解方程即可； （2）设椭圆方程，然后将点坐标带入，解方程即可. 【解答过程】（1）设椭圆的标准方程为，则①， 将带入椭圆方程得到②， 联立①②解得，， 所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的标准方程为，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【题型4 根据椭圆方程求a、b、c】 【例4】（25-26高二上·河北唐山·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．3 B．5 C．11 D．8 【答案】A 【解题思路】利用椭圆的标准方程的形式，结合条件得到，即可求解. 【解答过程】因为椭圆的一个焦点坐标为，则，解得， 故选：A. 【变式4-1】（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆的一个焦点，则（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】C 【解题思路】根据关系即可得到答案. 【解答过程】由题意得，则，则. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知椭圆的一个焦点坐标是，则实数k的值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【解题思路】根据给定的椭圆方程及焦点坐标，列式求出值. 【解答过程】由椭圆的一个焦点坐标是， 得椭圆的长轴在轴上，,,,. 又因为在椭圆中，， 所以. 故选：D. 【变式4-3】（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆C：的一个焦点为，且C过点，则（    ） A．10 B．49 C．50 D．1201 【答案】D 【解题思路】由条件知椭圆的焦点在轴上，半焦距长，短半轴长，根据的关系，可求. 【解答过程】椭圆C：的一个焦点为，过点， ∴，∴ ，∴. 故选：D. 【题型5 轨迹问题——椭圆】 【例5】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用椭圆的定义求解即可. 【解答过程】由题意，点到两点，的距离之和为， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，， 所以点P的轨迹方程为. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设的坐标为，根据两点斜率表达式得到方程，化简即可. 【解答过程】设的坐标为，则， 整理得，故点的轨迹方程为． 故选：D． 【变式5-2】（25-26高二上·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据动圆与已知两圆位置关系，求得动圆圆心满足的关系式，利用椭圆定义进行判断，并求出，得到轨迹方程. 【解答过程】设圆圆心为，半径为， 圆圆心为，半径为，动圆圆心为，半径为 则， 由圆与圆外切可得， 由圆与圆内切可得， 所以，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设为 则，所以， 所以轨迹方程为， 故选：B. 【变式5-3】（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知曲线，从C上任一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，依题意得到，从而代曲线的方程求解． 【解答过程】解：设，依题意可知 即 因为点在曲线上，所以， 即， 故选：A． 【题型6 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值】 【例6】（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）为椭圆上一点，是它的上焦点，，则的最大值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解题思路】利用椭圆的定义将化为，再结合即可求出答案. 【解答过程】设为椭圆的下焦点， 由椭圆方程知，，，， 则， 由椭圆的定义得 所以，当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【解答过程】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点，且, 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， 又因 ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则， 故的最小值， 故选：B. 【变式6-2】（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段检测）已知一动圆C与圆外切，与圆内切， (1)求动圆圆心C的轨迹方程. (2)设动圆圆心轨迹上的点为P，定点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求得圆和的圆心坐标和半径，根据题意，得到，，进而得到，结合椭圆的定义，即可求解； （2）由（1）得到椭圆的左焦点，根据椭圆的定义，转化为,结合三角形边的性质，即可求解. 【解答过程】（1）解：由圆的圆心为，半径为 圆的圆心为，半径为， 设动圆圆心为，半径为， 因为圆与圆相外切，与圆相内切，则，， 两式相加，可得 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 可得，则， 所以椭圆的轨迹方程为. （2）解：由（1）知，椭圆的方程为，可得左焦点，且， 又由椭圆的定义，可得，即， 所以, 如图所示，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为. 【变式6-3】（25-26高二上·湖南·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)，－ (2)10－ 【解题思路】（1）连接并延长交椭圆于点，结合平面几何结论可得是使取得最大值的点，由此可得的最大值，延长交椭圆于点，可得是使取得最小值的点，由此可得结论； （2）结合椭圆的定义可得，连接，并延长交椭圆于点，，结合平面几何结论可得是使取得最小值的点，由此可求结论． 【解答过程】（1）由椭圆可知，，， 则，， 如图所示，连接并延长交椭圆于点， 则是使取得最大值的点， 于是， 因为， 则求的最小值，即求的最大值， 延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最小值的点， 于是 所以的最大值与最小值分别为和；    （2）连接，由椭圆的定义知， 则， 所以， 如图，连接，并延长交椭圆于点，， 则是使取得最小值的点， 于是. 模块三 椭圆的焦点三角形 【知识点2 椭圆的焦点三角形】 1．焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，为椭圆的焦点，当点M,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角 形，如图所示. 2．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L=2a+2c. (2)在中，由余弦定理可得. (3)设，，则. 【题型7 椭圆中焦点三角形的周长问题】 【例7】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）椭圆的两个焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（   ） A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义易得. 【解答过程】由可得椭圆焦点在轴上，且长半轴长为， 则的周长为 . 故选：D. 【变式7-1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的定义即可求得答案. 【解答过程】由椭圆方程知，，， 所以， 根据椭圆的定义可知，，又， 所以的周长为. 故选：D. 【变式7-2】（2026·广西柳州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【解题思路】根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【解答过程】由椭圆，得， 过且垂直于的直线与椭圆交于B、C两点， 所以为线段的垂直平分线， 得， 则的周长为. 故选：B.    【变式7-3】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若，是线段的三等分点，则的周长为（    ） A．20 B．10 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据三等分点结合三角形中位线定理、中点坐标公式，运用代入法、椭圆的定义进行求解即可. 【解答过程】不妨设点在第一象限，，分别为椭圆的左右两焦点，令椭圆半焦距为c， 由，是线段的三等分点，得是线段的中点，而坐标原点是 的中点， 则，轴，把代入椭圆方程，得，而，则， 由为线段的中点，得，因此， 解得，而，于是， 所以的周长为. 故选：D. 【题型8 椭圆中焦点三角形的面积问题】 【例8】（25-26高二上·天津东丽·期中）已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用椭圆的定义，结合余弦定理和面积公式可得答案. 【解答过程】由题意，焦距为，平方可得， 由余弦定理可得， 两式相减可得， 所以△的面积为. 故选：C. 【变式8-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，是椭圆的左右焦点，若点是椭圆C上第二象限内的点，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义，结合余弦定理，可求焦半径，从而可求三角形面积. 【解答过程】 由题意知：， 再由余弦定理得： 代入得：， 解得：，则的面积是, 故选：D. 【变式8-2】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 (1)求此椭圆的方程 (2)若点满足，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】设椭圆的方程为,由焦点坐标求出，根据，求出，从而可求，即可得出椭圆方程； 在焦点三角形中，运用余弦定理结合椭圆的定义，求出，再利用三角形的面积公式，可求的面积． 【解答过程】（1）由题意，设椭圆的方程为， ∵焦点为，， ∴， 又， 所以，， ，． 所求椭圆的方程为． （2）在中，由余弦定理得 ， 即， ∴， ∴， 所以. 【变式8-3】（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为． (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 【答案】(1)； (2)周长为，面积为 【解题思路】（1）利用已知条件求出，从而求出，求出椭圆标准方程； （2）利用椭圆的定义和几何性质，求出焦点三角形的周长，结合余弦定理和三角形面积公式求出面积． 【解答过程】（1）椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为， ，解得， ，， 椭圆的方程为． （2） ，， 又P为椭圆上一点，， 焦点三角形的周长； 在△中，由余弦定理得， 即①， ， ②， ②减①得，故， 三角形的面积． 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知，分别是椭圆的上、下焦点，P是该椭圆上一点，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】由椭圆方程可知，结合椭圆定义即可得结果. 【解答过程】由椭圆方程可知， 所以椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为. 故选：B. 2．（25-26高二上·福建厦门·期中）椭圆的左焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】直接利用椭圆的标准方程求，再求椭圆的左焦点坐标即可． 【解答过程】由椭圆方程可得，， 所以，解得， 又椭圆焦点在轴， 所以该椭圆左焦点坐标为， 故选：D. 3．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）是方程表示椭圆的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】由充分条件及必要条件的定义，结合椭圆的标准方程，得到结果. 【解答过程】当时，，，此时，方程化简为表示圆，不满足充分性， 当方程表示椭圆时，，解得，不满足必要性. 故是方程表示椭圆的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．（25-26高二上·贵州遵义·期末）设是平面内的一个动点，，，点到，的距离之和为6，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由椭圆定义即可求解. 【解答过程】由题可得， 所以点的轨迹是以，为焦点长轴长为6的椭圆， 则，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：D. 5．（25-26高二上·四川绵阳·期末）若关于、的方程：表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由方程表示椭圆变形后结合椭圆的性质列不等式组可得. 【解答过程】由题意可得， 因为曲线是焦点在轴上的椭圆，所以， 解得. 故选：B. 6．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知椭圆的左､右两个焦点分别为，且焦距为是上一点，若，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用椭圆定义及已知条件得出，再应用余弦定理计算求解即可得出椭圆方程. 【解答过程】由 在中，由余弦定理可得， 解得，又，所以. 故选:D. 7．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，则的面积为（  ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】设，，根据椭圆的方程可求得利用余弦定理可求出值，再利用三角形面积公式即可求解. 【解答过程】因为，所以，， 设，，在中，由余弦定理得， 即，所以， 根据椭圆的定义可知，代入可求得， 故的面积为． 故选：. 8．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）若点在椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则（   ） A． B． C．的周长为 D．面积为 【答案】A 【解题思路】利用椭圆定义可判断C选项；利用余弦定理结合椭圆定义可判断B选项；利用三角形面积公式可判断D选项；利用三角形的面积公式可求出的值，结合椭圆方程可求出的值，可判断A选项. 【解答过程】在椭圆中，，，， 对于C选项，的周长为，C错； 对于B选项，由余弦定理可得 ， 解得，B错； 对于D选项，，D错； 对于A选项，因为，解得， 所以，解得，A对. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高二上·河南许昌·期末）若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】BD 【解题思路】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围，结合选项即可判断. 【解答过程】由于方程表示椭圆， 所以，解得或， 结合选项，可知的值可以为3和8. 故选：BD. 10．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得曲线为圆 B．若曲线为椭圆，则的取值范围是 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D．当曲线是椭圆时，曲线的焦距为定值 【答案】AC 【解题思路】按圆和圆锥曲线的标准方程逐项判断即可. 【解答过程】对于A：曲线C为圆，即 ，正确； 对于B：C为椭圆，错误； 对于C：C为焦点在轴上的椭圆，正确； 对于D：C是椭圆，此时焦距，不是定值，错误. 故选：AC. 11．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在两个点，使得 D．的最小值为1 【答案】BD 【解题思路】先求出，根据椭圆的定义即可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义及三角形的面积公式即可判断B；求出的最大值即可判断C；根据椭圆的定义结合基本不等式中“1”的整体代换即可判断D. 【解答过程】椭圆C：的长短半轴长分别为，半焦距， 由点P是椭圆上的一个动点，得， 对于A，的周长为，A错误； 对于B，在中，，由余弦定理得， ，则，， 因此的面积为，B正确； 对于C，当点位于椭圆的上下顶点时，最大，此时， 即为等边三角形，的最大值为，因此椭圆C上不存在点，使得，C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·期末）若方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围为________. 【答案】 【解题思路】根据题意，利用椭圆的标准方程形式，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】由方程表示的曲线为椭圆，则满足， 解得或，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·上海·阶段检测）设椭圆的左右焦点为，直线过点且交椭圆于两点，则的周长为_________. 【答案】12 【解题思路】根据椭圆的定义可得. 【解答过程】 由椭圆可得， 由椭圆的定义可知， 故， 故答案为：12. 14．（2026高二上·福建厦门·专题练习）中，，，AB和AC两条边上的中线之和为30，则的重心G的轨迹方程为______． 【答案】 【解题思路】根据三角形中线的性质，及椭圆的概念以及标准方程，可得答案. 【解答过程】由题意可作图如下： 由为边上的中线，且点为的重心，得，即， 同理可得， 由题意可得，即，可得， 所以重心的轨迹是以为焦点、长轴长为的椭圆， 则，所以， 所以重心G的轨迹方程为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 【答案】(1)或； (2)； (3). 【解题思路】（1）根据的关系求，可得椭圆方程. （2）根据椭圆的定义求，根据焦点定义求，再根据的关系求，可得椭圆方程. （3）根据焦点坐标求，根据椭圆上的点和的关系列式求，可得椭圆方程. 【解答过程】（1）因为，，所以. 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为； 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为. （2）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为， 且， ， 所以， 所以椭圆方程为：. （3）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为，且， 又 ，故所求椭圆方程为. 16．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设，当动点满足时，求点的纵坐标. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设出交点的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积列式化简得轨迹方程； （2）根据椭圆的定义可得，再根据，得，化简得，与联立方程求解即可. 【解答过程】（1）设，则由已知得，所以， 化简得. （2）由（1）知为椭圆的两个焦点， 根据椭圆的定义可得， 因为，所以，， 所以，即，又， 所以，即，即，解得， 所以点的纵坐标为. 17．（25-26高二上·广东深圳·期中）椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）由（1）和结论，利用椭圆的定义、余弦定理、三角形的面积公式求解. 【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，，而， 解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，由（1）及椭圆的定义，得， 由余弦定理得， 因此， 所以的面积. 18．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆过点，其左、右焦点分别为，且，椭圆第一象限上的一点P到两焦点的距离之差为4. (1)求椭圆的标准方程; (2)求的内切圆的标准方程. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）将点坐标代入方程，可得a，b的关系，根据，可得，结合a，b，c的关系，可得的值，即可得答案. （2）根据条件及椭圆的定义，可得，根据勾股定理，可得，根据等面积法，可得内切圆的半径，设内切圆的圆心为I，如图作垂线，根据三角形的性质，可得圆心坐标，即可得答案. 【解答过程】（1）因为椭圆过点，且， 所以，解得，则椭圆的标准方程为. （2）由椭圆的定义及条件可得：，解得， 又因为，所以，即， 设内切圆的半径为r，则， 所以，解得， 设内切圆的圆心为I，过I分别作 、、的垂线，垂足分别为E、F、G，如图所示，    因为，且， 所以，则圆心， 所以的内切圆的标准方程为. 19．（25-26高二上·辽宁·期中）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; 【答案】(1)； (2)； 【解题思路】（1）设，根据斜率公式，可得，表达式，根据，代入化简，即可得答案. （2）由（1）可得为椭圆的左焦点，分析可得点N在椭圆内，根据椭圆的定义，可得，分析求解，即可得答案. 【解答过程】（1）设，则，， 由，得，整理得， 故点P的轨迹方程E为. （2）由（1）知，点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，， 故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为， 因为，所以点N在椭圆内， 由椭圆的定义得， 当P，N，三点共线(在线段PN上)时取等号， 所以的最大值为· 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 椭圆及其标准方程 【人教A版】 模块二 椭圆的标准方程 【知识点1 椭圆及其标准方程】 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【题型1 椭圆的定义及辨析】 【例1】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上一点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【变式1-1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（   ） A．4 B．6 C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如果椭圆上一点P与焦点的距离等于3，那么点P与另一个焦点的距离是（   ） A．5 B．13 C．1 D．3 【变式1-3】（25-26高二上·江西萍乡·期中）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．9 B．18 C．20 D．36 【题型2 曲线方程与椭圆】 【例2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式2-3】（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测）已知方程表示焦点在轴的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型3 椭圆标准方程的求解】 【例3】（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二下·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的一个焦点为，且过点，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆经过，两点，求椭圆的标准方程. 【变式3-3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 【题型4 根据椭圆方程求a、b、c】 【例4】（25-26高二上·河北唐山·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．3 B．5 C．11 D．8 【变式4-1】（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆的一个焦点，则（   ） A． B．5 C． D．7 【变式4-2】（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知椭圆的一个焦点坐标是，则实数k的值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【变式4-3】（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆C：的一个焦点为，且C过点，则（    ） A．10 B．49 C．50 D．1201 【题型5 轨迹问题——椭圆】 【例5】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知曲线，从C上任一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【题型6 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值】 【例6】（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）为椭圆上一点，是它的上焦点，，则的最大值为（ ） A． B． C．3 D． 【变式6-1】（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段检测）已知一动圆C与圆外切，与圆内切， (1)求动圆圆心C的轨迹方程. (2)设动圆圆心轨迹上的点为P，定点，求的最大值． 【变式6-3】（25-26高二上·湖南·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 模块三 椭圆的焦点三角形 【知识点2 椭圆的焦点三角形】 1．焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，为椭圆的焦点，当点M,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角 形，如图所示. 2．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L=2a+2c. (2)在中，由余弦定理可得. (3)设，，则. 【题型7 椭圆中焦点三角形的周长问题】 【例7】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）椭圆的两个焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（   ） A．10 B．16 C．18 D．20 【变式7-1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【变式7-2】（2026·广西柳州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【变式7-3】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若，是线段的三等分点，则的周长为（    ） A．20 B．10 C． D． 【题型8 椭圆中焦点三角形的面积问题】 【例8】（25-26高二上·天津东丽·期中）已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，是椭圆的左右焦点，若点是椭圆C上第二象限内的点，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 (1)求此椭圆的方程 (2)若点满足，求的面积． 【变式8-3】（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为． (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知，分别是椭圆的上、下焦点，P是该椭圆上一点，则（    ） A． B． C．2 D．4 2．（25-26高二上·福建厦门·期中）椭圆的左焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）是方程表示椭圆的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二上·贵州遵义·期末）设是平面内的一个动点，，，点到，的距离之和为6，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·四川绵阳·期末）若关于、的方程：表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知椭圆的左､右两个焦点分别为，且焦距为是上一点，若，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，则的面积为（  ） A． B． C．2 D． 8．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）若点在椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则（   ） A． B． C．的周长为 D．面积为 二、多选题 9．（25-26高二上·河南许昌·期末）若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 10．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得曲线为圆 B．若曲线为椭圆，则的取值范围是 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D．当曲线是椭圆时，曲线的焦距为定值 11．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在两个点，使得 D．的最小值为1 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·期末）若方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围为________. 13．（25-26高二上·上海·阶段检测）设椭圆的左右焦点为，直线过点且交椭圆于两点，则的周长为_________. 14．（2026高二上·福建厦门·专题练习）中，，，AB和AC两条边上的中线之和为30，则的重心G的轨迹方程为______． 四、解答题 15．（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 16．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设，当动点满足时，求点的纵坐标. 17．（25-26高二上·广东深圳·期中）椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 18．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆过点，其左、右焦点分别为，且，椭圆第一象限上的一点P到两焦点的距离之差为4. (1)求椭圆的标准方程; (2)求的内切圆的标准方程. 19．（25-26高二上·辽宁·期中）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $