椭圆：椭圆的标准方程问题、离心率问题、焦点三角形问题讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册讲义 椭圆：椭圆的标准方程问题、离心率问题、焦点三角形问题讲义 考点目录 椭圆的标准方程问题 椭圆的离心率问题 椭圆的焦点三角形问题 考点一 椭圆的标准方程问题 一、椭圆的第一定义 平面内与两个定点、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。 · 两个定点、叫做椭圆的焦点； · 两焦点的距离叫做焦距，记为，即； · 距离和的常数记为，必须满足： · 若，轨迹退化为线段； · 若，不存在满足条件的轨迹。 二、两种标准方程 以两焦点中点为原点、焦点在坐标轴上建立坐标系，对应两种标准形式： 焦点位置 标准方程 焦点坐标 焦点判断方法 焦点在轴上 、 项的分母更大 焦点在轴上 、 项的分母更大 三、核心参数关系 椭圆三个基本量满足恒等式： · ：长半轴长，长轴长为，始终是三个量中最大的； · ：短半轴长，短轴长为； · ：半焦距，焦距为。 四、求标准方程的常用方法 1. 定义法：利用椭圆第一定义直接求出，再结合条件求，适用于已知焦点、距离和的场景。 1. 待定系数法：先判断焦点位置，设对应标准方程，代入已知条件列方程组求解；焦点位置不确定时，可设通用式，避免分类讨论。 例1．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）平面内，动点P的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方程表示动点 到两个定点和之间的距离之和为定值， 根据椭圆的定义可以知道，,, ，焦点在轴上，∴动点的轨迹方程为 . 例2．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）若椭圆焦点在轴上，长轴长是焦距的3倍，且经过点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解. 【详解】因为椭圆的长轴长是焦距的3倍，所以，即， 又因为经过点，且焦点在轴上，所以，， 所以，所以椭圆的标准方程为：， 故选:C． 例3．（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 例4．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的坐标为，根据两点斜率表达式得到方程，化简即可. 【详解】设的坐标为，则， 整理得，故点的轨迹方程为． 故选：D． 例5．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以， 即， 所以， 则m的取值范围是． 变式1．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）方程表示的曲线的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义确定焦点位置、长半轴长，计算短半轴长后即可得到椭圆标准方程. 【详解】表示动点到定点的距离，表示动点到定点的距离， 所以，原方程等价于，因为两定点间距，符合椭圆的定义， 所以，的轨迹为椭圆，其中焦点为、，即焦点在轴上，焦距，得；长轴长，得. 所以，，焦点在轴上的椭圆标准方程为， 所以，方程表示的曲线的标准方程为. 变式2．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的性质计算即可. 【详解】由题意可知分别为该椭圆的右顶点和上顶点，，则其焦点在纵轴上， 不妨设该椭圆方程为，即，所以该椭圆方程为. 故选：C 变式3．（25-26高二上·湖南株洲·阶段检测）焦点在x轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆长轴长、短轴长的定义，结合椭圆焦点的位置进行求解即可. 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上，中心在原点， 所以设该椭圆的标准方程为， 因为该椭圆长轴长为10，短轴长为8， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：D 变式4．（25-26高二上·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据动圆与已知两圆位置关系，求得动圆圆心满足的关系式，利用椭圆定义进行判断，并求出，得到轨迹方程. 【详解】设圆圆心为，半径为， 圆圆心为，半径为，动圆圆心为，半径为 则， 由圆与圆外切可得， 由圆与圆内切可得， 所以，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设为 则，所以， 所以轨迹方程为， 故选：B. 变式5．（25-26高二下·云南曲靖·开学考试）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______ 【答案】 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 故，解得，即实数k的取值范围是. 考点二 椭圆的离心率问题 一、 定义与几何意义 椭圆的离心率是焦距与长轴长的比值，用于刻画椭圆的扁平程度： · 取值范围：（椭圆核心特征，区别于双曲线）； · 变化规律：越接近1，椭圆越扁；越接近0，椭圆越接近圆；时退化为圆。 二、等价变形公式 结合，离心率也可通过直接表示： 作用：将的齐次关系直接转化为离心率，无需中间换算。 三、核心题型与解法 题型1：求离心率的值 · 定义法：直接求出和的具体值，代入计算，适用于基础题。 · 齐次方程法（最通用） ① 根据几何条件列出关于的等式； ② 用消去，得到只含的齐次式； ③ 两边同除以的对应次幂，转化为关于的一元方程； ④ 结合取舍结果。 · 几何法：利用焦点三角形、顶点三角形的边角关系（勾股定理、余弦定理），直接推导的比例。 题型2：求离心率的取值范围 · 核心思路：将几何约束转化为的齐次不等式，齐次化后得到关于的不等式，结合求解范围。 · 经典结论：椭圆上存在点使得 。 例1．（2026·安徽滁州·三模）已知椭圆C：经过点，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知椭圆C：经过点， 则，解得， ， ． 例2．（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距长等于短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，所以，则，解得：， 所以. 例3．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于的平分线．若坐标原点到切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助椭圆光学性质以及梯形中位线定理确定焦点三角形中的大小，结合椭圆定义与余弦定理建立的等量关系，最终求出椭圆离心率. 【详解】记是的平分线，设点处的切线为直线，则. 设，则，所以根据椭圆光学性质， 点处切线与、的夹角均为，即. 过点作，过点作，过点作，则， 点、到切线的距离分别为， . 因为为的中点，，由梯形中位线性质得， 原点到切线的距离为：. 由题知，解得，即，故. 在中，由余弦定理得： ， 结合椭圆定义，将右边变形为： ， 代入，，得，整理得，即. 椭圆离心率. 例4．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义和余弦定理可表示出，从而可得，再利用换元法将转化为二次函数的形式，求出二次函数的最大值即可. 【详解】设，令，则，， 所以，所以， 在中，，则由余弦定理得 ， 所以， 所以， 令，由，可得，则 ， 当或时，取最大值：， 所以的最大值为. 例5．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，是上一点，若（），且，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】设，则，由椭圆定义可得即，由余弦定理可得，两式相除可得，再根据对勾函数的性质可得的范围，进而可得椭圆离心率的取值范围. 【详解】设，由椭圆定义可得， 设，则，所以，即， 因为，所以， 即， 两式相除得：， 所以，因为，所以， 根据对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以，所以， 所以，所以，所以. 例6．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为30，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（位于轴上方），且，则离心率__________． 【答案】或 【分析】先由直线斜率得到的余弦值，结合椭圆定义和已知边长比例，在中用余弦定理求出，再代入离心率公式计算结果. 【详解】由椭圆长轴长为30，得，即，椭圆离心率； 过的直线斜率为，且位于轴上方，故，因此， 设焦距，由得 ； 根据椭圆定义 ，得 。 在中由余弦定理知：， 即，整理得 ， 解得或，均满足题意， 当时，；当时，. 变式1．（26-27高三上·湖南·阶段检测）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入离心率公式即可计算. 【详解】由离心率公式得：. 变式2．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式，求出，结合离心率定义，即得答案. 【详解】 如图所示，当点位于上顶点（或下顶点）时，的面积取最大值， 因此，由题意得，且，联立得，解得（负值舍去），则， 离心率，故A正确. 变式3．（26-27高三上·山西运城·阶段检测）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过点引的外角平分线的垂线，垂足为，且点与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】延长交的延长线于点，连接， 由题意知:， 所以，则点的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 所以与短轴顶点的最短距离为， 所以，所以，则. 变式4．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，推出点在轴的右侧，由角平分线定理得，推出，，再在中，由余弦定理得出的关系， 【详解】如图所示； 是内心，是的角平分线，. 又，. 在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，，. ，，. 由椭圆的定义得，，，. 在中，由余弦定理得, ，化简得. 该椭圆的离心率为. 变式5．（26-27高二上·云南红河·阶段检测）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的离心率为________. 【答案】 【分析】利用“点差法”以及中点弦即可求解． 【详解】如图所示， 因为椭圆E的右焦点为，所以， 不妨设，， 又且，则是的中点， 所以，， 又点，在椭圆E上面， 所以，， 两式相减整理得， 即， 所以直线的斜率可以表示为， 又，在直线上， 所以直线的斜率为， 则，解得，即，， 所以，椭圆E的离心率为. 变式6．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【分析】利用点差法求得中点的轨迹方程，再利用得到中点的横坐标，最后代回直线方程求离心率. 【详解】设，那么， 又，所以即， 因为，所以点在中垂线上，故， 又直线：经过椭圆的左焦点， 所以，又点M在直线：上， 所以，代入得 ，即， 则. 考点三 椭圆的焦点三角形问题 一、核心定义 椭圆上任意一点（不与长轴端点重合）与两个焦点、构成的，叫做焦点三角形。 · 两条边为焦半径、，第三边为焦距； · 核心变量：顶角。 二、 核心性质 （1）周长——定值 焦点三角形的周长与点的位置无关，恒为定值： 原理：两焦半径之和为（椭圆定义），加上焦距即为总周长。 （2）面积公式 设顶角为，则焦点三角形面积为： · 坐标补充公式：若已知的纵坐标，面积也可表示为。 （3）顶角与面积的最值 当点运动到短轴端点时： · 顶角达到最大值； · 焦点三角形的面积同时达到最大值，。 原理：由余弦定理结合基本不等式，在（短轴端点）时最大，此时最小，对应最大。 （4）余弦定理关系 结合椭圆定义与余弦定理，可推导焦半径、角度、离心率的关联： 将代入变形，可快速得到焦半径乘积、角度与离心率的关系。 三、常见题型 1. 基础计算：已知椭圆参数，求焦点三角形的周长、面积、顶角； 1. 离心率结合：已知顶角大小、直角条件，求离心率的值或范围； 1. 边长求解：已知角度、周长，求焦半径的长度。 例1．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测·多选）椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的焦距为2 B．的短轴长为1 C．的离心率为 D．的周长为 【答案】AC 【分析】根据题设椭圆方程及的关系先求出，再结合条件求出，即得，，再由椭圆的定义求出的周长即可. 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则焦距为，故A正确； 由椭圆的对称性，知，又，则得， 则的短半轴长，则短轴长为2，故B错误； 则椭圆的离心率为，故C正确； 的周长为，故D错误. 例2．（25-26高二下·陕西汉中·期中·多选）已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（   ） A．长轴长为4 B． C．离心率为 D．的周长为6 【答案】ABD 【详解】椭圆中，，， 则，焦点，，上顶点， 选项A：长轴长，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：离心率，故C错误； 选项D：的周长为，故D正确． 例3．（2026·云南·模拟预测·多选）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由椭圆方程求出，即得离心率，判断A；根据椭圆的定义即可求出的周长，判断B；由椭圆上一点到焦点的距离最小值为，判断C；结合图形可知，当的边上的高最大时其面积最大，计算即可判断D. 【详解】由题可知，，则，则离心率，故A正确； 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故B正确； 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为，即，故C错误； 由，则当点在上顶点或下顶点时， 即取得最大值时，面积的最大值为，故D正确. 例4．（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测·多选）已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．若，则的面积为 D．椭圆的离心率为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的定义与性质对选项进行分析，从而确定各选项的正确性. 【详解】对于选项A，依题意，，所以的周长为，故A选项正确； 对于选项B，若为椭圆上任意点，则，即， 当为椭圆长轴顶点时取等号，但P为椭圆C上异于长轴端点的动点，所以等号不成立，故B选项错误； 对于选项C，在中由余弦定理得 ， 所以，所以， 所以的面积为，故C选项正确； 对于D选项，椭圆的离心率为，故D选项正确. 故选：ACD 变式1．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测·多选）已知椭圆，若P在椭圆上，分别是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最大值为 C．的周长小于 D．满足是直角三角形的点P有4个 【答案】ABC 【分析】先由椭圆方程求得基本参数，结合椭圆定义、余弦定理、轨迹交点等知识逐一判断选项. 【详解】由椭圆，可知椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 选项A：若，则为椭圆短轴端点，此时，， 在中，，故，A正确； 选项B：椭圆上点对两焦点的张角最大值在短轴端点处取得， 由余弦定理得， 故，即的最大值为，B正确； 选项C：的周长为，C正确； 选项D：分三类讨论：①直角在：过作轴垂线交椭圆得2个点； ②直角在：同理得2个点；③直角在：在以为直径的圆上， 由于该圆的半径为，且圆心和椭圆中心重合，，故该圆与椭圆将有4个交点， 由此可知满足是直角三角形的点P共有8个，D错误. 变式2．（26-27高二上·广西梧州·阶段检测·多选）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，点P为C上的动点，以下正确的是（    ） A．椭圆C长轴长为2 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】BD 【分析】根据椭圆的标准方程，结合椭圆长轴长、椭圆的性质逐一判断即可. 【详解】由椭圆的标准方程可知：，因此. A：椭圆C长轴长为，因此本选项说法不正确； B：的周长为，因此本选项说法正确； C：由椭圆的性质可知：的最小值为，因此本选项说法不正确； D：设点，因此有. 因为， 所以面积的最大值为，因此本选项说法正确. 变式3．（26-27高三上·四川南充·阶段检测·多选）已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，是上一点，且，则（   ） A．的短轴长为4 B．的离心率为 C．的周长为 D．的面积为2 【答案】AC 【详解】对于A，设椭圆E的长轴长，短轴长，焦距分别是2a，2b，2c， 由E：，得，， 所以，，， 所以E的短轴长为4，故A正确； 对于B，离心率，故B错误； 对于C， 由椭圆的定义，得， 又， 所以的周长为，故C正确； 对于D， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 的面积为，故D错误. 变式4．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测·多选）已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A．椭圆的离心率为 B．存在点使得 C．若，则 D．面积的最大值为 【答案】BD 【分析】A：由椭圆方程求得，，即可求解离心率；B：根据垂直条件得向量数量积为0，与椭圆方程联立，求得得纵坐标在椭圆取值区间内，即可判断；C：结合椭圆定义计算得到，结合椭圆焦点弦的最大值为长轴长，即可判断；D：焦点三角形以为底，高为点横坐标的绝对值，根据椭圆点的坐标范围可算出面积最值. 【详解】由椭圆，可知焦点在轴上，，，， 焦点，. 选项A：椭圆离心率，A错误； 选项B：设，则，， 若，则，又在椭圆上， 即，联立解得，满足， 故存在满足条件的点，B正确； 选项C：根据椭圆定义，，， 两式相加得，即， 由，可得， 同时过焦点的弦的最大值为，所以不可能等于12，C错误； 选项D：的底，高为点横坐标的绝对值，最大值为， 故面积最大值为，D正确. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册讲义 椭圆：椭圆的标准方程问题、离心率问题、焦点三角形问题讲义 考点目录 椭圆的标准方程问题 椭圆的离心率问题 椭圆的焦点三角形问题 考点一 椭圆的标准方程问题 一、椭圆的第一定义 平面内与两个定点、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。 · 两个定点、叫做椭圆的焦点； · 两焦点的距离叫做焦距，记为，即； · 距离和的常数记为，必须满足： · 若，轨迹退化为线段； · 若，不存在满足条件的轨迹。 二、两种标准方程 以两焦点中点为原点、焦点在坐标轴上建立坐标系，对应两种标准形式： 焦点位置 标准方程 焦点坐标 焦点判断方法 焦点在轴上 、 项的分母更大 焦点在轴上 、 项的分母更大 三、核心参数关系 椭圆三个基本量满足恒等式： · ：长半轴长，长轴长为，始终是三个量中最大的； · ：短半轴长，短轴长为； · ：半焦距，焦距为。 四、求标准方程的常用方法 1. 定义法：利用椭圆第一定义直接求出，再结合条件求，适用于已知焦点、距离和的场景。 1. 待定系数法：先判断焦点位置，设对应标准方程，代入已知条件列方程组求解；焦点位置不确定时，可设通用式，避免分类讨论。 例1．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）平面内，动点P的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）若椭圆焦点在轴上，长轴长是焦距的3倍，且经过点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 例5．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是______． 变式1．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）方程表示的曲线的标准方程为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·湖南株洲·阶段检测）焦点在x轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二上·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 变式5．（25-26高二下·云南曲靖·开学考试）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______ 考点二 椭圆的离心率问题 一、 定义与几何意义 椭圆的离心率是焦距与长轴长的比值，用于刻画椭圆的扁平程度： · 取值范围：（椭圆核心特征，区别于双曲线）； · 变化规律：越接近1，椭圆越扁；越接近0，椭圆越接近圆；时退化为圆。 二、等价变形公式 结合，离心率也可通过直接表示： 作用：将的齐次关系直接转化为离心率，无需中间换算。 三、核心题型与解法 题型1：求离心率的值 · 定义法：直接求出和的具体值，代入计算，适用于基础题。 · 齐次方程法（最通用） ① 根据几何条件列出关于的等式； ② 用消去，得到只含的齐次式； ③ 两边同除以的对应次幂，转化为关于的一元方程； ④ 结合取舍结果。 · 几何法：利用焦点三角形、顶点三角形的边角关系（勾股定理、余弦定理），直接推导的比例。 题型2：求离心率的取值范围 · 核心思路：将几何约束转化为的齐次不等式，齐次化后得到关于的不等式，结合求解范围。 · 经典结论：椭圆上存在点使得 。 例1．（2026·安徽滁州·三模）已知椭圆C：经过点，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距长等于短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 例3．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于的平分线．若坐标原点到切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 例4．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最大值为（     ） A． B． C． D． 例5．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，是上一点，若（），且，则的离心率的取值范围为______． 例6．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为30，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（位于轴上方），且，则离心率__________． 变式1．（26-27高三上·湖南·阶段检测）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（26-27高三上·山西运城·阶段检测）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过点引的外角平分线的垂线，垂足为，且点与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式4．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式5．（26-27高二上·云南红河·阶段检测）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的离心率为________. 变式6．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________． 考点三 椭圆的焦点三角形问题 一、核心定义 椭圆上任意一点（不与长轴端点重合）与两个焦点、构成的，叫做焦点三角形。 · 两条边为焦半径、，第三边为焦距； · 核心变量：顶角。 二、 核心性质 （1）周长——定值 焦点三角形的周长与点的位置无关，恒为定值： 原理：两焦半径之和为（椭圆定义），加上焦距即为总周长。 （2）面积公式 设顶角为，则焦点三角形面积为： · 坐标补充公式：若已知的纵坐标，面积也可表示为。 （3）顶角与面积的最值 当点运动到短轴端点时： · 顶角达到最大值； · 焦点三角形的面积同时达到最大值，。 原理：由余弦定理结合基本不等式，在（短轴端点）时最大，此时最小，对应最大。 （4）余弦定理关系 结合椭圆定义与余弦定理，可推导焦半径、角度、离心率的关联： 将代入变形，可快速得到焦半径乘积、角度与离心率的关系。 三、常见题型 1. 基础计算：已知椭圆参数，求焦点三角形的周长、面积、顶角； 1. 离心率结合：已知顶角大小、直角条件，求离心率的值或范围； 1. 边长求解：已知角度、周长，求焦半径的长度。 例1．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测·多选）椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的焦距为2 B．的短轴长为1 C．的离心率为 D．的周长为 例2．（25-26高二下·陕西汉中·期中·多选）已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（   ） A．长轴长为4 B． C．离心率为 D．的周长为6 例3．（2026·云南·模拟预测·多选）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 例4．（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测·多选）已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．若，则的面积为 D．椭圆的离心率为 变式1．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测·多选）已知椭圆，若P在椭圆上，分别是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最大值为 C．的周长小于 D．满足是直角三角形的点P有4个 变式2．（26-27高二上·广西梧州·阶段检测·多选）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，点P为C上的动点，以下正确的是（    ） A．椭圆C长轴长为2 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 变式3．（26-27高三上·四川南充·阶段检测·多选）已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，是上一点，且，则（   ） A．的短轴长为4 B．的离心率为 C．的周长为 D．的面积为2 变式4．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测·多选）已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A．椭圆的离心率为 B．存在点使得 C．若，则 D．面积的最大值为 2 学科网（北京）股份有限公司 $