4.4 对数函数（讲义，知识点&10大题型&刷好题）高一数学人教A版必修第一册

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章 指数函数与对数函数 4.4对数函数 课时目标 1、理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象与性质（定义域、值域、定点、单调 性)。 2、 能根据底数a>1或0<a<1判断对数函数的单调性，会求对数型复合函数的定义 课标要点 域、值域、单调区间和最值。 3、理解指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线y=X对称；能利用对数函数的 图象与性质解决比较大小、解不等式及综合问题。 重点： 1、对数函数的概念、图象与性质； 2、对数型复合函数的定义域、值域、单调性与最值； 3、 利用对数函数性质比较大小、解不等式。 学习重难点 难点： 1、对数型复合函数单调性的判断("同增异减”及真数恒正的限制)； 2、 由定义域或值域为R反求参数，根据单调性、最值求参数： 3、指对幂比较大小与反函数对称性及函数性质的综合运用。 清主线 课时内容导图 1/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解析式：y=loga(a>0,a≠1) 1.定义 对数函数 定义域：0，+) 的概念 2.辨析 对数型西数衫=log2(c+1小y-1og5(5x)不是对数函数 本质：底数a为常数且a>0,a≠1，真数只能是x 增：a>1时在(0，十o0)上单调递增 1.单调性 减：0<a<1时在(0，+)上单调递减 范围：定义域(0，+∞)，值域R 2.范围与定点 定点：恒过(1,0)，且过(a1)、(G,-1) 对数函数 图象与 规律：同大异小（同区间为正，异区间为负） 性质 3.值的正负 同区间：m,n同大于1或同在(0,1)，则1ogmn>0 异区间一在(1，+∞)小、一在(0,1)，则1ogmn<0 4.对称与底数 对称：y=1ogax与y=log1/ax关于x轴对称 比大小：直线y=1与图象交点横坐标即底数a,越靠右越大 1.反函数 对应：y=loga与y=a互为反函数 对称：图象关于直线y=x对称 反函数 2.图象与性质 关系：定义域与值域互换，单调性相同 3.点的对应 互换：(a,)在原函数图象上分(6，a)在反函数图象上 理新知 教材全盘梳理 知识点 1 对数函数的概念 1、对数函数的定义：一般地，当a>0且a≠1时，函数y=l0gaX叫做对数函数，其中X是自变量，函数的 定义域为0，+∞)。 特别提醒 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y=l0g2x+1),y=log5(5x)都 不是对数函数，而只能称其为对数型函数。此外对数函数的底数Q必须满足a>0且Q≠1。 片随学随练 1.(26-27高一上全国课堂例题)（多选）下列给出的函数，其中是对数函数的是() A.y=logax2(a>0且a≠1) B.y=logx C.y=log.V3(x>0且x≠1) D.y=log2x 2/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点 2 对数函数的图像与性质 1、对数函数logax的图像与性质 a>1 0<a<1 x=1 x=1 图象 (1,0) (1,0) 定义域 0,+0) 值域 R 恒过定点 过点(1,0) 单调性 增函数 减函数 图像特点 底数互为倒数的两个对数函数的图像关于x轴对称，底数相同的对 数与指数函数关于y=x对称 2、对数函数值正负的判定 当m>1,n>1时或当0<m<1,0<n<1时，1ogmn>0(同大) 当m>1,0<n<1时或当0<m<1,n>1时，logmn<0(异小) 可以结合函数图象加深理解，即底数和真数同大于1或同大于0小于1时为正，否则为负，简记为：同大 异小 3、底数α对函数图象的影响 y=log,x y=log3x y=log4x > y=log1x 4 _y=l0g1x 3 y=log1x 2 (1)函数y=logx与y=log1Xa>0,且a≠)的图象关于X轴对称 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)底数的大小决定了图象的相对位置.直线y=1与函数y=0gax图象交点的横坐标即为底数a,因此 由直线y=1与各对数函数图象交点的左右位置即知底数的大小 (3)可对照指数函数来记忆，同底数的指数函数与对数函数的图像关于y=x对称 随学随练 1.(25-26高一上河北石家庄期末)函数(=x1og2x+的大致图象是（） 破疑难 核心素养拓展 拓展 反函数 1、反函数的定义：例如对数函数y=logax a>0,且a≠1)是指数函数y=aa>0,且a≠1)的反 函数 2、反函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.如y=a的图象与y=ogax的图象关于直线 y=X对称 (2)若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象本身关于直线y=X对称. (3)若函数y=fx图象上有一点a,b,则b,a必在其反函数的图象上：反之，若点b,a在反函数的图 象上，则a,b必在其原函数的图象上。 (4)互为反函数的两个函数的单调性相同 4/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (⑤)互为反函数的两个函数的定义域和值域正好互换， (6)单调函数必有反函数. 太活学活用 1.(2627高一上全国课后作业)函数'=og:(x>0)的反函数是() 1 A.y=x' x>0 x∈R C.y=x2,xER D.y=2,x∈R 通题型 解题能力构建 题型 求对数函数的定义域与值域 1例1(26-27高三上北京海淀阶段检测)函数”√o;(4r-2)的定义域是 1例2(25-26高一下上海宝山期未)函数f)=l0g,+1 2-x的定义域为 解题贴士 定义域抓”真数大于0”，再叠加根式非负、分母不为零等条件。值域问题常先求内层范围再套外层对数 单调性。复合函数要同时考虑内外层限制。 ■对点练1-1(26-27高三上·黑龙江哈尔滨阶段检测)函数f)=g(x+3x+2), 则函数f(x-)的定义域 为() A.(-2,-1) B.（-1,0) C.(-0,-2)U(-1,+o) D.（-o,-1)U(0,+o) 1对点练12(26-27高一上全国课堂例题)已知函数f()=1og2(4-2:2+3列，求f(x)在[0,2]上的值 域 题型 对数函数根据定义域或值域求参 1例1(25-26高一上浙江杭州期末)若函数f(x)=logs(x-c+2(a>0)的定义域为R,则f(a) 的取值范围是() 5/15 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.(0,8) B.（-0,-4) C.(4,+o∞) D.（-4,0 ■例2(25-26高一下河北衡水·阶段检测)已知函数f()=l1og2Vx+log:(x+4)的值域为(0,2]，则实数 a的值为. 解题贴士 定义域为R转化为真数恒正，二次型用判别式小于0（注意二次项系数讨论）。值域为R转化为真数能 取遍所有正数，二次型用判别式大于等于0且开口向上。注意a=0的特殊情形单独验证。 I对点练11(26-27高一上全国课堂例题)已知函数/()=1og,(m+2mr+) (I)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围 (2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围 1对点练12(26-27高三上贵州阶段检测)已知函数f()=log.(4+b)(a>0,且a≠1)，若存在实 数a使得f(x)的值域是(0，+∞)，则实数b的取值范围是() A.{0 B.仍 C.（-oo,0] D.（-o,] 题型 3 对数函数的单调区间 1例1(26-27高一上江苏淮安阶段检测)函数()=16g-3)的单调递增区间为 ■例2(26-27高三上四川成都阶段检测)函数f()=1og(x-c+3)在区间(0,1)上单调递增，则实数 a的取值范围为」 解题贴士 先求定义域，再按”同增异减”判断复合函数单调性。底数小于1时外层递减，内层增区间对应整体减区 间。含参数时需保证内层在目标区间单调且真数恒正，注意端点取等条件。 Ⅱ对点练11(26.27高三上湖南邵阳阶段检测)函数f(冈=og,(-t+x+6 的单调递减区间为 3 1对点练12(2627高一上北京东城阶段校测函数f四-0g:(-ar-刂在L,o)上单调递减的一个 充分不必要条件是() A.a<-1 B.a≤0 C.a<1 D.a≤2 6/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型 对数函数的最值 ■例1(25-26高一下广东广州期末)已知x∈[2,16]，f()=log6x-l6g:8,则f(x)的最小值为 () A. B.5 C.2 1例2(26-27高一上全国课堂例题)已知函数y=10g,(r-3x+3列，当x∈山，3]时有最大值1，求a的值， 解题贴士 先求出内层值域，再按a>1或0<a<1分情况讨论外层单调性。已知最值求参数时，分别就两种底数 情形列方程，检验是否满足底数范围。 ■对点练1-1(26-27高三上江西阶段检测)已知函数f(x)=1og.(x-2x+3)(a>0且a≠1)在区间 [山，2]上的最大值与最小值之差为1，则实数a的值为() A 3 B.2 23 C.3或2 D.2或3 【对点练12(2026高三全国专思练习)己知函数"=le:(a16g:aX2≤x≤)的最大值为0，最小 值为8· 求a的值. 题型 对数函数解不等式 ■例1(2026广东广州模拟预测)已知函数f(x)=x+log2,不等式f(x)≤f(x+3)在x∈L,3]上恒成 立，则实数a的取值范围是() A.（-∞，0U(0,4] B.（-∞，0U(0,2] c.【-2,0U(0,2] D.[-4,0U(0,4] 1例2(2026贵州安顺模拟预测)已知函数f(x)=1og,x-+1og,(x+川，则函数f(:)的最小值为 () A.-1 B.1 C.log;2 D.log,4 7/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题贴士 利用单调性脱去对数符号，底数大于1不等号不变，底数在0到1之间不等号反向。偶函数型（如 f|x|)可化为绝对值不等式。解完务必与定义域取交集。 ■对点练1-1(26-27高一上全国课堂例题)设函数f(x)=lg(x+,则使得f(2x-)>f(x+1)成立的x 的取值范围为() A.(0,2) B.(2,+0) C.（-,2) D.（-o,0)U(2,+∞) 【对点练12(25-26高一下·河南焦作期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对于任意 x<x<0, 都有f)<fG》f0=0:若f!0+f(o)<f(lo,4.则实数a的取值范国为 () A.小g*o)B.(GuL3)。 D.（-1,0u(1,+∞) 题型 ● 指对幂比较大小 1例1(25-26高一下贵州毕节期中)设x=0.80?,y=l0g060.5,z=l0go70.8,则x,y,z的大小关系 为() A.y>x>z B.y>i>x C x>y>Z D.x>z>y ■例2(25-26高一下广东汕尾期末)若实数x,y,z满足3+1og2x=1+10g影y=4+1og,2,则x,y,z的 大小关系不可能是() A.y>x>z B.y>z>x C x>y>z D.x>z>y 解题贴士 先与0、1搭桥分组，同底用单调性直接比较。不同底时可换底为同底，或借助中间值（如 2、2） 放缩。结构相似的可用同构构造函数比较。 对点练1-1下列大小关系排序正确的是() A.log 5>logs 6>log6 7 B.log45<logs 6<log6 7 8/15 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.logs 6>loga5>log 7 D.log6 7>logs 6>loga5 1对点练1-2(26-27高三上：广东深圳开学考试)（多选）已知210g2x-x=0,3logy-y=0, 5log5z-z=0,则x,y,z的大小关系可能为() A.x<y<z B.x<z<y C.z<x<y D.z<y<x 题型 对数函数图像过定点 ■例1(26-27高三上广东深圳阶段检测)（多选）已知函数fx=1og2x,则() A.函数y=f()-1恒过定点(1，-) B.函数y=f()-1的图象关于y轴对称 C.函数y=f3+2x-x)的单调增区间为（←0，） D.函数y=()四在[2,4上的最大值为2 【例2(2027高三·全国专题练习)对数函数y=l1ogx(a>0且a≠1)的图象过定点（山，0），且过点 (). 函数图象只在第一、四象限.( 解题贴士 令真数等于1，解出X即为定点的横坐标，再代回求纵坐标。含平移、伸缩的形如y=l0ga心x+b+C 令cx+b=1求定点，注意定义域限制。 1对点练1-1(25-26高二下黑龙江哈尔滨期末)若函数f(x)=log。x(a>0且a≠1)，则函数 y=f(2x-1)-3的图象恒过定点() A.(1,-3) B.(0,-3) C.(1,3) D.(0,3) 1对点练1-2(25-26高二下·天津河西期末)函数y=1og.(2x-3)+5(a>0且a≠1)过定点(m,”),则 m+n= 题型 8 对数函数图像的判断 9/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1例1(25-26高一上四川成都期末)函数了)=n+ “2-x的图象大致为() -2 -2 2 ■例2(26-27高三上陕西商洛阶段检测)在同一坐标系中，函数y=a(a>0且a≠1)与 y=e（+》的图象可能是() 是 解题贴士 先看定义域和奇偶性排除选项，再用特殊点（如X=1、X=0)确定正负和位置。指对混合图象看单调 性是否一致、定点是否匹配。含绝对值或平移的注意对称轴位置。 ■对点练1-1(25-26高一下湖南阶段检测)函数f()=x满足f(2)=8,那么函数8(x)=l1ogc+1的图 象大致为() 10/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B -10 D -1:0 ■对点练1-2(25-26高一下广西贵港开学考试)函数f(x)=logx+b(a>0,a≠lab=)的图象可能是 () 题型 9 反函数的性质 1例1(25-26高一下湖南长沙开学考试)已知实数a,b满足e+a-3=0,b -nb-3=0,则ab-3b= 1例2(25-26高一上广东深圳期末)（多选）已知函数f(x)是定义在(0，+∞)上的函数8(x)=2的反函 数，且f(x)和g()的图象交点的横坐标为x,若函数h(x)=-x+m的图象与f(x)和8(x)的图象交点的 横坐标分别为x,x,则() A.f(x)的定义域为(0，) B.f(+)+log2m=0 C.x72 可以等于m- 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题贴士 互为反函数的图象关于y=X对称，点a,b与b,a对应互换。与直线y=-x+m的交点可利用对称 性得X1+x2=m。指数与对数交点问题常转化为关于y=x的对称点处理： 1对点练1-1(25-26高一上·河南南阳期末)已知函数f()=2,g()是f()的反函数，h)=2-x,则下 列说法正确的是() A.若点(5，g(x》点(s,g(5)是函数g田图像上的两个不同点，则8 +8(5)+8( 2 2 B.若a,b,c均为正数，且f(a=gb)=h(c,则b<1<c<a C.若函数h(x)的图象与函数f()的图象和函数8()的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，x, 则x+x2=2 D.对于正数，n,满足f(m)-h(m)>g(n)-h(n),则m<log2n ■对点练1-2(25-26高一上·天津北辰阶段检测)已知函数y=a(a>0且a≠1)的反函数f(x)图象经过 (27,3),则f(x)= 一；若f(mx2-x)在3,4]上单调递增，则m的取值范围是 题型 对数函数综合大题 I例1(25-26高一上江苏宿迁阶段检测)已知函数f)=log,I(2-1a-2+〗-1(a∈R), (1)当a=1时，求f)的定义域：， 3 (2)当x∈(og22+o)时，f9=x有解，求实数a的范围 ■例2(26-27高一上江苏苏州阶段检测)已知函数f(,)=1og,(4++是偶函数. (1)求实数a的值： (2)当1<x<2时有f(2x+)-f(2x-)<0成立，求实数元的取值范围： 6)若函数8(x)=2“+22+m29的最小值为4，求实数m的值 解题贴士 奇偶性求参用「x=「~x恒等变形；解不等式先判单调性和奇偶性，再脱去函数符号。含指数与对数 混合的最值问题，换元化为二次函数，注意换元后新变量的取值范围。恒成立问题转化为最值比较或 参变分离。 12/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Ⅱ对点练H(26-27高一上江苏苏州阶段检测)已知函数f)=nx+x 3+x (1)求证：函数f(x)图像为中心对称图形： (2)若a<0,求关于x的不等式f(2x-l)-f(x-)<0的解集」 Ⅱ对点练1-2(26-27高二上河北廊坊开学考试)己知函数f(x)=log,(-3x2+mr+13). (1)若f(x)在小，3]上单调递减，求实数m的取值范围； (2)设8(x)=4+23-12,若对于x,x∈[，3]，f(x)≥g(:)恒成立，求实数m的取值范围. 刷好题 课时巩固精炼 基础通关 1.(26-27高一上全国课堂例题)给出下列函数：①y=logx2;②y=log,(x-),③y=log(4x；④ y=l0g。x,其中是对数函数的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 2.(25-26高一下四川泸州期中)函数/()g,x-的定义域为() A.(1,2) B.(1,+o) C.[2,+oo) D.(2,+o) 3.(26-27高三上天津河东阶段检测)函数)=1ogs(-x+2x+3)的单调递减区间为 4.(26-27高三上四川乐山阶段检测)设a=10g,3,b=l1og43,c=2,则(). A.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b D.c>a>b 5.(四川绵阳市2026-2027学年高三上学期第一次诊断性考试数学试题)己知a=1og23,b=log47, 8 c= 5,则() A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>a>b 素养提升 13/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1,(25-26高一上·重庆沙坪坝期末)已知函数f(x)=log (2+:+是)若了的定义坡为R则实数 k的取值范围为， 2.(26-27高三上河南信阳阶段检测)函数f(x)=lg(m-2x+4a)的值域为R,则实数a的取值范围是 .( c.（） n.[ 3.(26-27高三上山东淄博阶段检测)若函数f()=log(2-x)(a>0且a≠)在区间(，3)内单调递增 则a的取值范围是()· B. e D.后+树 4.(26-27高三上上海杨浦阶段检测已知函数f儿x)=l8;(t-2+3)的减区间为6，+0)，则实数 a的取值集合为， 5.函数f(x)=g2lg5-lg(2xlg(5x)的最大值为一 6.(25-26高一上湖北宜昌·期末)若a>1,则y=。与y=lg(x-)在同一坐标系中的图象大致是 D 12 7.(25-26高三下安徽六安阶段检测)（多选）若函数f()=log(x-2)+3(a>0,且a≠1)的图象 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 恒过定点A,且点A在直线mr+y=1(m>0,n>0)上，则下列选项正确的是() A.m+n=1 B.mm的最大值是36 只+6的碳夫拉光9 D.+3m 一+。的最小值是9 m n 8.(25-:26高一下安徽安庆期末)已知函数f)=1nx 1+x ()求函数f(x)的定义域，并判断其奇偶性： (2)若f(-)+f(21)>0,求实数t的取值范围： 3)已知函数g(x)=nx-x+1在区间(L,+∞)上单调递减证明： ⑧+/得+G+++2n>oaeN)恒成立 1+x 9.(25-26高一上辽宁沈阳阶段检测)已知函数8()=logx的反函数为f() ()求f(x)的解析式，并判断f(x)单调性（无需证明）： (2)当x∈[0，列时使得关于x不等式f(4+62-k)+f(8-k2）)>0有解，求k的取值范围： (③)若关于x的不等式f42“-+f-2m)<0恰有2个整数解，求a的取值范围。 10.(25-26高一上湖南邵阳期末)已知函数f:=2.函数8()图象与f()的图象关于直线y=x对称. (1)求g(x)的表达式. (2)若函数y=g(,-2r+)在，+∞)上单调递增，求实数1的取值范围。 3)不等式g(ax>2g(x+2a-6)在x∈[4,16上恒成立，求实数a的取值范围. 15/15 第 四 章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数 课标要点 1、理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象与性质（定义域、值域、定点、单调性）。 2、能根据底数 或 判断对数函数的单调性，会求对数型复合函数的定义域、值域、单调区间和最值。 3、理解指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线 对称；能利用对数函数的图象与性质解决比较大小、解不等式及综合问题。 学习重难点 重点： 1、对数函数的概念、图象与性质； 2、对数型复合函数的定义域、值域、单调性与最值； 3、利用对数函数性质比较大小、解不等式。 难点： 1、对数型复合函数单调性的判断（"同增异减"及真数恒正的限制）； 2、由定义域或值域为 R 反求参数，根据单调性、最值求参数； 3、指对幂比较大小与反函数对称性及函数性质的综合运用。 知识点 对数函数的概念 1、对数函数的定义：一般地，当且时，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域为。 特别提醒 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数。此外对数函数的底数必须满足且。 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）下列给出的函数，其中是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量. 对于A，真数是，不符合定义. 对于B，底数为，，真数为，满足定义. 对于C，底数为变量，不是常数，不符合定义. 对于D，底数为常数，且大于0不等于1，真数是，满足定义. 知识点 对数函数的图像与性质 1、对数函数的图像与性质 图象 定义域 值域 恒过定点 过点 单调性 增函数 减函数 图像特点 底数互为倒数的两个对数函数的图像关于x轴对称，底数相同的对数与指数函数关于y=x对称 2、对数函数值正负的判定 当 时或当 时，（同大） 当 时或当 时，（异小） 可以结合函数图象加深理解，即底数和真数同大于1或同大于0小于1时为正，否则为负，简记为：同大异小. 3、底数a对函数图象的影响 （1）函数 与 (, 且 ) 的图象关于 轴对称. （2）底数的大小决定了图象的相对位置.直线 与函数 图象交点的横坐标即为底数 , 因此由直线 与各对数函数图象交点的左右位置即知底数的大小. （3）可对照指数函数来记忆，同底数的指数函数与对数函数的图像关于y=x对称 随学随练 1．（25-26高一上·河北石家庄·期末）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用奇偶性的定义法判断的奇偶性，再判断当时，，排除选项BCD，即可求解. 【详解】由题意知的定义域为， 由于， 故是奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项BD， 又当时，，故，故排除选项C，故A正确. 故选：A 拓展 反函数 1、反函数的定义：例如对数函数 是指数函数 的反函数. 2、反函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称. 如 的图象与 的图象关于直线 对称. (2)若互为反函数的两个函数是同一个函数,则该函数的图象本身关于直线 对称. (3)若函数 图象上有一点 ,则 必在其反函数的图象上;反之,若点 在反函数的图象上,则 必在其原函数的图象上. (4)互为反函数的两个函数的单调性相同. (5)互为反函数的两个函数的定义域和值域正好互换. (6)单调函数必有反函数. 活学活用 1．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的反函数是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由，可得，故原函数的反函数为，． 题型 求对数函数的定义域与值域 ▌例1（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）函数的定义域是________________． 【答案】 【分析】据二次根式被开方数非负、对数真数大于的约束列不等式组，结合对数函数的单调性求解后取交集得到定义域. 【详解】对于函数，由， 所以，解得，故原函数的定义域为. ▌例2（25-26高一下·上海宝山·期末）函数的定义域为______． 【答案】 【详解】要使函数有意义， 则，即，即， 解得， 所以函数的定义域为. 解题贴士 定义域抓"真数大于0"，再叠加根式非负、分母不为零等条件。值域问题常先求内层范围再套外层对数单调性。复合函数要同时考虑内外层限制。 ▌对点练1-1（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求的定义域,再结合复合函数定义域的方法求解即可. 【详解】要使函数有意义，则，即，解得或， 所以函数的定义域为 对，令，则， 所以或，解得或 所以定义域为. ▌对点练1-2（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数，求在上的值域. 【答案】 【详解】令，当时，， 故，由于在上单调递增，故， 由复合函数单调性可知，在上单调递增， 故. 题型 对数函数根据定义域或值域求参 ▌例1（25-26高一上·浙江杭州·期末）若函数（）的定义域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为对恒成立，再利用判断式法即可得到的范围，最后利用符复合函数单调性即可得到答案. 【详解】由题意得对恒成立， 则，解得. 则， 根据复合函数单调性知在上单调递减，则. 故选：C. ▌例2（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的值为________. 【答案】/ 【分析】利用复合函数的单调性可得的最大值为，结合二次函数的性质确定参数的值并验证可得. 【详解】因的值域为， 即，所以的最大值为，所以. 根据二次函数的性质，当时取最大值， 代入可得，解得. 此时， 由解得，故函数的定义域为. ， 令，则内层函数在上单调递增，在上单调递减. 外层函数在定义域上为增函数， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 所以，符合题意. 所以的值为. 解题贴士 定义域为R转化为真数恒正，二次型用判别式小于0（注意二次项系数讨论）。值域为R转化为真数能取遍所有正数，二次型用判别式大于等于0且开口向上。注意 的特殊情形单独验证。 ▌对点练1-1（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围______. （2）若函数的值域为，求实数的取值范围______. 【答案】 【分析】（1）由函数的定义域为转化为不等式恒成立，再分类讨论可得；（2）由函数的值域为转化为真数能取遍，再分类讨论可得. 【详解】（1）因为的定义域为，所以恒成立， ①当时，不等式为成立，符合题意； ②当时，不等式要恒成立，则，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. （2）因为函数的值域为，即真数能取遍， ①当时，真数，不符合题意； ②当时，则，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. ▌对点练1-2（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知函数（，且），若存在实数使得的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合对数函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数，令，可得，其中 当时，为单调递增函数， 由，可得，即， 要使得的值域是，即的值域为， 则满足取满，所以； 当时，此时为单调递减函数， 若，即，可得，即的值域为， 因为，可得，所以不存在使得， 综上可得，实数的取值范围为. 题型 对数函数的单调区间 ▌例1（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）函数的单调递增区间为_________． 【答案】 【分析】求得的定义域，由二次函数和对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得所求区间 【详解】由，解得， 所以定义域为， 易知在定义域单调减，由复合函数的单调性：同增异减，求出的减区间即为函数的单调递增区间，再结合二次函数的性质可知，的单调递增区间为. ▌例2（26-27高三上·四川成都·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由复合函数的单调性求解即可. 【详解】令， 则函数的开口向上，对称轴为， 函数即为， 由对数函数的性质可得为单调递减函数， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，且恒大于等于0， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 解题贴士 先求定义域，再按"同增异减"判断复合函数单调性。底数小于1时外层递减，内层增区间对应整体减区间。含参数时需保证内层在目标区间单调且真数恒正，注意端点取等条件。 ▌对点练1-1（26-27高三上·湖南邵阳·阶段检测）函数的单调递减区间为_________ 【答案】 【分析】根据给定函数，利用二次函数、对数函数的单调性及复合函数单调性求解. 【详解】函数中，，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以所求递减区间为. ▌对点练1-2（26-27高一上·北京东城·阶段检测）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数“同增异减”的单调性规则，先求出函数在单调递减的充要条件，再判断对应选项为该充要条件的真子集即可 【详解】函数是外层函数与内层函数的复合函数， 外层函数性质：底数，故在定义域上为单调递减函数 由复合函数“同增异减”的判定规则，要使在单调递减，需同时满足两个条件： （1）内层函数在上单调递增；（2）在上恒成立. 因为为开口向上的二次函数，对称轴为，所以，解得； 因为在单调递增，所以，只需边界值，代入得，解得. 综上，在单调递减的充要条件为，其充分不必要条件对应集合是的真子集. 选项A：，满足充分不必要要求； 选项B：为充要条件，不符合要求； 选项C、D：集合内存在的取值，无法满足在恒成立，不是充分条件. 题型 对数函数的最值 ▌例1（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，由，得， ， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. ▌例2（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数，当时有最大值1，求的值． 【答案】或 【分析】首先根据求出函数的最值，再分别讨论时的两种情况. 【详解】， 所以 当时，由单调性可知：，解得，符合； 当时，由单调性可知：，解得，符合； 综上所述：或 解题贴士 先求出内层值域，再按 或 分情况讨论外层单调性。已知最值求参数时，分别就两种底数情形列方程，检验是否满足底数范围。 ▌对点练1-1（26-27高三上·江西·阶段检测）已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之差为1，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．2或 【答案】C 【分析】先求出二次内层函数在指定区间的值域，再根据对数底数的范围分单调性两种情况，利用最值差值为1列方程求解参数. 【详解】设，对称轴为直线，定义域为，则在上单调递增， 当，当，得， ，分两种情况讨论对数函数的单调性： ①当，在上单调递增，最大值为，最小值为，所以，得，得，满足 ②当，在上单调递减，最大值为，最小值为，所以，得，得，满足 综上，或. ▌对点练1-2（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最大值为0，最小值为．求a的值． 【答案】 【分析】根据对数基本运算，化简函数，利用换元将函数改为二次函数形式，讨论a范围，求解即可. 【详解】因为，， 故函数， 令，则， 根据函数最大值为0，最小值为，可以得到， 最小值在时取得，此时， 最大值在或时取得，此时或， 当时，，即 因为时取得最小值，故不符合题意，故， 当时，，此时，最大值在区间端点处取得， 若在取得，则或，解得或， 当时，则，此时不在区间内，故不符合题意， 当时，则，此时在区间内，故符合题意， 若在取得，则或，解得或， 当时，则，此时不在区间内，故不符合题意， 当时，则，此时在区间内，故符合题意， 综上所述，. 题型 对数函数解不等式 ▌例1（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断函数奇偶性以及单调性，将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，只需要即可，并考虑函数定义域即可得到结果. 【详解】因为在上单调递增， 且在上单调递增， 所以在上单调递增， 又定义域为， 且，所以是偶函数， 因为，所以， 又，所以，所以化为， 即在上恒成立， 又函数在上单调递减， 所以时，最小，且为， 所以，， 又时，，不符合题意， 所以或， 即的取值范围是. ▌例2（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数，则函数的最小值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数求最值的方法结合对数型复合函数的值域求解. 【详解】的定义域为， 当时， ，，所以 当时， ，,所以. 所以. . 解题贴士 利用单调性脱去对数符号，底数大于1不等号不变，底数在0到1之间不等号反向。偶函数型（如 ）可化为绝对值不等式。解完务必与定义域取交集。 ▌对点练1-1（26-27高一上·全国·课堂例题）设函数，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以是偶函数， 因为函数，在上单调递增， 因此函数在上单调递增， 若，则，得，解得或， 所以的取值范围为. ▌对点练1-2（25-26高一下·河南焦作·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意，都有，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用奇函数的性质化简给定不等式，得到，再结合的单调性求解对数不等式，即可得到的取值范围. 【详解】因为是定义在上的奇函数，故，，且， 代入原不等式得，即，整理得， 因为对于任意，都有，所以在单调递增，又是奇函数， 所以在单调递增，令， ① 当时，，则， 因为在单调递增，所以，即，解得； ② 当时，，所以， 因为在单调递增，故， 即，解得； 综上，实数的取值范围为. 题型 指对幂比较大小 ▌例1（25-26高一下·贵州毕节·期中）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是减函数，所以，即； 因为函数是减函数，所以，即； ， ，所以. 函数是减函数，所以，即. 所以. ▌例2（25-26高一下·广东汕尾·期末）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算、指数与对数的互化、单调性，结合赋值法判断即可. 【详解】设， 则，，. 对于A，当时，，，，则，A有可能. 对于B，当时，，，，则，B有可能. 对于C，要满足，即，同时取对数得， 则. 当时，会非常小；当足够小时，比衰减慢，会出现； 如时，，，， 因为，，， 所以，易得，，所以， 故，C可能. 对于 D，若 ，则必有 和 ． 由 ，得 若 ，则 ，从而 ，矛盾，所以 ． 由 ，得 若 ，则矛盾，所以 ． 这与 矛盾，因此 不可能出现． 解题贴士 先与 0、1 搭桥分组，同底用单调性直接比较。不同底时可换底为同底，或借助中间值（如 、）放缩。结构相似的可用同构构造函数比较。 ▌对点练1-1下列大小关系排序正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换底公式将各对数转换为常用对数计算. 【详解】， ， ， 显然，即，A选项正确. ▌对点练1-2（26-27高三上·广东深圳·开学考试）（多选）已知，，，则，，的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由，，，得，，，转化为函数与，与，与图像的交点问题；作出函数图像，结合图像可得各个交点的位置关系，从而进行判断. 【详解】，，， ，，； 即转化为函数与，与，与图像的交点问题， 分别画出，，，，，的图像， 如图所示： 由图可知，与的图像交于，两点，与的图像交于，两点，与的图像交于，两点； 同时, 对于，，满足，故正确； 对于，的最大取值为，当时，不能取，则，此时不存在满足，故错误； 对于，，满足，故正确； 对于，，满足，故正确. 题型 对数函数图像过定点 ▌例1（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）（多选）已知函数，则（    ） A．函数恒过定点 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的单调增区间为 D．函数在上的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据对数函数的定点求解即可；对于B，先判断函数的奇偶性，进而判断即可；对于C，求出函数的定义域即可判断；对于D，整理得到，令，进而结合函数的单调性求解判断即可. 【详解】对于A，函数，恒过定点，故A正确； 对于B，函数，， 而，则函数为偶函数， 其图象关于轴对称，故B正确； 对于C，函数， 由，解得， 则函数的定义域为，故C错误； 对于D，函数，， 令，则，而函数在上单调递增， 则时，，即函数在上的最大值为，D正确. ▌例2（2027高三·全国·专题练习）对数函数（且）的图象过定点，且过点，函数图象只在第一、四象限．( ) 【答案】正确 【详解】因为，，（且）， 且（且）的定义域为，值域为， 所以对数函数（且）的图象过定点，且过点，函数图象只在第一、四象限. 解题贴士 令真数等于1，解出 即为定点的横坐标，再代回求纵坐标。含平移、伸缩的形如 ，令 求定点，注意定义域限制。 ▌对点练1-1（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. ▌对点练1-2（25-26高二下·天津河西·期末）函数（且）过定点，则__________. 【答案】 7 【分析】根据对数函数且恒过定点，令可求得定点坐标，得到，从而求得. 【详解】令，得. 所以函数（且）过定点， 所以， 故. 题型 对数函数图像的判断 ▌例1（25-26高一上·四川成都·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，再结合特殊值，即可判断. 【详解】由，可得，即函数的定义域为且，关于原点对称， 由，可知函数为奇函数，故排除B、D； 又因为，故排除A. 故选：C. ▌例2（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从所过定点和单调性上判断出答案 【详解】函数（且）恒过点，恒过点， 且两函数单调性一致，只有B满足要求 解题贴士 先看定义域和奇偶性排除选项，再用特殊点（如 、）确定正负和位置。指对混合图象看单调性是否一致、定点是否匹配。含绝对值或平移的注意对称轴位置。 ▌对点练1-1（25-26高一下·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过幂函数得出的值，再结合对数函数的平移规律与单调性，即可确定的图象特征. 【详解】由题意得函数满足，即，可得. 因为函数是偶函数，图象关于轴对称， 而函数的图象是由向左平移1个单位得到的， 因此图象关于直线对称， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，，图象过原点， 综上可得：函数的图象如图所示，故B正确. ▌对点练1-2（25-26高一下·广西贵港·开学考试）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象特征及对数函数的性质判断即可. 【详解】 因为，，所以，故的对称轴在轴左侧，排除A与C； 由选项BD可知，，所以， 所以在对称轴右侧单调递减，在对称轴左侧单调递增，故B满足，D不满足. 题型 反函数的性质 ▌例1（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知实数满足，，则__________. 【答案】 【分析】由与的交点关于对称，结合，，从而有与关于对称得到且，即可求. 【详解】由关于对称，又与垂直， 所以与的交点关于对称， 结合题设有，，且， 所以是与的交点；是与的交点， 所以与关于对称，则且， 所以. ▌例2（25-26高一上·广东深圳·期末）（多选）已知函数是定义在上的函数的反函数，且和的图象交点的横坐标为，若函数的图象与和的图象交点的横坐标分别为，，则（   ） A．的定义域为 B． C． D．可以等于 【答案】ABD 【分析】根据条件可得及，因此可判断AB，对于C可用零点存在性定理判断方程的根可得，对于D用假设相等得，再令，得方程在有正数解，再结合二次函数的单调性可得，故可判断原命题成立. 【详解】因为函数是定义在上的函数的反函数， 所以，又因为， 所以的定义域为，故A正确； 如图，作出符合题意的图形， 函数的图象与和的图象交点的横坐标分别为，， 所以与的中点是与的交点的横坐标， 解方程组，得，所以. 所以， 所以，故B正确； 又因为和的图象交点的横坐标为，所以，，即. 令，因为 ， 由为减函数，所以，即，得. 又因为，且在上连续. 根据零点存在性定理，存在，使得， 所以，故C错误； 对于D：若，化简得， 即，，即. 令，因为，得.则方程变为,, 所以方程在有解，， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，得， 故当时方程在有解. 所以可以等于,故D正确 故选：ABD 解题贴士 互为反函数的图象关于 对称，点 与 对应互换。与直线 的交点可利用对称性得 。指数与对数交点问题常转化为关于 的对称点处理。 ▌对点练1-1（25-26高一上·河南南阳·期末）已知函数是的反函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若点，点是函数图像上的两个不同点，则 B．若a，b，c均为正数，且，则 C．若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，则 D．对于正数m，n，满足，则 【答案】C 【分析】先求出反函数，再结合取特殊值、凹凸性、函数单调性、反函数对称性、构造函数比大小，逐一判断A、B、C、D四个选项的正误. 【详解】方法一：取特殊值 对于A，由是的反函数知取点， ，又 故A错误． 方法二：（数形结合） 如图： 设A，B是图像上任意不同两点，连接AB，取线段AB中点，过点作轴垂线交于，则，显然，．故A错误． 对于B，由A知函数图象与函数图象在上有交点，设交点横坐标为，则此时，故B错误． 对于C，因为函数图象与函数图象关于对称，设函数图象与函数图象交点为，函数图象与函数图象交点为，函数与图象交点为，如图： 则点A，点关于点对称，即，故C正确． 对于D，由已知得，即 令，则原不等式化为，又在R上为增函数，则，故D错误． 故选：C. ▌对点练1-2（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）已知函数的反函数图象经过，则________；若在上单调递增，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】由函数反函数的定义求解，将点代入即可；通过复合函数同增异减且定义域大于零求解即可. 【详解】函数的反函数经过点，得到，解得，故反函数； 令，则在上单调递增， 需满足在上单调递增，且， 由，因为，所以， 所以，所以， 的对称轴为，所以，即，所以且， 解得或， 综上m的取值范围是， 故答案为：； 题型 对数函数综合大题 ▌例1（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)当时，有解，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，得到不等式，令，求得，进而得到的定义域； （2）由，得到，令，转化为在上有解，结合基本不等式，求得恒成立，进而得到答案. 【详解】（1）解：当时，，则满足， 令，则，可得，即，解得， 所以，解得，即函数的定义域为. （2）解：由，可得， 即，所以， 令，则， 方程即为，整理得，其中， 要使得方程在上有解， 即方程在上有解，即在上有解， 又由， 当且仅当，即时，即时，等号成立，所以恒成立， 所以使得方程在上有解，实数的取值范围为. ▌例2（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)当时有成立，求实数的取值范围； (3)若函数的最小值为，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用，即可得出结果； （2）根据（1）得到，利用复合函数的单调性判断的单调性，利用的单调性结合其奇偶性可得，进而可求实数的取值范围； （3）根据（1）得到，通过换元，从而将问题转化成二次函数的最小值为，再利用二次函数的性质即可求出结果. 【详解】（1）因为时，，所以函数的定义域为. 又因为函数是偶函数， 所以对均成立， 所以， 因为，所以； （2）由（1）知， 令，则在上单调递增. 又在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，得， 又为偶函数，所以 所以，所以对均成立， 所以对均成立，所以 所以实数的取值范围为； （3）由（2）知，， 所以， 令，因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 故，对称轴， 当时，即时，，得到， 当时，即时，，得到（舍去）， 故. 解题贴士 奇偶性求参用 恒等变形；解不等式先判单调性和奇偶性，再脱去函数符号。含指数与对数混合的最值问题，换元化为二次函数，注意换元后新变量的取值范围。恒成立问题转化为最值比较或参变分离。 ▌对点练1-1（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数． (1)求证：函数图像为中心对称图形； (2)若，求关于的不等式的解集． 【答案】(1)已知，由，得，解得，所以函数的定义域为， 因为，所以， 故图像关于点中心对称， 所以函数图像为中心对称图形. (2) 【分析】(1)先求函数定义域，通过计算为定值，证明函数图像关于点中心对称； (2)利用复合函数“同增异减”法则与一次函数单调性，判断时在定义域内单调递减，再结合定义域约束与单调性解不等式. 【详解】（1）略 （2），， 对于函数，令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减， 函数在上单调递增，所以在上单调递减， 因为，所以函数在上单调递减， 因此在定义域上单调递减， 不等式变形为， 则，解得，所以， 故若，关于的不等式的解集是 ▌对点练1-2（26-27高二上·河北廊坊·开学考试）已知函数． (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设，若对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把复合函数的单调性转化为内层二次函数在区间上单调递减且恒正，由对称轴位置与端点函数值列不等式，由此求得的取值范围； （2）先由换元求出的最大值，再把“任意—任意”型恒成立转化为的最小值不小于该最大值，进而转化为关于的不等式恒成立问题，由此求得的取值范围. 【详解】（1）令，其图象开口向下、对称轴为，又在定义域上单调递增， 故在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立. 则，且，解得， 故的取值范围为. （2）令，由得， 则， 当，即时，取最大值. 条件“对任意，都有”等价于对一切成立， 即，则， 即对一切成立. 根据对勾函数的性质可知在上单调递增， 故，所以，即的取值范围为. 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）给出下列函数：①；②；③；④，其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量， 故只有④满足对数函数的定义，故对数函数有1个. 2．（25-26高一下·四川泸州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，解得，故函数的定义域为. 3．（26-27高三上·天津河东·阶段检测）函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则 ，整理得，解得， 所以函数的定义域为， 令，，则， 外层函数的底数满足，因此在上为单调递减函数. 是开口向下的二次函数，对称轴为， 因此在上单调递增，在上单调递减. 根据复合函数“同增异减”的法则得的单调递减区间为. 4．（26-27高三上·四川乐山·阶段检测）设，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，在上单调递增， 由，得， 则，可得，即， 又，所以. 5．（四川绵阳市2026-2027学年高三上学期第一次诊断性考试数学试题）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将对数统一为以为底的形式比较与的大小，再通过对数运算性质转化为指数形式比较与的大小，最终得到三者排序. 【详解】， 又，，则，则， 故，即，故，故. 素养提升 1．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数.若的定义域为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】将问题转化为在上恒成立，分、讨论，并结合一元二次函数的性质求解. 【详解】由题意可知， 在上恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 2．（26-27高三上·河南信阳·阶段检测）函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，分析可知内层函数的值域包含，对实数的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】令，因为函数的值域为，则内层函数的值域包含， 当时，内层函数的值域为，符合题意； 当时，因为内层函数的值域包含， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 3．（26-27高三上·山东淄博·阶段检测）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数在区间上的单调性以及对数函数的单调性分析求解即可. 【详解】令，因为且，所以函数在上单调递减， 又函数在区间内单调递增， 所以函数为减函数，故， 又在上满足恒成立，故，解得：， 综上所述，的取值范围是. 4．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知函数 的减区间为，则实数 的取值集合为__________． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性即可判断. 【详解】令,所以的单调递增区间为， 因为函数 的减区间为， 根据复合函数的单调性可得：，解得：, 所以实数 的取值集合为 5.函数的最大值为_____. 【答案】/ 【分析】将函数展开化简为关于的二次函数，即，结合二次函数性质求结论. 【详解】 当，即时，取得最大值. 故答案为：. 6．（25-26高一上·湖北宜昌·期末）若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合排除法，根据指数函数与对数函数的图象判断． 【详解】因为，所以， 所以是减函数，且时，，是增函数， 排除选项BD，又的定义域为，故排除选项A，只有选项C满足． 7．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）（多选）若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 【答案】BCD 【分析】根据题意可得图象恒过定点，结合基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由于函数（，且）的图象恒过定点，则， 所以，所以A选项错误； ，，当且仅当时等号成立，故B选项正确； ，，当且仅当时等号成立，故C选项正确； ， 当且仅当时等号成立，故D选项正确. 8．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 【答案】(1)函数的定义域为，函数为奇函数. (2) (3)， ， 又因为函数在区间上单调递减， 所以当时， ，，所以， 所以恒成立. 【分析】（1）由定义域的定义列不等式即可求得定义域，由奇偶函数的定义判断函数的奇偶性； （2）由函数解析式判断函数的单调性，结合（1）中的奇偶性和定义域，列出不等式即可求得的取值范围； （3）由对数的运算化简，然后通过构造，结合函数的单调性，即可证明结论. 【详解】（1）由，得，所以， 所以函数的定义域为， 又， 所以函数为奇函数. （2）由（1）可知，，则， 因为，函数在上单调递减， 所以， 解得，即. （3）略 9．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数的反函数为 (1)求的解析式，并判断单调性（无需证明）； (2)当时使得关于不等式有解，求的取值范围： (3)若关于的不等式恰有2个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)，在上单调递增. (2) (3) 【分析】（1）根据反函数的求法可求出答案，利用复合函数的单调性可判断单调性； （2）证明为奇函数，将不等式化为，由题意可知，求最大值即可求出答案； （3）利用函数的单调性和奇偶性将不等式化为，结合一元二次不等式解的情况分类讨论，即可求出答案. 【详解】（1）由得，可化为， 故，在上单调递增. （2）定义域为，， ，所以函数是奇函数， 可化为， 即， 因为在上单调递增，所以， 当时若关于不等式有解， 则， 令，因此有， 在单调递增，所以当时，取得最大值， 即的最大值为, 故. （3）根据函数的单调性和奇偶性，原不等式可化为，即，即， ①当时，不等式解集为，此时不等式有无数个整数解，不满足题意； ②当时，不等式解集为，此时不等式有无数个整数解，不满足题意； ③当时，不等式解集为，不满足题意； ④当时，不等式解集为，此时，不等式无整数解，故不满足题意； ⑤当时，不等式解集为，若不等式有2个整数解，则，解得. 综上所述，的取值范围为. 10.（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数．函数图象与的图象关于直线对称． (1)求的表达式． (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． (3)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据反函数可得的表达式； （2）由（1）可知，令，则在上单调递增且对恒成立，从而得到且，求出的取值范围； （3）根据定义域，解得，由函数单调性得到在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，换元，由函数单调性求出的最大值，得到实数的取值范围． 【详解】（1）的图象与的图象关于直线对称 与互为反函数 由得， （2）由（1）可知， 在上单调递增， 令，其中在上单调递增， 由同增异减可得，在上单调递增且对恒成立， 且， ， 故的取值范围为； （3）在上恒成立， 由对数函数单调性可得且， ，只需，而单调递增，故只需，得， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， ， 在上恒成立， 当时不等式成立， 在上恒成立，， 令， 而在上单调递增， ， 综上所述，实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $