4.5.1函数的零点与方程的解（常考题型） 讲义-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1函数的零点与方程的解 1、 知识点： 1、 函数零点的定义： 对于函数，把使的实数叫做函数的零点。 说明：函数的零点不是点，而是一个实数；并不是所有的函数都有零点。 2、 函数零点与方程的根的联系： 方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 意义：方程f(x)=0的实数根 函数y=f(x)的零点 函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标 3、 零点存在性定理： ①函数在区间上的 图象是一条连续不断的曲线 函数在区间内至少有一个零点 ②f(a)·f(b)<0 解读： 问题1：定理的条件：“连续不断”或“f(a)·f(b)<0”可以去掉一个吗？ 问题2：定理的结论：“有零点”它没有指出几个零点，那么他到底会有几个零点呢？ 问题3：定理反过来：若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在区间(a,b)内有零点时，一定有f(a)·f(b)<0吗？ 问题4：若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且有f(a)·f(b)>0,则y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点？ 结论： 定理不能确定零点的个数； 不满足定理条件时依然可能有零点； 定理中的“连续不断”是必不可少的条件； 定理反之不成立。 推论1： ①函数y=f(x)在区间[a,b]上的 图象是一条连续不断的曲线 函数f(x)在区间(a,b)内只有一个零点 ②f(a)·f(b)<0 ③f(x)具有单调性 推论2： ①函数y=f(x)在区间[a,b]上的 图象是一条连续不断的曲线 ②函数f(x)在区间(a,b)内有零点 f(a)·f(b)<0 ③f(x)具有单调性 2、 常考题型 题型一：求函数的零点（方程的根） 例1、若函数，则函数的零点是____________ 变式：已知函数的零点是1和2，则函数的零点为________ 对点练习： 1、已知函数有一个零点2，则函数的零点是________ 2、设函数，求函数的零点 题型二：函数零点个数的判断 方法一：解方程法 （方程思想） 方法二：单调性+零点存在性定理法 方法三：图象法（数形结合思想、转化思想） 方法四：结合函数奇偶性判断 例1、求函数的零点个数 变式1：方程的实数根的个数为________ 变式