3.4 函数的应用（一）（讲义，知识点&7大题型&刷好题）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数模型的应用这一核心知识点，系统梳理一次、二次、幂函数、分段函数等常见模型，构建从审题、设变量、建立函数到求解检验的数学建模步骤，搭建函数性质到实际问题解决的学习支架。 资料特色在于结合亚冬会纪念品销售、“活水围网”养鱼等真实案例，通过分类题型培养数学眼光（抽象变量关系）、数学思维（逻辑推理求最值），随学随练与分层练习助力课中教学和课后查漏补缺。

第 三 章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用（一） 课标要点 1、理解函数模型的概念，能识别实际问题中的变量关系。 2、掌握一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等常见函数模型的应用。 3、能根据实际问题的条件建立函数关系式，并确定自变量的取值范围。 4、能利用函数的单调性、最值等性质解决实际问题中的优化问题。 5、体会数学建模的基本过程：审题、设变量、建立函数、求解、检验、作答。 学习重难点 重点： 1、从实际问题中抽象出函数关系（如利润、面积、体积、行程等问题）； 2、根据问题背景确定函数的定义域（实际限制条件）； 3、利用函数性质（特别是二次函数的最值、分段函数的分析）求解实际问题的最优方案。 难点： 1、将文字语言转化为数学表达式时，变量关系的准确建立（特别是涉及多个条件时）； 2、分段函数模型中，各段分界点的确定及定义域分割的合理性； 3、实际问题中求解结果后，需检验是否符合实际背景（如取整、非负、范围限制等），容易忽略这一步骤。 知识点 解决函数应用问题的基本步骤 1、审题：读清情境，圈出已知量和目标量，明确自变量与因变量。 2、建模：设出变量，根据等量关系建立函数解析式，并注明自变量的实际取值范围（定义域）。 3、解题并建议：运用函数的单调性、最值、图象等数学工具，在定义域内进行求解或推理。将数学结果放回实际情境中验证，看是否符合题意与现实。 特别提醒 注意自变量的实际取值范围，并在次范围内求解问题。 随学随练 1．（25-26高一上·四川绵阳·期末）某果园有果农200名，年人均创造利润20万元，为适应水果市场的需求，选出名果农进行新品种果树的嫁接培养，选出的果农平均每人每年创造利润为万元（）；剩余果农对原有的果树进行淘汰和优化，平均每人每年创造的利润可以提高. (1)若剩余果农创造的年总利润不低于原来200名果农创造的年总利润，则最多选出多少名果农进行新品种果树的嫁接培养； (2)若选出的果农创造的年总利润始终不高于剩余果农创造的年总利润，则m的取值范围是多少. 【答案】(1)最多选出100名果农进行新品种果树的嫁接培养. (2) 【分析】（1）根据题意列出不等式，进行求解即可. （2）根据题意列出不等式，然后根据基本不等式的性质计算即可. 【详解】（1）由题意得，解得. 所以最多选出100名果农进行新品种果树的嫁接培养. （2）由题意得，化简得. 因为，当且仅当，即时等号成立. 所以，则. 又因为，所以的取值范围是. 知识点 常见的函数模型 1、一次函数：，图像为直线。一般用来描述匀速变化、固定单价、线性增长/衰减。 2、二次函数：，图像为抛物线。一般用来描述利润/面积等最值问题、抛射轨迹。 3、幂函数：（ 为常数，常见如 、、）。描述几何度量中的乘方/开方关系、反比例关系。 4、分式函数：一次与二次的比值，如 ，可以描述平均产量、单位成本、稀释效应等平均分摊问题。 5、分段函数：不同自变量区间对应不同解析式，可以描述阶梯定价（水电费、出租车费）、阶段性变化。 6、对勾函数：。已知乘积定值求和的最小值，如面积一定时周长最小、平均成本最低。 随学随练 1．（多选）（25-26高一上·河北沧州·期末）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【分析】根据题意列出分段函数解析式判断A，分段函数分段求最值再比较判断B，令，解分段函数不等式即可判断CD. 【详解】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 题型 一次与二次函数模型求最值 ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在我国哈尔滨举办，此次亚冬会上中国体育代表团获得32枚金牌、85枚奖牌，名列金牌榜和奖牌榜首位．亚冬会结束后，人们对冰雪的热爱不减，亚冬会周边纪念品依然十分畅销．某商家以每套30元的价格购进一批纪念品套件．若该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套；若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套． (1)设纪念品每套降价元，求该纪念品的销售量与之间的函数解析式． (2)求每套纪念品的售价定为多少元时，每天销售纪念品套件所获的利润W最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1). (2)每套售价定为38元时，每天利润最大，最大利润是640元． 【分析】（1）根据题意，用含有的式子将销售量表示出来，得到函数的解析式，即可求解． （2）根据总利润等于单件利润乘以销售量，可得到函数关系式，再利用二次函数的性质，求得的最值，即可求解， 【详解】（1）解：该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套， 若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套， 根据题意，可知当纪念品每套降价元时，每天可以多卖套， 因为商家以每套30元的价格购进，所以且，即， 则销售量与之间的函数解析式为. （2）解：根据题意，可知当纪念品每套降价元时，售价为元， 由（1）可知每天销售量为套， 则， 所以当时，取最大值为，故售价为元， 即每套售价为元时，每天的利润最大，最大利润为元. ▌例2（25-26高一上·山东济南·自主招生）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值及等号条件． 【答案】(1) (2)当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求出函数解析式. （2）由（1）求出年生长量函数，再分段求出最大值并比较大小即可. 【详解】（1）依题意，当时，关于的函数解析式为； 当时，设关于的函数解析式为， 将代入，得，解得 当时，关于的函数解析式为， 所以函数关于的函数解析式为. （2）设年生长量为， 依题意，， 当时，，随的增大而增大， 因此当时，取得最大值，最大值； 当时，， 当且仅当时取等号，而，即的最大值为， 所以当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米. 解题贴士 审题时用“设变量→列关系→定范围→求最值”四步走。先设未知量，根据题目条件（如面积、利润、费用等）建立一次或二次函数关系式，再根据实际背景确定自变量范围（如长度非负、人数整数等），最后用配方或顶点公式求最值。 注意：二次函数最值看对称轴是否在定义域内——若在，顶点即最值；若不在，最值在端点处取。一次函数最值直接在端点处取。结果必须符合实际意义（如产量不能为分数、人数需取整），最后作答时需带单位。 ▌对点练1-1 （25-26高一上·云南·阶段检测）某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)300台，最大利润为20000元 【分析】（1）根据固定成本、生产一台机器需投入的费用，结合利润的计算方式进行求解即可； （2）利用二次函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题可知， 化简，得 （2）当时，， 所以当时，取最大值10000； 当时，在上单调递减， 所以， 故当时，取最大值20000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为20000元． ▌对点练1-2 （26-27高一上·全国·课堂例题）随着人们对交通安全的认识不断提高，骑电动车必须戴头盔，所以头盔已成为人们日常生活中不可或缺的物品．某商人将进货单价为8元的某种头盔按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种头盔销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值． 【答案】当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元． 【分析】根据给定条件，求出利润与售价的函数关系，再利用二次函数性质求出最大值. 【详解】设每个提价元（，），利润为元． 每天销售总额为元， 进货总额元，显然，即， 因此 ，当且仅当时取等号， 此时销售单价应为14元，最大利润为360元， 所以当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元． 题型 分式函数与对勾函数求最值 ▌例1（25-26高一上·山西太原·期中）某蛋糕店销售一种蛋糕.蛋糕店每日的固定成本为900元，每个蛋糕的制作成本是20元.该种蛋糕的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）满足.假设每日生产的蛋糕全部售完. (1)将每日利润表示为销售单价的函数； (2)当销售单价为多少元时，蛋糕店每日利润最大？其最大利润是多少元？ (3)当销售单价为多少元时，蛋糕店每个蛋糕的平均利润最大？并求出其最大值. 【答案】(1)， (2)当销售单价为60元时，每日的利润最大，最大利润是700元 (3)，最大值20 【分析】（1）由题意即可直接求解； （2）由（1）结合二次函数单调性即可求解； （3）由（1）得到，再由基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得，. （2）由（1）得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，取得最大值700， 所以，当销售单价为60元时，每日的利润最大，最大利润是700元. （3）由（1）得 ， 当且仅当， 即当元时，取得最大值20元. ▌例2（25-26高一上·广东深圳·期中）某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 【答案】(1)，从第3年开始盈利 (2)7 【分析】（1）根据利润=销售收入-总成本求出，再解一元二次不等式可得答案； （2）先求出前年的总盈利再求出，结合双勾函数的性质即可得结果. 【详解】（1）由题意得， 令，得，而， 所以该设备从第3年开始使企业盈利. （2）当时，第 1 台设备使用了年，第 2 台设备使用了年， 前年的总盈利为 ， 则年平均盈利额， 由双勾函数的性质可得在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，而， 所以当时，取得最大值， 这两台设备的年平均盈利额最大时. 解题贴士 1、设变量，根据题意列分式表达式；确定自变量取值范围（结合实际，如长度>0、人数为正整数等）； 2、分离后用基本不等式或对勾函数单调性求最值； 3、验证取等条件是否满足定义域，若满足则最值可取；若不满足，则用单调性判断端点处取值。 ▌对点练1-1（25-26高一上·广西百色·阶段检测）某糕点连锁店现有五家分店，出售两款糕点，A为特价糕点，为吸引顾客按进价销售.已知用16000元购进A糕点与用22000元购进B糕点的重量相同，且B糕点每斤的进价比A糕点每斤的进价多6元. (1)求两种糕点每斤的进价； (2)因为使用进价销售的A糕点物美价廉，所以深受顾客青睐，五个分店每月的总销量为10000斤.今年年初该连锁店用50万购进一批设备，用于生产A糕点，已知每斤糕点的原材料价格为8元，若生产A糕点个月（）所用的原材料之外的各种费用总计为万元，若只考虑A糕点，记该连锁店前个月的月平均利润为万元，求的最大值. 【答案】(1)A糕点每斤进价16元，B糕点每斤进价22元； (2)z的最大值为. 【分析】（1）由A、B两款糕点重量相同列等式求解； （2）总利润=前n个月原材料总利润设备成本其他费用，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）设A糕点每斤的进价为元，则B糕点每斤的进价为元， 则，解得， 所以A糕点每斤的进价为元，B糕点每斤的进价为元. （2）设前n个月的总利润为元，因为A糕点每斤售价为16元，每月可售出10000斤， 故每月可收入16万元，其中原材料为8万元， 则 所以月平均利润为 当且仅当时即时等号成立，此时有最大值为万元． ▌对点练1-2（25-26高一上·河南·阶段检测）某工厂拟在年底用万元购买一台新设备，并在年初立即投入生产使用.调研发现该设备使用年所需要的各种支出费用总和为万元，据以往销售方的大数据估计，，预计该设备每年的生产总收入为万元.设使用年后该设备的盈利额为万元（盈利额等于总收入减去购买成本及各种使用支出费用）. (1)写出与之间的函数关系式； (2)当时，工厂要求该设备在使用年后获得最大的年平均盈利额，并将其出售. （i）求购买该设备的最低价； （ii）若选择以最低价购买该设备，且该设备的年折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率），求使用年后的总获利. 参考数据：. 【答案】(1) (2)（i）万元；（ii）万元 【分析】（1）由条件可知，代入的表示可得结果； （2）（i）令，根据对勾函数的单调性分析出的取值范围，则结果可求；（ii）根据的值以及设备的剩余价值可计算出总获利. 【详解】（1）由条件可知，，， 所以， 所以. （2）（i）因为，令， 由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为在时取得最大值，所以， 所以且，解得， 所以购买该设备的最低价为万元； （ii）当时，， 使用年后设备的剩余价值为万元， 所以使用年后的总获利为万元. 题型 分段函数求最值 ▌例1（25-26高一上·山西忻州·期末）某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）. (1)求的表达式； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)甲投入万元，乙投入 万元时，利润最大是 万元 【分析】（1）根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可； （2）分情况求出各段的最大值，利用换元法结合二次函数的性质、基本不等式计算最值并比较即可. 【详解】（1）甲产品的投入为（单位：万元），则乙产品的投入为（单位：万元）， 则乙产品的利润 当时，， 所以， 当时，， 所以， 综上所述，. （2）当时，令，则，， 则， 当时，函数有最大值， 即当时，函数有最大值. 当时， ， 当且仅当，即 因为. 所以当甲投入万元，乙投入 万元时，才能使总利润最大，最大利润是 万元. ▌例2（25-26高一下·河南开封·开学考试）为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1) (2)当年产量为15万吨时，年利润最大，最大年利润为1200万元 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别利用二次函数，基本不等式求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【详解】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， 显然，， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大年利润为1200万元. 解题贴士 1、划分区间：根据题目条件（如数量阶梯、时间分段）确定自变量的分界点； 2、分段列式：在各区间内分别写出函数表达式，注意分段点处归属明确（如“不超过”“超过”等关键词）； 3、确定范围：结合实际问题（如人数、重量、时间）确定各段自变量的取值范围； 4、求值或最值：代入对应解析式计算，若求最值需分别计算各段最值再比较取整体最值。 注意事项： 分段点处需检查函数是否连续（左、右段在该点的值是否相等），若不连续需分别说明； 若求参数，需将分段点条件或函数值条件代入对应解析式列方程； 答案需结合实际问题解释（如“至少”“最多”等），并注意单位。 ▌对点练1-1（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）某公司进行软件革新，需对现有的软件模型进行性能评估．该模型的综合性能（单位：分）与使用时长（单位：小时）有如下函数关系：，若． (1)求的值； (2)当使用时长取何值时，该模型的综合性能达到最大值． 【答案】(1) (2)20小时. 【分析】（1）将给定函数值代入建立方程组求解. （2）由（1）求出，再利用二次函数、及基本不等式分段求出最大值，再比较大小得解. 【详解】（1）函数，由， 得，解得， 所以. （2）由（1）得， 当时，，即当时，取最大值80； 当时，， 当且仅当，即时取等号，而， 所以使用时长取20小时时，该模型的综合性能达到最大值98. ▌对点练1-2（25-26高一上·山东菏泽·期末）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数 (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本） (2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元 【分析】（1）依题意可得，结合的解析式计算可得； （2）首先表示出，再由基本不等式及函数的单调性计算可得. 【详解】（1）由题意知，当月产量为台时，增加投入为元， 所以，又， 所以 （2）因为且， 所以     ， ①当时， ， 当且仅当时，即时取等号，此时的最大值为100．     ②当时，则在上单调递减， 所以．     综上，当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元． 题型 函数模型在几何上的应用 ▌例1（25-26高一上·青海西宁·期中）某小区为了改善居民生活环境，准备把一个矩形花坛扩建成更大的矩形花坛（如图所示），其中点，分别在，的延长线上，对角线过点.已知m，m，设m.    (1)试用表示矩形花坛的面积； (2)若因场地限制，矩形花坛的面积不能超过250m2，则最长为多少米？最短为多少米？ (3)若花坛新扩建部分（不含原矩形花坛）的修建费用为80元/m2，另外为了美观，还需对矩形花坛的边缘进行装饰，装饰费用为100元/m，试问当的长为多少米时，扩建花坛的总费用最少？最少为多少元？（结果可保留根号） 【答案】(1) (2)最长为25米，最短为米 (3)的长为米时，总费用最少，最少为元 【分析】（1）根据给定图形，借助相似求出，进而求出矩形面积. （2）由（1）列出不等式，求解不等式即可得解. （3）求出总费用的函数关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由的长为m，得m， 而与相似，则，于是， 所以矩形花坛的面积. （2）依题意，，则，而，整理得，解得， 函数在上随增大而减小，于是， 所以最长为25米，最短为米. （3）矩形花坛的装饰费用， 新扩建部分的修建费用， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的长为米时，总费用最少，最少为元. ▌例2（25-26高一上·河南商丘·阶段检测）如图，互相垂直的两条小路，旁有一长方形花坛，其中，．现欲经过点C修一条直路l，l交小路，分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛扩建成一个更大的三角形花坛，要求的长不小于且不大于．记三角形花坛的面积为． (1)设，试用x表示，并求x的取值范围； (2)当长是多少时，S取最大和最小值？最大和最小值是多少？ 【答案】(1)， (2)时，S最小值为；当时，S最大值为 【分析】（1）根据题意，由两三角形相似求出，即得，由得范围求出x的范围即可； （2）依题列出S的表达式，整理后利用对勾函数的单调性即可求得其最小值． 【详解】（1）依题意可得∽，则有， 即，可得，因此． 又要求的长不小于且不大于，即， 解得，即，． （2）由图知， 所以， 单调递减；单调递增； 由对勾函数可得： 当时，S取得最小值2400， 当时，S取值2500， 当时，S取值3750， 因此当时，S取得最小值，最小值为． 因此当时，S取得最大值，最大值为． 解题贴士 将几何问题中的长度、面积、体积等量表示为函数关系式，再结合函数性质（单调性、基本不等式、二次函数最值等）求解几何最值或范围问题。 1. 画图辅助分析，设出相关变量； 2. 根据几何关系（如相似、勾股、面积公式）建立函数式； 3. 确定自变量范围（由几何约束给出）； 4. 用对应函数模型（一次、二次、分式、对勾等）求最值，并验证取等条件是否符合几何实际。 ▌对点练1-1（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元;再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元.设总造价为（单位:元），长为，且（单位：）. (1)求关于的函数解析式； (2)长为时，求该休闲场所的总造价； (3)当长为多少米时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）设，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，即可求解； （2）把代入（1）中的解析式，即可求得该休闲场所的总造价； （3）由（1）中的解析式，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】（1）解：设，则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以关于的解析式为. （2）解：当m时， 可得（元）， 所以长为时，该休闲场所的总造价元. （3）解：由（1）得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. ▌对点练1-2（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）为了更好地美化校园，某校计划修建一个如图所示的总面积为120平方米的花园.图中阴影部分是宽度为1米的小路，中间三个矩形区域将种植鲜花.图中区域的形状､大小完全相同.设矩形花园的一条边长为米，鲜花种植的总面积为平方米. (1)用含有的代数式表示，并求出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大，并求出最大面积. 【答案】(1)，； (2)，最大面积为. 【分析】 （1） 设矩形花园的长为米，结合，进而求得关于的关系式； （2） 由（1）知，，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为米,根据题意可得，所以，，又，所以， 又阴影部分是宽度为1米的小路，可得，所以，； （2）由（1）知，，， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 题型 函数模型选择最优化方案 ▌例1（25-26高一上·湖北·阶段检测）某机床厂今年年初用万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用.已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和（单位：万元）与使用时间（，单位：年）之间满足函数关系式为：该机床每年的生产总收入为万元.设使用年后数控机床的盈利额为万元.（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）. (1)写出与之间的函数关系式； (2)该机床使用过程中，已知年平均折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率）.现对该机床的处理方案有两种： 第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出； 第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出. 研究一下哪种处理方案较为合理?请说明理由. （参考数据：，，，） 【答案】(1)； (2)选第一方案较为合理，理由如下： 由（1）知， 因为， 当或时，盈利额达到最大值为万元， 因为， 所以机器使用年后机床剩余价值比使用年后的剩余价值大， 使用年后机床剩余价值为：（万元）， 所以按第一方案处理，总获利为（万元）； 又由， 令，， 则 ， 当时，，，则， 即，因此可得在上单调递增； 当时，，，则， 即，因此可得在上单调递减. 又，当时，年平均盈利为万元， 当时，年平均盈利为万元，又， 所以当第年时，年平均盈利额达到最大值，此时机床剩余价值为：（万元）， 所以按第二方案处理，总获利为（万元）. 由于，则选第一方案较为合理. 【分析】（1）根据“盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用”可得出与之间的函数关系式； （2）方案一中，计算出当盈利额达到最大值时的值，并计算出盈利额与机器剩余价值之和；方案二中，利用对勾函数的单调性求出取最大值时的值，并计算出盈利额与机器剩余价值之和.比较方案一、方案二中盈利额与机器剩余价值之和的大小，可得出结论. 【详解】（1）由题意，使用过程中所需要的各种支出费用总和与使用时间之间的函数关系式为， 且该机床每年的生产总收入为万元，设使用年后数控机床的盈利额为万元， 可得与之间的函数关系式. （2）略 ▌例2（25-26高一上·广西贵港·期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. (1)设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式； (2)结合总利润（总利润＝总盈利额＋设备处理时获得的收入）判断哪种方案较为合理？并说明理由. 【答案】(1) (2) 方案一：因为， 所以当时，总盈利额的最大值为万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元， 方案二：由年平均盈利额为： ， 当且仅当即时等号成立， 即当时，年平均盈利额最大为20万元， 此时总盈利额万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元， 综上，两种方案获利都是110万元， 但方案一需要5年，而方案二仅需要4年，故方案二合理. 【分析】（1）利用已知条件即可写出与的函数关系式； （2）分别写出两种方案的总利润以及所需要的时间，即可得出结论. 【详解】（1）根据题意可得， 则方案一中与的函数关系式为：. （2）略 解题贴士 将实际问题中的目标量（如成本最低、利润最高、时间最短）表示为函数，通过比较不同方案对应的函数值或最值，选出最优方案。 1、列方案：根据题目条件，列出各备选方案对应的函数表达式（一次、二次、分式、分段函数等）； 2、确定范围：明确自变量在实际背景中的取值范围（如数量、时间、长度等约束）； 3、求最值：对各方案分别求目标函数的最值（常用配方法、基本不等式、单调性法）； 4、比较取舍：比较各方案的最值，选最大（利润）或最小（成本）的方案，并结合实际意义验证。 ▌对点练1-1（25-26高一上·山东·阶段检测）中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力和竞争力.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备，初步计划使用该设备不超过20年.使用该设备后，预计每年的收入会达到50万元，已知前年累计所需维修、保养费用万元满足如下函数关系式：，且第一年维修、保养费用为12万元，设使用该设备年后盈利额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种： ①设年平均盈利额为，当达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额y达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额） 【答案】(1)，（，且），从第3年开始盈利 (2)方案①比较合理，理由见解析 【分析】（1）首先确定维修费用：代入首年费用求，再构建盈利函数，盈利 = 总收入 - 总支出，最后求开始盈利年份，解，最后答案取整数。 （2）方案①：用基本不等式解得最大值，方案②：用二次函数顶点在求最大值,然后两个比较求出最合理的方案. 【详解】（1）由题意可得，，代入得，解得， 所以 所以，（，且） 令，解得， 因为，所以， 故从第3年开始盈利. （2）      当且仅当，即时等号成立，    故第7年，年平均盈利额达到最大值，      工厂共获利万元； 由， 当时，，                故第10年，盈利额达到最大值，工厂获利万元， 因为两个方案中盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短， 故方案①比较合理. ▌对点练1-2（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为万元（2019年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y万元． (1)写出y与x之间的函数关系式，求该设备在第几年的盈利总额为30万元． (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 【答案】(1)，从第 3 年开始该设备开始全年盈利； (2)方案①比较合理，理由如下： ①， 当且仅当时，即时等号成立. 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时，. 故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理. 【分析】（1）确定，再解方程即可. （2）利用均值不等式和二次函数性质分别计算最大值，比较得到答案. 【详解】（1）， 解方程，得或， 故在第4 年或16年盈利总额为30万元； （2）方案①比较合理，理由略. 基础通关 1．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 【答案】(1) (2)，元 【分析】（1）根据利润表达式列出方程，解之即可； （2）解法一：构造利润函数，根据二次函数的性质求解出最大值；解法二：构造利润函数，采用换元法并结合二次函数的性质求解出最大值. 【详解】（1）由得，解得或. 因为，所以. （2）解法一：生产该产品所需时间为h， 所以生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 所以当时，取得最大值，利润最大值为， 故该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 解法二：生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 令， 则当时，取得最大值，此时. 因为， 所以该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 2．（2026高三·全国·专题练习）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 【答案】(1)， (2)（i）万元；（ii）当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元 【分析】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，，所获利润分别为万元、万元，可设，.过点，将此点代入函数得到，从而得到的表达式，过点，将此点代入函数得到，从而得到的解析式； （2）（ⅰ）根据和的解析式求出，，从而得到总利润的值； （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元.则，.令，，从而得到关于的二次函数，利用二次函数的图像和性质得到该企业获得的最大利润. 【详解】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，， 所获利润分别为万元、万元. 由题意可设，. 过点，则，则， 过点，则，解得，则， 故.. （2）（ⅰ）由（1）得，. 所以总利润万元. （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元. 则，. 令，，则. 所以当时，，此时，. 所以当两种产品分别投入2万元、16万元时， 可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 3．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）我市为打造世界级旅游胜地，方便游客游玩，拟建设旅游轻轨．经调研测算，每辆列车的载客数量（单位：人）与发车时间间隔（单位：分钟，且）有关：当发车时间间隔达到或超过分钟时，每辆列车均为满载状态，载客量为人；当时，每辆列车的载客数量与成正比．假设每辆列车的日均总车票收入（单位：万元）． (1)求关于的函数表达式； (2)当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均总车票收入最大？并求出该最大值． 【答案】(1) (2)发车间隔为分钟时，每辆列车的日均总车票收入最大，且最大值为万元 【分析】（1）当时，直接求得；当时，代入数据先求解出比例系数，则可知；由此可求关于的函数表达式； （2）根据反比例函数、二次函数的单调性分别求解出、时的最大值，由此可知结果. 【详解】（1）当时，，； 当时，，且当时，， 解得，，. 综上所述，. （2）当时，， 当且仅当时，等号成立； 当时，在上单调递减，此时，且， 所以当发车间隔为分钟时，每辆列车的日均总车票收入最大，且最大值为万元. 4．（25-26高一上·广东广州·期中）某商家利用电商平台销售一种季节性电子产品，已知该产品的成本为每件40元，销售单价（元）与日销售量（件）的对应关系如下表所示（销售单价不低于成本且不高于100元且变量与变量成一次函数关系）： 销售单价（元） 50 60 日销售量（件） 100 80 该平台为了促进销售，决定当销售单价不超过65元时，向商家提供每件2元的物流补贴；当销售单价超过65元时，不再提供补贴．设该产品的商家日利润为（元）. (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)求与之间的函数关系式； (3)当销售单价为多少元时，日利润最大？最大日利润是多少元？ 【答案】(1)， (2) (3)当时，最大，最大值为元. 【分析】（1）设出一次函数关系，利用待定系数法求出解析式，并求出自变量的范围. （2）利用给定关系，结合（1）的结论分段求解. （3）分段求出最大值，再比较大小即得. 【详解】（1）由题，设， 由表中数据可得：，解得， 所以，由，得，得， 所以所求函数关系为，. （2）由（1），，. 当，即时，， 当，即时，， 所以所求函数关系为. （3）当时，，当且仅当时，等号成立； 当时，在上单调递减， 则当时，函数取得最大值， 而，因此当，即时，函数取得最大值， 所以当销售单价为65元时，日利润取得最大值元. 5．（24-25高一上·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式； （2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润. 【详解】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 6．（25-26高一上·安徽黄山·期末）鱼灯是黄山市传统民俗工艺品，深受广大游客喜爱.某厂家欲生产一款鱼灯，经过市场调研发现，生产该款鱼灯需投入固定成本10万元，每生产万盏鱼灯另需投入变动成本万元.若这款鱼灯的售价为80元／盏，且该厂家2026年生产的万盏鱼灯均能售完. (1)求该厂家2026年利润（单位：万元）的函数解析式； (2)求该厂家2026年产量为多少万盏时所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)6万盏时所获年利润最大，最大年利润是110万元 【分析】（1）根据题设条件，求解分段函数的表达式即可； （2）利用二次函数和基本不等式求分段函数在各段的最大值，比较大小，即可求解. 【详解】（1）由题意知，鱼灯的售价为80元／盏，则2026年生产的万盏鱼灯售万元， 当时， ， 当时， ， 所以，. （2）当时时，， 所以时，取到最大值108. 当时，， 当且仅当时，取到最大值110. 综上可得：该厂家2026年的产量为6万盏时，所获年利润最大，最大年利润是110万元. 7．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）某乡镇获得乡村振兴补贴资金60万元，计划分别用于农产品加工厂建设和电商服务站搭建两个项目.农产品加工厂建设项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元），电商服务站搭建项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元）. (1)设分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，投资两个项目一年经济收益总和为万元，试将表示成关于的函数； (2)求出的最大值，并求出此时对两个项目的投资分别为多少万元. 【答案】(1) (2)的最大值为，此时分配给农产品加工厂建设项目的资金为40万元，分配给电商服务站搭建项目的资金为万元. 【分析】（1）根据题意列式化简即可； （2）将函数配凑为，利用基本不等式即可求得最大值，并根据取等条件得到两个项目分配的资金. 【详解】（1）分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，则分配给电商服务站搭建项目的资金为万元， . （2）由（1） ， 当且仅当，即时取等号，的最大值为. 此时分配给农产品加工厂建设项目的资金为40万元，分配给电商服务站搭建项目的资金为万元. 8．（25-26高一上·陕西·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元． (1)要使生产该产品获得的利润为7200元，求． (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值． 【答案】(1) (2)，最大值为730000元 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）借助二次函数性质计算即可得. 【详解】（1）由， 得， 解得或，因为，所以； （2）生产该产品获得的利润为，． 令，则， 所以当时，利润取得最大值，最大值为730000， 故该厂以的生产速度生产时，利润有最大值，最大值为730000元． 9．（25-26高一下·四川泸州·期中）某公司计划生产一种新型节能产品，固定成本为10万元，每生产千件，需要另外投入成本万元．当产量不足8千件时，；当产量不小于8千件时，．已知每件产品的售价均为0.05万元，且生产的产品能全部售出． (1)请写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当年产量为100千件时，该公司所获年利润最大，最大年利润为1240万元． 【分析】（1）根据给定条件，分段列式求出函数解析式. （2）利用二次函数的性质及基本不等式分段求解即得最大值. 【详解】（1）由每件产品的售价均为万元，得x千件产品的销售收入为万元，                                 当时，；                     当时，，               所以年利润关于年产量x的函数解析式为. （2）当时，，   函数在上单调递增， 此时（万元）；       当时，，                           当且仅当，即时取等号，而， 所以当年产量为100千件时，该公司所获年利润最大，最大年利润为1240万元． 10．（25-26高三·全国·一轮复习）某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出投入成本，出厂价，年销售量，利用年利润公式求解即可. （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加得到，计算得解. 【详解】（1）投入成本为，出厂价为，年销售量为， 则， 整理得． （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有， 即，解得， 所以投入成本增加的比例应在范围内． 素养提升 1．（25-26高一上·江西景德镇·期末）国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完. (1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； (2)当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； (3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本 (3)当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元 【分析】（1）根据利润等于销售收入减去固定成本再减去生产成本，分段求出的解析式即可得解； （2）由题意可知要收回成本，须满足，求解不等式，比较得到使不等式成立的的最小值即可得解； （3）分、和三种情况，结合函数单调性和基本不等式求出的最大值，再比较即可得解. 【详解】（1）由题意可知：总销售额为万元，总成本为万元，利润， 故当时，； 当时，； 当时，. 综上所述：利润G（万元）关于年产量x万个的函数解析式为. （2）由题意可知：要收回成本，须满足， 当时，则，解得， 且，所以当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本. （3）当时，则在内单调递增， 所以在内的最大值为； 当时，则， 因为的图象开口向下，对称轴为， 可知在内单调递增，所以在内的最大值为； 当时，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在内的最大值为； 且，所以当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元. 2．（25-26高一上·河北承德·期末）近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗．哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力．为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章（万件），其他成本为（万元），且经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完． (1)求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式； (2)2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为4万件时，利润最大，最大为25万元 【分析】（1）由题意，确定总收入为，再结合成本即可求解； （2）由（1）分段计算最值即可求解. 【详解】（1）由题意，总收入为（万元）． 当时，； 当时，． 所以2026年的利润 （2）当时，，当时，利润最大，最大为万元． 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，最大为25万元． 因为，所以年产量为4万件时，利润最大，最大为25万元． 3．（25-26高三上·上海·期中）在研究“人在雨中行走，如何让被淋雨的程度尽可能低”时，可以将人体视为一个长方体.如图，长方体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿移动方向的分速度为.移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为，记移动距离为d，y为移动过程中的总淋雨量. (1)求总淋雨量的表达式（用含有v、d、S、c的表达式表示）； (2)已知且，设，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少. 【答案】(1)，其中. (2)当时，；若时，. 【分析】（1）根据题意，得到移动时单位时间内淋雨量为，进而求得总淋雨量的表达式； （2）由（1）知，得到，分类讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：由题意知，移动时单位时间内淋雨量为， 所以总淋雨量的表达式，其中. （2）解：当且，设， 由（1）得，总淋雨量的表达式， 当时，可得； 当时，可得， 所以， 当时，函数是关于的减函数，所以当时，； 当时，函数是关于的函数，在上为减函数，在上为增函数， 所以当时，， 综上，当时，；若时，. 4．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.2022年，工业和信息化部等十七部门印发了《“机器人＋”应用行动实施方案》，《方案》指出，到2025年，制造业机器人密度较2020年应实现翻番，服务机器人、特种机器人行业应用深度和广度应显著提升，机器人促进经济社会高质量发展的能力应明显增强.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元，每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并指出的取值范围； (2)使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理？并说明理由. 【答案】(1) (2) 方案一：总盈利额， 当时，， 若此时处理掉智能机器人，总盈利为万元； 方案二：年均盈利额（万元）， 当且仅当时，年平均盈利额最大，若此时处理掉智能机器人， 总盈利为万元. 两方案总利润都是13200万元，但方案二用时更短，则方案二更合理. 【分析】（1）根据题意，列出函数关系式即可； （2）分别计算出方案一与方案二的总盈利，然后比较，即可得到结果. 【详解】（1）由题意，. （2）略 5．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）为推动生产力的发展，我市某企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用.已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元盈利总额=总收入-总支出 (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备年平均盈利额=盈利总额使用年数； ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备， 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 【答案】(1) (2)方案①比较合理，理由如下： ①年平均盈利额为， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 即使用7年后，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元； ②可知，当时，盈利额达到最大值， 该设备可获利万元， 因为两种方案企业获利总额相同，但方案①所用时间较短，所以方案①比较合理． 【分析】（1）根据二次函数模型，由题意列出函数关系式即可； （2）根据基本不等式和二次函数求最值的方法，求出两种方案的最大获利金额，进而根据实际情况，选出结果即可. 【详解】（1）根据题意可得； （2）方案①比较合理，理由略. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 三 章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用（一） 课标要点 1、理解函数模型的概念，能识别实际问题中的变量关系。 2、掌握一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等常见函数模型的应用。 3、能根据实际问题的条件建立函数关系式，并确定自变量的取值范围。 4、能利用函数的单调性、最值等性质解决实际问题中的优化问题。 5、体会数学建模的基本过程：审题、设变量、建立函数、求解、检验、作答。 学习重难点 重点： 1、从实际问题中抽象出函数关系（如利润、面积、体积、行程等问题）； 2、根据问题背景确定函数的定义域（实际限制条件）； 3、利用函数性质（特别是二次函数的最值、分段函数的分析）求解实际问题的最优方案。 难点： 1、将文字语言转化为数学表达式时，变量关系的准确建立（特别是涉及多个条件时）； 2、分段函数模型中，各段分界点的确定及定义域分割的合理性； 3、实际问题中求解结果后，需检验是否符合实际背景（如取整、非负、范围限制等），容易忽略这一步骤。 知识点 解决函数应用问题的基本步骤 1、审题：读清情境，圈出已知量和目标量，明确自变量与因变量。 2、建模：设出变量，根据等量关系建立函数解析式，并注明自变量的实际取值范围（定义域）。 3、解题并建议：运用函数的单调性、最值、图象等数学工具，在定义域内进行求解或推理。将数学结果放回实际情境中验证，看是否符合题意与现实。 特别提醒 注意自变量的实际取值范围，并在次范围内求解问题。 随学随练 1．（25-26高一上·四川绵阳·期末）某果园有果农200名，年人均创造利润20万元，为适应水果市场的需求，选出名果农进行新品种果树的嫁接培养，选出的果农平均每人每年创造利润为万元（）；剩余果农对原有的果树进行淘汰和优化，平均每人每年创造的利润可以提高. (1)若剩余果农创造的年总利润不低于原来200名果农创造的年总利润，则最多选出多少名果农进行新品种果树的嫁接培养； (2)若选出的果农创造的年总利润始终不高于剩余果农创造的年总利润，则m的取值范围是多少. 知识点 常见的函数模型 1、一次函数：，图像为直线。一般用来描述匀速变化、固定单价、线性增长/衰减。 2、二次函数：，图像为抛物线。一般用来描述利润/面积等最值问题、抛射轨迹。 3、幂函数：（ 为常数，常见如 、、）。描述几何度量中的乘方/开方关系、反比例关系。 4、分式函数：一次与二次的比值，如 ，可以描述平均产量、单位成本、稀释效应等平均分摊问题。 5、分段函数：不同自变量区间对应不同解析式，可以描述阶梯定价（水电费、出租车费）、阶段性变化。 6、对勾函数：。已知乘积定值求和的最小值，如面积一定时周长最小、平均成本最低。 随学随练 1．（多选）（25-26高一上·河北沧州·期末）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 题型 一次与二次函数模型求最值 ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在我国哈尔滨举办，此次亚冬会上中国体育代表团获得32枚金牌、85枚奖牌，名列金牌榜和奖牌榜首位．亚冬会结束后，人们对冰雪的热爱不减，亚冬会周边纪念品依然十分畅销．某商家以每套30元的价格购进一批纪念品套件．若该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套；若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套． (1)设纪念品每套降价元，求该纪念品的销售量与之间的函数解析式． (2)求每套纪念品的售价定为多少元时，每天销售纪念品套件所获的利润W最大？最大利润是多少元？ ▌例2（25-26高一上·山东济南·自主招生）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值及等号条件． 解题贴士 审题时用“设变量→列关系→定范围→求最值”四步走。先设未知量，根据题目条件（如面积、利润、费用等）建立一次或二次函数关系式，再根据实际背景确定自变量范围（如长度非负、人数整数等），最后用配方或顶点公式求最值。 注意：二次函数最值看对称轴是否在定义域内——若在，顶点即最值；若不在，最值在端点处取。一次函数最值直接在端点处取。结果必须符合实际意义（如产量不能为分数、人数需取整），最后作答时需带单位。 ▌对点练1-1 （25-26高一上·云南·阶段检测）某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ ▌对点练1-2 （26-27高一上·全国·课堂例题）随着人们对交通安全的认识不断提高，骑电动车必须戴头盔，所以头盔已成为人们日常生活中不可或缺的物品．某商人将进货单价为8元的某种头盔按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种头盔销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值． 题型 分式函数与对勾函数求最值 ▌例1（25-26高一上·山西太原·期中）某蛋糕店销售一种蛋糕.蛋糕店每日的固定成本为900元，每个蛋糕的制作成本是20元.该种蛋糕的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）满足.假设每日生产的蛋糕全部售完. (1)将每日利润表示为销售单价的函数； (2)当销售单价为多少元时，蛋糕店每日利润最大？其最大利润是多少元？ (3)当销售单价为多少元时，蛋糕店每个蛋糕的平均利润最大？并求出其最大值. ▌例2（25-26高一上·广东深圳·期中）某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 解题贴士 1、设变量，根据题意列分式表达式；确定自变量取值范围（结合实际，如长度>0、人数为正整数等）； 2、分离后用基本不等式或对勾函数单调性求最值； 3、验证取等条件是否满足定义域，若满足则最值可取；若不满足，则用单调性判断端点处取值。 ▌对点练1-1（25-26高一上·广西百色·阶段检测）某糕点连锁店现有五家分店，出售两款糕点，A为特价糕点，为吸引顾客按进价销售.已知用16000元购进A糕点与用22000元购进B糕点的重量相同，且B糕点每斤的进价比A糕点每斤的进价多6元. (1)求两种糕点每斤的进价； (2)因为使用进价销售的A糕点物美价廉，所以深受顾客青睐，五个分店每月的总销量为10000斤.今年年初该连锁店用50万购进一批设备，用于生产A糕点，已知每斤糕点的原材料价格为8元，若生产A糕点个月（）所用的原材料之外的各种费用总计为万元，若只考虑A糕点，记该连锁店前个月的月平均利润为万元，求的最大值. ▌对点练1-2（25-26高一上·河南·阶段检测）某工厂拟在年底用万元购买一台新设备，并在年初立即投入生产使用.调研发现该设备使用年所需要的各种支出费用总和为万元，据以往销售方的大数据估计，，预计该设备每年的生产总收入为万元.设使用年后该设备的盈利额为万元（盈利额等于总收入减去购买成本及各种使用支出费用）. (1)写出与之间的函数关系式； (2)当时，工厂要求该设备在使用年后获得最大的年平均盈利额，并将其出售. （i）求购买该设备的最低价； （ii）若选择以最低价购买该设备，且该设备的年折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率），求使用年后的总获利. 参考数据：. 题型 分段函数求最值 ▌例1（25-26高一上·山西忻州·期末）某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）. (1)求的表达式； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？ ▌例2（25-26高一下·河南开封·开学考试）为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 解题贴士 1、划分区间：根据题目条件（如数量阶梯、时间分段）确定自变量的分界点； 2、分段列式：在各区间内分别写出函数表达式，注意分段点处归属明确（如“不超过”“超过”等关键词）； 3、确定范围：结合实际问题（如人数、重量、时间）确定各段自变量的取值范围； 4、求值或最值：代入对应解析式计算，若求最值需分别计算各段最值再比较取整体最值。 注意事项： 分段点处需检查函数是否连续（左、右段在该点的值是否相等），若不连续需分别说明； 若求参数，需将分段点条件或函数值条件代入对应解析式列方程； 答案需结合实际问题解释（如“至少”“最多”等），并注意单位。 ▌对点练1-1（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）某公司进行软件革新，需对现有的软件模型进行性能评估．该模型的综合性能（单位：分）与使用时长（单位：小时）有如下函数关系：，若． (1)求的值； (2)当使用时长取何值时，该模型的综合性能达到最大值． ▌对点练1-2（25-26高一上·山东菏泽·期末）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数 (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本） (2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 题型 函数模型在几何上的应用 ▌例1（25-26高一上·青海西宁·期中）某小区为了改善居民生活环境，准备把一个矩形花坛扩建成更大的矩形花坛（如图所示），其中点，分别在，的延长线上，对角线过点.已知m，m，设m.    (1)试用表示矩形花坛的面积； (2)若因场地限制，矩形花坛的面积不能超过250m2，则最长为多少米？最短为多少米？ (3)若花坛新扩建部分（不含原矩形花坛）的修建费用为80元/m2，另外为了美观，还需对矩形花坛的边缘进行装饰，装饰费用为100元/m，试问当的长为多少米时，扩建花坛的总费用最少？最少为多少元？（结果可保留根号） ▌例2（25-26高一上·河南商丘·阶段检测）如图，互相垂直的两条小路，旁有一长方形花坛，其中，．现欲经过点C修一条直路l，l交小路，分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛扩建成一个更大的三角形花坛，要求的长不小于且不大于．记三角形花坛的面积为． (1)设，试用x表示，并求x的取值范围； (2)当长是多少时，S取最大和最小值？最大和最小值是多少？ 解题贴士 将几何问题中的长度、面积、体积等量表示为函数关系式，再结合函数性质（单调性、基本不等式、二次函数最值等）求解几何最值或范围问题。 1. 画图辅助分析，设出相关变量； 2. 根据几何关系（如相似、勾股、面积公式）建立函数式； 3. 确定自变量范围（由几何约束给出）； 4. 用对应函数模型（一次、二次、分式、对勾等）求最值，并验证取等条件是否符合几何实际。 ▌对点练1-1（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元;再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元.设总造价为（单位:元），长为，且（单位：）. (1)求关于的函数解析式； (2)长为时，求该休闲场所的总造价； (3)当长为多少米时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？. ▌对点练1-2（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）为了更好地美化校园，某校计划修建一个如图所示的总面积为120平方米的花园.图中阴影部分是宽度为1米的小路，中间三个矩形区域将种植鲜花.图中区域的形状､大小完全相同.设矩形花园的一条边长为米，鲜花种植的总面积为平方米. (1)用含有的代数式表示，并求出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大，并求出最大面积. 题型 函数模型选择最优化方案 ▌例1（25-26高一上·湖北·阶段检测）某机床厂今年年初用万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用.已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和（单位：万元）与使用时间（，单位：年）之间满足函数关系式为：该机床每年的生产总收入为万元.设使用年后数控机床的盈利额为万元.（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）. (1)写出与之间的函数关系式； (2)该机床使用过程中，已知年平均折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率）.现对该机床的处理方案有两种： 第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出； 第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出. 研究一下哪种处理方案较为合理?请说明理由. （参考数据：，，，） ▌例2（25-26高一上·广西贵港·期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. (1)设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式； (2)结合总利润（总利润＝总盈利额＋设备处理时获得的收入）判断哪种方案较为合理？并说明理由. 解题贴士 将实际问题中的目标量（如成本最低、利润最高、时间最短）表示为函数，通过比较不同方案对应的函数值或最值，选出最优方案。 1、列方案：根据题目条件，列出各备选方案对应的函数表达式（一次、二次、分式、分段函数等）； 2、确定范围：明确自变量在实际背景中的取值范围（如数量、时间、长度等约束）； 3、求最值：对各方案分别求目标函数的最值（常用配方法、基本不等式、单调性法）； 4、比较取舍：比较各方案的最值，选最大（利润）或最小（成本）的方案，并结合实际意义验证。 ▌对点练1-1（25-26高一上·山东·阶段检测）中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力和竞争力.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备，初步计划使用该设备不超过20年.使用该设备后，预计每年的收入会达到50万元，已知前年累计所需维修、保养费用万元满足如下函数关系式：，且第一年维修、保养费用为12万元，设使用该设备年后盈利额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种： ①设年平均盈利额为，当达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额y达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额） ▌对点练1-2（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为万元（2019年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y万元． (1)写出y与x之间的函数关系式，求该设备在第几年的盈利总额为30万元． (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 基础通关 1．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 2．（2026高三·全国·专题练习）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 3．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）我市为打造世界级旅游胜地，方便游客游玩，拟建设旅游轻轨．经调研测算，每辆列车的载客数量（单位：人）与发车时间间隔（单位：分钟，且）有关：当发车时间间隔达到或超过分钟时，每辆列车均为满载状态，载客量为人；当时，每辆列车的载客数量与成正比．假设每辆列车的日均总车票收入（单位：万元）． (1)求关于的函数表达式； (2)当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均总车票收入最大？并求出该最大值． 4．（25-26高一上·广东广州·期中）某商家利用电商平台销售一种季节性电子产品，已知该产品的成本为每件40元，销售单价（元）与日销售量（件）的对应关系如下表所示（销售单价不低于成本且不高于100元且变量与变量成一次函数关系）： 销售单价（元） 50 60 日销售量（件） 100 80 该平台为了促进销售，决定当销售单价不超过65元时，向商家提供每件2元的物流补贴；当销售单价超过65元时，不再提供补贴．设该产品的商家日利润为（元）. (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)求与之间的函数关系式； (3)当销售单价为多少元时，日利润最大？最大日利润是多少元？ 5．（24-25高一上·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 6．（25-26高一上·安徽黄山·期末）鱼灯是黄山市传统民俗工艺品，深受广大游客喜爱.某厂家欲生产一款鱼灯，经过市场调研发现，生产该款鱼灯需投入固定成本10万元，每生产万盏鱼灯另需投入变动成本万元.若这款鱼灯的售价为80元／盏，且该厂家2026年生产的万盏鱼灯均能售完. (1)求该厂家2026年利润（单位：万元）的函数解析式； (2)求该厂家2026年产量为多少万盏时所获年利润最大？最大年利润是多少？ 7．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）某乡镇获得乡村振兴补贴资金60万元，计划分别用于农产品加工厂建设和电商服务站搭建两个项目.农产品加工厂建设项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元），电商服务站搭建项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元）. (1)设分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，投资两个项目一年经济收益总和为万元，试将表示成关于的函数； (2)求出的最大值，并求出此时对两个项目的投资分别为多少万元. 8．（25-26高一上·陕西·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元． (1)要使生产该产品获得的利润为7200元，求． (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值． 9．（25-26高一下·四川泸州·期中）某公司计划生产一种新型节能产品，固定成本为10万元，每生产千件，需要另外投入成本万元．当产量不足8千件时，；当产量不小于8千件时，．已知每件产品的售价均为0.05万元，且生产的产品能全部售出． (1)请写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少万元？ 10．（25-26高三·全国·一轮复习）某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 素养提升 1．（25-26高一上·江西景德镇·期末）国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完. (1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； (2)当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； (3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 2．（25-26高一上·河北承德·期末）近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗．哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力．为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章（万件），其他成本为（万元），且经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完． (1)求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式； (2)2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 3．（25-26高三上·上海·期中）在研究“人在雨中行走，如何让被淋雨的程度尽可能低”时，可以将人体视为一个长方体.如图，长方体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿移动方向的分速度为.移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为，记移动距离为d，y为移动过程中的总淋雨量. (1)求总淋雨量的表达式（用含有v、d、S、c的表达式表示）； (2)已知且，设，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少. 4．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.2022年，工业和信息化部等十七部门印发了《“机器人＋”应用行动实施方案》，《方案》指出，到2025年，制造业机器人密度较2020年应实现翻番，服务机器人、特种机器人行业应用深度和广度应显著提升，机器人促进经济社会高质量发展的能力应明显增强.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元，每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并指出的取值范围； (2)使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理？并说明理由. 5．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）为推动生产力的发展，我市某企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用.已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元盈利总额=总收入-总支出 (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备年平均盈利额=盈利总额使用年数； ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备， 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $