第25章 二次函数（单元分层测试·能力提升卷）数学新教材华东师大版九年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第25章二次函数·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1、一条抛物线的开口方向与抛物线y=言X-2x+1相同，顾点为1,2，则共表达式可能为(） A.y=2x-12+2 B.y=x+2P+1 5 Qy=x-1+2 D.y=x-1f+2或y=-号x-1f+2 2.抛物线y=aX+bx+ca≠0上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法正确的是(） -3-2-10 1 -3 -2-3-6-11 A.对称轴是直线x=-1 B.抛物线开口向上 C.当x<-2时，y随x的增大而减小 D.当x=-4时，y=-6 3.小余与小乐玩猜二次函数的游戏，游戏规则是小余在纸上写下一个二次函数，这个二次函数的各项系 数只能为0、1、一1，小乐可以向小余针对二次函数的图像提三个问题，小余只能回答“是”或“不是”， 小乐提问 小余回答 ①这个二次函数的图 答：不是： 像开口向上吗？ ②这个二次函数的图 像对称轴在y轴右侧 答：是； 吗？ 117 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③这个二次函数的图 像与x轴有两个交点 答：不是 吗？ 根据上述对话，小余写下的二次函数是() A.y=-x2-1 B.y=-x2+x-1 C.y=-x2-x-1 D.y=x2-x+1 4.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，下列结论正确的是() x1 3--- A.abc-0 B.4a+2b+c<0 C.c-a=3 D.b2>4ac-3 5.二次函数y=x2-2x-3在-2≤X≤0上的最大值与最小值的差为() A.6 B.7 C.8 D.9 6.已知二次函 y=m-2X+2x+1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（) A.m≤3 B.m<3且m≠2 C.m>3 D.m≥3 7.已知点A-2,yB1,yC6,y,都在二次函数y=ax+1x-6a<0的图象上，则y'y y,的大小关系为() A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y2>y3>y1 D.y3>y2>y1 8.若汽车刹车后行驶的距离l(单位：m)关于行驶的时间t(单位：s)的函数解析式为l=15t-6t2.则 汽车从刹车到停下来用时() A.1.25s B.1.5s c.1.75s D.2s 9.苏州的古桥众多，形态各异，有单孔和多孔的，有半圆孔和椭圆孔的，也有长方孔的、抛物线孔的， 富有韵味，每一座古桥都诉说着苏州千百年来的古老文化.如图1是某公园的一座抛物线形拱桥，按如图 2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为y=-X,在正常水位时，水面宽AB=16米，当水位 16 上升2米后，则水面宽CD等于() 217 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C 0 D (图1) (图2) A.4米 B.8米 C.4V2米 D.82米 10.已知二次函 y=ax2+bx+ca≠0的图象如图，则下列结论： (1)a-b+c>0 (2)方程ax+bx+c=0一定有两个不相等的实数根 (3)y随x的增大而增大 (4)一次函数y=x+bC的图象一定不过第二象限，其中正确的有() A.(2)(3) B.(1)(2) C.(3)(4) D.(1)(4) 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.抛物线y=4x2+x-1与坐标轴有个交点.。 12.如果抛物线y=a+1x2在对称轴的左侧部分下降，那么a的取值范围是一 13.己知抛物线 y=aX2-4ax+cla<0止有两点A-1,mrB13,n水则mn(选填“≥”，“<” 或“=”) 14.二次函数y=号x2+bx有最小值-8，它的图像与轴有两个交点，这两个交点与顶点构成的三角形面 2 积是 15.如图，边长为4的正方形ABCD截取一个角后成为五边形BCDEF,其中AE=2,AF=1.P是EF边 上的任意一点，过点P作PG⊥CD于点G,PH L BC于点H,则矩形CGPH的最大面积为· 317 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D A G P H 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax-2x-3a经过点2，-5，且 与X轴交于点A,B,与y轴正半轴交于点C. (1)求抛物线的解析式： (2)求△ABC的面积. 17.(8分)已知二次函数y=mx2-2mx+5的图象与X轴只有一个交点， (1)求m的值： (2)把这个二次函数的图象上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数y=一2x的图象上，求此时二次函数 的解析式. 18.(9分)己知抛物线 y=ax2-8ax+ca≠0经过原点. (1)求c的值与抛物线的对称轴： (2)当抛物线y=aX-8ax+c过点m,2a-4am且m≠0，求M=m3-6m2+4-4 mm 的值： (3)x轴上有点Pt,0,过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E,交直线y=ax于点F,当0≤t≤2a时， EF的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围. 19.(8分)某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20米的 篱笆围成，已知墙长为8米（如图所示），设AB的长为x米， 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8米 llelilllee 苗圃园 B (I)设这个苗圃园的面积为S,求S与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围： (2)当AB的长为多少米时，矩形苗圃园的面积最大，最大为多少平方米？ 20.(9分)2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相一一骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚 的文化基因.某商场销售该系列吉祥物玩具，成本价为每件20元.经市场调研，销售量y(件)与销售单 价x(元)满足关系：y=一X+90,设销售这种商品每天的利润为w(元)，（利润=单件利润×销售量） (1)填空：单件利润= 元（用含x的代数式表示），w与x之间的函数关系式为 ；(写出 最简结果) (2)该商场要想通过销售这种商品每天获利1200元，又确保顾客得到实惠，应将销售单价定为多少元？ (3)当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 21.(10分)己知二次函数y=x+2x-3. 3 2 5-4-3-2-19 12345 2 (1)求二次函数y=x+2x-3图象的对称轴、顶点坐标： (2)在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y=x2+2x-3的图象； (3)结合函数图象，直接写出y<O时x的取值范围. 22.(11分)自主学习. 【命题提出】 “在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线上的点，距离对称轴越近，其纵坐标的值越小.” (1)该命恩用符号语言表述为：在平面直角坐标系xOy中，已知AX,y,小B(x2,y,是抛物线C: 517 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=ax2+bx+c（a>0)上的两点. 或“<) (2)若X1<x2,结合所学知识，证明该命题： 【命题应用】 (3)已知点化，51t+1,5t+2,s在抛物线C上.当b>0时，对于任意正数。均有，<5，<5，直接写 出t的取值范围 2.42分)下面是探究函致y一之-K一3图象和生质的过程，请同读并日答相关肖冠： 【绘制图象】 4 -5-4-3-2-10 2345x ● ● 2 3 (1)列表，得： -5 -4 -3 -2 -1 0 2 3 4 … 9 3 7 3 9 y -3 -3 1 2 2 2 2 2 表格中m的值为 (2)在平面直角坐标系画出该函数图象（部分点已描出）： 【探究性质】 ③)下列关于该函数y=号x2-x-3的说法中，正确的是 (填序号)； 617 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①该函数图象关于y轴对称：②当x=0时，y有最小值为-3：®方程号X2-x-3=1的解是X,=-4, X2=4;④当x<-1时，y的值随x值的增大而减小. 【解决问题】 4若关于x的方程号x-x-3=a有4个实数根，则a的取值范围是】 2 717………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第25章 二次函数·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一条抛物线的开口方向与抛物线相同，顶点为，则其表达式可能为（     ） A． B． C． D．或 2．抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法正确的是（     ） x ．．． 0 1 ．．． y ．．． ．．． A．对称轴是直线 B．抛物线开口向上 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 3．小余与小乐玩猜二次函数的游戏，游戏规则是小余在纸上写下一个二次函数，这个二次函数的各项系数只能为、、，小乐可以向小余针对二次函数的图像提三个问题，小余只能回答“是”或“不是”， 小乐提问 小余回答 ①这个二次函数的图像开口向上吗？ 答：不是； ②这个二次函数的图像对称轴在轴右侧吗？ 答：是； ③这个二次函数的图像与轴有两个交点吗？ 答：不是． 根据上述对话，小余写下的二次函数是（     ） A． B． C． D． 4．二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（） A． B． C． D． 5．二次函数在上的最大值与最小值的差为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 7．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 8．若汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式为．则汽车从刹车到停下来用时（     ） A． B． C． D． 9．苏州的古桥众多，形态各异，有单孔和多孔的，有半圆孔和椭圆孔的，也有长方孔的、抛物线孔的，富有韵味，每一座古桥都诉说着苏州千百年来的古老文化．如图1是某公园的一座抛物线形拱桥，按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为 ，在正常水位时，水面宽米，当水位上升2米后，则水面宽等于（     ） A．4米 B．8米 C．米 D．米 10．已知二次函数的图象如图，则下列结论： （1） （2）方程一定有两个不相等的实数根 （3）随的增大而增大 （4）一次函数的图象一定不过第二象限，其中正确的有（     ） A．（2）（3） B．（1）（2） C．（3）（4） D．（1）（4） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．抛物线与坐标轴有_________个交点． 12．如果抛物线在对称轴的左侧部分下降，那么的取值范围是___． 13．已知抛物线上有两点，，则m______n（选填“”，“”或“”）． 14．二次函数有最小值，它的图像与轴有两个交点，这两个交点与顶点构成的三角形面积是_____． 15．如图，边长为的正方形截取一个角后成为五边形，其中，．是边上的任意一点，过点作于点，于点，则矩形的最大面积为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，且与轴交于点，，与轴正半轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积． 17．（8分）已知二次函数的图象与轴只有一个交点， (1)求的值； (2)把这个二次函数的图象上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图象上，求此时二次函数的解析式． 18．（9分）已知抛物线 经过原点． (1)求c的值与抛物线的对称轴； (2)当抛物线 过点且，求 的值； (3)x轴上有点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点 F，当 时，的长随 的长的增大而增大，求a的取值范围． 19．（8分）某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20米的篱笆围成，已知墙长为8米（如图所示），设的长为x米． (1)设这个苗圃园的面积为S，求S与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当的长为多少米时，矩形苗圃园的面积最大，最大为多少平方米？ 20．（9分）2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文化基因．某商场销售该系列吉祥物玩具，成本价为每件20元．经市场调研，销售量（件）与销售单价（元）满足关系：，设销售这种商品每天的利润为（元）．（利润=单件利润×销售量） (1)填空：单件利润=________元（用含的代数式表示），与之间的函数关系式为__________；（写出最简结果） (2)该商场要想通过销售这种商品每天获利1200元，又确保顾客得到实惠，应将销售单价定为多少元？ (3)当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 21．（10分）已知二次函数． (1)求二次函数图象的对称轴、顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围． 22．（11分）自主学习． 【命题提出】 “在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线上的点，距离对称轴越近，其纵坐标的值越小．” (1)该命题用符号语言表述为：在平面直角坐标系中，已知，是抛物线：（）上的两点．若__________，则；（填“>”“=”或“<”） (2)若，结合所学知识，证明该命题； 【命题应用】 (3)已知点，，在抛物线上．当时，对于任意正数，均有，直接写出的取值范围． 23．（12分）下面是探究函数的图象和性质的过程，请阅读并回答相关问题： 【绘制图象】 (1)列表，得： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1 m 1 … 表格中m的值为______； (2)在平面直角坐标系画出该函数图象（部分点已描出）； 【探究性质】 (3)下列关于该函数的说法中，正确的是______（填序号）； ①该函数图象关于y轴对称；②当时，y有最小值为：③方程的解是，；④当时，y的值随x值的增大而减小． 【解决问题】 (4)若关于x的方程有4个实数根，则a的取值范围是______． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第25章 二次函数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D B C C B C A D B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．3 12． 13． 14．32 15．12 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分） 【详解】（1）将点代入抛物线， 可得：， 即， 得， 得， 所以抛物线的解析式为．（4分） （2）令，则， 得， 因式分解可得，则或， 解得，，（6分） ∴，，那么， 令，则， ∴，即， ∴．（8分） 17．（8分） 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， ∵二次函数图象与轴只有一个交点， ∴，（2分） 解得或， 又∵， ∴；（4分） （2）解：当时，， ， ∴原函数顶点坐标为， ∵二次函数图象上下平移， ∴平移后顶点横坐标为， ∵平移后顶点在的图象上， ∴当时，， 即平移后顶点坐标为， ∴平移后二次函数解析式为，即.（8分） 18．（9分） 【详解】（1）解：∵抛物线 经过原点， ∴代入、有，解得，（1分） 抛物线的对称轴为， 综上，抛物线的对称轴为直线．（3分） （2）解：∵过点， 则代入有， ∵， ∴有，即①， ∵， 再将①两边同时除以m，得，变形得②， 将①②代入M有， ， 故．（6分） （3）解：由作图可得， ∵点E在抛物线上、点F在直线上， ∴、， 由可得，即，抛物线开口向上， ∵， 则令可得、， 故可画出草图为 ， 可以看出点F始终在点E上方， 故， 这是开口向下的二次函数，其图像的对称轴为， 由题意得，解得， 综上．（9分） 19．（8分） 【详解】（1）从图中可知，是垂直于墙的边长，长度为x米， 那么平行于墙的边的长度为总篱笆长减去两条垂直边的长度，即米． ∴．（2分） 结合实际限制确定x的范围： ∵边长为正数， 平行于墙的边长不能超过墙长8米，即 ； ∴．（4分） （2）我们得到的面积函数是开口向下的二次函数， 将其配方得： ，（5分） 该二次函数的顶点在处，在时函数随x增大而增大，在时随x增大而减小． 而我们的自变量取值范围是，这个范围在对称轴的右侧， ∴S在上随x的增大而减小． ∴当时，S取得最大值，（7分） 代入计算得： ． 结论：当的长为6米时，苗圃园面积最大，最大面积为48平方米．（8分） 20．（9分） 【答案】(1)；．（2分） （2）解：当时， ，（3分） 解得，， ∵确保顾客得到实惠， ∴． 答：应将销售单价定为50元．（5分） （3）解：，（6分） ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，（7分） ∴当时，w有最大值，最大值为1225． 答：当销售单价定为55元时，每天获得的利润最大，最大利润是1225元．（9分） 21．（10分） 【答案】(1)解：将二次函数化成顶点式为， ∴这个二次函数图象的对称轴为，顶点坐标为．（4分） (2)图象如下： （8分） (3)（10分） 22．（11分） 【答案】(1) （2分） (2) 证明：将抛物线解析式配方得， ∵，在抛物线上， ∴，， ∴，（4分） 由题设得， 两边平方得，即， 又∵， ∴，即；（8分） (3) （11分） 23．（12分） 【答案】(1)（2分） (2)该函数的图象如图： （6分） (3)①③④（9分） (4)（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第25章 二次函数·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一条抛物线的开口方向与抛物线相同，顶点为，则其表达式可能为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由已知抛物线得开口向上，结合顶点式筛选选项． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数， ∴所求抛物线开口向上，即二次项系数， ∵顶点为， ∴抛物线顶点式为，选项B顶点为，排除；选项C、D含开口向下的表达式，排除， 故只有选项A符合条件． 2．抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法正确的是（     ） x ．．． 0 1 ．．． y ．．． ．．． A．对称轴是直线 B．抛物线开口向上 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】利用表格中纵坐标相同的点确定抛物线对称轴，结合二次函数性质判断各选项． 【详解】解：∵和时，的值均为， ∴抛物线的对称轴为直线，故A错误； ∵顶点坐标为，且时，， ∴抛物线开口向下，故B错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故C错误； ∵抛物线对称轴为直线，∴与关于对称轴对称，函数值相等， ∵时，， ∴时，，故D正确． 3．小余与小乐玩猜二次函数的游戏，游戏规则是小余在纸上写下一个二次函数，这个二次函数的各项系数只能为、、，小乐可以向小余针对二次函数的图像提三个问题，小余只能回答“是”或“不是”， 小乐提问 小余回答 ①这个二次函数的图像开口向上吗？ 答：不是； ②这个二次函数的图像对称轴在轴右侧吗？ 答：是； ③这个二次函数的图像与轴有两个交点吗？ 答：不是． 根据上述对话，小余写下的二次函数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由开口方向确定二次项系数符号，由对称轴位置确定一次项系数符号，再根据与x轴的交点个数确定常数项即可得到答案． 【详解】解：设二次函数为（），由题意知只能取， ∵图像开口不向上， ∴，即， ∵图像对称轴在轴右侧， ∴， 又∵， ∴，即， ∵这个二次函数的图像与轴没有两个交点 ∴，即， ∴， ∴ ∴小余写下的二次函数为． 4．二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线开口方向、对称轴、与轴交点位置可判断A错误；根据当时，和可判断C正确；根据可判断B错误；由得，进而可判断D错误． 【详解】解：观察图象，抛物线开口向下， ． ∵对称轴为直线， ，即． ∵抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故A错误． 由图象可知，当时，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故C正确； ∴， ∴ ∵不一定小于0， 不一定成立，故B错误． 由得， ． 又∵， ，故D错误． 5．二次函数在上的最大值与最小值的差为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】通过配方确定二次函数的开口方向与对称轴，判断给定区间内的函数增减性，代入端点计算最值后作差． 【详解】解：将配方得， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵在对称轴左侧， ∴当时，有最大值，， 当时，有最小值，， ∴最大值与最小值的差为． 6．已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数定义与图象和轴交点个数的判别方法，列不等式求解． 【详解】解：由题意得，该函数是二次函数， ∴，即， ∵图象与轴有两个交点， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上，且． 7．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数交点式确定对称轴与开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小. 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线与轴的交点坐标为，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大， ∵点，，都在抛物线上， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，且， ∴. 8．若汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式为．则汽车从刹车到停下来用时（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵汽车刹车后到停下来时，行驶距离取得最大值， 又∵，， ∴当时，取得最大值，即汽车刹车后停下来， 则汽车从刹车到停下来用时． 9．苏州的古桥众多，形态各异，有单孔和多孔的，有半圆孔和椭圆孔的，也有长方孔的、抛物线孔的，富有韵味，每一座古桥都诉说着苏州千百年来的古老文化．如图1是某公园的一座抛物线形拱桥，按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为 ，在正常水位时，水面宽米，当水位上升2米后，则水面宽等于（     ） A．4米 B．8米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】根据正常水位时水面宽，求出当时，再根据水位上升米时，代入解析式求出即可． 【详解】解：∵米， ∴当时，, 当水位上升米时，， 把代入抛物线表达式得， 解得， 此时水面宽（米）． 10．已知二次函数的图象如图，则下列结论： （1） （2）方程一定有两个不相等的实数根 （3）随的增大而增大 （4）一次函数的图象一定不过第二象限，其中正确的有（     ） A．（2）（3） B．（1）（2） C．（3）（4） D．（1）（4） 【答案】B 【分析】先判断a，b，c的符号，当时，，可判断（1）；再结合二次函数与一元二次方程的关系可判断（2）；根据二次函数的性质与图象可判断（3）；判断出，可判断（4）． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴的右侧，与x轴交于点， ∴， ∴，抛物线与x轴另一个交点在点的右侧， ∴当时，， ∴，故（1）正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故（2）正确； 在对称轴的右侧，随的增大而增大，故（3）错误； ∵，， ∴， ∵， ∴一次函数的图象一定过第二象限，故（4）错误； 则其中正确的有（1）（2）． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．抛物线与坐标轴有_________个交点． 【答案】 【分析】分别计算抛物线与轴、轴的交点个数，确认无重合交点后求和得到总交点数． 【详解】解：令，代入，得， 即抛物线与轴有个交点． 令，得到一元二次方程， 判别式， 该方程有两个不相等的实数根，即抛物线与轴有个不同的交点． 抛物线与轴交点不在轴上，不存在重合交点， 抛物线与坐标轴的总交点数为． 12．如果抛物线在对称轴的左侧部分下降，那么的取值范围是___． 【答案】 【分析】抛物线在对称轴左侧部分下降说明其开口向上，据此可列关于的不等式求解． 【详解】解：∵抛物线在对称轴的左侧部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴二次项系数大于0， 即， 解得． 13．已知抛物线上有两点，，则m______n（选填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】将A、B两点代入抛物线解析式得到m、n的表达式，结合的条件作差比较大小即可． 【详解】解：∵ 点在抛物线上， ∴ ， ∵ 点在抛物线上， ∴ ， 计算两式的差：， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即． 14．二次函数有最小值，它的图像与轴有两个交点，这两个交点与顶点构成的三角形面积是_____． 【答案】 32 【分析】先根据二次函数的最小值求出参数的绝对值，再求出抛物线与轴两交点的距离，结合顶点到轴的距离作为三角形的高，代入面积公式计算即可． 【详解】解：∵ 二次函数中， ∴ 函数开口向上，顶点的纵坐标即为函数的最小值， ∵ 二次函数顶点纵坐标为， 根据题意得：， 函数最小值为， ∴ 代入得， 化简得， 解得，即， 令，求解函数与轴的交点：， 提取公因式得， 解得，， ∴ 两交点间的距离为， ∵ 两交点均在轴上， ∴ 三点构成的三角形的底为两交点的距离8，高为顶点到轴的距离，即顶点纵坐标的绝对值， ∴ 三角形面积为． 15．如图，边长为的正方形截取一个角后成为五边形，其中，．是边上的任意一点，过点作于点，于点，则矩形的最大面积为______． 【答案】 【分析】延长交于点，可证四边形和四边形均是矩形，得到，，，进而得到，设，则，利用正切的定义可得，即得，得到，即得到，由此得到，最后根据二次函数的性质解答即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形和四边形均是矩形， ∴，，， ∴， 设，则， 在中，∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，矩形的面积最大，最大值为． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，且与轴交于点，，与轴正半轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知点坐标求出抛物线解析式即可． （2）通过解析式求出三角形各顶点坐标，进而计算其面积即可． 【详解】（1）将点代入抛物线， 可得：， 即， 得， 得， 所以抛物线的解析式为．（4分） （2）令，则， 得， 因式分解可得，则或， 解得，，（6分） ∴，，那么， 令，则， ∴，即， ∴．（8分） 17．（8分）已知二次函数的图象与轴只有一个交点， (1)求的值； (2)把这个二次函数的图象上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图象上，求此时二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数定义得，结合图象与轴只有一个交点即判别式为0，列方程求解的值即可； （2）上下平移时二次函数顶点横坐标不变，先确定原顶点横坐标，代入正比例函数得新顶点纵坐标，结合二次项系数不变得出解析式. 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， ∵二次函数图象与轴只有一个交点， ∴，（2分） 解得或， 又∵， ∴；（4分） （2）解：当时，， ， ∴原函数顶点坐标为， ∵二次函数图象上下平移， ∴平移后顶点横坐标为， ∵平移后顶点在的图象上， ∴当时，， 即平移后顶点坐标为， ∴平移后二次函数解析式为，即.（8分） 18．（9分）已知抛物线 经过原点． (1)求c的值与抛物线的对称轴； (2)当抛物线 过点且，求 的值； (3)x轴上有点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点 F，当 时，的长随 的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)，抛物线的对称轴为直线 (2) (3) 【分析】（1）把原点坐标代入抛物线解析式求c，利用对称轴公式求出对称轴． （2）将点代入抛物线得到关于m的等式，变形得到与的表达式，整体代入代数式化简求值． （3）表示出的长度，整理为顶点式，根据函数的增减变化，令t的最大值不大于二次函数对称轴，求出a的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过原点， ∴代入、有，解得，（1分） 抛物线的对称轴为， 综上，抛物线的对称轴为直线．（3分） （2）解：∵过点， 则代入有， ∵， ∴有，即①， ∵， 再将①两边同时除以m，得，变形得②， 将①②代入M有， ， 故．（6分） （3）解：由作图可得， ∵点E在抛物线上、点F在直线上， ∴、， 由可得，即，抛物线开口向上， ∵， 则令可得、， 故可画出草图为 ， 可以看出点F始终在点E上方， 故， 这是开口向下的二次函数，其图像的对称轴为， 由题意得，解得， 综上．（9分） 19．（8分）某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20米的篱笆围成，已知墙长为8米（如图所示），设的长为x米． (1)设这个苗圃园的面积为S，求S与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当的长为多少米时，矩形苗圃园的面积最大，最大为多少平方米？ 【答案】(1)， (2)48平方米 【分析】（1）先根据图形明确矩形边长关系：因为为垂直于墙的边长x，所以平行于墙的边长可由篱笆总长推导得出．结合矩形面积公式，将面积S表示为x的函数；同时根据墙长限制，确定自变量x的取值范围． （2）分析所得二次函数的开口方向与对称轴位置，结合自变量的取值范围，确定函数的最大值及对应x的值． 【详解】（1）从图中可知，是垂直于墙的边长，长度为x米， 那么平行于墙的边的长度为总篱笆长减去两条垂直边的长度，即米． ∴．（2分） 结合实际限制确定x的范围： ∵边长为正数， 平行于墙的边长不能超过墙长8米，即 ； ∴．（4分） （2）我们得到的面积函数是开口向下的二次函数， 将其配方得： ，（5分） 该二次函数的顶点在处，在时函数随x增大而增大，在时随x增大而减小． 而我们的自变量取值范围是，这个范围在对称轴的右侧， ∴S在上随x的增大而减小． ∴当时，S取得最大值，（7分） 代入计算得： ． 结论：当的长为6米时，苗圃园面积最大，最大面积为48平方米．（8分） 20．（9分）2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文化基因．某商场销售该系列吉祥物玩具，成本价为每件20元．经市场调研，销售量（件）与销售单价（元）满足关系：，设销售这种商品每天的利润为（元）．（利润=单件利润×销售量） (1)填空：单件利润=________元（用含的代数式表示），与之间的函数关系式为__________；（写出最简结果） (2)该商场要想通过销售这种商品每天获利1200元，又确保顾客得到实惠，应将销售单价定为多少元？ (3)当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)；．（2分） （2）解：当时， ，（3分） 解得，， ∵确保顾客得到实惠， ∴． 答：应将销售单价定为50元．（5分） （3）解：，（6分） ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，（7分） ∴当时，w有最大值，最大值为1225． 答：当销售单价定为55元时，每天获得的利润最大，最大利润是1225元．（9分） 【分析】（1）单件利润等于销售单价减去成本价，每天的利润等于单件利润乘以销售量，据此即可解答； （2）把代入（1）中的函数关系式，求解并结合确保顾客得到实惠解答即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：单件利润（元）， w与x之间的函数关系式为， 即． （2）解：当时， ， 解得，， ∵确保顾客得到实惠， ∴． 答：应将销售单价定为50元． （3）解：， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，w有最大值，最大值为1225． 答：当销售单价定为55元时，每天获得的利润最大，最大利润是1225元． 21．（10分）已知二次函数． (1)求二次函数图象的对称轴、顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围． 【答案】(1)解：将二次函数化成顶点式为， ∴这个二次函数图象的对称轴为，顶点坐标为．（4分） (2)图象如下： （8分） (3)（10分） 【分析】（1）将二次函数的解析式化成顶点式，由此即可得； （2）利用描点法画出函数图象即可得； （3）结合函数图象进行求解即可． 【详解】（1）解：将二次函数化成顶点式为， ∴这个二次函数图象的对称轴为，顶点坐标为． （2）解：当时，， 解得或， 当时，， 解得或， ∴二次函数的图象经过点，对称轴为，顶点坐标为，函数图像略； （3）解：结合函数图象可知，当时，． 22．（11分）自主学习． 【命题提出】 “在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线上的点，距离对称轴越近，其纵坐标的值越小．” (1)该命题用符号语言表述为：在平面直角坐标系中，已知，是抛物线：（）上的两点．若__________，则；（填“>”“=”或“<”） (2)若，结合所学知识，证明该命题； 【命题应用】 (3)已知点，，在抛物线上．当时，对于任意正数，均有，直接写出的取值范围． 【答案】(1) （2分） (2) 证明：将抛物线解析式配方得， ∵，在抛物线上， ∴，， ∴，（4分） 由题设得， 两边平方得，即， 又∵， ∴，即；（8分） (3) （11分） 【分析】（1）根据命题的文字描述直接转化为符号不等关系； （2）通过配方法将抛物线化为顶点式，结合作差法与绝对值性质证明命题； （3）将纵坐标大小关系转化为点到对称轴的距离关系，结合对称轴的取值范围推导t的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线：（），开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上的抛物线上的点，距离对称轴越近，纵坐标越小， ∴当时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 即； （2）略 （3）解：抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵，， ∴三点到对称轴的距离满足， 对两边平方，整理得， 同理，对平方整理得， ∵， ∴只需满足即可， ∵，， ∴，且当无限增大时，无限趋近于， 要使对任意正数，恒成立， 则需， 解得， 综上所述，的取值范围是． 23．（12分）下面是探究函数的图象和性质的过程，请阅读并回答相关问题： 【绘制图象】 (1)列表，得： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1 m 1 … 表格中m的值为______； (2)在平面直角坐标系画出该函数图象（部分点已描出）； 【探究性质】 (3)下列关于该函数的说法中，正确的是______（填序号）； ①该函数图象关于y轴对称；②当时，y有最小值为：③方程的解是，；④当时，y的值随x值的增大而减小． 【解决问题】 (4)若关于x的方程有4个实数根，则a的取值范围是______． 【答案】(1)（2分） (2)该函数的图象如图： （6分） (3)①③④（9分） (4)（12分） 【分析】（1）将代入求解即可； （2）描点、连线即可画出该函数的图象； （3）根据函数图象即可求解； （4）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 即； （2）解：略 （3）解：①该函数图象关于y轴对称，说法正确； ②当或时，y有最小值为，原说法错误： ③方程的解是，，说法正确； ④当时，y的值随x值的增大而减小，说法正确． 综上，正确的有①③④； （4）解：由函数图象知，若关于x的方程有4个实数根，则a的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $