圆锥曲线中的面积问题专题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

口贤▣互薄 ”动弱 圆锥曲线中的面积问题专题训练 一、单选题 26-27高上河北部第期中)已知双线℃-a>0.b>0一 的左、 右焦点分别为F1,F2,点F1到C的一条渐近线的距离为4，P是C上一点，且PF1⊥PF2,则△PF1F2 的面积为() A.32 B.16 C.8 D.4 2.(25-26高二下·河南新乡·期末)己知A,B,C分别是椭圆 -+y=1的左顶点、右顶点和上顶点，点 4 P在椭圆上且位于第四象限，连接PC与X轴交于点M.若△ACM的面积比△MBP的面积大1，则点P 的横坐标为() A.1 B.2 c.V2 D.3 2526高二下河南新乡期中)已知双曲线C:X-Y=1,过原点0作直线与双曲线C交于P, 43 点设双曲线C的左、石焦点分别为F,E,若2PPQ三T,则△PFF的面积为(】 A.4V3 B.3V3 C.3V2 D.2V2 4.(25-26高二下河南周口阶段检测)已知抛物线C:y=2pxp>0的准线为！过焦点F的直线与C 相交于A,B两点，分别过A,B作准线的垂线，垂足分别为A,B.记△AFA与△BFB的面积分别为 S,S,:若SS,=6则△AFB的面积为（） A.6 B.12 c.2V6 D.4V6 5.(25.26高二上湖南衡阳期末)已知双曲线E:寸-=1a>0,b>0的一条渐近线方程为 d b2 :y=3x,直线x-V3y=0与E交于M,N两点，分别过点M,N作l的垂线，垂足为P,Q.若四边形 MPNQ的面积为3V3,则E的实轴长为() A.2 B.4 c.2V3 D.4V3 6.(25-26高二上河南南阳·期末)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点P(4,0)的直线与抛物线C交 试卷第1页（共3页） 于A,B两点，若BF=4,则△ABF的面积是() A.12 B.24 c.12V2 D.24V2 ,.(2526商二上福建三明期末)已知精圆C:+号=1的两个焦点分别为F,F,点P为C上的动 43 点，以下错误的是() A.F1F2=2 B.△PF,F的周长为6 cPF的反小恒为号 D.△PF1F2面积的最大值为V3 8.(25-26高二上·安微合肥·期末)加斯帕尔·蒙日是1819世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线 时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为 “蒙日圆”当椭圆方程为父+兰=1a>b>0时，蒙日圆方程为x2+y=a+b2若该椭圆离心率为号： P为蒙日圆C上一个动点，过点P作椭圆T的两条切线，与蒙日圆C分别交于A,B两点，若△PAB面积的 最大值为28，则椭圆的焦距为() A.2 B.2V15 c.V15 D.4 二、多选题 9.(2526高二下广东期末)已知椭圆C:+兰=1的左，有焦点分别为R.F,P为C上的动点 43 则() A.C的离心率为2 B.PF的最大值为5 C.存在四个不同的点P,使得△PF1F2的面积为1 D.存在四个不同的点P,使得△PFF2为等腰三角形 02526高产已双出级c各方Q>0b>0的离心率动10，高 3 为双曲线C上一动点，且双曲线C的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是() A.双曲线C的渐近线方程为y=±。X 3 B.a=9 试卷第2页（共3页） C.若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为1 D.若△PF1F2的面积为3V10,则△PF1F2为钝角三角形 11.(25-26高二上·安徽合肥·期末)已知斜率为3的直线l经过抛物线C:y2=4x的焦点F,与抛物线C 交于A,B两点（点A在第一象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是() A.AF=4 B.AF=3BF C.OA⊥OB D.△A0B的面积为43 3 三、填空题 12.(25-6高二上湖北随州期末)若椭圆C:+号=1且直线1：y=-5,，A点为y轴正半轴上 43 一点（在椭圆上顶点上方），过A点作椭圆两条切线交直线1于B,C两点，则△ABC面积的最小值为 X 13.(25-26高二上：浙江宁波期中)已知等轴双曲线C1与C2:+y=1有共同的焦点F、F,C1C, 在第一象限的交点为P,则△PF1F的面积为 14.(24-25高二下·安微芜湖·期末)已知F是抛物线y=4x的焦点，点M在抛物线上，且 ∠OFM=120°，则△OFM的面积为 四、解答题 15.(26-27高二上·全国·期中)抛物线C:y=4x,若直线y=2x-4与抛物线C相交于A、B两点， 求△AOB的面积. 66-27高上江面春阶段检测》已知稀国g之+光1口>h>0经过克A6,1和一 B3,V2 (1)求椭圆E的标准方程 (2)设F1,F2为椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上一点，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积： (3)设P为椭圆E上的动点，求△F1PF2面积的最大值，并指出此时点P的坐标， 试卷第3页（共3页） 圆锥曲线中的面积问题专题训练 一、单选题 1．（26-27高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点到的一条渐近线的距离为4，是上一点，且，则的面积为（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】B 【分析】先由双曲线焦点到渐近线距离为，求得；设到两焦点距离为，利用双曲线定义和勾股定理联立，结合关系求出两线段乘积，再用直角三角形面积公式算出三角形面积. 【详解】∵双曲线 ， ∴渐近线：，左焦点 ，， 则 到渐近线距离：， 又∵ ，得 ， 设 ， 由双曲线定义：，则：， ，由勾股定理：， 将 代入 ：， 整理：， ∵ ，∴ ， . 2．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知A，B，C分别是椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，点在椭圆上且位于第四象限，连接PC与轴交于点．若的面积比的面积大1，则点的横坐标为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，由题可知， 又，所以． 设为坐标原点，则，所以， 设，则，解得. 3．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义，结合已知条件求解三角形的边长，然后求解三角形的面积． 【详解】如图，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，又， 由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理可得：， 即，解得， 所以． 4．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知抛物线的准线为，过焦点的直线与相交于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.记与的面积分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，先证明，由可得，再利用三角形面积公式可得答案. 【详解】如图，设 ，，，则 ，. 因为 ， 所以 ，故 . 由余弦定理得 ， . 因为 ，， 由 得 ，即 . 而 ，所以 故 . 5．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于两点，分别过点作的垂线，垂足为.若四边形的面积为，则的实轴长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性易得四边形是平行四边形，再根据其面积得出，进而计算点的坐标，将其代入双曲线方程中，并结合渐近线方程可求的实轴长. 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限，显然的倾斜角为的倾斜角为， 故，而，由对称性易得四边形是平行四边形， 故其面积 ，可得，设，由的倾斜角为， 得，于是由，得， 又 ，则，解得，故的实轴长为. 故选：B. 6．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若，则的面积是（   ） A．12 B．24 C． D． 【答案】A 【分析】由求出直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数之间的关系结合三角形的面积公式进行求解． 【详解】设．因为， 所以，则16，解得． 由抛物线的对称性，不妨取，则直线的斜率， 所以直线的方程为． 由得，解得或，则 ，故的面积是． 故选：A. 7．（25-26高二上·福建三明·期末）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点P为上的动点，以下错误的是（   ） A． B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】C 【分析】对于A，由椭圆方程可判断选项正误；对于B，由椭圆的定义结合椭圆方程可判断选项正误；对于C，设，由题可得，据此可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】由题可得. 对于A，由椭圆方程可得：，则，故A正确； 对于B，的周长，由椭圆的定义可得， 则，故B正确； 对于C，设，因，则， 注意到， 则， 注意到，则，即最小值为1，故C错误； 对于D，的面积，注意到，则，故D正确. 故选：C 8．（25-26高二上·安徽合肥·期末）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.若该椭圆离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于，两点，若面积的最大值为28，则椭圆的焦距为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】由题意可得，从而得,故当为该圆的直径时，面积取最大值，即可得，所以蒙日圆半径为，即有，再结合椭圆离心率为，求得，即可得答案. 【详解】由题意可得， 所以, 所以, 由题意可得， 所以， 又因为是蒙日圆上的两个动点， 所以当为该圆的直径时，取最大值， 即蒙日圆的直径为，所以半径为， 由题意可得该蒙日圆的半径为， 所以， 所以， 又因为椭圆的离心率为， 所以，， 所以， 所以， 解得， 所以， 所以， 所以椭圆的焦距为. 故选：D 二、多选题 9．（25-26高二下·广东·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，为上的动点，则（    ） A．的离心率为 B．的最大值为5 C．存在四个不同的点，使得的面积为1 D．存在四个不同的点，使得为等腰三角形 【答案】AC 【分析】利用离心率用公式计算判断A；由椭圆的性质得到焦半径的范围判断B；利用三角形的面积公式推得的值，结合椭圆的性质即可判断C；分三类情况分析点的个数，即可判断D. 【详解】由题可知，，，，则，A正确； 由于，B错误； 由于，则，则这样的点有四个，C正确； 由于，，则当时，可得正三角形，点在椭圆的上下顶点； 当时，同理可得正三角形，点在椭圆的上下顶点； 当时，仍可得正三角形，点在椭圆的上下顶点.于是这样的点只有两个，D错误. 10．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知双曲线：（，）的离心率为，点为双曲线上一动点，且双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．若，则的面积为1 D．若的面积为，则为钝角三角形 【答案】ACD 【分析】利用离心率与点到直线距离公式可求出双曲线的方程，即可得A、B；结合双曲线定义与三角形面积公式计算可得C；利用面积可得，从而可得点坐标，再求出、、后即可得D. 【详解】双曲线：的渐近线方程为，焦点坐标为， 则由双曲线的焦点到渐近线的距离为1，可得 ， 由，则，即有， 解得，则，故双曲线的方程为； 对A：由双曲线的方程为，则渐近线方程为，故A正确； 对B：由双曲线的方程为，故，故B错误； 对C：设，，则， 由有 ， 又 ，故， 则，故C正确； 对D：由，则， 故有，解得，由对称性，不妨取， 则有 ， ， 又 ，故中最大角为， 由，故为钝角， 即为钝角三角形，故D正确. 11．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点点在第一象限，为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由抛物线的方程求得其焦点坐标及准线方程，联立直线与抛物线的方程，求得，两点的坐标，求出，判断A；求出，判断B；计算的斜率乘积，判断C；求出ΔAOB的面积，判断D. 【详解】因为抛物线：，所以，即，准线方程为， 焦点为，设，，直线：， ，可得，所以，， ，， ，所以A正确； ，，可得，所以B正确； ，所以C不正确； 的面积，所以D正确. 故选：ABD．    三、填空题 12．（25-26高二上·湖北随州·期末）若椭圆且直线点为y轴正半轴上一点（在椭圆上顶点上方），过A点作椭圆两条切线交直线l于B，C两点，则面积的最小值为______ 【答案】 【分析】设切线：，和椭圆方程联立得到的关系，然后用来表示的面积，结合基本不等式求解. 【详解】    显然直线的斜率存在，设的方程为：，如图可知， 直线和椭圆联立，得到， 由可得， 令可得，则， 令，解得，则， 由对称性，， 由可知，，则， 记，则， 记，则， 由基本不等式，， ， 则，，当时取得等号， 即，时，面积最小值是. 故答案为： 13．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知等轴双曲线与有共同的焦点、，与在第一象限的交点为，则的面积为_________________． 【答案】 【分析】由题意求得等轴双曲线的方程为，联立方程求得，根据三角形面积公式计算即可求解. 【详解】由题意可知的焦点坐标为， 设等轴双曲线的方程为， 则，得，所以双曲线的方程为， 因为与在第一象限的交点为， 所以，解得，即， 所以. 故答案为：. 14．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，且，则的面积为________． 【答案】 【分析】设出点的坐标，根据给定条件及抛物线定义建立方程，求出点的纵坐标即可. 【详解】抛物线的焦点，设，则， 由，得，则， 整理得，解得或， 当时，，不符合题意；当时，，符合题意， 所以的面积为. 故答案为：    四、解答题 15．（26-27高二上·全国·期中）抛物线，若直线 与抛物线 相交于 、两点，求 △的面积. 【答案】 【分析】联立求弦长 ，再用原点到直线的距离 ，面积 . 【详解】联立 与 ，消去 得 ，即 ， 设 ，故 ， ， 所以. 原点到直线 的距离为 ， 所以△面积为 . 16．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：（）经过点和． (1)求椭圆的标准方程； (2)设，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，求的面积； (3)设为椭圆上的动点，求面积的最大值，并指出此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，的坐标为或 【分析】（1）根据椭圆上的点的坐标列方程组求解即可； （2）根据椭圆的定义及余弦定理求出，代入三角形面积公式求解即可； （3）利用的纵坐标表示出三角形的面积，再根据在椭圆上求其纵坐标最值即可得解. 【详解】（1）设椭圆：（），将，代入得，．令，，则，，解得，，故，．所以椭圆的标准方程为． （2） 由，故，． 设，，由椭圆的定义知． 在中，，由余弦定理得，即． 又，代入得，解得． 所以，即的面积为． （3）以为底，设，则到直线（即轴）的距离为， 故．由椭圆方程知椭圆上点的纵坐标满足， 当且仅当时取等号，故，此时点的坐标为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $