圆锥曲线的中点弦问题专题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线的中点弦问题专题训练 一、单选题 1．（24-25高二上·福建泉州·期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法来求得正确答案. 【详解】设， 则， 两式相减并化简得， （负根舍去）. 故选：B 2．（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，弦的中点坐标为，利用点差法列方程组，结合条件推得，逐一检验选项，并考虑点在椭圆内即得. 【详解】设，则， 两式相减得：（*）， 设弦的中点坐标为，则， 因直线的斜率为1，即， 分别代入上式（*），整理得：. 将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求. 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得. 【详解】当直线斜率不存在时， 由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上， 而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意. 故直线斜率存在，可设斜率为， 则直线的方程为，即， 代入椭圆的方程化简得， 所以，解得，满足， 故直线方程为，即. 故选：B. 4．（24-25高二上·全国·期中）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标求出直线l的方程. 【详解】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为， 由消去得，，由弦的中点为， 得，此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故选：D 5．（2026高二上·河南叶县·阶段检测）不经过原点的直线与椭圆相交于，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】中点弦问题利用点差法计算可得. 【详解】设，，，， 则，又， 所以，即， 即， 又，， 所以. 故选：A 6．（2026-2027高二上·河南省叶县高中·阶段测试）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，线段中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，代入抛物线方程，两式相减后结合线段中点的纵坐标得出，再结合焦点的坐标得出直线的方程，由点到直线距离公式计算即可． 【详解】由抛物线得焦点， 设，，则， 两式相减得，即， 因为线段中点的纵坐标为1，即， 所以，即， 所以直线的方程为，即，显然此时直线与抛物线有两交点， 所以到直线的距离， 故选：A． 7．（拓展训练02椭圆、双曲线中的离心率求值及取值范围11类题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设的中点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，联立求得椭圆的离心率，再结合条件，即可求解. 【详解】如图： 设，，的中点为点， ，两式相减得， 化简得，即，得， 所以， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以，则，平方后得， ，即， 解得：或， 由条件，得，即，得， 所以. 故选：A 8．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点差法分析可得，对于ABD通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断﹔对于C结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 点在双曲线上，则， 相减得，则. 对于选项A：可得，则， 联立方程，消去得， 此时， 所以直线与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：点在双曲线上，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D，则， 联立方程，消去得， 此时，故直线与双曲线有两个交点，故D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏连云港·期末）设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若点到焦点的距离为3，则的坐标为 C．若，则的最小值为 D．抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是 【答案】AC 【分析】由抛物线的方程及两点距离公式依次判断A、B、C，应用点差法求直线斜率，再由点斜式写出直线方程判断D. 【详解】抛物线，， A，，则，A正确； B，设且，则，得， ，B错误； C，因为，所以点在抛物线开口外侧，如下图： 所以，C正确； D，由，则， 而，则，由题意直线的斜率一定存在， 所以，则，可得，D错误. 故选：AC 10．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知双曲线，则（　　） A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C．若直线与没有公共点，则 D．存在过点的直线与相交于，且点为的中点 【答案】ABC 【分析】A由实轴的定义计算；B利用点到直线的距离公式计算；C联立方程组根据判断；D设直线方程，根据韦达定理计算. 【详解】由题意可知，，则， 则实轴长为，故A正确； 渐近线方程为，焦点为， 则焦点到渐近线的距离为， 由对称性可得双曲线的焦点到渐近线的距离为1，故B正确； 联立得， 因直线与没有公共点，则， 得，故C正确； 若存在过点的直线与相交于，且为的中点， 则该直线的斜率必然存在，故设直线方程为， 联立，得， 则由韦达定理可得，且，此方程无解， 故不存在过点的直线与相交于，且点为的中点，故D错误. 故选：ABC 11．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的离心率 C．直线的方程为 D．直线的方程为 【答案】BD 【分析】根据椭圆方程直接求长轴长和离心率，利用点差法求中点弦所在直线方程. 【详解】由，得椭圆焦点在轴上，且，， 如图： 则，，. 椭圆的长轴长为，离心率，故A错误，B正确； 设，，，，则，， 两式作差可得：， 为线段的中点，，，则， 直线的方程为，即，故C错误，D正确. 故选：BD 三、填空题 12．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知双曲线与直线交于不同的两点A，B，若线段的中点在圆上，则________. 【答案】2 【分析】利用中点弦的性质代入原方程即可得解. 【详解】设，线段的中点，由 ,得，判别式，解得， 由韦达定理，所以，. 因为中点在圆上，故，解得. 13．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且的中点为，则直线l的斜率为______. 【答案】 【分析】利用点差法求解即可. 【详解】设，由的中点为，有， 直线l与椭圆相交于A，B两点，则， 两式作差变形得， 即，得， 所以直线l的斜率为. 故答案为： 14．（25-26高二上·湖北荆州·阶段检测）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为______． 【答案】 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标公式和韦达定理即可求出直线的方程. 【详解】显然直线不垂直于轴，如图所示，故设直线的方程为, 联立直线的方程与抛物线方程得,消去得, 由弦AB的中点为，结合韦达定理和中点坐标公式得， 此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线的定义计算即可； （2）利用点差法结合点斜式计算即可. 【详解】（1）设，因为到点的距离比它到直线的距离小2， 则有，根据距离公式得，化简得， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，易知在抛物线内部，且， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 16．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点差法得，结合中点坐标及点斜式写出所求直线方程. 【详解】（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为． （2）设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $只凝只互薄 2 动弱 圆锥曲线的中点弦问题专题训练 军讲诊 白题断 一、单选题 1.（24-25高二上·福建泉州·期末)斜率为1的直线与双曲线 C:兰-y=1la>0交于AB两点，若线段AB的中点为3,1则g=（) A.2 B.V3 c.V6 D.2V3 22425高三上潮北期末)若斜率为1的直线与椭圆千+1交于A,B两点，则弦AB的中点坐标 可能是() A B. c.-3,4 D.-4,31 3.(24-25高二上·江苏常州·期中)已知M2,2是直线1被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点， 则直线1的方程为() A.4x+y-10=0B.x+4y-10=0 C.x+4y-8=0 D.4x-y-6=0 4(2425高三上全国期中)已知抛物线C:y=2x,过点M,)的直线1与C相交于4，B两点 且M为弦AB的中点，则直线1的方程为() A.6x+6y-7=0 B.6x-6y-1=0 C.2x-6y-5=0 D.12x-6y-5=0 5.（2026高二上河南叶县阶段检测)不经过原点的直线1与稀圆苓+兰=1相交于P,P,线段P,P, 32 的中点为p设直线，的斜率为k(k,≠0直线oP0为原点)的斜率为K,则k,k,的值为（） A.-2 3 B.、3 C.2 D.3 .(2026-2027高二上·河南省叶县高中·阶段测试)直线l过抛物线y=4x的焦点F,且与抛物线交于 A,B两点，线段AB中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线AB的距离为() 25 A. B.35 c.5 5 D.3 7.(拓展训练02椭圆、双曲线中的离心率求值及取值范围11类题型归类（压轴题专项训练）数学苏教 试卷第1页（共3页） 板2019选择性必修第一册)已知椭圆X+号=1a>b>0的右焦点和上顶点分别为点Flc,01b>c和点 a b2 A,直线：2x-y-4=0交椭圆于P,Q两点，若F恰好为△APQ的重心，则椭圆的离心率为() 23 V6 B. C. 2 3 3 3 D.2 8.(25-26高二上江西南昌阶段检测)设A,B为双曲线X-。=1上两点，下列四个点中，可为线段 9 AB中点的是() A.1,1 B.-1,0 C.1,3 D.-1,-4 二、多选题 9.（25-26高二上·江苏连云港·期末)设抛物线y=4x,F为其焦点，P为抛物线上一点.则下列结论正 确的是() A.若P1,2,则PF=2 B.若p点到焦点的距离为3，则p的坐标为2,2V2 C.若A2,3,则PA+PF的最小值为10 D.抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以1,1为中点，则弦AB所在直线方程是2x-y-2=0 25.26高上江苏连云港阶段检测)已知双曲线C:￥y=1,则购 A.双曲线C的实轴长为4 B.双曲线C的焦点到渐近线的距离为1 C.若直线y=kx+1与C没有公共点，则k> 2 D.存在过点P2,1的直线与C相交于A,B,且点P为AB的中点 山。(2526商二上广西玉林期已知椭圆C:￥+片1内一点M1,2,直线与椭网C交于A.B 两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是() A.椭圆C的长轴长为2只2 B.椭圆的离心率e= 2 2 C.直线l的方程为2x+y-4=0 D.直线l的方程为X+y-3=0 三、填空题 12.(25-26高二下河南洛阳期末)己知双曲线X2-兰=1与直线y=2x+t交于不同的两点4，B,若线 3 试卷第2页（共3页） 段AB的中点在圆x+y=26上，则t2= 13.（25:26高二上江西上饶阶段检测)设直线1与椭圆E:X+ 64 =1相交于A,B两点，且AB的中点 为-1,1，则直线1的斜率为 三上湖北荆州阶段检测)已知抛物线C:y=2X, 专的直线1与C相交于 A,B两点，且M为弦AB的中点，则直线I的方程为一· 四、解答题 15.(25-26高二上·湖南衡阳·期中)已知动点M到点6,0的距离比它到直线X+8=0的距离小2，记动点 M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)直线l与曲线C交于A,B两点，若线段AB的中点坐标为5，-6，求直线的方程 16.(24-25高二上河南南阳期中)已知双曲线C:X-兰=1(Q>0,b>0的一条渐近线方程为 a2b21 x-V5y=0,且经过点P(10,V15). (1)求双曲线C的方程； (2)直线与双曲线C相交于A,B两点，若线段AB的中点坐标为(3,2)，求直线I的方程 试卷第3页（共3页）