椭圆中的焦点三角形问题专题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

椭圆中的焦点三角形问题专题训练 一、单选题 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆方程求出的值，再利用椭圆定义求出，最后在中运用余弦定理求出，进而得到的值. 【详解】由题意得，.若，则， 由余弦定理得， 因为，所以. 2．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上．若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】结合椭圆的定义和可求解. 【详解】因为，所以． 由椭圆的定义及题意，得在中， ，， 所以． 3．已知点P在椭圆：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为(     ) A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】利用三角形中位线定理结合椭圆的定义，将中点的圆上条件转化为右焦点到点的距离，再通过椭圆的定义求解. 【详解】由椭圆，得，， ，故左焦点，右焦点，. 设的中点为，由题设，在以原点为圆心、为半径的圆上，故. 在中，为的中点，为的中点， 故为的中位线，得. 由椭圆的定义，， 因此，. 故选：D 4．已知椭圆的两个焦点分别为，，过的直线（斜率不为）交椭圆于，两点，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将椭圆方程化为标准形式求出长半轴长a，再利用椭圆的定义计算△ABF₂的周长. 【详解】将两边同除以225，可得，由此得，即. 对椭圆上的点，有，. 的周长，其中， 代入得： . 故选：A. 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】由椭圆方程求得椭圆的参数，结合椭圆的定义即可求焦点三角形的周长. 【详解】由题意得，，，所以， 因为在椭圆上，则有，且有， 则的周长为. 6．已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】直接运用三角形面积公式进行求解即可. 【详解】， 所以，设点的纵坐标为， 因为以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1， 所以. 故选：B 7．若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据椭圆定义和余弦定理求出，再根据面积公式求出答案. 【详解】因为椭圆方程为，，. 根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点有： ，. 因为，在中使用余弦定理有：. . 即，. . 故选：B 8．设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆标准方程可得，，，根据题意得或，结合图形，利用椭圆的定义求出的三边长，即可求得其面积 【详解】由椭圆：可得，， ， 因为上一点且在第一象限，则 由为等腰三角形，则可得或， 当时，， 此时的面积为：； 当时，，不合题意，舍去. 综上，可得的面积为. 故选：C．    二、多选题 9．点，为椭圆的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值可以为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】BC 【分析】根据焦点三角形的周长取值范围即可得到答案. 【详解】由椭圆，得：，， 当点在椭圆上时，周长最大，为； 当点位于（包括端点）之间时，取极限值，为. 又因点为椭圆内部的动点， 所以周长的取值范围为， 故选：BC. 10．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】AC 【分析】根据椭圆的焦点三角形的性质，结合余弦定理即可求解. 【详解】由，，得. , 由，得. 在中，由余弦定理得， 得或，所以或. 故选：AC    11．设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 【答案】ABC 【分析】由椭圆的定义可得，结合可求出的值，然后逐个分析判断即可. 【详解】由，得，则 ， 因为P是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以为直角三角形，所以B正确， 对于CD，因为为直角三角形，，所以，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足，则______． 【答案】/ 【分析】利用椭圆定义得，又，可求出. 在中利用余弦定理可得解. 【详解】因为椭圆，所以，点在椭圆上，所以， 又，所以， 在中，，， 故答案为： 13．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则__________. 【答案】 【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可. 【详解】， ，① 又， ② ①②得：， 的面积为16， ， . 故答案为：4. 14．椭圆与过原点的直线交于两点，是椭圆的一个焦点，则周长最小值为___________ 【答案】10 【分析】根据题意结合椭圆的定义可得的周长为，结合椭圆的性质分析求解. 【详解】椭圆的方程为，则，，， 不妨设是椭圆右焦点，是椭圆左焦点， 连接，，， 则由椭圆的中心对称性可知， 可知四边形为平行四边形，则， 可得的周长为， 当位于短轴的端点时，取最小值，最小值为， 所以周长为． 故答案为： 四、解答题 15．设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于，，若，的周长为16，求. 【答案】5 【分析】由已知可求得，然后根据已知结合椭圆的定义可推得，，即可得出答案. 【详解】 由已知，，可得，. 因为的周长为16，则. 根据椭圆定义可得，， 所以，， 所以，， 所以，. 16．已知椭圆左右焦点分别为，，P为C上的动点，且. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据椭圆的定义，解得即可； （2）首先求出，从而得到，结合（1）、，利用余弦定理求出，即可求出，再由面积公式计算可得. 【详解】（1）椭圆，则， 所以，又， 所以. （2）由，得，所以. 如下图所示： 由（1）可知，， 所以. 则， 故的面积为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $动弱 椭圆中的焦点三角形问题专题训练 讲诊 思断 一、单选题 1.已知椭圆C:丈 兰=1的左、右焦点分别为F,F,点P在C上，且 PF1=4:则∠FPF2=（） A君 B. 5 3 c.3π D 2.已如F.P分别为怖圆C:号+y-1的左、右焦点，点P在稀圆c上.芳P丽P克。=0.则 |PFPF2=） A.2 B.4 C.6 D.8 3.已知点P在椭圆C: 25+61上，C的左焦点为R,若线段PF的中点在以原点O为圆心，1OF为 半径的圆上，则PF的值为() A.1 B.2 c.V3 D.4 4.已知椭圆C:9x2+25y2=225的两个焦点分别为F1,F2,过F1的直线（斜率不为0）交椭圆于A,B 两点，则△ABF的周长为(） A.20 B.25 c.30 D.35 5已知椭圆C: +y 9+亏=1的左、右焦点分别为F,F,上顶点为P,则△PF,F,的周长为() A.5 B.6 C.8 D.10 6,已知P是折圆士+兰=1上的一点，且以点P及焦点R,F,为顶点的三角形的面积等于1，则点P的纵 2 43 坐标为() 试卷第1页（共3页） A.1 B.±1 c.V3 D.±V3 若点P在陆圆子+1止，F,F分别是椭圆的两焦点，且∠FPP,45,则△FPF面积是 () A.4-V2 B.2V2-2 C.2V2+2 D.4+2 ⑧.设F,F为椭圆C:×+ =1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角 3620 形，则△MF,E,的面积为(） A.3V15 B.12 c.4V15 D.16 二、多选题 9.点F1,F2为椭圆C: X+Y 43 =1的两个焦点，点P为椭圆C内部的动点，则△PF1F2周长的取值可以 为() A.4 B.33 c.4V2 D.6 D知EF分别是M名tI0<b<3刷左石焦点品p在MPF卧 sin∠F1PF2= V 4,则b的值可能为() A.5 B.2 c.3 D.2 1Ⅱ.设厂，下，是椭圆+兰=1的两个焦点，P是稀圆上一点，且PF,一PF,=2.则下列说法中正 1612 确的是() A.PF1=5'|PF2=3 B.△PF,F,为直角三角形 C.△PF1F2的面积为6 D.△PF1F2的面积为12 三、填空题 左有焦点为E,F2,椭圆上点P满足PFPF2=3:1 9 1B.已知F1,F,是椭圆C:+=1a>b>0的两个焦点，p为椭圆c上一点，且p元，1P序，若 试卷第2页（共3页） △PF1F2的面积为16，则b= 4。椭子+过原点的直线交于A,B两点，F是椭风的一个焦点，侧则△ABF周长最小值为 四、解答题 1次，分别是相网E名+若=1a>b0的在、右盒，过R的直铵交餐E于A.8 |AF,=3BF,若AB=4'△ABF,的周长为16.求AF, 16. 已知椭圆C:士+号=1左右焦点分别为F,F,P为C上的动点，且PF,PF,=2 112 ()求PF (2)求△PF1F2的面积！ 试卷第3页（共3页）