3.1.1 椭圆及其标准方程（第2课时：椭圆中焦点三角形问题、与椭圆有关的轨迹问题） 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 （第2课时：椭圆中焦点三角形问题、与椭圆有关的轨迹问题） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. (1)若点在第一象限内，且，求点的坐标； (2)若，求的面积. 【例2】平面直角坐标系中，圆M的方程为，圆N的方程为，动圆P与圆N内切，与圆M外切. (1)求动圆P的圆心的轨迹方程； (2)当时，求的大小. 【例3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； (2)若，且的面积为，求的值. 【基础夯实】 一、单选题 1．设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 4．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 5．已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，则下列说法正确的是（   ） A．的面积有最大值但无最小值 B．的周长为5 C． D． 8．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（   ） A．的最大值为4 B．不存在点，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有四个 9．已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（   ）. A． B． C． D． 三、填空题 10．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 11．已知为椭圆上一点，分别为左、右焦点．若，则________，________． 12．已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 四、解答题 13．已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设，当动点满足时，求点的纵坐标. 14．已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 (1)求此椭圆的方程 (2)若点满足，求的面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 椭圆及其标准方程 （第2课时：椭圆中焦点三角形问题、与椭圆有关的轨迹问题） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. (1)若点在第一象限内，且，求点的坐标； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点的坐标为，根据得到，再根据求解即可. （2）根据得到，利用余弦定理得到，再利用三角形面积公式求面积即可. 【详解】（1）设点的坐标为（其中，）， 由，，，可得，.     由，有，可得，     又由点在椭圆上，有.     联立方程解得，， 故点的坐标为. （2）由椭圆的性质，有，     又由，可得.     又由，在中，有.     可得.     可得的面积为. 【例2】平面直角坐标系中，圆M的方程为，圆N的方程为，动圆P与圆N内切，与圆M外切. (1)求动圆P的圆心的轨迹方程； (2)当时，求的大小. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）作图，根据圆与圆的位置关系和椭圆定义可知所求轨迹为椭圆，然后可得方程； （2）根据椭圆定义和已知，联立余弦定理求解即可. 【详解】（1）圆M的圆心为，半径为， 圆N的圆心为，半径为. 设动圆P的圆心为，半径为r， 则依题意得，， 所以， 所以，点P的轨迹为椭圆，焦点在x轴上，其中，故， 所以，动圆P的圆心的轨迹方程为. 由图可知，当时，不符合题意，故椭圆方程为. （2）记，， 由（1）知，， 由余弦定理可得， 整理得，即， 又，所以，解得， 因为，所以. 【例3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； (2)若，且的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据焦距可以求解的值，然后再将点代入椭圆方程中，进而通过解方程求解，的值； （2）由的面积求解的值，再结合椭圆的定义和余弦定理进行求解即可. 【详解】（1）已知，所以得：，即， 由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程， 可得：，即， 又因为，即. 联立，整理得：，解得：或（舍） 所以，故椭圆的标准方程为. （2）因为，所以的面积， 则，根据椭圆定义可得：. 根据余弦定理可得：， 整理得：， 代入得：，即，即得：. 【基础夯实】 一、单选题 1．设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为. 【详解】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 2．已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】C 【详解】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得， 所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义及勾股定理求出，代入面积公式求解即可. 【详解】由题意知，，. 因为，所以. 又，即， 所以. 所以. 4．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. 5．已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，利用的面积，结合椭圆方程求得点，再由角平分线定理求得点。即可求得的角平分线所在的直线方程. 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则，    于是的面积为，取，代入，可得， 则直线轴，且， 设的角平分线交轴于点，则， 又，则得，故， 则直线的斜率为，其方程为，即. 6．已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 二、多选题 7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，则下列说法正确的是（   ） A．的面积有最大值但无最小值 B．的周长为5 C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：由椭圆方程，可得左右焦点坐标为，，焦距. 的面积公式，其中为点的纵坐标， 由，得该三角形面积有最大值但无最小值，选项A正确. 选项B：根据椭圆的定义，，，所以的周长为，因此B错误. 选项C：当位于椭圆短轴端点时，取得最大值，此时，， 由余弦定理，因此最大，因此C选项正确. 选项D：由椭圆方程，可知，，椭圆上任意一点到焦点的距离满足，代入，，得，选项D正确. 8．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（   ） A．的最大值为4 B．不存在点，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有四个 【答案】AB 【分析】利用椭圆的定义结合基本不等式可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义列方程，可判断B；解三角形，利用面积公式可判断C；分3类解出点可判断D. 【详解】已知椭圆 ，其中 ，，， 离心率 ，，点 在椭圆上， 设，，则 ， 焦距 ， 对于A： 由均值不等式，，当且仅当 时取等号， 所以的最大值 4，故 A正确； 对于B： 在 中，由余弦定理得： 代入得 ，即 ， 当 时，，则 ， 由选项A知：，故不可能等于 8， 因此不存在这样的点 ，使得，故B 正确； 对于C：由选项B知：，当 时，，代入得 ， 三角形面积 ，故 C 错误； 对于D： 等腰三角形有三种情况： （1）当时：点取短轴端点，共有2 个点符合要求； （2）当时， 设 ，由距离公式： 平方得： 由点 在椭圆上，得， 代入 (4)： 化简得：， 解得： 因为 ，所以 ， 代入椭圆中得， 所以 ，共有两个点符合要求； （3）当时， ， 平方得：， 代入椭圆并化简： 解得： 因为 ，所以 ，代入椭圆中，得 ， 所以 ，共有两个点符合要求， 综上：使得为等腰三角形的点共有六个，故D错误. 故选：AB 9．已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（   ）. A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，按直角顶点为点和焦点分类求出点坐标. 【详解】椭圆的焦点，设， 由为直角三角形，则直角可能为 若为直角，则，由，得； 若为直角，则，由，得； 若为直角，则在圆上， 由，解得， 所以点坐标可能是AD. 故选：AD 三、填空题 10．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 【答案】 【详解】设，结合题意得到，再代入曲线中化简后可得. 设，则， 因为，所以，所以. 11．已知为椭圆上一点，分别为左、右焦点．若，则________，________． 【答案】 / / 【分析】解法1：依托椭圆定义与余弦定理处理焦点三角形，结合向量中线性质可同步求解夹角与点到原点的距离；解法2：坐标法的核心是将几何条件代数化，代入椭圆方程消元后即可解出点的坐标特征量；解法3：焦半径公式能直接建立横坐标与焦点距离的关系，是简化椭圆焦点类运算的常用技巧. 【详解】解法1：在中，由及余弦定理，得． ， ， 则． 解法2：设点的坐标为，不妨令，由题知， 则，将代入得，同理可得． 所以，解得，则，所以． 解法3：设，由椭圆方程得，离心率，由第二定义以及焦半径公式可得， 可得，所以． 12．已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 【答案】 【分析】先利用已知条件和椭圆定义求出，与，然后利用余弦定理求出，再求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】椭圆的方程为，. ，，. 又，得. 在中，由余弦定理得：，. . 故答案为： 四、解答题 13．已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设，当动点满足时，求点的纵坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出交点的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积列式化简得轨迹方程； （2）根据椭圆的定义可得，再根据，得，化简得，与联立方程求解即可. 【详解】（1）设，则由已知得，所以， 化简得. （2）由（1）知为椭圆的两个焦点， 根据椭圆的定义可得， 因为，所以，， 所以，即，又， 所以，即，即，解得， 所以点的纵坐标为. 14．已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 (1)求此椭圆的方程 (2)若点满足，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】设椭圆的方程为,由焦点坐标求出，根据，求出，从而可求，即可得出椭圆方程； 在焦点三角形中，运用余弦定理结合椭圆的定义，求出，再利用三角形的面积公式，可求的面积． 【详解】（1）由题意，设椭圆的方程为， ∵焦点为，， ∴， 又， 所以，， ，． 所求椭圆的方程为． （2）在中，由余弦定理得 即， ∴， ∴， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $