3.1椭圆解答题的常见八种题型专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

椭圆解答题的常见八种题型

题型一、直线与椭圆的位置关系（求直线方程与参数）

【解题技巧】设直线用斜截式，或写成x=my+t回避斜率不存在的讨论；与椭圆联立消元得一元二次方程，先由判别式大于零确定参数范围，再写出两根和与之积。题设中的垂直、向量数量积、面积相等、斜率关系，都在设而不求的框架下翻译成含斜率与截距的方程，解出后回代。易错点：漏掉斜率不存在的讨论；忘记判别式；消元时把x与y的系数搞混；求出的参数未回代检验是否满足题设（如交点在第一象限）。

1．已知和为椭圆：（）上两点．

(1)求的方程；

(2)过点作直线与相交于，两点，与轴交于点（点在椭圆内部），为坐标原点，若的面积与的面积相等，求直线的方程．

 

 

 

 

2．已知椭圆：，直线：与椭圆有且仅有一个公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点．当点运动时，记点的轨迹为曲线，

(1)求，之间的关系；

(2)求曲线的轨迹方程；

(3)若点在第一象限，直线和曲线交于、，且，求点坐标．

 

3．在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点.

(1)求椭圆的离心率；

(2)直线：与椭圆交于不同的两点.

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）若，求的值.

4．已知椭圆的方程为，其过点且离心率为．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点且斜率存在的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程；

 

 

 

5．已知点是离心率为的椭圆上的一点.

(1)求椭圆的方程；

(2)点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；

(3)斜率为的直线交椭圆于、两点，求当面积为时直线的方程.

 

 

 

6．已知椭圆的离心率为，长轴长为4．

(1)求C的方程；

(2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求．

 

 

 

7．设椭圆方程的离心率为，上､下顶点分别为，右焦点为，且__________．

在①，②③这三个条件中任选一个，填在上面的横线上，并解答．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线交椭圆于两点（不同于两点），且，试求直线的方程．

注：若选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分．

 

 

8．设椭圆的左､右顶点分别为，离心率．过该椭圆上任一点作轴，垂足为，点在的延长线上，且．

(1)求椭圆的方程；

(2)求动点的轨迹的方程；

(3)设直线过椭圆的右焦点与椭圆相交于､两点，且，求直线的方程．

题型二、弦长的计算与求解

【公式原式】，

【解题技巧】求弦长先联立、后整体代入：由韦达定理算出两根和与之积，再算两根差的平方，最后乘根号(1+k²)；直线写成x=my+t时改用根号(1+m²)乘纵坐标之差。已知弦长反求参数，则把弦长表达式整理成关于参数的方程，注意开方后可能有两解。易错点：漏掉判别式大于零的隐含限制；把1+k²与1+1/k²混用；丢掉弦长公式中的绝对值；直线过定点时未讨论竖直情形。

1．椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，且过点．

(1)求的方程；

(2)设过点，倾斜角为的直线交于两点，求线段的长度．

 

 

 

2．已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长.

 

 

3．已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点．

(1)求的标准方程；

(2)若的斜率为，且，求的值．