椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值问题专题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

回深▣互薄 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值问题专题训练 动弱 讲诊 一、单选题 题断 1.已知F是椭圆C:号+y=1的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q14,4,则 PQ+PF的最大值为() A.5+2V2 B.5-2V2 C.3+22 D.3-2V2 。知动点P在椭圆C￥+1上，F01,A-33,则PP-PmA的泵大值为 A.-V13 B.V13 C.-3 D.-1 3.已知动点P在箱圆C:兰+号=1上.F0,-1,D3,-3.则PD1-PF的最小值为() 43 A.5 B.13 C.2 D.1 4.已知F是稀圆。+上=1的左焦点，P是桃圆上一动点，若A1,1。则PA+PF的最小值为《) 95 A.6-V3 B.6-V/5 c.6-V2 D.6-V6 5.设稀圆C:+义=1的左.右焦点分别为F,F,且点P在椭圆C上，则PF,PF,的最大值为 169 () A.4 B.9 C.16 D.25 6.已知F,是稀图C:名+兰=1的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q43.则PF,+PQ1的授大值 95 是() A.6+10 B.6+23 c.6+V13 D.9 7.已知椭圆C:X 石+片=1的左、右两个焦点分别为F、F,P是C上的动点，Q是圆 E:X+y2-4x-8y+19=0上任意一点，则|PQ-PF,的最小值为（） 试卷第1页（共3页） A.4-4V2 B.5-4V2 c.4-2V2 D.4+2V2 8.已知椭圆C:X+号-I的左，右焦点分别为F,F,M为椭圆C上任意一点，N为圆 43 E:(x-3P+(y-5P=1上任意一点，则|MN-ME,的最小值为() A./29-5 B.9V32-7 c.V29+5 D.9/32+7 二、多选题 ).已知精圆C:+=1的左、右焦点分别为F、P,过F的直线与C交于A,B两点，则《) 43 A.△ABF2的周长为4 B.△ABF2的周长为8 C.椭圆C上的点到焦点的最短距离为1 D.椭圆C上的点到焦点的最短距离为3 10.己知F是柄圆C:又+广=1的左焦点，P为糖圆C上任意一点，点Q13,4,则PQ1+PF的最大 10064 值和最小值分别为() A.最大值为25 B.最小值为15 C.最大值为10+V97D.最小值为10-97 1.已知P是简国名若-1上一动点，M,N分别是x+2+y-石与x-2+y-6上一动 4945 点，则() A.IPM+PN的最小值为22 B.PM+PW的最小值为号 C.PM+PW的最大值为号 D.-1Bw的反大省为号 三、填空题 12.已知椭圆C: 父+号=1的左焦点为F,点G在C上，点H在圆E:X+y-6y+8=0上，则 2 43 GH+GF的最小值为 13.已知F,F,分别为椭圆亡+广-1的左、右焦点，稀圆内一点M的坐标为2，-6.P为椭圆上的 10064 个动点，则PM+PE,的最大值是一 14.已知椭圆C: :号+兰=1的左、右焦点分别为F,F,M为C上任意一点，N为圆 43 试卷第2页（共3页) E:x-9P+y-6P=1上任意一点，则|MN)-MF,的最小值为 四、解答题 已知脑阻C式+名1，F、F分别是其左右焦点，点Q2,1,P是C上的动点，求PE+PQ 取值范围， 16.已知椭圆C: 丈+-1内有一点M2,3,P1,F,分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的一点， 2516 求： )PM-PF,的最大值与最小值： (②四PM+PF,的最小值. 试卷第3页（共3页） 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值问题专题训练 一、单选题 1．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助椭圆定义可得，再借助两点间距离公式计算即可得. 【详解】如图，取椭圆右焦点，则， 则由椭圆定义可知， 则， 当且仅当、、三点共线，且在之间时取等， 故的最大值为. 故选：A. 2．已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，将问题化为的最小值，数形结合即可得解. 【详解】 由题意，为一个焦点，另一焦点为，且； 因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值； 由于，当三点共线时取等号； 所以的最大值为； 故选：D. 3．已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最小值，根据三角形性质，当三点共线得答案. 【详解】 ，为一个焦点，设另一焦点为， 且， 因为，所以在椭圆外部， 所以， 即求的最小值， 由于，当三点共线时取到最小值， 此时，， 所以的最小值为1. 故选：D 4．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义可得，求出的最小值，即可得解. 【详解】椭圆，则，，， 如图，设椭圆的右焦点为， 则； ， 由图形知，当在直线（与椭圆的交点）上时，， 当不在直线（与椭圆的交点）上时，根据三角形的两边之差小于第三边有， ； 当在的延长线（与椭圆的交点）上时，取得最小值， 的最小值为．    故选：． 5．设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【详解】由椭圆的定义可得， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为16. 6．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先根据椭圆的定义得到、的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【分析】对于椭圆，，，则， 设是椭圆的右焦点，则、. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为，所以的最大值为， 当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 7．已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆定义可得，可得出，结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 8．已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形求得最小值. 【详解】如图，M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆上任意一点， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 而，，则， 所以的最小值为. 故选：A 二、多选题 9．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于，两点，则（    ） A．的周长为4 B．的周长为8 C．椭圆上的点到焦点的最短距离为1 D．椭圆上的点到焦点的最短距离为3 【答案】BC 【分析】根据椭圆的定义和椭圆的几何性质，即可求得三角形的周长和最短距离，得到答案. 【详解】由题意，椭圆，可得，则， 则的周长为， 又由椭圆的几何性质，可得椭圆上的点到焦点的最短距离为. 故选：BC 10．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值和最小值分别为（    ） A．最大值为25 B．最小值为15 C．最大值为 D．最小值为 【答案】AB 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】设椭圆的右焦点为，由椭圆的标准方程可知：， 可得，所以， 由椭圆的定义可知：， ， 当且仅当三点依次共线， 当且仅当三点依次共线， 故选：AB 11．已知是椭圆上一动点，，分别是圆与圆上一动点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】利用圆的方程求出圆心与半径，判断圆心与椭圆的焦点坐标重合，利用圆的性质求解最值即可. 【详解】解：圆与圆的圆心分别为：；， 则、是椭圆的两个焦点坐标，两个圆的半径为， 所以的最大值为； 的最小值. 故选：AD. 三、填空题 12．已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先求解的最小值，结合圆的特点可得答案. 【详解】椭圆的左焦点，圆化为， 圆心为，半径为1，因为点在圆上，所以; 的最小值为； 因为,当且仅当三点共线时，取到等号，而， 所以的最小值为. 故答案为： 13．已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，则的最大值是______． 【答案】30 【分析】根据定义，再利用求解即可. 【详解】由椭圆的定义得，， 则，又点在椭圆内部，， 所以， 即，当点在的延长线上时，等号成立， 所以的最大值为30. 故答案为：30. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据圆上的点到定点的距离范围可知，即， 结合椭圆的定义可转化为，即可得解. 【详解】 由椭圆可知椭圆的长轴长，，， 圆的圆心，半径， 由已知圆上任意一点到得距离， 所以， 又根据椭圆定义， 则 ， 当且仅当，都在线段上时，等号成立， 故答案为：. 四、解答题 15．已知椭圆，、分别是其左右焦点，点是上的动点，求的取值范围． 【答案】 【分析】由椭圆定义将问题转化成求的范围，再结合三角形两边之差小于第三边即可求解. 【详解】因为， 所以， 由题意可得， 如图，根据三角形两边之差小于第三边可知， ，当且仅当点三点共线时取等号， 所以， 所以的取值范围为. 16．已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)，－ (2)10－ 【分析】（1）连接并延长交椭圆于点，结合平面几何结论可得是使取得最大值的点，由此可得的最大值，延长交椭圆于点，可得是使取得最小值的点，由此可得结论； （2）结合椭圆的定义可得，连接，并延长交椭圆于点，，结合平面几何结论可得是使取得最小值的点，由此可求结论． 【详解】（1）由椭圆可知，，， 则，， 如图所示，连接并延长交椭圆于点， 则是使取得最大值的点， 于是， 因为， 则求的最小值，即求的最大值， 延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最小值的点， 于是 所以的最大值与最小值分别为和；    （2）连接，由椭圆的定义知， 则， 所以， 如图，连接，并延长交椭圆于点，， 则是使取得最小值的点， 于是， 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $