点到直线距离的向量求法小专题训练 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦点到直线距离的向量求法，以单位方向向量、投影向量和勾股定理为核心方法，系统覆盖空间几何不同载体的距离计算，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题依据|1原理|向量法（单位方向向量→投影向量→勾股定理推导距离公式）|从向量投影概念出发，通过几何关系构建距离公式，形成“概念-推导”逻辑| |小专题训练|16题（含正方体/三棱锥/鳖臑等载体）|多情境应用（空间坐标系/几何体中点线距离计算）|从基础计算到复杂几何体，实现“公式-应用-变式”的知识迁移，强化数学思维|

点到直线距离的向量求法小专题训练 （适合全国I卷地区） 解题依据 点P到直线l的距离：设是直线l的单位方向向量，则向量在直线l上的投影向量.在中，由勾股定理，得______. 【答案】 【详解】根据投影向量公式和勾股定理得 . 小专题训练 一、单选题 1．（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据空间向量的数量积计算即可. 【详解】因为点，，， 所以，所以. 所以点到直线的距离为. 故选：A. 2．（2026·江西萍乡·一模）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用距离公式求解即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则，，， 所以点到直线的距离为 故选：D 3．（25-26高二上·安徽·阶段检测）若直线l过原点O，且直线l的方向向量，则点到直线l的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意计算直线方向向量的单位向量，利用点线距的向量公式，可得答案. 【详解】由，则与向量同向的单位向量为， 由直线过原点，则取，即，， 所以点到直线的距离. 故选：B. 4．（25-26高二上·湖北·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量点到线的距离公式进行求解即可. 【详解】因为，直线的方向向量， 所以， 因为， 所以点到直线的距离为， 故选：A 5．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为，则点到对角线所在的直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接用向量的方法求点到线的距离可得. 【详解】如图：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以， 所以向量在向量上投影向量的模为， ， 所以点到直线的距离为. 7．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求点到直线的距离计算即可. 【详解】以为原点，以，，过点且平行于的直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，. 因为，分别是棱，的中点，所以，. 因为点是线段的中点，所以. 所以，， 所以点到直线的距离为 . 故选：D. 8．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知正方体的棱长为3，，为线段的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】在棱长为3的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，    则, 设，则由，得，解得， 所以， 则点到直线的距离为， 故选：D 二、多选题 9．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在棱长为2的正方体中，分别是和的中点，则下列结论正确的有（    ） A． 平面 B．平面 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为分别是和的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，又，所以与不共线， 所以不垂直于平面，故B错误； 对于C，因为， 所以点到直线的距离为，故C正确； 对于D：因为， 所以点到平面的距离为，故D正确； 10．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线的方向向量为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先求出向量，结合直线方向向量，利用向量运算求出点到直线的最小距离，直线外一点到直线上任意点的距离不小于该最小距离，据此判断选项即可得. 【详解】因为，，所以， ， ，， 设与的夹角为， ，则， 由同角三角函数关系式得， 因此点到直线的最小距离，即. 选项A：，存在对应的点满足条件，正确； 选项B：是最小距离，垂足处即可取到该值，正确； 选项C：，两点的距离不可能小于，错误； 选项D：，两点的距离不可能小于，错误. 三、填空题 11．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 【答案】 【详解】由题意得，， ， ， 向量在直线上的投影长度为， 故点到直线的距离为 12．（25-26高二下·江苏泰州·期中）已知直线l过点，其方向向量为，则点到直线l的距离为_____________. 【答案】2 【详解】依题意，，所以点到直线l的距离 13．（25-26高二上·湖北·期末）如图，三棱锥中，底面为直角三角形，为直角，面，且，为棱上一个动点，则到直线的距离的最小值为______． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，根据点到直线距离的向量公式即可求解． 【详解】以为原点，以所在直线为轴，如图建系， 则， 设，则， 在方向上投影向量长度为， 故到直线的距离， 当时，， 故答案为：． 14．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为_____. 【答案】 【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值. 【详解】在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.    因为点是棱的中点，所以. 设，其中， 连接，则，， 所以点到直线的距离 ． 设，，则， 所以． 所以当，即，即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，对正方体­，，，分别是和的中点. (1)求到的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合点到直线的距离向量求法求结论； （2）结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长，故，，，， 所以，， 所以， ， ， 所以点到的距离 ； （2）由（1），已有， 所以，，， 设异面直线与所成角为，则. 16．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量公式即可求解； （2）求出平面的一个法向量，然后利用线面角的向量公式即可求解. 【详解】（1）根据题意，平面，， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为： ，由中点坐标得， 向量，，设点到直线的距离为， 则. （2）直线的方向向量取，设平面的法向量为， 由,取得， 设直线与平面所成角为， 则. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $点到直线距离的向量求法小专题训练（适合全国I卷地区） 解题依据 点P到直线l的距离：设AP=ā，ⅱ是直线l的单位方向向量，则向量AP在直线l上的投影向量 A0=(ā-a)d在R△APQ中，由勾股定理，得PQ=ADP-aA0= …1 小专题训练 一、单选题 1.(25-26高二上广东广州期末)在空间直角坐标系中，已知点A0,2,2,B2,2,2,C0,0,1,则点 A到直线BC的距离为() 4.25 5 3 B. D.1 2.(2026江西萍乡.一模)在棱长为2的正方体ABCD-A1BC1D1中，E为A1B1的中点，则点D到直 线C,E的距离为(） B.300 c.25 10 5 D.6Y5 5 3.(25-26高二上·安徽阶段检测)若直线1过原点0，且直线1的方向向量=(2,0,1)，则点P(1,1,1)到 直线1的距离为() A晋 8. 5 c.36 5 D.53 3 4.(25-26高二上·湖北阶段检测)在空间直角坐标系中，直线经过点P1,2,-1,且其方向向量 n=1,2,1,则点Q1,0,-2到直线的距离为（） 4.30 6 c.3 D 5.(25-26高二下·福建宁德期末)在三棱台ABC-A1B1C1中，AB=BC=2,BB1=A1B1=1,且 试卷第1页（共3页） ∠ABC,若BBL平面ABC,则点B到直线AC1的距离为( A B C V3 V6 B.3 c.23 2V6 A. D. 3 3 3 6.(2026高三，全国.专题练习)已知正方体ABCD-A1BC1D1的棱长为a,则点A1到对角线BC1所在 的直线的距离为() A.2 a B.a C.V2a 7.（25-26高二下·湖北武汉·开学考试)鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑 P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB=BC=PA=4,D,E分别是棱AB,PC的中点，点F是线段DE的 中点，则点F到直线AC的距离是() D A.4 4 e号 8.(25-26高二上-江西九江-阶段检测)已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为3，D,N=2心：M 为线段A,D的中点，则点A到直线MN的距离为（） A.42 3V78 B. 2V6 2V78 3 3 C 13 D. 13 二、多选题 9.(25-26高二上·广东深圳阶段检测)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是A1D1 和C,D的中点，则下列结论正确的有（） 试卷第2页（共3页） A.A1C1‖平面CEF B.B1D⊥平面CEF C.点D到直线CE的距离为？5 D.点D到平面CEF的距离为 4 10.(24-25高二上·福建厦门·阶段检测)已知直线l的方向向量n=1,0,-1,A2,1,-3为直线l上一点， 若点P(-1,0,-2)为直线外一点，则P到直线上任意一点Q的距离可能为() A.2 B.V3 c.V2 D.1 三、填空题 11.（25-26高二下·福建漳州期中)在空间直角坐标系中，已知A0,1,2,B2,3,2,C3,3,1,则点A 到直线BC的距离为 12.(25-26高二下-江苏泰州：期中)己知直线1过点A(10,0,其方向向量为 e=(-1,2,2)'则点 B(2,2,0)到直线1的距离为 13.(25-26高二上·湖北期末)如图，三棱锥D-ABC中，底面ABC为直角三角形，∠C为直角， DA⊥面ABC,且CA=CB=DA=1,P为棱AC上一个动点，则P到直线BD的距离的最小值为 B 14.(25-26商=上湖南岳阳期未)在直三棱柱ABC-A,B,C,中，∠ACB-7AC=2,BC=2, AA1=3,点D是棱AC的中点，点E在棱BB上运动，则点D到直线C1E的距离的最小值为· 四、解答题 15.(25-26高二上·福建厦门阶段检测)如图，对正方体ABCD A1BC1D1,AB=2,M,N分别是 BD和AD的中点. 试卷第3页（共3页） B D B (1)求N到BM的距离； (2)求异面直线BM与D1N所成角的余弦值 16.(25-26高二下·江苏连云港·期中)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，D,E,F 分别是棱AB,BC,CP的中点，AB=AC=2,PA=3. D B E (I)求点P到直线EF的距离： (2)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值， 试卷第4页（共3页）