椭圆中x,y的取值范围问题专题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

椭圆中x,y的取值范围问题专题训练 一、单选题 1．椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将方程化为标准方程，然后根据椭圆的性质分析判断 【详解】由，得， 所以椭圆的标准方程为，则， 因为点在椭圆上， 所以． 故选：C 2．已知椭圆C的方程为：，点A是椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的几何性质得到点，再假设点，利用两点距离公式，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】因为椭圆C的方程为：，则， 设，则，故，且， 所以， 当时，取得最大值，故. 故选：C. 3．，是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意表示出点的坐标，利用向量数量积的坐标表示，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由椭圆，则，即，所以， 设，则，，， 由在椭圆上，则，即， 易知，所以的最大值为. 故选：C. 4．已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点 在上，若大于，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可知，的坐标和模，由向量数量积的定义及坐标运算可得关于的不等关系，即可求解. 【详解】 因为椭圆：，所以，，所以， 所以，， 因为点 在上，所以，所以，， 又，，所以， 又，， 所以， 因为大于，所以， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：. 5．点F是椭圆的一个焦点，PQ是过椭圆中心O的一条弦，则△PQF的面积的最大值是（其中）（    ） A． B．ab C．ac D．bc 【答案】D 【分析】利用椭圆的对称性及范围即得. 【详解】由椭圆的对称性可知P、Q关于原点对称， 所以， 故当时，△PQF的面积最大，最大值为. 故选：D. 6．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，用坐标表示出等式，点在椭圆上，适合椭圆方程，求得代入上式，求得，然后由得出的不等关系，求得的范围． 【详解】设，则，， 由，， 化为，，整理得， ，，解得． 7．设是椭圆上的一个动点，定点，则的最大值是（    ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题首先可根据椭圆方程得出，然后将转化为，即可求出最大值. 【详解】因为椭圆方程为，即，所以， 因为，， 所以， 易知当时，最大，最大值为， 故选：D. 8．已知点是椭圆的左右焦点，椭圆上存在不同两点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设点，利用向量关系得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，代入方程，消去即得，根据题意，构建的齐次式，解不等式即得结果. 【详解】设，由得， ，，即， 由在椭圆上，故，即， 消去得，， 根据椭圆上点满足，又两点不同，可知， 整理得，故，故. 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 圆锥曲线中离心率的计算，关键是根据题中条件，结合曲线性质，找到一组等量关系（齐次式），进而求解离心率或范围. 二、多选题 9．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的定义，，将转化为二次函数，即可求解范围，判断A，利用坐标表示，转化为二次函数求解B，利用向量的运算可知，，根据的范围，即可求解，判断C，利用焦半径的最值，即可判断D. 【详解】，，，，，设，，则，， A．，范围是，故A正确； B．设，则，故B错误； C．设为原点，则；故C正确； D．和的最大值为，最小值为 ，所以的最大值为，最小值为，，故D正确. 故选：ACD 10．已知，动点满足直线与的斜率乘积为，设点的运动轨迹为曲线，过点的直线与曲线的另一个交点为，则（    ） A．点的轨迹方程为 B．面积的最大值为 C．不存在点，使得 D．若直线过原点，则的最小值为2 【答案】BCD 【分析】先求出的运动轨迹是去掉左右顶点的椭圆并求出其方程，再利用椭圆的性质逐一分析即可求解. 【详解】因由题可得，化简得到， 所以点的运动轨迹是去掉左右顶点的椭圆，故选项A错误， 面积为， 椭圆中，故，故选项B正确； 因为， 所以， 又，所以，所以， 所以不存在点，使得，故选项C正确； 若直线 l 过原点，则 P,Q 关于原点对称，， 当P为椭圆短轴端点时有， 所以直线过原点，则的最小值为2，故选项D正确. 故选：BCD. 11．是椭圆上的一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若存在点，使，则椭圆的离心率 D．若的中点在轴上，则 【答案】CD 【分析】根据椭圆的几何性质，可判定A错误；设，利用余弦定理和椭圆定义，求得，结合三角形的面积公式，可判定B错误；设椭圆的短轴上端点为，得到，得到，结合离心率的定义，可判定C正确；根据题意，得到轴，进而可判定D正确. 【详解】对于A中，根据椭圆的几何性质，可得，所以A错误； 对于B中，设，则， 由余弦定理得， 解得，所以，所以B错误； 对于C中，设椭圆的短轴上端点为，连接, 若存在点，使得，则，所以，即， 所以，所以，即， 又因为，可得，所以C正确； 对于D中，若的中点在轴上，则轴， 结合椭圆的几何性质，可得，所以D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】先把椭圆方程变为标准方程，再根据椭圆的范围求解. 【详解】因为点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆上， 所以点(m,n)满足椭圆的范围， 因此，即． 故答案为：. 13．已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题可得动点的轨迹方程，进而可得，即得. 【详解】因为点，，， 所以，， 所以，即 ， 所以， 由 ，可知， 所以，即. 所以的取值范围为. 故答案为：. 14．在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为________. 【答案】 【分析】设，结合将数量积坐标化，利用椭圆方程消建立关于的不等式，再由椭圆的几何性质得范围取交集可得. 【详解】由椭圆方程，得， 则，所以. 设，由题意得， 则，所以. 由, 解得，所以，解得，或， 所以点P纵坐标的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 【答案】 范围：，；对称性：对称轴为轴，轴，对称中心为原点； 顶点：，，，． 【详解】略 16．已知点是椭圆上一点，求点P到点的距离的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意可知，由两点之间的距离公式可得，，再根据二次函数的单调性，即可求出结果. 【详解】解：因为点是椭圆上一点， 所以， 又，， 所以，， 设，， 则， 所以函数在区间上单调递减， 所以，， 所以， 所以函数点P到点的距离的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $只职互 椭圆中x,y的取值范围问题专题训练 岳 一、单选题 1.椭圆9x2+25y2=225上的点Px,y的横、纵坐标的范围分别为() A.x≤3，y≤5 B.s分ys C.x≤5，y≤3 D. 2.己已知辅圆C的方程为：士+Y=1,点A是椭圆C的下顶点，点M是精圆C上任意一点，则MA的最 4 大值是() A.2 B.4 c.43 3 D.2 3.F,F,是椭圆芩+y=1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则P京·P京，的最大值是《) 4 A.4 B.5 C.2 D.1 1已如，女分别为m国C:名+兰1监宝、市流，点上老∠FPT水于子则 62 的取值范围是() Xo A.-0,-3u3,+oo B.-3,3 C.-o,-51U5,+∞ D.-5,5) 5.点F是椭圆+兰=1Q>b>0的一个焦点，PO是过椭圆中心0的一条弦，则△POP的面积的最大 a2 b2 值是（其中 c=a2-b)（) 16 B.ab C.ac D.bc 6.已知F,(-c,0》F,(c,0)是裤圆C:号+=1a>b>0)的左、右焦点，若楠圆C上存在一点P使 a2 b2 试卷第1页（共3页） 得p序，·P陀，=c2,则椭圆C的离心率e的取值范围是（） A.35 B. [32 3’3 32 C. -1 0 「2 7.设Px,y是椭圆x2+4y=4上的一个动点，定点M1,0?则1PM的最大值是（） B.1 C.3 D.9 8.已知点F,F,是椭圆Y+上 及方行1a>b>0的左右焦点，精圆上存在不同两点AB使得FA=2FB 则椭圆的离心率的取值范围是() A.03 B.02 c. 二、多选题 Q已知F1,F分别是椭圆C:￥+了1的左、右焦点，点M是C上的任意一点，则下列结论成立的是 () A.3≤MF1MF2≤4 B.3-1≤MF1·MF2≤1 C.23≤MF,+MF2≤4 D.1sMF53 3MF2 10.已知A-3,0,BE,0.动点P1x,y满足直线PA与PB的斜车乘积为号设点P的运动抗迹为 曲线C,过点P的直线l与曲线C的另一个交点为Q,则() A。点P的锐迹方程为号+了-1 B.△PAB面积的最大值为V3 C.不存在点P,使得∠APB= 2 D.若直线过原点，则PQ的最小值为2 试卷第2页（共3页） P是℃名+长1lQ>b>0)E的点，0为坐标原，则下列院法正确的是C A.c≤OP≤a B.若∠F1PF,=60,则SAFPF,=3b D.若PF的中点在y轴上，则PF, a 三、填空题 12.己知点(，)在椭圆8x2+3y2=24上，则m的取值范围是 B.己知点A二40、B40,动点Pm,n满足：直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为号，则 m+n的取值范围为 4在椭圆父+号上任意一点卫，左右焦点分别为乃1，F2,若有FP·FP≤L,则点P纵坐标的取 值范围为 四、解答题 15.观察椭圆义+号-1a>b>0的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上 哪些点比较特殊？ 珠 B2 b c F B 6已知点P(x,y是稀园6+)上一点，求点P到点A3,0的距离的取值范围 试卷第3页（共3页）