3.1求椭圆的离心率或范围专题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

求椭圆的离心率或范围专题训练 一、单选题 1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍， ， ， ． 2．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 由椭圆定义得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以的离心率. 3．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质和正切值可得，结合椭圆的几何性质可求答案. 【详解】因为，，所以， 设焦距为，由可得， 由椭圆的定义可得，即，所以. 故选：B 4．若椭圆上存在点，使得点到椭圆两个焦点的距离之比为，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义结合条件先表示出点到两焦点的距离，再结合到焦点的距离与，的关系可求解出的范围. 【详解】由题可设点到椭圆两个焦点的距离分别为 ， 则，解得， 因为点到椭圆焦点的距离范围是， 则，即，得， 所以，又，故 ， 所以该椭圆的离心率的取值范围是. 故选：A 5．设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用椭圆的定义表示出、，结合的直角条件，通过勾股定理求出与的关系；再在中用勾股定理建立与的等式，进而推导离心率. 【详解】设，由得，因此. 根据椭圆的定义，， ， 由，可知为直角三角形（直角在），由勾股定理， 得，展开并化简： 因，两边除以得， 由此可得，， 又因为共线，且，所以，即为直角三角形， 由勾股定理，得， 得，所以，因此离心率. 6．已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理和椭圆定义可得，求出答案 【详解】设． 在中，由三角形内角和得． 由正弦定理得，即． 由椭圆定义得，即，所以． 其中， ， 椭圆离心率，得． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若对椭圆上的所有的点均满足，则椭圆的离心率的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，将不等式转化为仅含的不等式；根据椭圆上点到焦点的取值范围为，将原不等式转化为，根据，，转化为的不等式，结合解不等式即可. 【详解】由点在椭圆上，得，即. ，，得恒成立. ，，即. 由，，得. ，得，即. 当，即时，不等式恒成立， 当，即时，，则，得，解得，； ，，即椭圆的离心率的取值范围为. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知四边形为矩形，根据勾股定理及椭圆的定义可得，结合已知条件列不等式组，进而解得答案. 【详解】因为点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限， 则O为的中点，结合，所以四边形为矩形， 所以，而， 则，整理得， 所以，结合A在第一象限，可知， 所以， 由椭圆的对称性可知，由可得， 即，所以，整理得， 所以，即椭圆C的离心率的取值范围为. 二、多选题 9．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的面积为，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据“逼近法”可得，由此可确定所有可能的取值，由椭圆离心率求得所有可能的取值. 【详解】根据题意有： 由“逼近法”原理可知， 又因为，所以或或或或或， 当或时，椭圆离心率； 当或时，椭圆离心率； 当或时，椭圆离心率. 故选：ABD. 10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，则椭圆C的离心率可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据已知条件列不等式，求得的取值范围，进而求得离心率的取值范围，从而确定正确答案. 【详解】依题意，则， 由于在椭圆内部，所以， 则即， 即，令，则， 解得，即，所以， 所以， 而 ， 所以AB选项错误，CD选项正确. 故选：CD 11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为3 C．存在点，使得 D．当离心率不小于时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】由点在椭圆内部求得的范围，结合离心率的意义求解判断AB；由椭圆半焦距与的大小判断C；利用椭圆定义及均值不等式求出最小值判断D. 【详解】由椭圆的长轴长为4，得，由点在内部，得，又，则， 对于A，由，得，则离心率，A正确； 对于B，由，得椭圆的半焦距，由， 得，因此的最大值为，B正确； 对于C，由，得，而，则， 以原点为圆心，为半径的圆在椭圆内，因此不存在使得，C错误； 对于D，由椭圆的离心率不小于，得，则， 于是，， 因此 ，当且仅当时取等号，符合题意，D正确. 三、填空题 12．椭圆的离心率为________． 【答案】 【分析】先将椭圆的一般方程化为标准形式，确定、的取值，再根据椭圆参数关系求出，最后代入离心率公式计算即可. 【详解】将椭圆方程化为标准形式 ， 则 ，，， 故离心率为 . 13．已知椭圆，点在直线上，直线交椭圆于点，且为线段的中点，则椭圆的离心率的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设出点的坐标，利用中点公式及点位置可得答案. 【详解】设，则，因为为线段的中点， 所以在轴右侧，且，即， 因为，所以，即，所以离心率的取值范围是. 故答案为：    14．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据椭圆定义及基本不等式得出，再根据离心率公式即可求解． 【详解】因为，所以， 又 ， 当且仅当时取等号， 所以， 由椭圆定义知，又， 所以，又， 所以离心率的取值范围为． 四、解答题 15．设椭圆的右焦点为，上顶点为．已知（O为坐标原点）的面积为．求的离心率. 【答案】 【详解】易知，， 所以的面积为，可得， 由，可得 故的离心率为. 16．设，分别是椭圆的左、右焦点，过点且斜率为1的直线与相交于，两点，且，求的离心率． 【答案】 【分析】由椭圆的定义得：，，结合条件可得，联立直线方程与椭圆方程求弦长，由此可得，结合离心率定义求结论. 【详解】由椭圆的定义得：，，， 所以，因为，所以可得． 易知直线的方程为，其中． 设点，，则，两点的坐标满足方程组， 消去，整理得，则，． 因为直线的斜率为1，所以， 即，故， 所以的离心率． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $求椭圆的离心率或范围专题训练 口品口互薄 动弱 一、单选题 1.已知椭圆C的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆C的离心率为() 日题所 A.3 B.2 c.3 2 D2 2.已知椭圆C:丈+兰=1a>b>0)的左、右焦点分别为F,'下；点p在C上满足PF,2PF, a2'b2 且∠F,PF,=60,则C的离心率为（） B.3 c. 3.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点，M是C上的一点，若MF1⊥MF2,且tn∠MF1F2=2,则C的 离心率为() 5 B.3 c.310 210 D. 10 5 4.若椭圆上存在点P,使得点P到椭圆两个焦点的距离之比为2：3，则该椭圆的离心率的取值范围是 () (o C. 「5 D.. 5.设椭圆C:+兰=1(a>b>0的左，右焦点分别为F,'F,'0为坐标原点，过F的直线与c交于 A,B两点，且AF2=2|F2B,F1A⊥AB,则C的离心率为() 3 A.2 5 B.3 c.5 2 D.2 《,足C号吉1a6o在方点pc友么P所55 ∠PF2F1=15,则c的离心率为() A. n要 3 D.2 试卷第1页（共3页） 7.已知椭圆C:+兰=1a>b>0的左、右焦点分别为F,:F,'若对椭圆C上的所有的点p均满足 a2 b2 |PF,-2PFsb:则椭圆c的离心率的取值范围为() B. 13 c.0, 3 D. 3’5 8已知椭圆℃：文七以1Q>b>0雨左、有焦点分别为P”E,'点4，B为椭圆上关于原点对称的硒 点，A点在结象限，有A8下，r,小2≤·则箱网C的宾心率的取值袍用为《) BF B ,3-1 c. 2,3-1 二、多选题 9.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的 乘积若椭圆士+士=1m,n∈Z的面积为25，则该椭圆的离心率可能为《) m n V33 V6 82 A. 6 B.3 C.2 D.2 10.已知椭圆C:+上=1la>b>0的左、右焦点分别为F'F,且|F,F,=2点P2,3在椭圆内部， a2b21 则椭圆C的离心率可以是() A c. 1.已知椭圆C:+岁=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,:长轴长为4，点P(2,1)在椭圆内 a b2 部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是() 2 A.离心率的取值范围为0,2 试卷第2页（共3页） B.当离心率为时，|QF的最大值为3 C.存在点Q'使得Q卫1·Q京2=0 D.当离心率不孙于写·Q行Q可的故小恤为号 4 1 三、填空题 12.椭圆x2+3y=9的离心率为 13.已知椭圆X+兰=1a>b>0点p在直线x=￠上，直线0P交椭圆于点A,B'且B为线段A的中 a2 b2 点，则椭圆的离心率的取值范围是 言+长=1‘Q>b>0》的左、右焦点分别为KF,:若横圆C上存在点p使得 14,已知椭圆c兰+花 PF1⊥PF2,则椭圆C的离心率e的取值范围是 四、解答题 15.设椭圆C:+芳=1a>b>0)的右焦点为p:上项点为A已知△AOF(0为坐标原点)的面积 a2 b2 为2 .求C的离心率」 6设p正分别是国E:苦+多10>b>0的在、有焦点，过点r且斜率为1的直线，白，相安 A'B两点，且2AB=AF,+BF,求E的离心率. 试卷第3页（共3页）