圆锥曲线的弦长专题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线的弦长专题训练 一、单选题 1．（2026·高二上·河南叶县高中·阶段测试）直线与抛物线交于，两点，则（   ）. A． B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】联立直线方程与抛物线方程，可求出两交点坐标，再利用两点间距离公式计算即可得. 【详解】，解得或， 则. 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则线段长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出两点的坐标，利用两点间的距离公式求线段的长度. 【详解】将代入椭圆方程， 得： 或. 当时，；当时，. 所以点的坐标分别为和. 所以. 故选：A 3．（微主题三直线交曲线消元是通法）已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式将表示成的函数即可求解. 【详解】设直线的方程为，由，得， 由，得， 则， 所以， 当时取到最大值，此时直线的方程为． 故选：B． 4．（24-25高二上·广东潮州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，过双曲线的右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，则弦的长度为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据双曲线渐近线方程求出可得双曲线C的右焦点为，则可求出的坐标，从而可得答案. 【详解】由渐近线方程化简得，即， 同时平方得， 又双曲线中，故，解得或（舍去）， 所以双曲线， 所以双曲线C的右焦点为， 右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点， 则， 故弦的长度为. 故选：A. 5．（24-25高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程及a，b，c的关系，可得c值，不妨设l过右焦点，可得A，B点的横坐标，代入椭圆方程，可得纵坐标，即可得答案, 【详解】根据椭圆方程可得，则，解得 不妨设l过右焦点，A点在第一象限，则， 代入椭圆方程可得， 所以 故选：D. 6．（24-25高二上·河北唐山·期末）在双曲线的两支上各取一点，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C．14 D．18 【答案】A 【分析】当为双曲线的两顶点时，取得最小,最小值等于双曲线的实轴长. 【详解】由得，即， 所以. 故选：A. 7．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据点差法求出直线的斜率，解出直线方程，然后与双曲线方程联立解出，点坐标，根据两点间距离公式求出． 【详解】设，直线的方程为． 由题意知，为的中点， 因为， 两式相减，得， 所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为， 与双曲线联立， 得，即， 解得或， 所以. 8．（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线交点弦长公式和，，求出，进一步得出抛物线方程. 【详解】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 二、多选题 9．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）过椭圆焦点的直线与椭圆交于A，B两点，则弦长可能为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据椭圆方程，求出焦点坐标，可得A、B点坐标，即可得的最小值（通径）和最大值（长轴），分析即可得答案. 【详解】由椭圆的对称性可知，当过焦点的直线垂直于长轴时，弦长最短， 由题意，则， 不妨设焦点为，代入椭圆方程可得， 不妨令，则， 当过焦点的直线与长轴重合时，弦长最长，且等于长轴长，此时， 所以. 故选：ABC 三、填空题 10．（26-27高二上·全国·课后作业）已知过抛物线的焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是________． 【答案】或 【详解】弦长（为过焦点的直线的倾斜角），所以， 所以，因为，所以，所以． 因为，所以或． 11．（25-26高二上·湖北十堰·期末）已知双曲线的标准方程为，直线过双曲线的右焦点，且与交于，两点，若，则满足条件的直线的条数为________． 【答案】3 【分析】分直线斜率不存在和斜率存在进行讨论，先判断当直线斜率不存在时符合题意，当斜率存在时，设出直线方程，借助韦达定理与弦长公式计算求出直线方程，进而判断直线条数即可. 【详解】由题，双曲线方程为，右焦点坐标为， 当直线的斜率不存在时，，，满足题意； 如图，当直线的斜率存在时，设直线斜率为， 设，联立， 消去y得， ， 设，则， 由弦长公式得 ． 则，解得，即，满足， 故直线的方程为 ，或， 得到满足条件的直线的条数为3. 故答案为：3 12．（广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题）椭圆的左焦点为F，过F且斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，则弦长__________. 【答案】 【分析】求出直线方程，与椭圆方程联立表示出，代入弦长公式求解. 【详解】由椭圆方程可得，所以， 所以左焦点为，则过且斜率为的直线方程为， 由可得，即， 设，则， 所以， 故答案为：. 13．（专题05 抛物线 （9知识&11大题型&分层验收）（期末复习讲义）高二数学上学期苏教版）抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线被抛物线所截得的弦长为8，则该抛物线的方程为______. 【答案】 【分析】依题意，设抛物线方程为，可求得过焦点且倾斜角为的直线方程为，利用抛物线的定义结合题意可求得，从而可求得抛物线方程；同理可求抛物线方程为时的结果. 【详解】依题意可设抛物线的方程为，    则经过焦点且倾斜角为的直线方程为， 设直线交抛物线于，两点， 由消去得， 所以， 由抛物线的定义可得，解得， 所以所求的抛物线方程为， 同理可得当抛物线开口向左时，可求得抛物线方程为， 综上该抛物线的方程为， 故答案为： 14．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过的直线与交于，两点.若直线的倾斜角为45°，则=_____ 【答案】 【分析】由抛物线性质求解抛物线方程；解得焦点坐标，表示出直线方程，联立直线与抛物线，由韦达定理结合抛物线性质求解. 【详解】由抛物线的性质，故抛物线.焦点坐标为 由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为， 设，联立， 所以，故. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·广东广州·期末）动点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与曲线C相交于A，B两点，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，列出方程化简即得. （2）求出直线的方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解即得. 【详解】（1）由点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3， 得，整理得， 所以曲线C的方程为. （2）由过点且倾斜角为的直线，得直线的方程为， 由消去得，解得， 所以. 16．（25-26高二上·河北·期中）已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题求出，求出椭圆方程； （2）利用弦长公式求解. 【详解】（1）由题意，且，，得， 因此椭圆的方程为. （2）设椭圆左焦点为，直线的方程为，，， 联立直线方程与椭圆方程， 可得，解得：，. 所以 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $▣深口互薄 动弱 图堂：讲诊 圆推曲线的弦长专题训练 一、单选题 1.(2026高二上·河南叶县高中·阶段测试)直线x-y+1=0与抛物线x2=4y交于M,N两点，则 MN=(). A.2V2 B.6 c.4V3 D.8 2.(25-26高二上·江苏扬州·期中)已知椭圆 +上=1，直线x-y+1=0与椭圆交于A,B两点，则线 63 段AB长为() A.82 7V2 C.2V2 5V2 B. 3 3 D. 3 3.(微主盟三直线交曲线清元是通法)已知斜幸为1的直线1与椭圆誉+Y=1相交于A,B两点，则 AB的最大值为() B.43 3 C.3 D.83 3 4.(2425高二上广东潮州期末)已知双曲线C:士-y=1m>0的一条渐近线为1：5x+my=0,过 双曲线C的右焦点F作X轴的垂线，交双曲线C于A、B两点，则弦AB的长度为() 4.23 V3 B. 3 3 C.2 D.1 3(2425高三上福建泉州期末)过椭圆C:+)三1的一个焦点作x轴的垂线，若交C于A,B两 则AB=() 号 3 B. c.V2 D.26 2 3 6.（24-25高二上·河北唐山期末)在双曲线 等一的脑支上名汉点A,B,则AB的泉小值为 () A.6 B.9 C.14 D.18 7,(24-25高二上江苏南通：阶段检测)已知直线1与双曲线X2-Y=1交于A,B两点，且线段AB的中 点为C-1,-2,则AB=() A.4 B.2 c.4V2 D.2V2 试卷第1页（共3页） 8。(25-26高二上：福建厦门：期中)过抛物线y=2px(p>0的焦点作直线交抛物线于A(X,y,广 B(Xy,两点，如果x,+X,=6°且AB=8那么抛物线方程为(） A.y=2x B.y2=4x C.y2=8x D.y2=6x 二、多选题 9.(2526商二上安数阜阳期未)过稀圆X+广=1焦点的直线与输圆交于A,B两点，则弦长|AB阿 4 能为() A.2 B.2V2 c.2V3 D.25 三、填空题 10.(26-27高二上·全国·课后作业)己知过抛物线y=6x的焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角 是 1.（25-26高二上：湖北十握期末)已知双曲线C的标准方程为X- 3 =1,直线过双曲线的右焦点F, 且与C交于A,B两点，若AB=6,则满足条件的直线的条数为 (广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题)椭圆X+Y=1的左有 2516 3 点为F,过F且斜率为二的直线与椭圆交于A、B两点，则弦长AB= 13.(专题05抛物线(9知识&11大题型&分层验收)（期末复习讲义）高二数学上学期苏教版)抛物 线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，则该抛 物线的方程为 14.(25-26高二上·江苏淮安·阶段检测)已知抛物线C:y=2px的焦点F到准线的距离为2，过F的直线 l与C交于A,B两点.若直线l的倾斜角为45°，则AB= 四、解答题 15.(25-26高二上·广东广州期末)动点M(x,y)与定点F(3,0)的距离和点M到定直线：x=的距离 3 的比是3，记点M的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程： (2)过点F(3,0)且倾斜角为60°的直线与曲线C相交于A,B两点，求|AB1. 16.(25-26高二上河北期中)已知椭圆C的方程为X+y三 日+岁1a>b>0》上顶点为A10.2离心率为 试卷第2页（共3页） 5 (1)求椭圆C的方程： (2)若斜率为2的直线1经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M,N两点，求MN的长. 试卷第3页（共3页）