培优03 圆锥曲线弦长、面积与范围问题（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题03 弦长、面积与最值范围 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、弦长公式与焦点弦 题型二、三角形面积的计算与转化 题型三、四边形面积与面积比 题型四、面积、距离的最值 题型五、由长度、面积条件求参数范围 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 弦长、面积与最值范围，是圆锥曲线解答题中最稳定的得分板块．弦长靠“设线—联立—韦达—弦长公式”一条线走通：椭圆、双曲线用 ，抛物线焦点弦用 ．面积的关键在选底与定高：弦过 轴上的定点 时，，往往比“弦长乘点线距”少一半运算． 最值与范围则要把几何量化为单变量函数，再用基本不等式、换元、二次函数或导数处理；开口方向、自变量取值范围、等号成立条件三者缺一不可．本专题按“弦长—三角形面积—四边形与面积比—最值—参数范围”五层递进，所选题目以近年高考真题为主，解析中刻意保留“为什么这样设线、为什么取这个端点”的关键一步． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、弦长公式与焦点弦 典例1 设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 两点，． (1)求 的方程； (2)求过点 且与 的准线相切的圆的方程． 题型模版 1.特征：求弦长、焦点弦长，或由弦长反求直线；也常与圆、准线结合． 2.方法：设 可避开斜率不存在；联立后 ；抛物线焦点弦 ，焦半径 ． 3.提醒：用弦长反求参数时必须回代检验 ；抛物线的通径 是最短的焦点弦，可作为范围的下界． 变式1-1 已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 ． (1)求 的方程； (2)设 是 上的两点，直线 与曲线 相切．证明： 三点共线的充要条件是 ． 变式1-2 已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 两点，圆 是以线段 为直径的圆． (1)证明：坐标原点 在圆 上； (2)设圆 过点 ，求直线 的方程． 变式1-3 已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，若 ，求 的方程． 题型二、三角形面积的计算与转化 典例2 已知椭圆 的离心率为 ， 分别为 的左、右顶点． (1)求 的方程； (2)若点 在 上，点 在直线 上，且 ，，求 的面积． 题型模版 1.特征：求三角形面积，或由面积（倍比）条件反求点、直线． 2.方法：以弦为底、定点为顶点，；弦过 轴上的定点 时，；面积比优先转化为同底高的比或纵坐标之比． 3.提醒：面积公式中的绝对值要保留，最后按图形位置取舍；由面积反求点时，解出的点要逐一代回原曲线． 变式2-1 设椭圆 的左、右顶点分别为 ，右焦点为 ，已知 ，． (1)求 的方程及离心率； (2)已知点 是 上异于顶点的动点，直线 交 轴于点 ，若 的面积是 的面积的 倍，求直线 的方程． 变式2-2 已知 和 为椭圆 上两点． (1)求 的离心率； (2)若过 的直线 交 于另一点 ，且 的面积为 ，求 的方程． 变式2-3 已知点 在双曲线 上，直线 交 于 两点，直线 的斜率之和为 ． (1)求 的斜率； (2)若 ，求 的面积． 题型三、四边形面积与面积比 典例3 已知抛物线 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 分别交 于 两点，交 的准线于 两点，且 均不与原点 重合． (1)若 在线段 上， 是 的中点，证明：； (2)若 的面积是 的面积的 倍，求线段 中点的轨迹方程． 题型模版 1.特征：四边形面积、面积之比、切线与坐标轴围成的图形． 2.方法：对角线互相垂直时 ；一般四边形分割为两个三角形；面积比转化为坐标比，再用韦达定理． 3.提醒：四边形顶点要按题意顺序连接，不要想当然按“左上—右上”排列；动点在第三象限等条件会影响绝对值符号． 变式3-1 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，． (1)求 的方程及离心率； (2)设 为第三象限内一点且在 上，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证：四边形 的面积为定值． 变式3-2 已知椭圆 的焦点在 轴上， 是 的左顶点，斜率为 的直线交 于 两点，点 在 上，． (1)当 ， 时，求 的面积； (2)当 时，求 的取值范围． 题型四、面积、距离的最值 典例4 已知直线 与抛物线 交于 两点，． (1)求 ； (2)设 为 的焦点， 为 上两点，且 ，求 面积的最小值． 题型模版 1.特征：求面积、距离、弦长的最大值或最小值． 2.方法：先选一个参数（斜率、截距、点的坐标），把目标写成单变量函数；常用 、基本不等式、换元 、二次函数配方． 3.提醒：换元后要写清新变量的取值范围；用基本不等式必须验证等号能否取到，取不到时改用单调性． 变式4-1 已知椭圆 ，设 ， 是 上异于 的两点，且点 在线段 上，直线 分别交直线 于 两点． (1)求点 到椭圆上点的距离的最大值； (2)求 的最小值． 变式4-2 已知椭圆 过点 ，点 为其左顶点，且 的斜率为 ． (1)求 的方程； (2)点 为椭圆上任意一点，求 面积的最大值． 变式4-3 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 两点，求 面积的最小值． 题型五、由长度、面积条件求参数范围 典例5 已知抛物线 经过点 ，过点 的直线 与 有两个不同的交点 ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ． (1)求直线 的斜率的取值范围； (2)设 为原点，，，求证： 为定值． 题型模版 1.特征：由长度、面积条件求参数的值或取值范围，或判断符合条件的直线是否存在． 2.方法：把条件代数化，联立得到关于参数的方程或不等式；范围问题同时用 、曲线自身的范围（如 ）和几何位置限制． 3.提醒：分母为零、直线过定点、斜率不存在等“隐形排除”最容易漏；端点能否取到要单独说明． 变式5-1 已知椭圆 ，抛物线 ，点 是 与 的交点，过点 的直线 交 于点 ，交 于点 （ 不同于 ）． (1)若 ，求 的焦点坐标； (2)若存在不过原点的直线 使 为线段 的中点，求 的最大值． 变式5-2 已知椭圆 过点 ，以 的四个顶点为顶点的四边形面积为 ． (1)求 的方程； (2)过点 的直线 与 交于 两点，直线 分别交直线 于 两点，若 ，求 的斜率． 变式5-3 已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，若 ，求 的斜率的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知 为抛物线 的焦点，过 作两条互相垂直的直线 ，直线 与 交于 两点，直线 与 交于 两点，则 的最小值为 （　　） A． B． C． D． 2．设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点，若 ，则  （　　） A． B． C． D． 3．已知 为抛物线 的焦点，过 的直线 与 交于 两点，若 ，则 的面积为 （　　） A． B． C． D． 4．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线 与 交于 两点，若 的面积是 的面积的 倍，则  （　　） A． B． C． D． 5．已知椭圆 的焦点为 ，，过 的直线与 交于 两点．若 ，，则 的方程为 （　　） A． B． C． D． 6．已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 两点．若 ，则           ． 7．已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ．若 为线段 的中点，则           ． 8．已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点的距离的最小值为 ． (1)求 ； (2)若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值． 9．已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 的交点为 ，与 轴的交点为 ． (1)若 ，求 的方程； (2)若 ，求 ． 10．设抛物线 的焦点为 ，点 ，过 的直线交 于 两点．当直线 垂直于 轴时，． (1)求 的方程； (2)设直线 与 的另一个交点分别为 ，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最大值时，求直线 的方程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 弦长、面积与最值范围 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、弦长公式与焦点弦 题型二、三角形面积的计算与转化 题型三、四边形面积与面积比 题型四、面积、距离的最值 题型五、由长度、面积条件求参数范围 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 弦长、面积与最值范围，是圆锥曲线解答题中最稳定的得分板块．弦长靠“设线—联立—韦达—弦长公式”一条线走通：椭圆、双曲线用 ，抛物线焦点弦用 ．面积的关键在选底与定高：弦过 轴上的定点 时，，往往比“弦长乘点线距”少一半运算． 最值与范围则要把几何量化为单变量函数，再用基本不等式、换元、二次函数或导数处理；开口方向、自变量取值范围、等号成立条件三者缺一不可．本专题按“弦长—三角形面积—四边形与面积比—最值—参数范围”五层递进，所选题目以近年高考真题为主，解析中刻意保留“为什么这样设线、为什么取这个端点”的关键一步． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、弦长公式与焦点弦 典例1 设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 两点，． (1)求 的方程； (2)求过点 且与 的准线相切的圆的方程． 【答案】(1)；(2) 或 【分析】第(1)问用焦点弦长公式把 写成 的方程；第(2)问的圆心在弦 的垂直平分线上，再用“与准线相切”定半径． 【详解】解：(1)由题意 ，设 ，，． 代入 得 ，所以 ． 由抛物线定义，，解得 （负值舍去），故 ． (2)由(1)得 ，，弦 的中点为 ． 圆心在 的垂直平分线 上，设圆心为 ，则半径 （准线为 ）． ， 令 ，化简得 ，所以 或 ，即 或 ． 当 时圆心 ，；当 时圆心 ，． 故所求圆的方程为 或 ． 题型模版 1.特征：求弦长、焦点弦长，或由弦长反求直线；也常与圆、准线结合． 2.方法：设 可避开斜率不存在；联立后 ；抛物线焦点弦 ，焦半径 ． 3.提醒：用弦长反求参数时必须回代检验 ；抛物线的通径 是最短的焦点弦，可作为范围的下界． 变式1-1 已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 ． (1)求 的方程； (2)设 是 上的两点，直线 与曲线 相切．证明： 三点共线的充要条件是 ． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】注意切线只取单位圆在 轴右侧的部分；充分性把 写成斜率 的函数，令其等于 ． 【详解】解：(1)由 ， 得 ，，故 ． (2)当直线 的斜率不存在时，由相切知 ，此时 ，且 不在 上，结论成立． 当斜率存在时，设 ．由与 相切得 ，且切点横坐标为正． 代入椭圆方程得 ，则 ． 必要性：若 共线，则 是过 的单位圆切线，斜率为 ，代入上式得 ． 充分性：若 ，则 ，即 ，所以 ． 其中满足切点横坐标为正的那条切线恰过 （另一条切点在 轴左侧，已被 排除），故 共线． 变式1-2 已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 两点，圆 是以线段 为直径的圆． (1)证明：坐标原点 在圆 上； (2)设圆 过点 ，求直线 的方程． 【答案】(1)证明见解析；(2) 或 【分析】设 ，证明 即得 在圆上；第(2)问先写出圆的一般方程，再代入 ． 【详解】证明：(1)设 ，，． 代入 得 ，所以 ，． 于是 ， ， 所以 ，即 在以 为直径的圆 上． 解：(2)设圆 （过原点）．把 与 代入，得 ． 其两根为 ，与 比较系数得 ，． 所以圆 ．代入 得 ， 解得 或 ，故 或 ． 变式1-3 已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，若 ，求 的方程． 【答案】 或 【分析】设 ，用 表示弦长，解出 后回代验证． 【详解】解：，设 ，代入 得 ． 则 ． 由 得 ，此时 ． 故 或 ，即 或 ． 题型二、三角形面积的计算与转化 典例2 已知椭圆 的离心率为 ， 分别为 的左、右顶点． (1)求 的方程； (2)若点 在 上，点 在直线 上，且 ，，求 的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】第(2)问的“等腰直角的直角顶点”可转化为旋转：把 绕 旋转 即得 ，比硬解方程快得多． 【详解】解：(1)由 得 ，，故 ． (2)由 且 知， 是 绕 旋转 所得． 设 ，则 ，旋转后 或 ． 由 的横坐标为 得 或 ，所以 或 ． 代入椭圆得 ．不妨取 ，则 （其余情形由对称性面积相同）． 直线 过 ，，，所以 ． 题型模版 1.特征：求三角形面积，或由面积（倍比）条件反求点、直线． 2.方法：以弦为底、定点为顶点，；弦过 轴上的定点 时，；面积比优先转化为同底高的比或纵坐标之比． 3.提醒：面积公式中的绝对值要保留，最后按图形位置取舍；由面积反求点时，解出的点要逐一代回原曲线． 变式2-1 设椭圆 的左、右顶点分别为 ，右焦点为 ，已知 ，． (1)求 的方程及离心率； (2)已知点 是 上异于顶点的动点，直线 交 轴于点 ，若 的面积是 的面积的 倍，求直线 的方程． 【答案】(1)，；(2) 或 【分析】用椭圆的参数点 表示 ，两个面积都化成 的式子，约去 后解 ． 【详解】解：(1)由 ， 得 ，，，所以 ，． (2)设 ，其中 ，． 直线 与 轴交于 ． 计算得 ，． 由 得 ， 即 ，解得 （ 为顶点，舍去）． 于是 ，直线 的斜率为 ， 故 或 ． 变式2-2 已知 和 为椭圆 上两点． (1)求 的离心率； (2)若过 的直线 交 于另一点 ，且 的面积为 ，求 的方程． 【答案】(1)；(2) 或 【分析】 是定边，面积给出的是 到 的距离；把“距离”转化为与 平行的直线，再与椭圆联立． 【详解】解：(1)由 得 ；由 得 ，所以 ． 于是 ，． (2)直线 ，． 设 ，由 得 ， 所以 ．与 联立， 当 时解得 或 ；另一支无解． 故 或 ，即 或 ． 变式2-3 已知点 在双曲线 上，直线 交 于 两点，直线 的斜率之和为 ． (1)求 的斜率； (2)若 ，求 的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】斜率之和为 的代数式因式分解后会出现“ 过 ”的增根，必须舍去；第(2)问用 设两条直线斜率为 ，再用夹角公式． 【详解】解：(1)把 代入得 ，解得 ，故 ． 设 ，，．由 得 ． 联立消元并用韦达定理，化简得 ． 因 不过 ，，所以 ． (2)由(1)设 ，与 联立得 ． 由 ，设 ，，则 ， 解得 （ 时无满足条件的 ，舍去）． 又 ，所以 ，此时 ． 于是 ． 题型三、四边形面积与面积比 典例3 已知抛物线 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 分别交 于 两点，交 的准线于 两点，且 均不与原点 重合． (1)若 在线段 上， 是 的中点，证明：； (2)若 的面积是 的面积的 倍，求线段 中点的轨迹方程． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】设 ，，把四个点的坐标一次写出；面积比化为 ，再用“ 不与 重合”排除 ． 【详解】证明：(1)设 ，（，），则 ． 在线段 上，由 共线得 ． ，于是 ，． 由 得 ，所以 ． 解：(2)，． 由 得 ，即 或 ． 因 均不与 重合，，故 ． 设 中点为 ，则 ， 故轨迹方程为 ． 题型模版 1.特征：四边形面积、面积之比、切线与坐标轴围成的图形． 2.方法：对角线互相垂直时 ；一般四边形分割为两个三角形；面积比转化为坐标比，再用韦达定理． 3.提醒：四边形顶点要按题意顺序连接，不要想当然按“左上—右上”排列；动点在第三象限等条件会影响绝对值符号． 变式3-1 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，． (1)求 的方程及离心率； (2)设 为第三象限内一点且在 上，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证：四边形 的面积为定值． 【答案】(1)，；(2)定值为 【分析】用 表示 ，四边形面积写成 ，再用椭圆方程消去 ． 【详解】解：(1)由 ， 得 ，，，所以 ，． 证明：(2)设 ，，． 直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ． 四边形 的面积为 ． 由 得 ， 所以 ，即四边形 的面积为定值 ． 变式3-2 已知椭圆 的焦点在 轴上， 是 的左顶点，斜率为 的直线交 于 两点，点 在 上，． (1)当 ， 时，求 的面积； (2)当 时，求 的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】把 的横坐标用 表示，长度条件化成 的方程；第(2)问由 反解 的范围，注意 时曲线退化为圆． 【详解】解：(1) 时 ，．设 ，． 分别与椭圆联立，求得 ，． 由 得 ，此时 ，． 所以 ． (2)一般地，，同理可得 ． 由 得 ，化简得 ． 因 ，所以 ，即 ． 结合 解得 ，故 的取值范围为 ． 题型四、面积、距离的最值 典例4 已知直线 与抛物线 交于 两点，． (1)求 ； (2)设 为 的焦点， 为 上两点，且 ，求 面积的最小值． 【答案】(1)；(2) 【分析】第(2)问设 ，，把垂直条件化为 ， 的关系，面积恰好写成 ，再解 的范围． 【详解】解：(1)由 代入 得 ， 所以 ， 平方整理得 ，解得 （负值舍去）． (2)，．设 ，，记 ，． 由 得 ， 即 ，所以 ． 又 ，，所以 ． 由 得 或 ；而 恒成立． 当 时， 取最小值 ，此时 ， 存在且不重合． 题型模版 1.特征：求面积、距离、弦长的最大值或最小值． 2.方法：先选一个参数（斜率、截距、点的坐标），把目标写成单变量函数；常用 、基本不等式、换元 、二次函数配方． 3.提醒：换元后要写清新变量的取值范围；用基本不等式必须验证等号能否取到，取不到时改用单调性． 变式4-1 已知椭圆 ，设 ， 是 上异于 的两点，且点 在线段 上，直线 分别交直线 于 两点． (1)求点 到椭圆上点的距离的最大值； (2)求 的最小值． 【答案】(1)；(2) 【分析】第(1)问把距离平方化为 的二次函数；第(2)问设 ，先求 的横坐标，再对 求最值． 【详解】解：(1)设椭圆上点 ，则 ， ， 当 时取最大值 ，故 ． (2)设 ，代入椭圆得 ． 设 ，，则 ，． 直线 与 交于 ，解得 ，同理 ． 计算得 ． 令 ，由 得 ， 此时 ． 变式4-2 已知椭圆 过点 ，点 为其左顶点，且 的斜率为 ． (1)求 的方程； (2)点 为椭圆上任意一点，求 面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】 为定边，面积最大等价于 到 的距离最大；用椭圆的参数方程把距离化为三角函数． 【详解】解：(1)，由 得 ． 代入 得 ，所以 ，故 ． (2)直线 ，． 设 ，则 ． 所以 ． 变式4-3 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 两点，求 面积的最小值． 【答案】 【分析】，面积等于 ；设 可把竖直线一并包含，再求 的最小值． 【详解】解：，．设 ，代入 得 ． 所以 ，当 （即 轴）时取等号． 于是 ． 故 面积的最小值为 ． 题型五、由长度、面积条件求参数范围 典例5 已知抛物线 经过点 ，过点 的直线 与 有两个不同的交点 ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ． (1)求直线 的斜率的取值范围； (2)设 为原点，，，求证： 为定值． 【答案】(1)；(2)定值为 【分析】范围题有两道“暗门”： 之外，还要排除 过点 （此时 或 与 轴不相交）；定值题把 用交点横坐标表示． 【详解】解：(1)由 在 上得 ，． 设 ，代入得 ． 由 得 ． 又 均与 轴相交，故 不能过点 ，即 ． 所以 ． 证明：(2)设 ，，则 ，． 直线 的纵截距 ，由 得 ， 所以 ，同理 ． ． 题型模版 1.特征：由长度、面积条件求参数的值或取值范围，或判断符合条件的直线是否存在． 2.方法：把条件代数化，联立得到关于参数的方程或不等式；范围问题同时用 、曲线自身的范围（如 ）和几何位置限制． 3.提醒：分母为零、直线过定点、斜率不存在等“隐形排除”最容易漏；端点能否取到要单独说明． 变式5-1 已知椭圆 ，抛物线 ，点 是 与 的交点，过点 的直线 交 于点 ，交 于点 （ 不同于 ）． (1)若 ，求 的焦点坐标； (2)若存在不过原点的直线 使 为线段 的中点，求 的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】用直线参数 ， 分别与两条曲线联立，中点条件给出 ；再消去 化为 的单变量函数． 【详解】解：(1) 时 ，焦点为 ． (2)设 ，，． 代入 得 ，故 ． 代入 得 ，故 ． 由 为 的中点得 ，化简得 ． 令 ，代入 与 ，得 ． 因 不过原点，，所以 ，且 ． 代入整理得 ．令 ，求导可得 时 最大， 故 ． 变式5-2 已知椭圆 过点 ，以 的四个顶点为顶点的四边形面积为 ． (1)求 的方程； (2)过点 的直线 与 交于 两点，直线 分别交直线 于 两点，若 ，求 的斜率． 【答案】(1)；(2) 【分析】菱形面积 定 ；第(2)问把 化为 横坐标的绝对值之和，用韦达定理整体求出 ． 【详解】解：(1)由 得 ；由 得 ，故 ． (2)设 ，代入椭圆得 ． 由 得 ．设 ，，则 ． 直线 与 交于 ，得 ，同理 ． 计算得 ，且 同号，所以 ． 由 得 ，均满足 ，故 的斜率为 ． 变式5-3 已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，若 ，求 的斜率的取值范围． 【答案】 【分析】设 ，弦长随 增大而增大；解出 后，注意 ，不等号方向会反转． 【详解】解：，设 ，代入 得 ． 所以 ，它在 上单调递增． 由 得 ． 当 时 ，故 ；当 时 垂直于 轴，，不符合． 所以 的斜率的取值范围为 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知 为抛物线 的焦点，过 作两条互相垂直的直线 ，直线 与 交于 两点，直线 与 交于 两点，则 的最小值为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两条焦点弦的斜率互为负倒数，用同一个参数 表示两条弦长，再用基本不等式． 【详解】解：设 ，代入 得 ，所以 ． 由 得 ，同理 ． ， 当且仅当 时取等号．故选 A． 2．设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点，若 ，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】向量和为零给出三个横坐标之和；焦半径 ，整体求和即可． 【详解】解：，设 ，，． 由 得 ． 所以 ．故选 A． 3．已知 为抛物线 的焦点，过 的直线 与 交于 两点，若 ，则 的面积为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】焦点弦长 ，再由 与 求面积． 【详解】解：设直线 的倾斜角为 ，则 ，所以 ． 又 ， 所以 ．故选 A． 4．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线 与 交于 两点，若 的面积是 的面积的 倍，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个三角形同底 ，面积比等于 到 的距离比；解绝对值方程后用 取舍． 【详解】解：联立得 ，由 得 ． ， 到直线 的距离分别为 ． 由 得 ，解得 或 （舍去）．故选 B． 5．已知椭圆 的焦点为 ，，过 的直线与 交于 两点．若 ，，则 的方程为 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设 ，用椭圆定义把各边都写成 ；再利用 在 的中垂线上求 ． 【详解】解：设 ，则 ，，． 由椭圆定义 得 ，，所以 ，． 于是 在 的中垂线上，，． 由 共线且 得 ，所以 ． ， 解得 ，．故选 B． 6．已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 两点．若 ，则           ． 【答案】 【分析】把 化为 ，用韦达定理整体代入． 【详解】解：，设直线 ，代入 得 ． 设 ，，则 ，． 由 得 ． 代入 并化简，得 ，即 ，所以 ． 7．已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ．若 为线段 的中点，则           ． 【答案】 【分析】先由中点坐标公式求 的横坐标，再用抛物线的定义求 ． 【详解】解：，设 ，．由 为 的中点得 ，． 代入 得 ，． 所以 ． 8．已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点的距离的最小值为 ． (1)求 ； (2)若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】焦点到圆上点的距离最小值为 ；切点弦用极线方程整体处理，面积化为 的纵坐标的函数． 【详解】解：(1)，圆心 ，则 ， 所以 ，解得 ，即 ． (2)设 ，切点 ，． 切线方程为 ，代入 的坐标得 ， 所以 ，． 切点弦 ，与 联立得 ， 所以 ，又 ， ． 由 得 ，在 上单调递减， 所以当 时取最大值 ，此时 ． 9．已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 的交点为 ，与 轴的交点为 ． (1)若 ，求 的方程； (2)若 ，求 ． 【答案】(1)；(2) 【分析】第(1)问用焦点弦长公式；第(2)问把向量关系化为横坐标关系，与韦达定理联立． 【详解】解：(1)，设 ，，． 由 得 ． 联立得 ，所以 ，解得 ． 故 ． (2)由 得 ．由 得 ． 又 ，解得 ，． 由 得 ，解得 ，此时 ，． 所以 ． 10．设抛物线 的焦点为 ，点 ，过 的直线交 于 两点．当直线 垂直于 轴时，． (1)求 的方程； (2)设直线 与 的另一个交点分别为 ，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最大值时，求直线 的方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】设 是简化运算的关键；利用 共线写出 ，再写出 ，把 化为 的函数． 【详解】解：(1)当 轴时，，由 得 ，故 ． (2)设 ，由 共线得 ． 直线 与 的另一交点为 ，同理 ． 所以 ，，即 ． 于是 ． 令 ，则 ，当且仅当 时取等号． 此时 ，直线 过 ， 故 ，即 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $